湘教版九年级上册数学导学案
3.1.2 成比例线段
【学习目标】
【知识与技能】1.掌握比例线段的概念及其性质. 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.
【教学重点】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.
【预习导学】
预习教材P64—P66的内容，完成下列问题.
；
2. 比例基本性质的相关结论.
【探究展示】
1.比例线段
如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）△ABC 和△ ，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB
，BC ，AC ，A ’B ’，B ’C ’，A ’C ’ 的长度，并计算AB 与A ’B ’，BC 与B ’C ’，AC 与A ’C ’ 的长度的比值.
（方法与过程：首先学生动手量出所要求线段的长度，再求出其比值，进行对比比较） 方法总结：通过操作，计算比较，得出：
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.
==''，或 k AB kA B ::=''=''，或 AB A B m n A B n
c d
=线段d 叫做a .b .c . 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
c b b a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的 ..
BC B C ==''''''''B ,B C ,A C 对例3 已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度分别为0.8 cm ， 2 cm ， 1.2 cm ， 3 cm ，
问a ，b ，c ，d 是比例线段吗？
（方法与过程：学生自主 学习，然后分组展示.质疑.点评）
对应练习：
1. 已知四个数a,b,c,d 成比例.
（1）若a = 0.8 cm ，b = 1 cm ，c= 1 cm ，求d ；
（2）若a = 12 cm ，c = 3cm ，d=15 cm ，求b ；
（3）若a = 5 cm ，b = 4 cm ，d=8 cm ，求c ．
例4 等比性质：证明 如果
n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b
a ． 2. 黄金分割比
问题情境引入：古希腊数学家.天文学家欧多克塞斯(Eudoxus ，约公元前400—前347)提出一个问题：能否将一条线段AB 分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC 的比等于线段AC 与原线段AB 的比？
即使得CB AC =
.阅读课本66页 ，通过阅读提高学生学习的兴趣，感受“黄金分割比”的生活艺术效果.
【知识梳理】
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
1.本节课重点有掌握的知识是什么？
2. 在学习的过程中你的困惑是什么？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？
（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）
【当堂检测】
1.若m是
2.
3.8的第四比例项，则m＝；
2．若x是a.b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝；
若线段x是线段a.b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝；
3. 把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长度为（）
4.人的正常体温是36°C～37°C，对大多数人来说，体温最舒适的温度是
22～23°C，你能解释吗？
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
比例线段 知识要点 本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念. 在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比. ①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. ②比例线段中的相关概念 已知四条线段a、b、c、d，如果＝(a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项. 如果作为比例内项是两条相同的线段，即＝(a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 如果m n n p ，比例外项是；比例内项是；比例中项是。 ①比例基本性质：＝ad＝bc(bd≠0) ＝b2＝ac(bc≠0)②合比性质：＝＝
③等比性质：若＝＝……＝(b+d+…+n≠0) 则＝ 4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点. 1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。 2.画出黄金分割图，并用表达式表示。 典型例题 例1已知3∶x＝8∶y，求 例2已知＝，求. 例3若＝，求
例4已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值. 练习 一、填空题 1.若4x=5y,则x∶y＝ . 2.若＝＝，则∶ ＝ . 3.已知＝，则的值为 . 4.已知＝，那么＝ . 5.若＝＝＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ . 6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ . 7.若＝，那么＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ cm. 10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm； a、c的比例中项x＝ cm. 二、选择题 1.已知x＝＝＝，则x的值是( )
湘教版九年级上册数学导学案 3.1.2 成比例线段 【学习目标】 【知识与技能】1.掌握比例线段的概念及其性质. 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法. 【教学重点】能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题. 【预习导学】 预习教材P64—P66的内容，完成下列问题. ； 2. 比例基本性质的相关结论. 【探究展示】 1.比例线段 如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）△ABC 和△ ，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB ，BC ，AC ，A ’B ’，B ’C ’，A ’C ’ 的长度，并计算AB 与A ’B ’，BC 与B ’C ’，AC 与A ’C ’ 的长度的比值. （方法与过程：首先学生动手量出所要求线段的长度，再求出其比值，进行对比比较） 方法总结：通过操作，计算比较，得出： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. ==''，或 k AB kA B ::=''=''，或 AB A B m n A B n
c d =线段d 叫做a .b .c . 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的 .. BC B C ==''''''''B ,B C ,A C 对例3 已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度分别为0.8 cm ， 2 cm ， 1.2 cm ， 3 cm ， 问a ，b ，c ，d 是比例线段吗？ （方法与过程：学生自主 学习，然后分组展示.质疑.点评） 对应练习： 1. 已知四个数a,b,c,d 成比例. （1）若a = 0.8 cm ，b = 1 cm ，c= 1 cm ，求d ； （2）若a = 12 cm ，c = 3cm ，d=15 cm ，求b ； （3）若a = 5 cm ，b = 4 cm ，d=8 cm ，求c ． 例4 等比性质：证明 如果 n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a ． 2. 黄金分割比 问题情境引入：古希腊数学家.天文学家欧多克塞斯(Eudoxus ，约公元前400—前347)提出一个问题：能否将一条线段AB 分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC 的比等于线段AC 与原线段AB 的比？ 即使得CB AC = .阅读课本66页 ，通过阅读提高学生学习的兴趣，感受“黄金分割比”的生活艺术效果.
