成比例线段（2）
教学目标
1.（理解）能熟记比例的基本性质．
2.（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
教学重点 比例的基本性质及其应用.
教学过程
活动1：知识回顾：
上节课学习了两条线段的比，成比例线段 （1）比例线段及其相关概念
“成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段.
（2） “成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
（3）如图，2AB BC CD AD HE EF FG HG
====, HG FG EF HE AD
CD BC AB ++++++的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
活动2：合作交流：
（1） 合比性质:如果
d c b a =，那么a b b += 请写出推理过程：
∵d c b a =，在两边同时加上1得，a b +=c d
+ .
两边分别通分得：a b c d b d
++= 思考：请仿照上面的方法，证明“如果
d c b a =，那么d d c b b a -=-”． （2） 等比性质： 猜想n
m f e d c b a =???===（0≠+???+++n f d b ），与n f d b m e c a +???++++???+++相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果n m d c b a =???==（0≠+???++n d b ），那么n d b m c a +???+++???++＝b a ． 思考：等比性质中，为什么要0≠+???++n d b 这个条件？
活动3：小试牛刀：
例：
解： 3∵
,4
3∴4
∴（4)3()4即()3
又∵△的周长为18，即1844∴DE+EF+FD=()182433
即，△的周长为24
AB BC CA DE EF FD AB BC CA AB DE EF FD DE AB BC CA DE EF FD DE EF FD AB BC CA ABC cm AB BC CA cm
AB BC CA DEF ===++=++++=++++=++++=++=?= 活动4：沙场练兵
1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为
2.5米，那么，该建筑的高是多少米？
2．若:2(4):4x x =-则x =
3．若2x =0234x y z ==≠，则2x y z x
--= 【答案】1.30
2.-4
3在与中，若
,且的周长为18cm ，4
求的周长.
AB BC CA ABC DEF ABC DE EF FD DEF ??===??
3.-54
活动5：知识小结：
1. 合比性质：如果d c b a =，那么a b c d b d
++=； 2.等比性质：如果n
m d
c b a =???==（0≠+???++n
d b ）， 活动6：布置作业：
课本习题.
正比例 教学目标： 1、结合教材中的具体情境和生活实例认识正比例。 2、根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 3、利用正比例解决一些简单的生活问题上，感受正比例关系在生活中的广泛应用。 教学重点： 正确理解正比例的意义。 教学难点： 能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 教学用具： 教学过程： 活动一：在情境中感受两种相关联的量之间的变化规律。 （一）情境一： 1、观察图，分别把正方形的周长与边长，面积与边长的变化情况填入表格中。请根据你的观察，把数据填在表中。 2、填完表以后思考：正方形的周长与边长，面积与边长的变化是否有关系？它们的变化分别有怎样的规律？规律相同吗？ 说说从数据中发现了什么？ 3、小结：正方形的周长和面积都随边长的增加而增加，在变化过程中，正方形的周长与边长的比值一定都是4。正方形的面积一边长的比是边长，是一个不确定的值。 说说你发现的规律。
（二）情境二： 1、一种汽车行驶的速度为90千米/小时。汽车行驶的时间和路程如下： 2、请把下表填写完整。 3、从表中你发现了什么规律？ 说说你发现的规律：路程与时间的比值（速度）相同。 （三）情境三： 1、一些人买一种苹果，购买苹果的质量和应付的钱数如下。 2、把表填写完整。 3、从表中发现了什么规律？ 应付的钱数与质量的比值（也就是单价）相同。 4、说说以上两个例子有什么共同的特点。 小结：路程随时间的变化而变化，在变化过程中路程与时间的比值相同；应付的钱数随购买苹果的质量的变化而变化，在变化过程中应付的钱数与质量的比值相同。 5、正比例关系： （1）时间增加，所走的路程也相应增加，而且路程与时间的比值（速度）相同。那么我们说路程和时间成正比例。 （2）购买苹果应付的钱数与质量有什么关系？ 6、观察思考成正比例的量有什么特征？ 一个量随另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值相同。 （四）想一想： 1、正方形的周长与边长成正比例吗？面积与边长呢？为什么？ 师小结： （1）正方形的周长随边长的变化而变化，并且周长与边长的比值都是4，所以正方形的周长
《成比例线段》教案 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教学过程 一、复习引入
1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b ＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线 段的比.记为a：b或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为A B:CD. 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b
正比例。(教材第41~43页) 1.结合丰富的实例认识正比例。能根据正比例的含义,判断两个相关联的量是不是成正比例。 2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,发现成正比例的量的特征,并尝试概括出正比例的含义。提高分析比较、归纳概括、判断推理的能力,同时渗透初步的函数思想。 3.在参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。 重点:能初步运用正比例的意义判断两个相关联的量是否成正比例。 难点:通过实例认识成正比例的量,掌握成正比例的量的变化规律及其特征。 课件、弹簧秤、钩码。 教师做实验,向弹簧秤上加钩码。 (1)这其中有哪两种变化的量? (2)弹簧的长度为什么会发生变化? 师:弹簧的长度是随着钩码数量的变化而变化的,像这样的两种量叫作相关联的量。 追问:现在知道什么叫作相关联的量了吗?你能举例说明吗?两种相关联的量还有什么特殊的关系呢?今天我们就一起来研究一下。 1.学习成正比例的量。 根据正方形的周长与边长、面积与边长之间的变化情况,把表格填完整,并根据问题
