成比例线段
一、有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是
a ：
b ＝m ：n （或
n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d
c
b a =
4、比例外项：在比例d
c b a =
（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d
c b a =
（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =
（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为
a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和
c 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即
d
c
b a =（或a ：b=
c ：
d ）
，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
二、比例性质
1.基本性质: bc ad d c
b a =⇔= （两外项的积等于两内项积）
2.反比性质： c d a b d
c b a =
⇒= (把比的前项、后项交换)
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()a b
c d a c d c b d b a
d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项
4.合比性质：
d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）
．
5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果
)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ，那么
b a n f d b m e
c a =++++++++ ． 三：黄金分割
（1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC
BC
AB AC =
，即AC 2
=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄
金比。其中AB AC 2
1
5-=
≈0.618AB 。 （2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.
作法：①过点B 作BD ⊥AB ，使；②连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；
③在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为：
.（只要求记住）
（3）黄金三角形：顶角是360
的等腰三角形
矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。
四：平行线分线段成比例定理 （1）三角形一边的平行线性质定理
1.定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。 几何语言 ∵ △ADE 中BC ∥DE
∴
,
,
. 2.三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
3.三角形一边的平行线的判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 4.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（2）平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理：
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DE
BC EF AC DF AC DF
∴
===
.
2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.
用符号语言表示：AD BE CF
AB BC
DE DF
⎫
⇒=
⎬
=⎭
.
1．下列各组数中，成比例的是（）
A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4
C．3，5，9，12 D．2，3，6，12
解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
答案中，只有B中，3×（﹣8）=﹣6×4，故选B．
2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）
A． B． C． D．
解：∵x：（x+y）=3：5，
∴5x=3x+3y，2x=3y，∴x：y=3：2=，
故选：D．
3．由5a=6b（a≠0），可得比例式（）
A． B． C． D．
解；A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；
C、⇒6a=5b，故选项错误；
D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．
故选D．
4．下列线段中，能成比例的是（）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，3×18=6×9，故选D．
5．如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC 为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）
A．：2 B．1： C．： D．：2
解：连接AC，设AO=x，则BO=x，CO=x，故AC=AP=x，
∴线段AP与AB的比是：x：2x=：2．
故选：D．
6．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2 B．20000m2 C．4000000m2 D．40000m2
解：设实际面积是x，则=（）2，解得x=200 000 000cm2，
∵1m2=10000cm2，∴200 000 000cm2=20000m2．
故选B．
7．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．
其中正确比例式的个数有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵EF∥AB，∴=，=，即=，
∵DE∥BC，∴==，即=，==，
所以①②④正确，故题中正确的个数为3个．
故选B．
8．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）
A．= B．= C．= D．=
解：∵DE∥BC交GA于点E，
∴，，，A，B，D正确，
故选C．
9．如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
解：∵DE∥BC，∴=，
∵，AE=2cm，∴=，∴AC=6（cm），
故选C．
10．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）
A．= B．= C．= D．=
解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
11．已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）
A．B．C．D．
解：A、=，则5y=6x，故此选项错误；B、=，则5x=6y，故此选项正确；
C、=，则5y=6x，故此选项错误；
D、=，则xy=30，故此选项错误；
故选：B．
12．已知，则的值是（）
A． B． C．D．
解：由，得a=b，
==﹣，
故选：D．
13．比例尺为1：17000000的地图中，实际距离为340千米，则图上距离为（）
A．2分米 B．2厘米 C．2米 D．2000米
解：设图上距离为xcm，根据题意得1：1700000=x：34000000，解得x=2cm．
