2.1平面向量的实际背景及基本概念（学案）
※学习目标
1.掌握向量的有关概念及向量的几何表示.
2.掌握平行向量与相等向量的概念．
※自主预习
1．向量：既有________，又有________的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．
3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．
(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量a平行于b，记作________．
②规定：零向量与__________平行．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（3）向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．（4）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．
※典型例题
一向量的有关概念及向量的表示
例1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2. 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点
的轨迹是什么？
二相等向量与平行向量(共线向量)
思考：（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例3．下列说法正确的有()
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；
④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A．2个B．3个C．4个D．5个
例4. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA
→
＝a，OB
→
＝b，OC
→
＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
※当堂检测
1．下列条件中能得到a＝b的是()
A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝0
2．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()
A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立
3．下列各命题中，正确的命题为()
A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行
C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b
4．下列说法正确的是()
A．向量AB
→
∥CD
→
就是AB
→
所在的直线平行于CD
→
所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量
5. 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与EF
→
共线的向量；
(2)写出与EF
→
的模大小相等的向量；
(3)写出与EF
→
相等的向量．
平面向量 一、选择题 1．下列命题中正确的是( ) ( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同 ( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b ( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同 ( D) 零向量的长度为0，方向是任意的 2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) ( A ) ( C) AB DC AB AD BD ( B ) ( D ) AD AB AC AD CB0 3．在四边形ABCD 中，CB AB BA( ) (A) DB (B) CA (C) CD (D) DC 4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( ) ( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同 ( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反 5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD (3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 6．对于下列命题 ①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线 ④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上 其中真命题的序号为______． 3 3
点A 的位置向量为 ______． 8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______． 9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______ AB =_____. 10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______． 三、解答题 11．化简： (1) AB AC BD(2) AB CD CB DA 12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中． ( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量； ( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度． 13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c， 并求出 |a－b＋c｜． 14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．
2.1平面向量的实际背景及基本概念（学案） ※学习目标 1.掌握向量的有关概念及向量的几何表示. 2.掌握平行向量与相等向量的概念． ※自主预习 1．向量：既有________，又有________的量叫向量． 2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念： (1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量． (3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a平行于b，记作________． ②规定：零向量与__________平行． 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （3）向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．（4）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义． ※典型例题 一向量的有关概念及向量的表示 例1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有() A．1个B．2个C．3个D．4个 例2. 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点 的轨迹是什么？ 二相等向量与平行向量(共线向量) 思考：（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 例3．下列说法正确的有() ①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A．2个B．3个C．4个D．5个 例4. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA → ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c. (1)与a的模相等的向量有多少个？ (2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与a，b，c相等的向量． ※当堂检测 1．下列条件中能得到a＝b的是() A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝0 2．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”() A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立 3．下列各命题中，正确的命题为() A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行 C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b 4．下列说法正确的是() A．向量AB → ∥CD → 就是AB → 所在的直线平行于CD → 所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 5. 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点． (1)写出与EF → 共线的向量； (2)写出与EF → 的模大小相等的向量； (3)写出与EF → 相等的向量．