23.1 成比例线段 第1课时 教学目标 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比； 2.理解成比例线段的概念； 3.掌握成比例线段的判定方法. 教学重难点 【教学重点】 线段的比的概念，成比例线段的概念，会计算两条线段的比. 【教学难点】 成比例线段的判定方法. 课前准备 无 教学过程 一、情景导入 请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同. 二、合作探究 探究点一：线段的比 【类型一】求线段的比 已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比. 解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一.
解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ， ∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【类型二】 比例尺 在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m. 解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离 ”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500. 方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段 【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.3cm ，4cm ，5cm ，6cm B.4cm ，8cm ，3cm ，5cm C.5cm ，15cm ，2cm ，6cm D.8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四 条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615 .故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm. （1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度； （2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度. 解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得 a b ＝c d ，即38＝6d ，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ； （2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得 b a ＝ c d ，即83＝6d ，解得d ＝94 . 故线段d 的长度为94 cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长. 已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三
1成比例线段 知识点一：1.线段的比的定义 2.成比例线段。 例1：如果,,,a b c d 成比例，且4,8,12a b c ===，则d = 例2：有两组线段，每组线段有4条，判断他们是否成比例线段 (1)16,8,5,10a cm b cm c cm d cm ====(2)8,0.05,0.6,10a cm b m c dm d cm ==== 练习： 1、 如果（x-y ）:y=1:2,那么x:y=; 若3x-4y=0,则 y y x +的值是，（x+y ）：（x-y ）的值为 2、 已知直角三角形的三边分别为a ，a+b ，a+2b ，其中a>0，b<0，则a 与b 的比为（ ） A 1：3 B 1：4 C 2：1 D 3：1 3、已知线段4,16a b ==，线段c 是,a b 的比例中项，那么c = A 、10 B 、8 C 、8- D 、8± 知识点二：黄金分割 1、在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和，如果 AC BC AB AC = ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 其中： 1 2 AC AB = 例1：若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列说法正确的有 ①AB AC = ②AC AB = ③::AB AC AC BC =④0.618AC AB ≈ 变式：已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且1AB cm =，则AC 的长为 例2、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，其底和腰之比等于黄金比，如图，在⊿ABC 中，AB=AC=2,∠A=36°，BD 平分∠ABC,交AC 于D ， 说明（1）⊿BDC 是黄金三角形 （2）点D 是线段AC 的黄金分割点 【变式】如果一个矩形ABCD 中， 2 1 5-=CB AB ,那么这个矩形称为黄金矩形，在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE, 试说明矩形ABFE 是黄金矩形
初三数学成比例线段知识讲解 初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念，它涉及到数学中的比例和比例的性质。在初三数学学习过程中，我们会学习到成比例线段的定义、性质以及相关的应用。 成比例线段是指两个线段之间的比例关系保持不变。具体来说，如果两个线段AB和CD之间的比例关系为AB:CD=a:b，那么我们可以说这两个线段成比例。其中，a和b为常数，且不为零。 成比例线段的定义使我们能够在解决实际问题时，通过已知条件推导出未知条件。例如，如果我们知道一个三角形的两个边长成比例，我们就可以根据这个比例关系求解出第三条边的长度。 成比例线段的性质包括：(1) 如果两个线段成比例，那么它们的倒数也成比例；(2) 如果两个线段成比例，那么它们的和与差也成比例； (3) 如果两个线段成比例，那么它们的平方也成比例。 利用这些性质，我们可以解决许多与成比例线段有关的问题。例如，如果我们知道一个四边形的对角线成比例，我们就可以通过这个比例关系求解出其他线段的长度。 在实际应用中，成比例线段有着广泛的应用。在几何学中，成比例线段的概念是建立在相似三角形的基础上的。相似三角形的边长成比例，而成比例线段的性质可以推导出相似三角形的性质。因此，