观察表中填好的数据,思考应该怎样解答? 学生填表,相互交流、讨论。 师:表中有哪两种量? 生1:周长和边长。 生2:面积和边长。 师:你发现它们是怎样变化的? 生1:正方形的周长随着边长的增加而增加。 生2:正方形的面积也是随着边长的增加而增加。 生1:周长总是边长的4倍,而面积与边长的商在发生变化。 生2:=4,=4,周长与边长的比值不变。 生3:=1,=2,面积与边长的比值不相等。 生4:可用=4表示,也就是说在变化过程中,周长与边长的比值是一个定值4,是不 变的。 师:周长和边长、面积和边长之间的变化规律相同吗?什么不变? 生:在变化过程中,正方形的周长总是边长的4倍,也就是说比值一定;而正方形的面积与边长的比值不同,与正方形的周长与边长的变化规律不同。 小组讨论交流汇报。 【设计意图:通过观察、比较、讨论使学生进一步感知两种变化的量的关系,为认识正比例的意义奠定基础】 2.课件出示教材第41页第二个问题及表格。 师:你能把表格填写完整吗? 学生独立完成。 师:说一说你是根据什么来填的?(小组交流) 生:路程÷时间=90。 师:观察路程与时间这两种量,你发现了什么规律? (小组讨论、交流) 生1:路程随着时间的变化而变化。 生2:路程÷时间=90(一定),即路程与时间的比值(也就是速度)一定。 师:从上面两个例题中,你发现它们有什么共同特征? 生:它们都是两个相关联的量,一个量随着另一个量的变化而变化。 师:好!像路程和时间这两个量,时间变化,所行驶的路程也随着变化,且路程与时间的比值(速度)一定,我们就可以说路程和时间成正比例。(板书:正比例) 师:第一个问题中,正方形的周长与边长成正比例吗?
解答第2题图 P N M F E D C B A 三、解答题： 1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交 DF 于K ，求KF DK 的值。 2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ， 交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。求证：PN PF PM PE ?=?。 答案： 一、填空题： 1、 3 2 ，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题： 1、 3 1； 2、证明PM PN PF PE =即可； 课后作业 一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。 2． 已知x y 52=，则y x :=______________。 3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则 =+-++z y x z y x 2 。 5． =++===++222,7 53,10z y x z y x z y x 则且 若 。 6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680 ，AM ：MB ＝1： 2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。 7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则 EC= 。 8． 若 ==+y x y y x 则,38 。
9、若 ()0753≠==a c b a ，则 a c b a ++=_________ 二、选择题： 1．如果 32=b a ，则 b b a +等于（ ） （A ）l 31 （B ）2 1 （C ）53 （D ）35 2．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ） (A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c 3．已知 32==d c b a ，且d b ≠，则 d b c a --=（ ） （A ）32 （B ）5 2 （C ）53 （D ）51 4．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果2 3 =DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ） （A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）6 5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=2 1 6．已知 07 54≠==z y x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ） 43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）16 7 =++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。 (A)1∶3∶5 (B)1∶2∶2 (C)1∶2∶3 (D)1∶3∶2 8．若3 2 =y x ，则 ()=+--+y x y x y x y x : （A ） 25∶1 (B) 1∶25 (C)27:8 (D)3:2 三、解答题： 1． 已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE 和 B H G E D C A F
《比例线段》教案 教学目标 1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念． 2、了解比例线段的相关概念及性质． 3、理解黄金分割的相关概念． 教学重难点 比例线段的性质及其应用． 教学过程 知识点点拨 相似多边形： 从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形.从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数． 比例线段： 1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a m b n =. 2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段.例如线段a 、b 、c 、d ，如果 a c b d =，则称线段a 、b 、 c 、 d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成 b c a d =或a d b c =. 3、比例外项、比例内项、比例中项： 若 a c b d =，则称a 、d 为比例外项，b 、 c 为比例内项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项. 比例性质： 1、基本性质：如果 a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b c =. 2、合比性质：如果a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=.
