导数与函数的极值、最值训练题
一、题点全面练
1．函数f (x )＝x e －x
，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B.1e C.4e
4 D.2e
2 解析：选A f ′(x )＝1－x
e
x ，
当x ∈[0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,4]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，
因为f (0)＝0，f (4)＝4
e 4＞0，所以当x ＝0时，
f (x )有最小值，且最小值为0.
2．若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．e
解析：选C f ′(x )＝a e x －cos x ，若函数f (x )＝a e x
－sin x 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意，故选C.
3．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3
－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17
D ．18
解析：选D 因为x ＝2是函数f (x )＝x 3
－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3
－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2
－12，由f ′(x )＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.
4.(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx 的大致图象如图所示，则x 2
1＋x 2
2等于( )
A.23
B.43
C.83
D.163
解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，
因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2
＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2
－6x ＋2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2
－6x ＋2＝0的两个不同的实数根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝4－43＝83
.
5．(2019·泉州质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x ＋1
和y ＝ x －1交于A ，B 两点，
则A ，B 之间的最短距离是( )
A.3－ln 22
B.5－ln 2
2 C.
3＋ln 2
2
D.
5＋ln 2
2
解析：选D 由y ＝e x ＋1
得x ＝ln y －1，由y ＝x －1得x ＝y 2
＋1，所以设h (y )＝|AB |
＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2
－ln y ＋2，h ′(y )＝2y －1y ＝
2? ????y －
22? ??
??y ＋22y
(y ＞0)，当0＜y ＜
22时，h ′(y )＜0；当y ＞22时，h ′(y )＞0，即函数h (y )在区间? ?
???0，22上单调递减，在区间?
????22，＋∞上单调递增，所以h (y )min ＝h ? ????22＝? ????222
－ln 22＋2＝
5＋ln 22. 6．若函数f (x )＝x 3
－3a 2
x ＋a (a ＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．
解析：f ′(x )＝3x 2
－3a 2
＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，
当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞a 或x ＜－a 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．
∴f (－a )＝－a 3
＋3a 3
＋a ＞0且f (a )＝a 3
－3a 3
＋a ＜0， 解得a ＞
2
2
. ∴a 的取值范围是? ??
??
22，＋∞. 答案：?
??
??22，＋∞ 7．(2019·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ??
??a ＞12，
当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.
解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.
令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1
a
，
当0＜x ＜1
a
时，f ′(x )＞0；
当x ＞1
a
时，f ′(x )＜0.
∴f (x )max ＝f ? ??
??1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.
答案：1
8．(2018·内江一模)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R)，曲线y ＝f (x )在点
?
????π3
，f ? ????π3处的切线方程为y ＝x －π3.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数g (x )＝
f ?
?
???
x ＋π3
x
在?
????
0，π2上的最小值．
解：(1)由切线方程知，当x ＝π
3时，y ＝0，
∴f ? ????π3＝32a ＋12b ＝0.
∵f ′(x )＝a cos x －b sin x ，
∴由切线方程知，f ′? ????π3＝1
2a －32b ＝1，
∴a ＝12，b ＝－3
2
.
(2) 由(1)知，f (x )＝12sin x －32cos x ＝sin ? ????x －π3，
∴函数g (x )＝
sin x x ? ?
???0＜x ≤π2，g ′(x )＝x cos x －sin x
x 2
.设u (x )＝x cos x －sin x ?
?
?
??
0≤x ≤π2，则u ′(x )＝－x sin x ＜0，故u (x )在?
???
??
0，π2
上单调递减．∴u (x )＜u (0)＝0，
∴g (x )在? ????0，π2上单调递减．∴函数g (x )在 ? ????0，π2上的最小值为g ? ????π2＝2
π
.
9．已知函数f (x )＝a ln x ＋1
x
(a ＞0)．
(1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解：由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝a x －1x
2＝ax －1
x
2(a ＞0)．
(1)由f ′(x )＞0，解得x ＞1
a
，
所以函数f (x )的单调递增区间是? ??
??1a
，＋∞；
由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1
a
，
所以函数f (x )的单调递减区间是?
??
??0，1a .
所以当x ＝1a
时，函数f (x )有极小值f ? ??
??1a ＝a ln 1a
＋a ＝a －a ln a ，无极大值．
(2)不存在，理由如下：
由(1)可知，当x ∈?
??
??0，1a 时，函数f (x )单调递减；
当x ∈? ??
??1a
，＋∞时，函数f (x )单调递增．
①若0＜1
a
≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，
故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．
②若1＜1a ≤e，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在??????1，1a 上为减函数，在??????1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ? ??
??1a
＝a ln 1a
＋a ＝a －a ln a ＝0，即ln a ＝1，解
得a ＝e ，而1
e
≤a ＜1，故不满足条件．
③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)
＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0＜a ＜1
e
，故不满足条件．
综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·郑州质检)若函数f (x )＝x 3
－ax 2
－bx ＋a 2
在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( )
A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11
B ．a ＝－4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11
C ．a ＝－4，b ＝11
D ．以上都不对
解析：选C 由题意，f ′(x )＝3x 2
－2ax －b ， 则f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝3.①
f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b ＝9.②
联立①②，解得???