成比例线段在解决相似三角形问题时起着重要的作用。 成比例线段还在比例的运用中起着重要的作用。在比例的运用中，我们经常需要根据已知条件求解未知条件。而成比例线段的性质使得我们能够通过已知比例关系推导出未知比例关系，从而解决问题。 初三数学中的成比例线段知识是一个重要的基础概念。通过学习成比例线段的定义、性质和应用，我们可以在解决实际问题时运用这些知识，提高数学解题的能力。同时，成比例线段的概念也为后续的几何学和比例的运用奠定了基础。因此，我们应该认真学习和掌握成比例线段知识，为数学学习打下坚实的基础。
《成比例线段》教学设计 一、教学目标： 1、知识目标：借助几何直观了解线段的比、比例线段的概念，会辨认比例式中的“项”，会判断已知线段是否成比例。掌握比例的基本性质及其简单应用。 2、数学思考与问题解决能力：通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养学生数学应用意识，体会数学与自然、社会的紧密联系；培养学生的观察、归纳、探索和主动获取知识的能力，体会类比、数形结合的思想。 3、情感、态度与价值观：在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神；在解决问题中接受挑战、战胜困难，增强学习数学的兴趣；通过观察、欣赏，进一步体验生活中处处有数学，生活离不开数学,同时感受数学之美。 二、教学重点：线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质及应用。 教学难点：概念的理解及基本性质的应用。 三、教法与学法： 教学中应贯彻落实数学课程标准，建立新的数学教学理念，实施课程教学的民主化，促进开放式教学的深入研究。要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重知识的发生、发展过程。教师要给学生提供探究和交流的空间，紧紧抓住“数学思维活动的过程”这条主线，鼓励学生大胆联想、主动探索并获取知识，将面向全体、因生施教落到实处，培养学生的创新精神和实践能力。本节课我选用的是自学辅导教学法和引导发现教学法相结合的手段，充分运用课件的演示、操作、观察、激发学生学习兴趣，引发思维碰撞；自学辅导法，让每个学生都动手、动口、动脑积极思维，进行“创造性”的学习，培养应用意识发展数学能力。 学习数学的过程不只是计算的过程，还要能够在推理、思考的过程中学会合作和交流，在本节课的教学中，安排了学生用观察、猜想、自主探究、合作交流等学法，让学生及时反馈获得的数学信息，实现信息共享，提高学生对比、分析概括归纳的能力。 四、评价设计：
成比例线段的八种形式 成比例线段是指两个线段的比值相等。在几何学中，成比例线段有 八种形式，分别是： 1. 相等线段：当两个线段的长度相等时，它们是成比例线段的一种 形式。例如，AB和CD两个线段的长度相等，即AB = CD。 2. 同向线段：当两个线段的方向相同，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的方向相同，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。 3. 反向线段：当两个线段的方向相反，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的方向相反，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。 4. 互补线段：当两个线段的长度之和为常数，并且它们的长度之比 相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的 长度之和为常数m，且它们的长度之比为k，即AB/(m-AB) = CD/(m-CD) = k。 5. 互逆线段：当两个线段的长度之积为常数，并且它们的长度之比 相等时，它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的 长度之积为常数n，且它们的长度之比为k，即AB/CD = n/k。 6. 平方线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方之比时，它们 是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方之比为k^2，即AB^2/CD^2 = k^2。
7. 立方线段：当两个线段的长度之比等于它们的立方之比时，它们 是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的立方之比为k^3，即AB^3/CD^3 = k^3。 8. 平方根线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方根之比时， 它们是成比例线段的一种形式。例如，AB和CD两个线段的长度之比 为k，且它们的平方根之比为√k，即√(AB/CD) = √k。 这八种形式的成比例线段在几何学中具有重要的应用价值，可以用 于解决各种与线段长度相关的问题。在实际生活中，成比例线段的概 念也常常被应用于比例关系的计算和测量中，例如在地图的比例尺中，可以根据两个线段的长度比例来确定实际距离的大小。因此，了解和 掌握成比例线段的八种形式对于几何学的学习和实际应用都具有重要 意义。
线段成比例的定义 线段成比例的定义 在数学中，线段成比例是一个重要的概念，其具有广泛的应用。本文将介绍线段成比例的定义，性质以及使用方法。 一、线段成比例的定义 两个线段a，b和两个正实数m、n，若放在同一直线上，使得$\frac {a}{b}=\frac{m}{n}$，那么线段a和线段b就成比例关系，且m和n为这个比例关系的比例因子。也可以表示成$\frac {a}{b}：\frac {m}{n}$或 $\frac {a}{m}=\frac {b}{n}$。 例如，若线段AB=4、BC=3，且CD=6，则线段AB、BC、CD成比例，其中AB与BC的比例因子为4：3，BC与CD的比例因子为3：6。 二、线段成比例的性质 1.线段成比例必须在同一直线上。 2.对于线段成比例中的比例因子m、n，它们必须是正实数。 3.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例与线段AB、BC、CD的比例相同，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{CD}$。