《平面向量的概念》教学设计 本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。 在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。 本节将学习平面向量的概念、表示及关系。现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。 （1）了解向量的实际背景，经历平面向量及其概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力； （2）掌握向量的几何表示，理解平面向量、相等向量和共线向量的概念，体会数学研究的一般过程。 教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。 1．教学问题： （1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应； （2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。 2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。 【问题1】老鼠由A 向东北方向以每秒6米的速度逃窜， 如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否 抓到老鼠？为什么？ 【设计意图】创设情境，建构概念。通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸 ◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆教学过程 A B
显向量的两大要素，同时引出向量的概念。 【预设师生活动】 （1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。 （2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？ （3）学生：重力、浮力、弹力、位移…… （4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？ （5）学生：年龄、身高、面积、体积等。 （6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。 板书设计：数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。 老师：把那些只有大小、没有方向的量称为数量．向量在物理学中常称为矢量，数量在物理学中常称为标量。 【问题2】实数在数轴上是如何表示的？向量又如何表示？ 【设计意图】类比实数的点的表示方法，寻求向量的几何表示。设计“两个不同重量的小木块的浮力如何表示”的问题，让学生从对比中体会到可以用有向线段的方向和大小分别表示向量的方向和大小。将绝对值符号表示方法类比到向量的模的字母表示上。通过0，1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念。 【预设师生活动】 （1）学生：可以用数轴上的点表示。 （2）老师：实数可以用数轴上的点来表示，并且建立了一一对应的关系。请同学们在数轴上画出表示实数0，1的点，再画出表示实数a的点。 （3）学生在稿纸上画出数轴，并标注点的位置，如图1所示。 图1 （4）老师：实数a是一个数量，数轴上表示它的点A是一个几何图形，这里就是用几何图形表示了实数a，数量可以如此，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平面向量呢？
向量的几何表示教学设计 一、教学目标： （1）知识与技能目标：了解向量的物理背景。 （2）过程与方法目标：经历由实例引入概念的过程。 （3）情感、态度、价值观：培养学生观察，类比，联想的能力。 二、教学的重点和难点： 向量的概念。 三、教学方法： 引导启发法。 在本节课的教学中主要渗透自主探究法、小组讨论法等。 四、教学过程： （一）导入新课 本课主要采用：直接导入 引言：请同学想一下；哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 让学生思考，回答，点评。 （二）讲授新课 1.(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如力、位移等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小． (3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点。 (4)有向线段的三个要素：起点，方向，长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定． 有向线段与向量的区别和联系 区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的。联系：有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段。 2.向量的表示法 (1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的长度(或称模)，如果向量的长度记作. (2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母、、，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为. 零向量长度为0的向量叫做零向量 单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向 （三）巩固练习 下列说法中，正确的个数是(B) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
人教A版必修4《平面几何中的向量方法》教学设计 一、教材分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。在向量的概念引入后，平面几何中的全等和平行、相似、垂直、勾股定理等问题就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，体现了数形结合思想。 本节课的内容是一节平面向量知识的应用课，通过对平面几何中的向量方法的研究，体现向量作为工解决平面几何问题的优越性，渗透数形结合思想和转化化归思想；也让学生体验数学实用价值，明白教材在《主编寄语》中提到的“数学是有用的”的真正含义。 二、教学目标： 1.能利用向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系；经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题体会向量是一种处理平面几何问题的工具； 2.发展运算能力和解决实际问题的能力，同时渗透数形结合思想、转化化归思想，培养学生“利用数学”的意识。 3.通过丰富的实例和过程性参与，引导学生体验“形到数——数的运算——数到形”的研究思想；激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。 4.通过向量运算研究几何问题让感受数学和生活的联系，体验数学的工具优越性，关注数学知识及其思想在人类认识世界，改造世界中所起的作用，感受数学的美。 三、教学重难点： 1.教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则；向量法解决平面几何问题的“三步曲”。 2.教学难点：将平面几何问题转化为向量问题并加以解决。 四、教学问题诊断分析： 学生在学习本节课内容之前，已经掌握平面向量的基本知识技能。本节内容是针对学生对向量作为工具性的疑惑而设计的一节知识应用课。新课程所倡导的理念“知识是有用的”得到充分的体现，但是在实际教学过程中，如何将平面几何问题转化为向量问题来解决是有所难度的，特别是课本中例2的设计难度较大。因此，在教学过程中以学生熟悉的平行四边形作为载体展开讨论研究来降低学习难度，并在例题的设计上有层次感，由浅入深，层层导入，逐步引导学生进行探究活动，激发学生学习的自主性和积极性，从而达到教学目的。