??
a ＝－4，
b ＝11
或???
??
a ＝3，
b ＝－3.
经检验???
?
?
a ＝3，
b ＝－3
不符合题意，舍去．故选C.
2．(2019·唐山联考)若函数f (x )＝x 2
－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a
＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2
－1
2x ，令f ′(x )
＝0，得x ＝12? ??
??x ＝－12舍去，
则由已知得?????
a －1≥0，
a －1＜12，
a ＋1＞12，
解得1≤a ＜3
2
.
答案：????
??1，32
3．(2019·德州质检)已知函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2
)上有最大值，则实数a 的
取值范围是________．
解析：由f ′(x )＝－x 2
＋1，知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在(a,10－a 2
)上存在最大值的条件为
?????
a ＜1，10－a 2
＞1，f
f a ，其中f (1)≥f (a )，即为－13＋1≥－13
a 3
＋a ，
整理得a 3
－3a ＋2≥0，即a 3
－1－3a ＋3≥0， 即(a －1)(a 2
＋a ＋1)－3(a －1)≥0，
即(a －1)(a 2
＋a －2)≥0，即(a －1)2
(a ＋2)≥0，
即?????
a ＜1，10－a 2
＞1，a －2a ＋
，
解得－2≤a ＜1.
答案：[－2,1)
(二)素养专练——学会更学通
4.[直观想象]已知函数f (x )是R 上的可导函数，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列结论正确的是( )
A ．a ，c 分别是极大值点和极小值点
B ．b ，c 分别是极大值点和极小值点
C ．f (x )在区间(a ，c )上是增函数
D ．f (x )在区间(b ，c )上是减函数
解析：选C 由极值点的定义可知，a 是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f (x )在区间(a ，＋∞)上是增函数，故选C.
5.[数学建模]如图，在半径为103的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块
矩形材料ABCD ，其中A ，B 在直径上，C ，D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮
ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记
圆柱形罐子的体积为V ，设AD ＝x ，则V max ＝________.
解析：设圆柱形罐子的底面半径为r ， 由题意得AB ＝23
2
－x 2
＝2πr ，
所以r ＝300－x 2
π
，
所以V ＝πr 2
x ＝π? ??
??300－x 2π2x ＝1π(－x 3
＋300x )(0＜x ＜103)，
故V ′＝－3π(x 2－100)＝－3
π
(x ＋10)(x －10)(0＜x ＜103)．
令V ′＝0，得x ＝10(负值舍去)， 则V ′，V 随x 的变化情况如下表：
所以当x ＝10时，V 取得极大值，也是最大值， 所以V max ＝2 000
π.
答案：2 000π
6．[数学运算]已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x
x ＋2
，其中a 为常数．
(1)当1＜a ≤2时，讨论f (x )的单调性；
(2)当x ＞0时，求g (x )＝x ln ?
????1＋1x ＋1
x
ln(1＋x )的最大值．
解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x x －2a ＋
x ＋3
，
①当－1＜2a －3＜0，即1＜a ＜3
2
时，
当－1＜x ＜2a －3或x ＞0时，f ′(x )＞0，则f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，
当2a －3＜x ＜0时，f ′(x )＜0，则f (x )在(2a －3,0)上单调递减．
②当2a －3＝0，即a ＝3
2时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．
③当2a －3＞0，即a ＞3
2
时，
当－1＜x ＜0或x ＞2a －3时，f ′(x )＞0， 则f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，
当0＜x ＜2a －3时，f ′(x )＜0，则f (x )在(0,2a －3)上单调递减．
综上，当1＜a ＜3
2时，f (x )在(－1,2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3,0)上单
调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当3
2＜a ≤2时，f (x )在(－1,0)，(2a
－3，＋∞)上单调递增，在(0,2a －3)上单调递减．
(2)∵g (x )＝?
??
??x ＋1x ln(1＋x )－x ln x ＝g ? ??
??1x ，
∴g (x )在(0，＋∞)上的最大值等价于g (x )在(0,1]上的最大值．
令h (x )＝g ′(x )＝? ????1－1x 2ln(1＋x )＋? ????x ＋1x ·11＋x －(ln x ＋1)＝? ??
??1－1x 2ln(1＋x )－ln
x ＋1x －2
1＋x
，
则h ′(x )＝2x 3?
?
?
?
??
＋x －2x 2
＋x x ＋2.
由(1)可知当a＝2时，f(x)在(0,1]上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝0，
∴h′(x)＜0，从而h(x)在(0,1]上单调递减，
∴h(x)≥h(1)＝0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，∴g(x)≤g(1)＝2ln 2，
∴g(x)的最大值为2ln 2.