4.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例因子为$\frac {AB}{BC}*\frac {CD}{BC}=\frac {AD}{BC}$。 三、线段成比例的使用方法 1.判断是否成比例：通常先判断三个线段是否都在同一直线上，如果在同一直线上，再判断比例因子是否为正实数，如果都满足，则三个线段成比例。 2.求比例因子：如果知道三个线段成比例，可以通过求得其中两个线段的比例关系来求出第三个线段的长度。 3.求比例部分长度：可以利用线段成比例的性质来求解，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{CD}$。 四、线段成比例的应用 线段成比例的应用非常广泛，包括测量和求解各种几何问题等。 1.测量：在线段成比例的情况下，可以通过已知线段的长度来计算未知线段的长度。 2.几何问题：在线段成比例的情况下，可以求解各种几何问题，比如求解直角三角形的斜边长、求解两个垂直平分线的交点等。 总结：
4．1 成比例线段4．1．1 线段的比，成比例的线段 学习目的： 1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念 2、会计算两条线段的比。 3、掌握成比例线段的判定方法。重点：线段的比与成比例线段的概念。 教学过程： 一、自主预习 （一）阅读课本 ，思考并回答下列问题： 1、一般地，如果选用 量得两条线段AB ，CD 的长度分别为m,n ，那么这 两条线段的比就是他们长度的比，即AB ∶CD= m:n,或写成 ,n m CD AB =其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么CD k AB k CD AB ∙==或,。 （1）在比或∶中，是 ，是 。 ⑵两条线段的 要统一 。 ⑶在同一单位下线段长度的比与选用的 无关。 ⑷线段的比是一个没有 的数。 （二）比例尺 1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。 2、比例尺为1：50000，意思为： 。 （三）成比例线段的概念 1、一般地，在四条线段中，如果 等于 的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明） 2、四条线段成比例，记作：其中a,d 叫比例外项，b,c 叫比例内项。 3、四条线段a,b,c,d 成比例，有顺序关系。即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：a:b=c:d ；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：a:b=d:c 4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？ 三、例题解析： 例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。 例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。 求⑴BC AB ，⑵AB AC 四、巩固练习 1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？ 2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？ 3、已知线段a,d,b,c 是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d 的长。 五、小结：这节课我学到了
23.1.1成比例线段 学习目标： 1、掌握成比例线段的概念及其性质； 2、会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 学习重难点： 重点：线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质； 难点：探索比例的性质。 一、激趣定标，自主学习： 1、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a =（或a ∶b ＝c ∶ d ），那么，这四条线段叫做 ，简称比例线段，也称这四条线段成比例．（注意，a 、b 、 c 、 d 必须按顺序写出）。特别的，若c b b a =，则称b 为a 、 c 的比例中项。 2、比例的基本性质： （1）如果d c b a =，那么 ． （2）如果a d ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么 ． 也可以写成○ 1 ，○ 2 ，○ 3 。 3、判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝4cm ，b ＝2cm ，c ＝1cm ，d ＝3cm ． 二、合作交流，深入探究： 1、若两地的实际距离为200km ，那么这两地在比例尺为1:2000 000的地图上的距离是多少？ 2、已知：d c b a =，求证：（1）b b a +=d d c +；（2）b a a -=d c c -（a ≠b ）
三、反馈检测，拓展提高： 1、下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4cm,2cm,1cm,3cm B. 1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm C. 2.5cm,3.5cm,4.5cm,5.5cm D. 1cm,2cm,4cm,20mm 2、已知x:y=2:3，则下列各式不成立的是（ ） A. 35=+y y x B. 3 1=-y x y C. 312=y x D. 4 311=++y x 3、已知a:b:c=2:3:4,求 b c b a -+2 4、已知 118x y x +=，求x y 5、已知 23=b a ，那么b b a +、b a a -各等于多少？ 6、已知 352=-b b a ，求b b a +的值。
北师大版九年级上册1成比例线段第四章：成比例线段教学 设计 一、教学背景 针对应用题，学生往往会找到一些比例关系，但是对于成比例线段的理解较为 模糊，因此需要对成比例线段进行系统的教学。本节课作为第四章，是对正式学习成比例线段的教学内容，有利于为进一步学习成比例图和相似三角形打下坚实基础。 二、教学目标 1.掌握成比例线段的基础概念。 2.理解成比例线段的性质及应用。 3.能够解决简单的成比例线段应用题。 三、教学重点 1.成比例线段的定义和性质。 2.应用成比例线段解决实际问题。 四、教学难点 1.运用已知比例关系判断成比例线段。 2.解决实际问题中不确定比例关系的选取。 五、教学方法 1.归纳法、演绎法相结合。 2.经验法。 3.体验法。 4.问题解决法。 5.课堂讨论法。
1. 导入 1.通过赛车主题视频引入，游览一下汽车比例，引出比例的概念。 2.利用“男女身高比例，找寻其他生活中的比例关系”的问题引导学生 思考比例关系的应用。 2. 新课讲解 1.定义和性质： –成比例线段的定义：同一直线上的任意两个线段长度之比相等，则这两个线段互为成比例线段。 –成比例线段的性质：若两组成比例线段分别有两个相等的线段，则这两组成比例线段相等。 2.运用成比例线段解决实际问题： –通过案例让学生感受成比例线段在实际生活中的应用。 3. 练习 1.针对成比例线段的比例关系，让学生练习选出正确的比例关系。 2.列举一些典型的应用题，带领学生掌握成比例线段的解决方法。 4. 总结与归纳 总结成比例线段的概念和性质，以及应用成比例线段解决实际问题的方法。 5. 课后拓展 1.钻研成比例线段的不同应用场景。 2.搜集实际问题，练习运用成比例线段。