3、等比性质：如果a c m b d n ===…(0b d n +++≠…)，则a c m a c m b d n b d n +++====+++………，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠…的条件. 知识点4 黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AP 、PB (AP ＞PB )，如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点. 平行线截线： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例． 典型例题点拨 例1、已知34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c b _______，若a 是b 、 c 的比例中项，则=c b _________. 点拨：解此题要注意两点，1、比例条件的常规使用方法.2、比例中项的意义. 解答：∵3 4=b a ，可令4a x =，则3b x =，又∵b 是a 、c 的比例中项，∴224312b ac x x x ==?=，∴21223b x x =±=±，∴ 232333b x c x ==；若a 是b 、c 的比例中项，则2a bc =，即22(4)3a x b c x ===163x ，∴1616339 x b c x ==. 例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值. 点拨：注意到 3232a c e b d f -+-+分子分母中的各项系数是一致的，可联想到比例的等比性质. 解答：∵35a c e b d f ===，∴323325a c e b d f -===-，由等比性质可得323325 a c e b d f -+=-+. 例3、已知118 x y x +=，求x y . 点拨：本题考查比例的基本性质，易错点是由38x y =化成比例式时错成 38 x y =，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解.
比例线段同步练习 一、填空题 8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ， =+x y x 11、 543z y x ==，则=++x z y x ， =+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。 13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际 距离是 公里。 14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+c b a c b a 3532 二、选择题 15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ） A x a c b = B b c x a = C x c b a = D c a b x = 16、三线段a 、b 、 c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么 这三条线段的和与b 的比等于（ ） A 6:1 B 1:6 C 3:1 D 1:3
17、已知 d c b a =，则下列等式中不成立的是（ ） A. c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b a c b d a =++ 18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ） A. a=2cm b=5cm c=5cm d= B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm C. a=30mm b=2cm c=5 9 cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d= 19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 20、已知 53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3 8 =+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 三、解答题 22、已知 7532=b a ，求b a b a 3423+ 的值。 23、已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=10，求a,b,c 的值。
北师大版六年级下册第四单元+数学好玩教案 第四单元正比例与反比例 单元目标： 1.结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量，体会数学与生活的联系；在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系，知道列表或画图都是表示变量之间关系常用的方法。 2.结合丰富的实例，经历正比例、反比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例和反比例；能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例和反比例；能举出生活中成正比例和反比例量的实例。 3.初步了解正比例的图象是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象。 单元重点： 1.在具体情境中，能辨别变化的量，用自己的语言描述一个量随着另一个量变化而变化的情况。 2.能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例和反比例。 3.初步了解正比例的图象是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象，能根据图进行简单的分析。 单元难点：
1.在具体情境中，能辨别变化的量，用自己的语言描述一个量随着另一个量变化而变化的情况。 2.能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例和反比例。 3.初步了解正比例的图象是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象，能根据图进行简单的分析。 学情分析： 本单元是在学生已经学习了比和比例等知识的基础上进行学习的，主要学习正比例和反比例的相关知识。我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。我们知道，函数是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，函数思想就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，也不需要学生掌握“函数”和“函数思想”的名称，但进行函数思想的渗透的教学是必要的。本单元的正比例、反比例就是两个重要的函数关系。其实，在本单元学习之前，学生学习的探索数、形的变化规律，字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验。学习正比例和反比例后，学生可以运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析问题的数量关系，也可以使学生懂得一切事物都是不断变化且相互联系的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律，也可以为学生以后进一步学习数学、物理等知识奠定良好的基础。 单元课时：7课时