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
高中数学人教版选修2-2（理科）第一章导数及其应用 1.3.2函数的极值与导数同 步练习C卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共7题；共14分) 1. （2分）点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是（） A . １ B . C . ２ D . 2. （2分）下面说法正确的是（） A . 若不存在，则曲线在点处没有切线 B . 若曲线在点处有切线，则必存在 C . 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D . 若曲线在点处没有切线，则有可能存在 3. （2分）函数有（）． A . 极大值5，极小值-27； B . 极大值5，极小值-11； C . 极大值5，无极小值； D . 极小值-27，无极大值
4. （2分）已知函数f(x)=ax+4,若，则实数a的值为（） A . 2 B . -2 C . 3 D . -3 5. （2分）已知函数在x=1处的导数为1，则（） A . 3 B . C . D . 6. （2分）已知f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（） A . e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e2016f（0） B . e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e2016f（0） C . e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e2016f（0） D . e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e2016f（0） 7. （2分）若f（x）=x4﹣4x+m在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，都存在f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（） A . m＞3 B . m＞6 C . m＞8
高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，
1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ，
【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（）
§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x )
三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A.
5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x)
f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系
x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5)
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f 1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ （提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t 导数--函数的极值练习题 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是 ( ) ①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y = 2 16x x +的极大值为( ) A.3 B.4 C.2 D.5 4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为( )A.0 B.1 C.2 D.4 5.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为( ) A.e － 1 B.0 C.－1 D.1 6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于( ) A.6 B.0 C.5 D.1 7．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, 0=x 是极值点的函数是( ) A.3 x y -= B.x y 2 cos = C.x x y -=tan D.x y 1= 9.下列说法正确的是( ) A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于12)(2 3+++=x px x x f ,若6||< p ,则)(x f 无极值; D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值. 10.函数2 2 3 )(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为( ) A.)3,3(- B.)11,4(- C. )3,3(-或)11,4(- D.不存在 11.函数|6|)(2--=x x x f 的极值点的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 12.函数x x x f ln )(= ( ) A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 D.有极大值和极小值 二．填空题： 13.函数x x x f ln )(2 =的极小值是 14.定义在]2,0[π上的函数4cos 2)(2-+=x e x f x 的极值情况是 15.函数)0(3)(3 >+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是 16.下列函数①3 2x y =,②x y tan =,③|1|3++=x x y ,④x xe y =,其中在其定义区间上存在极值点的函 数序号是 17.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 18.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值. 19.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________. 20.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________. 三．解答题 21.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值. 22.函数f (x )=x +x a +b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件. 23.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x =2处有极值，其图象在x ＝1处的切线垂直于直线y =3 1x -2 （1）设f(x)的极大值为p ，极小值为q ，求p-q 的值； （2）若c 为正常数，且不等式f(x)>mx 2在区间（0,2）内恒成立，求实数m 的取值范围。 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 函数极值与导数（基础） 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、函数3()13f x x x =+-有（ ） A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 4、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间13,2?? -- ?? ?内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32?? - ??? 内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当4x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12 x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 5、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于_______ 6、函数x x x f ln 1 )(+= 的极小值等于_______. 7、求下列函数的极值： (1)．x x x f 12)(3-=；(2)．2()x f x x e =；(3)．.21 2)(2-+= x x x f 8、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． (1)．试求常数a 、b 、c 的值； (2)．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 9、已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是． 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t 1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16 [答案] A [解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0?x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值也有极小值 [答案] D [解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)， 当x >0或x <－23时，y ′<0， 当－23 B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32 C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3 D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3 [答案] C [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得， ????? f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即????? 3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3. 4．函数y ＝2x x 2＋1 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] 1，－1 [解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2 ，令y ′>0得－1 人教版高中数学精品资料 高中数学 1.3.2函数的极值与导数练习 新人 教A 版选修2-2 一、选择题 1．(2015·吉林实验中学高二期中)已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 [答案] B [解析] 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3 在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2 ，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立． 故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2．函数y ＝14x 4－13x 3 的极值点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] y ′＝x 3 －x 2 ＝x 2 (x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表 3．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3 的极大值点坐标为(b ，c )，则 ad 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 [答案] A [解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3 的极大值点， ∴c ＝3b －b 3 ，且0＝3－3b 2， ∴? ?? ?? b ＝1， c ＝2，或? ?? ?? b ＝－1， c ＝－2.∴a d ＝2. 4．已知f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－16 D ．a <－1或a >2 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根， ∴Δ＝4a 2 －12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 5．已知函数f (x )＝x 3 －px 2 －qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B ．0，4 27 C ．－4 27，0 D ．0，－4 27 [答案] A [解析] f ′(x )＝3x 2 －2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得， ? ?? ?? 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得? ?? ?? p ＝2， q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2 ＋x . 由f ′(x )＝3x 2 －4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1， 易得当x ＝13时f (x )取极大值4 27. 当x ＝1时f (x )取极小值0. 6．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定函数的极值与导数(教案
(完整版)导数--函数的极值练习题
(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
函数极值与导数练习(基础)
导数与函数极值、最值问题(解析版)
《函数的极值与导数》教学设计
3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
人教版 高中数学 选修2-2 1.3.2函数的极值与导数练习
相关主题
文本预览