第四章 图形的相似 成比例线段 第1课时 线段的比和成比例线段 学习目标： 1、了解两线段的比的概念，并会计算两线段的比. 2、了解成比例线段的意义，并会判断四条线段是否成比例. 学习重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算 学习难点：会判断四个数或四条线段成比例 【预习案】 一、链接 1、一般地，如果选用同一长度单位去度量两条线段的 分别为a,b,那么 叫作这两条线段的比. 2、归纳： (1)计算两条线段的比时，必须选用同一长度单位，即单位要统一； (2)两线段的比的最后结果应约分、化简； (3)两条线段的比是一个没有单位的正数。 二、导读 1、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2归纳： 成比例的条件：在判断四条线段是否成比例线段时，只要把四条线段的长度化为同一单位，然后按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二、第三和第四条线段的比，如果相等，那么这四条线段就是成比例线段，否则就不是成比例线段。 【探究案】 1、线段a ＝15厘米，b ＝20厘米，c ＝75毫米，d ＝米，求: a b 与b c ，这四条线段会成比例吗? 2、延长线段AB 到点C ，使BC=AB,求（1）AC ：AB （2）AB ：BC （3）BC ：AC .
【训练案】 1、判断下列四条线段是否成比例. 2；（2） a=2，b=3, c=2，d=3； （1）a=2，b=5d=3 （3）a=4，b=6, c=5，d=10；（4）a=12，b=8, c=15，d=10. 2、在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，则甲、乙两地的实际距离为
成比例线段 教学目标： 要求学生掌握线段的比、成比例线段等基本概念，掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质或进行简单的变形；会判断已知线段是否成比例。 教学重难点： 重点：线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质。 难点：能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质。 一、导入 相关知识链接：线段与比例的概念。 试一试 由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC ' '之间有关系_______________． 图24.2.1 1、两条线段的比 在同一单位下两条线段长度的比，叫做这两条线段的比。 自主探索：两条线段的比有什么特点？ 结论：1）线段的比是一个无单位的数。2）线段的比值是一个正数。3）两条线段长度单位不同时，要先统一单位。4）只要两条线段单位一样，线段的比与所采用的单位无关。 2、成比例线段 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 d c b a =（或a ∶b ＝ c ∶ d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，也称这四条线段成比例． 3、比例的项： 已知线段， a,b,c,d 满足 d c b a =则a,b,c,d 叫做组成比例的项，线段a,d 叫做比例外项，线段b, c 叫做比例内项，线段 d 叫做a,b,c 的第四比例项。 4、比例中项： 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =那么，线段b 叫做线段a 和线段 c 的比例中项。 三、应用迁移，巩固提高 例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．
成比例线段 教学目标 1.掌握比例线段的相关概念与比例的性质。 2.掌握比例线段的有关定理。 知识回顾 知识点1 有关相似形的概念 (1) 图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的 ，这两个多边形叫做相似多边形．相 似多边形对应边长度的比叫做 (相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）两条线段的比 注：在求线段比时，线段单位 。 （2）比例线段 ．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割： 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： （2）合、分比性质． （3）等比性质： 注： ①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是 有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+- f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其 它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DE ∥BC 可得： 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比. E A B C D
导学案（2） 编制人：黄登君 第23章 第2课时 成比例线段（2） 1. 合比的性质：如果 d c b a =，那么b b a ±= ． 2. 等比性质：如果()0≠+++===n d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ ． 知识点一：合比的性质 例1、已知43=n m ，则n n m -= ，n n m 2+= ，n m m += ． 知识点二：等比的性质 例2、若 31===f e d c b a ，则f d b e c a ++++= ，f d b e c a +-+-= ，f d b e c a 3232+-+-= ． 例3、已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，且cm c b a 120=++，且 5 43c b a ==，求a 、b 、c 的值． 1、已知一个三角形的三边长分别为cm a 4=，cm b 6=，cm c 8=，设这三边上的高分别为a h 、b h 、c h ，则c b a h h h ::= ．