新修订初中阶段原创精品配套教材比例线段教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Proportional line 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育
比例线段 教学建议 知识结构 重难点分析 本节的重点是线段的比和的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系，从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形，这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用. 本节的难点是比例性质及应用，虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但由于内容比较简单，而且间隔时间较长，学生印象并不深刻，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，合分比性质以及等比性质学生又是初次接触，内容不但多，而且容易混淆，作题不知应用哪条性质，不知如何应用是常有的. 教法建议 1．生活中比例的例子比比皆是，在新课引入时最好从生活实例引入，可使学生感觉轻松自然，容易产生兴趣，增加
学生学习的主动性 2．小学时曾学过数的比及相关概念，学习时也可以复习引入，从数的比过渡到线段的比，渗透类比思想 3．这一节概念比较多，也比较容易混淆，教学中可设计不同层次的题组来进行巩固，特别是要举一些反例，同时要注意对相近概念的比较 4．黄金分割的内容要求学生理解，主要体现数学美，可由学生从生活中寻找实例，激发学生的兴趣和参与感5．比例性质由于变式多，理解和应用上容易出现错误，教学时可利用等式性质和分式性质来处理 教学设计示例1（第1课时） 一、教学目标 1．理解线段的比的概念． 2．通过与小学知识到比较，初步培养学生“类比”的数学思想． 3．通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力．4．通过“引言”及“例1”的教学，激发学生学习兴趣，对学生进行热爱爱国主义教育． 二、教学设计 先学后做，启发引导 三、重点及难点 1．教学重点两条线段比的概念．
l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A
第四单元：正比例与反比例 1、变化的量 学习目标： 1、结合具体目标，体会生活中存在着大量互相依存的变量。 2、在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。学习重点：结合具体目标，体会生活中存在着大量互相依存的变量。 学习难点：在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。 教学过程： 一、温故互查： 1、观察表中所反映的内容，搞清楚表中所涉及的量是哪两个量？ 2、上表中哪些量在发生变化？ 3、说一说妙想6周岁前的体重是如何随年龄增长而变化的？ 4、体重一直会随年龄的增长而变化吗？这说明了什么？ 教育学生要合理饮食，适当控制自己的体重。 二、合作交流： 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
观察书上统计图： 1、图中所反映的两个变化的量是哪两个？ 2、横轴表示什么？纵轴表示什么？ 同桌两人观察并思考，得出结论后，记录在书上，然后再在全班汇报说明。 3、一天中，骆驼的体温最高是多少？最低是多少？ 4、一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？ 5、第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？ 6、骆驼的体温有什么变化的规律吗？ 三、汇报点评： 1、学生讨论汇报。 2、教师归纳总结： 今天我们研究的两个量都是相关联的。它们之间在变化的时候都具有一定的关系。下一节课我们将深入研究具有相关联的两个量，在变化时有相同的变化特征，这样的知识在数学上的应用。 四、巩固练习：
完成课本40页第1--3题 五、拓展延伸： 你还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系？它们之间是怎样变化的？ 板书设计： 变化的量 （）随着（）变化而变化。 教学反思： 本课通过用表格、图像、关系式呈现变量之间的系，使学生体会生活中存在大量互相关联的变量；教学效果好。 2、正比例 正比例（一） 学习目标： 1、利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活 中的广泛应用。 2、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 3、结合丰富的事例，认识正比例。 学习重点：结合丰富的事例，认识正比例。 学习难点：能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
3.1 比例线段 第1课时 教学目标 c d =，那么ad=bc. 教学重难点 【教学重点】 掌握比例的基本性质及其推导过程． 【教学难点】 对比例的基本性质进行变形. 课前准备 无 教学过程 一.预习导学 对应练习：你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？ （1）1.4：35 4 = 4 :5 5 （2） 612 714 =
可以交换,等式仍然成立; 两个外项的位置也可以交换,等式仍然成立; 对应练习： 1. 已知四个数a,b,c,d 成比例. （1）若a=-3,b=9,c=2, 求d ； （2）若3,2,a b c =-==求d ； 2.比例基本性质的逆定理的教学 动脑筋：如果a d=bc ，那么a c b d =.（其中a ，b ，c ，d 为非零实数） （学生合作推导,总结得出） 设计意图：利用等式的基本性质，由条件到结论的证明方法体现了综合证明题的方法.锻炼了学生的逻辑思考能力，增强了学生的学习兴趣，达到了教学的效果. (二)展示提升 3.已知四个数a,b,c,d 成比例，即 a c b d = . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ()()()1;2;3.b d a b a b c d a c c d b d ++=== （过程方法：以学生自主学习为主，教师引导为辅的方法进行教学，先让学生讨论学习，然后可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神.老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.） 对应练习：25,3a b a b a a -+=已知求的值。 设计意图：通过练习加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握. 4.根据下列条件，求a:b 的值： ()() 145;2;78a b a b == (先让学生讨论学习，然后分组展示，老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.） 设计意图：通过练习与展示进一步加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握，以达到非常熟练的程度，并能融会贯通地应用. 对应练习：求下列各式中x 的值. ()()11314:15:9;2::;235 x x == 方法总结：通过分层练习，巩固对比例基本性质的掌握，体验比例基本性质的应用价值，促进所有学生都能在动静结合的学习过程中获得发展，使不同的学生获得不同程度的发展.同时渗透假设.验证.有序思考的解题策略和方法，体验解决问题方法的多样性和优化策略，感受“一 一对应“和”变与不变“的数学思想. 三.知识梳理 以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获. 1.我们是怎样:探究比例的基本性质的？