第二章平面向量的目录 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念（两课时）（新授课）§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义（新授课） §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义（新授课） §2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（新授课） §2.3.1 平面向量基本定理（新授课） §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算（新授课）§2.3.4 平面向量共线的坐标表示（新授课） §2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（新授课）§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（新授课）§2.5.1 平面向量应用举例(新授课) §2.5.2 向量在物理中的应用（新授课） 第二章平面向量小结（复习课） 第二章平面向量基础练习（一） 第二章平面向量基础练习（一）参考答案 第二章平面向量基础练习（二） 第二章平面向量基础练习（二）参考答案 第二章平面向量基础练习（三） 第二章平面向量基础练习（三）参考答案 第二章平面向量单元测试题（一） 第二章平面向量单元测试题（一）答案 第二章平面向量单元测试题（二） 第二章平面向量单元测试题（一）答案 第二章平面向量 一、课程目标： 向量是近代数学中的重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义。能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 二、学习目标： 1、通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 2、通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 3、通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。 4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。 5、了解平面向量的基本定理及其意义。 6、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 7、会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 8、理解用坐标表示平面向量共线的条件。 9、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及物理意义。 10、体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 11、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 12、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关
2.1.2 相等向量与共线向量 教学目标： 掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念， 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路： 一、情景设置： (一)、复习 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？ (二)、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？ 2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？ 三、探究学习 1、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 2、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 四、理解和巩固： 例1．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量. 变式一：与向量OA 长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,） 例2判断： （1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
平面向量的正交分解及坐标表示 一、教材分析 本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。 二、学情分析 对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。 三、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段； （2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0) =； =，0(0,0) =，j(0,1) （3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。 2．过程与方法 学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。 3．情感态度与价值观 在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。 通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。 四、教学重点 平面向量的坐标表示。 五、教学难点 对平面向量坐标表示生成过程的理解。 突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。 六、教学方法 启发式教学法
2.1.2 向量的几何表示 学习目标 1.掌握向量的几何表示； 2.理解向量的有关概念。 学习重点、难点 1.向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示； 2.向量的概念和共线向量的概念。 探究（一）：向量的几何表示 思考1：一条小船从A 地出发，向西北方向航行15km 到达B 地，可以用什么方式表示小船的位移？ 思考2：如图，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 1.向量的有关概念 (1)向量的大小叫做向量的长度(模)。 表示为：___________ (2)字母表示法 为了书写的方便，除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外，向量也可以用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…，或，，表示，如图。 要注意手写体a ，b 与印刷体a ，b 的不同，向量的字母表示法有利于向量的代数运算。 思考4：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 2.两个特殊向量 零向量：模为0的向量，记作。 单位向量：模为1个单位的向量。 思考5： A 起点 B 终点
思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗? 知识运用 例1.______________________________称为向量；常用_________________表示，记为____________，又可用小写字母表示为____________。 例2.在下列命题中，正确的是（） A.若|a|＞|b|，则a＞b； B.若a与b平行，b与c平行，则a与c不一定平行 C.终点相同的两个向量不平行 D.由于0方向任意，故0不与任一向量平行 例3.判断下列各命题是否正确： （1）若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反。（）（2）若向量是单位向量，则也是单位向量。（） （3）以坐标平面上的定点A为始点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。（）（4）单位向量都相等（） 例4.把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是_ _______________________________。 小结作业 1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用. 2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.