故选B．
14．若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（）
A．若=，则=B．若2x﹣5y=0，则=
C．若线段a：b=c：d，则D．若线段a：b=c：d，则=
解：A、若=，则=，=，=，=，题干的计算正确，不符合题意；
B、若2x﹣5y=0，则2x=5y，=，==，题干的计算正确，不符合题意；
C、若线段a：b=c：d，则=，，题干的计算正确，不符合题意；
D、若线段a：b=c：d，则=，题干的计算错误，符合题意．
故选：D．
15．在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（）平方米．
A．20平方米B．500平方米C．5000平方米D．500000平方米
解：∵比例尺是1：500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，
∴实际长为5÷=2500厘米=25米，宽为4÷=2000厘米=20米，
∴实际面积为25×20=500平方米，
故选B．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1
解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴，
∵O为对角线的交点，∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2；
故选：C．
17．如图，BD=CD，AE：DE=1：2，延长BE交AC于F，且AF=4cm，则AC的长为（）
A．24cm B．20cm C．12cm D．8cm
解：过D作DG∥BF交AC于G，则△AEF∽△ADG，
∵BD=CD，∴CG=GF，AF：FG=AE：ED=1：2，
∵AF=4cm，∴FG=2AF=8cm=CG，∴AC=AF+FG+CG=20cm．
故选B．
18．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=，那么等于（）
A． B． C． D．
解：∵DE∥AB，∴=，
∵AD为△ABC的角平分线，∴=；
故选：B．
19．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，==，求△ABC三边的长．
解：==，得a=c，b=c，
把a=c，b=c代入且a+b+c=36，得c+c+c=36，
解得c=15，a=c=9，b=c=12，
△ABC三边的长：a=9，b=12，c=15．
20．已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a，b，c的值．
解：设a=2k，b=3k，c=4k，
又∵2a+3b﹣2c=10，∴4k+9k﹣8k=10，
5k=10，解得k=2．∴a=4，b=6，c=8．
21．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，
∴a：b=30：60=1：2；
（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴=，
∵c=12dm=120cm，∴=，∴d=240cm；
（3）是，理由：
∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，
∴b是a和c的比例中项．
22．（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，
∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；
（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，
∴c2=ab=36，解得：c=±6，
又∵线段是正数，∴c=6cm．
23．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
解：设BE=x，
∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①．
∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，
∴==代入①，=+1，解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
24．如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=5，AC=5，求AE的长．
解：∵DE∥BC，∴，即=，∴AE=．
基础演练
1．已知，则的值是（）
A． B． C．1 D．
解：令=k，得：a=2k、b=3k、c=4k，===．
故选D．
2．把4：7的前项加上12，要使比值不变，后项应加上（）
A．12 B．21 C．28 D．32
解：设前项加12后，后项为x时比值不变，
∴=，∴4x=7×16，∴x=28，∴28﹣7=21．
故选B．
3．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）
A．2a=3b B．3a=2b C． D．
解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．
故选B．
4．若线段c满足=，且线段a=4 cm，b=9 cm，则线段c=（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
解：将a=4cm，b=9cm代入=，得c2=ab=4×9=36，
解得c=﹣6（不合题意，舍去）或c=6．
故选A．
5．已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）
A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6
解：∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，
∴=，∴x2=ab=4×9=36，∴x=±6，x=﹣6（舍去）．
故选B．
6．两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、B两地相距为40 cm，则A，B两地的实际距离是（）
A．800m B．8000m C．32250cm D．3225m
解：∵500m=50000cm，∴25：50000=1：2000．
∵在图上A、B两地相距为40 cm，∴40×2000=80000cm=800m．
故选A．
7．如图，直线L1∥L2∥L3，直线AC分别交，L1，L2，L3于点A，B，C，直线DF分别交，L1，L2，L3于点D，E，F．若DE=3，EF=6，AB=4，则AC的长是（）
A．6 B．8 C．9 D．12
解：∵L1∥L2∥L3，∴=，即=，
∴BC=8，∴AC=AB+BC=12，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）
A．8 B．10 C．11 D．12
解：∵，∴=，
∵在△ABC中，DE∥BC，∴=，
∵DE=4，∴BC=3DE=12．
故选D．
9．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）
A． B． C． D．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF；∵DE∥BC，∴==，==，
∵EF∥AB，∴=，=，∴，
故选C．
10．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）
A．= B．=3 C．= D．=
解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；
∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；
∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；
∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项D不正确．
故选：B．
11．已知===，则a+c+e=6，则b+d+f=（）