《成比例线段》教案教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a b= c d，那么这四条 线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离.教学过程 一、复习引入 1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢什么是比例线段 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线段的比.记为a：b或a b
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 三、模仿与应用 例题：已知线段a =10mm ，b =6cm ，c =2cm ，d =3cm.问：这四条线段是否成比例为什么 答：这四条线段成比例 ∵a =10mm=1cm ∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d b ，即线段a 、c 、d 、b 是成比例线段. 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
《正比例》教学反思 宁夏灵武市东塔学校孙军 【背景】： 本案例取材的课题是北师大版小学《数学》第十二册第19－21页的内容，正比例关系是数学中比较重要的一种数量关系，同时，学生理解正比例的意义往往比较困难。要求学生通过观察、比较、归纳、分析等活动，能自主发现成正比例的量的特征，并尝试概括正比例的意义，能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例，在主动参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。 【主题】： 新的《数学课程标准》十分强调数学与现实生活的联系，不仅要求教材必须密切联系学生生活实际，而且要求“数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发、创设有助于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳、类比等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，增强学生学好数学的信心。”使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学。体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力，让生活走进小学数学课堂。 数学“生活化”是从学生的生活经验和已有知识背景出发，为学生提供充分的从事数学活动和交流的时空，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学内容，同时用获得的活动经验来解决生活中
的实际问题。数学必须走出王宫，走向大众，走下金字塔，走进生活实际。数学“生活化”可以使抽象、枯燥的数学具体化、生活化，让学生感受到数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，在学生利用数学知识解决实际问题的过程中，还可以培养学生的实践能力和创新精神。 【案例描述】： 《正比例》这一课是在学生已经学习过比的意义、比的化简与比的应用，体会了生活中存在的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了基础。为此，我在教学中密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，让学生体会生活中存在大量相关联的量，它们之间的关系有着共同之处，从而引发学生的讨论和思考，并通过对具体问题的讨论，使学生认识成正比例的量以及正比例在生活中的广泛存在。这一系列情境也为学生理解“正比例”的意义提供了丰富的直观背景和具体案例。教学时从不同的角度（实际生活、图形）提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境，因此，我特别引导学生经历从具体生活情境中抽象概括出正比例的过程。 我抽取了本节课的三个教学片段进行分析。 教学片段一 在学生熟悉购买苹果引入。（设计意图：这样设计，是为了激发学生学习的兴趣，较好地唤醒学生已有的知识经验，找到新旧知识的结合点。同时也为了引导学生学会观察表格，发现内在的规律。） （教学效果与反思：从实际效果看，这样的学习材料来源于生活，学
成比例线段 一、学生知识状况分析 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。 二、教学任务分析 （一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。 （二）能力训练要求 通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 （三）情感与价值观要求 有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。 教学重点：理解线段比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。 教学方法：探索、发现法 教学准备：多媒体课件
三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。 第一环节 设置情境，引入新课 活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。 实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。 第二环节：新课讲解 活动内容： 请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（rat io ）AB:CD =m:n ,或写成n m CD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 n m 表示成比值k,那么k CD AB =,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形 ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。AB: A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