《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计 一、教材内容分析 1．教材的地位和作用 本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习. 2.学情分析： 高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。 3.教学目标的确定 根据本课教材的特点，新课标的教学要求，学生身心发展的需要，本节课确定教学目标如下： 知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。 情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 4、教学重点及难点 （1）．重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等 （2）．难点：向量的概念和共线向量的概念 二．教法分析： 向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，理解上并不困难.因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性.而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选
向量的几何表示教学设计 1.教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。 平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。 所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。 由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。 2.教学目标设置 课堂教学目标如下. （1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量； （4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊； 5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力； 3.学生学情分析 （1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示； （3）已经经历并了解实数的形成过程； （4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向； （5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。 但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。基于上述分析，本节课的难点在于向量相关概念的形成，这是学生获得新的数学对象的基本方法、基本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性。 4.教学策略分析 采用启发引导式、探究讨论式的教学。通过向量概念的引入，章引言的教学，向量的表示，认识特殊，辨析升华和总结提升等教学环节循序渐进地引导学生研究新对象，合乎情理地定义新对象，逐步形成研究向量的一般套路，引导学生达成本节课的教学目标。 笔者采取以下主要策略突破难点. （1）通过大量实例引导、启发学生联系既有生活经验，从众多实例中归纳抽象出实例中研究对象的质属性，形成向量这一概念，理解其所具备的两个要素； （2）从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，大家一起探求合理而简洁的表示向量的方法； （3）通过类比的思想，引导学生联系实数中特殊的0 与1，结合向量的两个要素来理解零向量、单位向量和平行向量； 5.教学过程
向量的几何表示以及基本概念 一．教学内容分析 本节课是《平面向量》的起始课，内容属于概念性知识．通过本节课的学习，让学生体 会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.对 于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的 形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中 的作用. 二. 学生学情分析 学生能认识到生活中一些只有大小，没有方向的量，并且在学习三角函数的内容时已经 接触到有向线段的知识，从而为本节课的学习提供了知识准备。这些学习内容及生活经验为 本节课奠定了一定的基础. 三．教学目标 知识与技能：了解向量产生的生活背景，理解共线向量、相等向量等概念，理解向量的表示 方法。 过程与方法：经历向量概念的形成过程，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。情感、态度与价值观：通过学习，使学生认识到用向量的方法从数学角度刻画现实问题的作用，培养学生观察、类比等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。四．教学重难点 重点：向量的概念，共线向量、相等向量的概念和向量的几何表示。 难点：对向量概念，共线向量的理解。 五．教学过程设计 （一）创设情境 【情境1】老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，猫在B处向正东方向以每秒10米的速度追去，试问：猫能否追到老鼠？ 师生活动：教师提出问题，学生思考。教师补充讲解：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实 际上都是有方向、有大小的量. 设计意图：教师提出一个生活中的实际问题，学生进行直观感知、猜想、思考，激发学生 学习兴趣。
2.1平面向量的实际背景及基本概念 班级 组别 姓名 1、了解向量的实际背景. 2、理解向量的几何表示——有向线段。 (共线向量)、相等向量的概念 【课前预习】 问题1、位移和距离两个量有什么不同？ 问题2、举例说明只有大小的量_________________________________________； 既有大小又有方向的量_________________________________________。 【知识归纳】 一、 向量的概念：我们把____________________________________叫向量 数量与向量的区别：_______________________________________ 练习1：下列哪些量是向量（ ） ① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度;⑤加速度; ⑥路程 ⑦ 密度;⑧功 二、向量的表示方法： 三、向量的模及两个特殊向量 1、向量的模的概念？ 2、两个特殊向量 ①_______________叫零向量，记作____的方向是任意的（注意0与0的区别 ②__________________________叫单位向量. 思考：a b a b ＝＝1则＝吗？ 四、向量间的关系 1、相等向量:________ 且 _____________ 2、平行向量:方向_____或_______非零向量； ①我们规定_________与任一向量平行. ②平行向量也叫_________ 练习2. 辨析下列命题的真假. b b //)1( =αα，则若 b //b )2( α=α，则若 b b )3( =α=α，则若 b b )4( =α=α，则若 b //b )5( α=α，则若 b b //)6( =αα，则若 c c b b )7( =α==α，则，若 c //c //b b //)8( αα，则，若 (9)向量就是有向线段 (10)模为0的向量与任一非零向量平行 (11)两个有公共终点的向量一定是共线向量 (12)两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 (13)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC → ； (14)若AB →＝DC → ，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； 【课堂实例】 例 1． 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量−→−OA 、−→−OB 、−→ −OC 相等的向量. 小结：