2、已知实数a 、b 、c 满足 b c c a a b k a b c +++===，求k 的值，并判断函数3y kx =-的图象一定经过哪些象限？ 1. 已知 23=b a ，那么b b a += ，b a a -= ． 2. 已知3 1323=+-b a b a ，则a b 的值为 ． 3. 已知345c b a ==，则=+--+c b a c b a 32 ． 4. 若52,31==z y y x ，则z y x +-++z y x = ． 5. 已知 )0(≠±=d b d c b a ，求证：d b d b c a c a -+=-+． 6. 已知345x y z ==，求代数式 236324x y z x y z -+-+的值．
第九章图形的相似 1．成比例线段（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 难点处理： 比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。 二、教学任务分析 教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 教学目标： （一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
成比例线段 教学目标： 知识与技能： 1、掌握比例线段的概念及其性质. 2、会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例. 3、掌握黄金分割的概念及黄金数. 过程与方法 能够灵活运用比例线段的性质结合其他与比相关的知识去解决问题 情感态度与价值观 进一步发展从数学的角度提出问题，分析和解决问题的能力，体会数学与自然、社会的密切联系. 教学重点： 线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质. 教学难点： 比例性质的基本应用 教学流程： 一、复习回顾，引入新课 1、如何确定四个数成比例？ 2、数的比例式有什么基本性质？ 二、合作探究 探究一：成比例线段 1、做一做
（1）○ 1已知四条线段，AB ＝6cm,BC ＝ 12cm , ''B A ＝ 4cm, ''C B ＝ 8cm ○2计算：''B A AB ＝ , C B B C '＝ . ○ 3显然，AB 、BC 、''B A 、''C B 不相等，那么它们之间有什么关系呢？ 学生通过交流，得出结论： ' 'B A AB ＝C B BC '. 2、结论 线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB 、CD 的长度，它们的长度比就是这两条线段的比. 成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度比等于另两条线段的比，如b a ＝d c （或a ：b ＝c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此外也称这四条线段成比例. 3、议一议 （1）如果在测量时，AB 的长度单位采用厘米，而''B A 的长度单位采用分米，那么他们的比有没有变化？ （2）两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 4、知识运用 例1.判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1） a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2） a ＝2，b ＝5，c ＝215，d ＝53. 解：（1）∵b a ＝64＝32，d c ＝105＝2 1 ∴b a ≠d c
比例线段（基础） 知识讲解 责编：常春芳 【学习目标】 1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质； 2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 3、会运用比例线段解决简单的实际问题； 4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形 在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释： (1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释： 相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 要点二、比例线段 1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b 或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d ==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质 如果a c b d =，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么 a c b d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果++==.a c a b c d b d b d ，那么（,b d ≠0）
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识 比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简 3.4.黄5. 例3.(1)已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 2 5 3-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？
(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形。请你设法作出一个黄金矩形. Ⅲ同步测试 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm 3.4.5.6.7.是8.9.= ，= ，= . 15.若43 ===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a . 16.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= . 17.若322=-y y x , 则_____=y x . 18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 . 19.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , A C D B E