《正比例》教学设计 教学内容：北师大版六年级下册第19-21页 教学目标： 1、知识与技能 经历正比例意义的建构过程，通过具体问题认识成正比例的量，初步感受生活中存在很多成正比例的量，并能正确判断成正比例的量。 2、过程与方法 通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，发现正比例量的特征，并尝试抽象概括正比例的意义。提高分析比较、归纳概括、判断推理能力，同时渗透初步的函数思想。 3、情感态度与价值观 在主动参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。 教学重点：判断两个量是否成正比例关系 教学难点：找对判断两个量是否成正比例关系的条件 教学过程： 一、游戏导入 1、游戏 （1）游戏：石头、剪刀、布 游戏规则：同桌两名同学为一组，一边进行游戏，一边用笔记录自己赢的次数，赢一次加5分 （2）游戏停止，汇报玩的结果 学生汇报，算一算你可以得多少分？ 谁来说说你赢了几次。有赢2次的吗？3次的呢？有赢5次的吗？（电脑随机打入数据） 2、师生交流，初步感受 师：请大家仔细观察这张表，看看表中有哪两种量？这两种量是相关联的量吗？ 观察这两种量的变化，你从中发现什么规律了吗？（或问，观察表格，你有什么发现?） 引导：赢的次数越多，总得分越多；赢的次数越少，总得分越少。（而且，总得分和赢的次数的比值（也就是每赢一次的得分）相同） 二、构建新知
1、师：看来，像这样相关联的量在变化的时候有一定的规律，有兴趣继续研究吗？在我们的生活中，像这样相关联的量还有许多，老师为同学们的研究找了几组材料： （1）出示书第20页的例2 要求：a:把表填完整 b:思考：从表中你发现什么规律？ （师引导学生发现：路程与时间的比值（也就是速度）相同） （2）出示书第26 页的例3 要求：a:把表填完整 b:思考：从表中你发现什么规律？ （师引导学生发现：应付的钱数与质量的比值（也就是单价）相同） 2、反馈交流 3、小结：这两张表格的变化情况有什么相同点？ 一种量增加或（减少），另一种量也相应增加或（减少）， 它们相对应的两个数的比值一定 4、在比较中继续感受成正比例量的变化规律 （1）出示课本第19页例1的图，看图把表格完成。 （2）思考
九年级数学 平行线分线段成比例 一、教学目标 1．知识目标： 了解平行线分线段成比例定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 （1）什么叫比例线段？ 答：四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b =c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段. （2）比例的基本性质？ 答：如果 a ：b =c ：d ，那么ad =bc. 如果 ad =bc ，那么 a ：b =c ：d . 如果 a ：b =c ：d ，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d. 2.引入新课 做一做 在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1 ，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3. 图4-6 （1）计算 的值，你有什么发现？ （2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？ （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 12122323B B B B A A A A 与
3.分组讨论，得出结论 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.想一想 （一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ （二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门 成比例线段 ●教学目标 1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.. 2.知道成比例线段的定义. 3.熟记比例的性质并会应用. ●教学重点 会求两条线段的比. 成比例线段的定义. 比例的性质 ●教学难点 会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 比例的基本性质 ●教学方法 自主探索法 ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. ［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等 等. ［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们 就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不 同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从 线段的比开始学习. Ⅱ.新课讲解 1.两条线段的比的概念 ［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作b a ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小. ［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？ ［生］对. ［师］大家同意他的观点吗？ ［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. ［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？ ［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段 的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成 CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k ，或A B =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比.
北师大版六年级数学下册《正比例》教学设计 永宁县建成小学 杭继红 教学内容：北师大版六年级数学下册第四单元正比例（教材41－42页内容） 教学目标：1．结合丰富的事例，认识正比例。2．利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中的广泛应用。3．能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 教学重点：1、结合丰富的事例，认识正比例。2、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 教学难点：能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 教学准备：多媒体课件。 教学过程： 一、复习引入 2、李英一共要写100个字，请先填一填下面的表格，并说明哪两个量在发生变二、展示交流 活动一：在情境中感受两种相关联的量之间的变化规律。 （一）情境一： 1、下面是正方形的周长与边长，面积与边长之间的变化情况，把表填写完整。 2、 这两个变化的量是怎样变化的？ 3、思考：正方形的周长与边长，面积与边长的变化规律相同吗？ ①周长总是边长的4倍，而面积与边长的倍数关系不断变化。 ②表一中4:1=4 8:2=4 12:3=4，周长与边长的比值不变。 ③表二中1:1=1 4:2=2 9:3=3，面积与边长的比值不相等。 4、小结：正方形的周长和面积都随边长的增加而增加，在变化过程中，正方形的周长与边长的比值一定都是4。正方形的面积与边长的比值是边长，是一个不确定的值。 （二）情境二： 1、一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程和时间如下，把下表填写完(路程是随着时间的变化而变化的) 你从表中发现了什么？ 90:1=90 180:2=90 270:3=90 360:4=90