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念 1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用． 2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机． 3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题． 4 作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖 整体设计 教学理念 新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学
人教版高中数学新课程标准实验教科书数学4《平面向量》 教学建议 一、向量进入中学数学的背景分析 1．向量的双重性：向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构．通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何．2．认识向量的另外角度：把平面和空间看出是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，而结构数学是现代数学发展的主要方向．这里也可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一． 3.“数、量与运算”的扩大：从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减法）、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展．更为重要的是在教材和教师教学的处理上应该表现出“数、量和运算”的一个发展趋势链，其中数的发展包括正整数（自然数）→零和自然数→正分数（有限小数和无限循环小数）→非负有理数→有理数→无理数（无限不循环小数）→实数→复数，从代数结构的角度看，经历了整数环→有理数域→实数域→复数域（1883年Hamilton的四元数域是不满足乘法交换律的复数域的扩大，在此意义上说复数域是最大的数域），这些“数”所对应的“量”都是一类的，并且至此“运算”的结构没有改变，从整体上看“数”在发展，而“量”及“运算”没有本质的发展．因此向量不是“数”的简单扩大，它所关注的不是“数”的扩大问题，而是“量及运算”的扩大问题．因而在向量的引入时，不宜从代数方程的角度出发，可能从力学的实际背景出发更能体现出“量”的发展．同时还应该强调的是向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展（如果我们能够引入向量的向量积运算，将使学生第一次看到运算可以不满足交换律的真正案例），使学生对此问题有一个发展的理解，由此也为今后引入矩阵及其运算做了铺垫． 4．数学和物理学的关系在向量中的体现：数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和发展，事实上一个良好的物理或现实背景是学生对数学产生兴趣和学好数学的重要因素，并且数学和物理世界是如此的紧密关联。数学和物理学的关系是有目共睹的．而向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的．使学生尽早地认识到数学与物理世界的紧密关系，不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也使学生认识到数学伟大的社会性．5．国际数学教育对向量的处理：国际数学教育的发展已全面反映了综合几何的学习的落后，向量和矩阵进入中学数学是一个大的趋势。比如美国的《学校数学的原则和标准》、《新西兰数学课程标准》和《澳大利亚数学教学大纲》都在此问题上有全面的反映．从总体上分析，基本共识是基于以下的事实：1899年希尔伯特的《几何学基础》的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式．以此为推动力，数学本体上在这
6.1 平面向量的概念（单元教学设计） 一、【单元目标】 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，能理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.掌握平面向量的几何表示，促进思维发展. （1）构造四个情境，回顾物理知识，由具体到抽象，让学生通过类比归纳总结出平面向量的两要素.从具体到抽象，特殊到一般，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养； （2）从学生“最近发展区”出发，探究向量的表示，让学生充分了解向量的表示，更好的理解向量的概念，提升学生的逻辑推理素养； （3）根据所学新旧知识，让学生体验、探究、发现平面向量之间的关系； （4）由特殊情况引入，通过讲解与师生互动的方式，猜测推理两个平面向量相等的充要条件. 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 1．认知基础 本节内容是本章的基础，也是学好平面向量的关键.在学习本节之前，学生已经学习了物理中矢量的概念，对于大小和方向有一定的了解，且清楚平行与相等的一般含义，为介绍平面向量的概念，向量相等，向量共线奠定了基础. 2.认知障碍 一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对向量概念是不了解的，需要在老师的启发引导下探究体会向量的两要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上的相等，缺乏严谨的思维习惯. 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约1课时 教学重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念 教学难点：向量的概念和共线向量的概念
教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 6.1.1向量的实际背景与概念 问题1：今天老师想做个调查，你们每个人距离学校有多远？老师每天下班开车28公里回到家，那请大家猜猜我家住哪里？ 【破解方法】通过学生熟悉的身边环境，引发学生思考，只有大小，没有方向的距离，并不能确定具体的位置，从而引出物理意义上的位移是一个既有大小又有方向的量. 问题2：那如何才能猜出老师住在哪里？如果给你一副深圳市区地图，你能如何定位你家的具体位置吗？ 【破解方法】在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量、年龄等.还有一些量则不是，例如老师家到学校的位移，老师每天开车上班的车速，书桌上水杯受到的支撑力等等. 问题3：给出下列量:①面积；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度； ⑧功；⑨温度；⑩角度.用你所学的知识请你将它们分成两类，并指出它们有什么不同. 【破解方法】通过物理量中的矢量和标量的对比，凸显向量的方向和大小这两大要素.
第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时 整体设计 教学分析 1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算． 2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律． 3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a ＝λb ，那么a 与b 共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的． 三维目标 1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示． 2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体． 3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识． 重点难点 教学重点：平面向量的坐标运算． 教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？ 思路2.对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA → ＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？ 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标表示吗？ ②如图1，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2 －x 1，y 2－y 1)的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？ 活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生