A．12 B．9 C．6 D．4
解：由===得a=b、c=d、e=f，
则b+d+f=6，即（b+d+f）=6，∴b+d+f=6×=9，
故选：B．
12．已知=，那么下列各式中正确的是（）
A．= B．=3 C．= D．=
解：∵=的两内项是y、3，两外项是x、4，∴x=y，y=x，3y=4x．
A、由原式得，4（x+y）=7y，即3y=4x，故本选项正确；
B、由原式得，3（x﹣y）=x，即2x=3y，故本选项错误；
C、由原式得，10x=3（x+2y），即6y=7x，故本选项错误；
D、由原式得，4（x﹣y）=y，即3x=5y，故本选项错误．
故选A．
巩固提高
13．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），
故选C．
14．下列有关比例中项的描述正确的有（）
（1）若a，b，c满足=，则b是a，c的比例中项；
（2）实数b是2，8的比例中项，则b=4；
（3）如图1，点F是EG边上一点，且∠EDF=∠G，则DE是EF，EG的比例中项；
（4）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，两对角线相交于点O，记△AOD，△ABO，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则S2是S1、S3的比例中项．
A．（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（3）
解：（1）若a，b，c满足=，则b2=ac，b是a，c的比例中项，符合题意；
（2）依题意有b2=2×8，解得b=±4，不符合题意；
（3）∵∠EDF=∠G，∠E=∠E，∴△DEF∽△GED，
∴EF：DE=DE：EG，∴DE2=EF•EG，∴DE是EF，EG的比例中项，符合题意；
（4）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=AD：BC=OD：OB，
∴S1：S2=OD：OB，同理S2：S3=OA：OC=OD：OB，
∴S1：S2=S2：S3，
∴S1•S3=S22，则S2是S1、S3的比例中项，符合题意．
故选B．
15．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段为（）
A．16 B．±4 C．4 D．﹣4
解：设a，b 的比例中项线段为x，则由=得x2=ab=2×8，
解得：x=4或x=﹣4＜0（舍去），
故选：C．
16．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）
A．12.5 B．12 C．8 D．4
解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，解得，EF=8，
故选：C．
17．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）
A． B． C． D．1
解：∵a∥b∥c，∴==，∴=，∴=．
故选C．
18．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）
A．6 B．9 C．12 D．15
解：∵AB∥CD，∴=；
∵AO=2，DO=4，BO=3，∴=，解得：CO=6，∴BC=BO+CO=3+6=9．
故选B．
19．已知，求下列算式的值．
（1）；（2）．
解：（1）∵，∴=；
（2）∵，∴设a=3k，则b=2k，∴===．
20．已知x：y=0.5：0.3，y：z=：，求x：y：z．
解：∵x：y=0.5：0.3=5：3=10：6，
y：z=：=2：5=6：15，∴x：y：z=10：6：15．
21．在的平面图上，量得一块长方形操场的长是24厘米，宽是18厘米，这块长方形操场的实际周长是多少千米？
解：操场的长：24÷=24000（厘米）=0.24（千米）；
操场的宽：18÷=18000（厘米）=0.18（千米）；
操场的周长：（0.24+0.18）×2=0.84（千米）．
答：操场的实际周长是0.84千米．
22．有一个周长80米的长方形花坛，长与宽的比是3：2．请用1：1000的比例尺画在图纸上，长和宽各应画多少厘米？
解：80÷2=40（米），40×=24（米），40×=16（米），
24米=2400厘米，16米=1600厘米，
设图上的长为xcm，宽为ycm，则，，
∴x=2400×=2.4（厘米），y=1600×=1.6（厘米），
答：长应画2.4厘米，宽应画1.6厘米．
23．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上．
（1）当点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点时，求证：△BED≌△DFC；
（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=2，BE=3，求的值．
（1）证明：∵点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点，
∴DE和DF为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，∴△BED≌△DFC；
（2）解：DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，四边形AEDF为平行四边形，
∴△BED≌△DFC，DF=AE=2，DE=AF，
∴==，∴=，∴=．
24．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED ∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
解：（1）如图1中，
∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACO，∴=，
∵AB===13，∴OA==．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，
则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6，
在Rt△PFQ中，PQ===．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，
∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，∴PF∥GQ，
∴△PMF∽△QMG，∴==，
∵PM+QM=，∴PM=，MQ=，∴|PM﹣QM|=．
1．若，则=（）
A． B． C． D．
解：设a=2k，则b=9k．==，
故选A．
2．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．12
解：由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，所以，
因为AD=5，DE=4，BD=10，可求BC=12．
故选D．
3．已知==k（k≠0），则=（）
A． B． C． D．
解：∵==k，∴a=5k，b=3k，∴==，
故选B．
4．已知线段a=4，b=8，则线段a，b的比例中项为（）
A．±32 B．32 C． D．
解：设线段a、b的比例中项为x，则x2=ab，即x2=4×8，
解得x=4或x=﹣4＜0（舍去），
故选：D．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=3，AC=9，AD=4，则AB的值为（）
A．6 B．8 C．9 D．12
解：∵DE∥BC，∴=，即=，∴AB=12．
故选D．
6．若==（x、y、z均不为零），求的值．
解：设===k，x=6k，y=4k，z=3k．==3．
7．已知，求的值．
解：设===k，所以，a=3k，b=4k，c=5k，
则==．
8．若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，．求线段PQ的长．解：∵AB=10，，
∴PB=4，BQ=20，∴PQ=PB+BQ=24，
答：线段PQ的长为24．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
证明：∵GF∥BC，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴，∴．
1．若==，且3a﹣2b+c=3，则2a+4b﹣3c的值是（）
A．14 B．42 C．7 D．
解：设a=5k，则b=7k，c=8k，
又3a﹣2b+c=3，则15k﹣14k+8k=3，得k=，
即a=，b=，c=，所以2a+4b﹣3c=．
故选D．
2．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）
A．=B．=C．=D．=
解：4x=5y（y≠0），两边都除以20，得=，故B正确；
故选：B．
3．若2a=3b，则a：b等于（）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
解：∵2a=3b，∴a：b=3：2．
故选A．
4．下列各组数中，成比例的是（）
A．﹣6，﹣8，3，4 B．﹣7，﹣5，14，5
C．3，5，9，12 D．2，3，6，12
解：A、=，故成比例线段，选项正确；B、≠，故选项错误；
C、≠，故选项错误；
D、≠，故选项错误．
故选A．
5．下列各组线段的长度成比例的是（）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．30cm，20cm，90cm，60cm
解：A、∵1×4≠2×3，故此选项错误；B、∵2×5≠3×4，故此选项错误；
C、∵0.3×0.9≠0.6×0.5，故此选项错误；
D、∵30×60=20×90，故此选项正确．
故选；D．
6．下列各组线段中，能组成比例线段的是（）
A．0.1，0.2，0.3，0.4 B．0.2，0.8，12，30
C．1，3，4，6 D．12，16，45，60
解：A、0.1，0.2，0.3，0.4不是成比例线段，故本选项错误；
B、0.2，0.8，12，30不是成比例线段，故本选项错误；
C、1，3，4，6不是成比例线段，故本选项错误；
D、根据12：16=45：60，可得12，16，45，60是成比例线段，故D选项正确．
故选D．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．= B．= C．= D．=
解：∵AB∥CD∥EF，∴=．
故选A．
8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（）
A．= B．= C．= D．=
解：当=或=时，DE∥BD，即=或=．
故选D．
9．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是（）
A．4 B．2 C． D．
解：∵DE∥AC，∴DB：AB=BE：BC，
∵DB=4，AB=6，BE=3，∴4：6=3：BC，解得：BC=，
∴EC=BC﹣BE=．
故选C．
10．用6，8，9，12可以组成的比例式是（）
A．6：8=9：12 B．6：8=12：9 C．12：6=9：8 D．8：12=9：6 解：A、6：8=9：12，6×12=8×9=72，可以组成比例，故本选项正确；
B、8：6=9：12，8×12≠6×9，不能组成比例，故本选项错误；
C、12：6=9：8，12×8≠6×9，不能组成比例，故本选项错误；
D、8：12=9：6，6×8≠12×9，不能组成比例，故本选项错误；
故选：A．
11．已知2a=3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（）
A．= B．= C．= D．=
解：A、由=得ab=6，故本选项错误；B、由=得2a=3b，故本选项正确；C、由=得3a=2b，故本选项错误；D、由=得3a=2b，故本选项错误．
故选B．
12．已知==≠0，则的值为（）
A．2 B． C．3 D．
解：设k===≠0，由此得到a=3k，b=4k，c=5k，
所以==．
故选：B．
13．下列各组中的四条线段成比例的是（）
A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cm
C．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm
解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；
C.5×20=10×10，故本选项正确；
D.4×1≠3×2，故本选项错误；
故选C．
尺规作图 尺规作线段和角 1. 在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 2. 尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。 3. 尺规作图中直尺的功能是： （1）在两点间连接一条线段； （2）将线段向两方延长。 4. 尺规作图中圆规的功能是： （1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆； （2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧。 5. 熟练掌握以下作图语言： （1）作射线××； （2）在射线上截取××=××； （3）在射线××上依次截取××=××=××； （4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×； （5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×； （6）过点×和点×画直线××（或画射线××）； （7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××。 6. 在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可 以了： （1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××。 1．下列各说法一定成立的是（） A．画直线AB=10厘米 B．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线 C．画射线OB=10厘米 D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行 解：A、直线无限长，错误； B、若A、B、C三点不共线，则无法画出一条直线，错误； C、射线无限长，错误； D、过直线AB外一点只能画一条直线与AB平行，正确． 故选D． 2．下列作图语句正确的是（） A．以点O为顶点作∠AOB B．延长线段AB到C，使AC=BC C．作∠AOB，使∠AOB=∠α D．以A为圆心作弧 解：A、画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误； B、延长线段AB到C，则AC＞BC，即AC=BC不可能，错误； C、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确；
多边形和圆的初步认识 一、多边形 1. 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个n边形分割成（n-2）个三角形。 过n边形一个顶点有（n-3）条对角线，n边形共（n-3）×n / 2条对角线. n边形内角和等于（n-2）×1800，正多边形（每条边都相等，每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）×1800/ n。 二、圆 平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA的长称为半径的长（通常简称为半径）。 圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 类型一：多边形及其对角线 1．下列说法中，错误的是（） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线不一定互相平分 解：A、平行四边形的对角线互相平分，此选项正确，不合题意； B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确，不合题意； C、矩形的对角线相等，此选项正确，不合题意； D、正方形的对角线一定互相平分，此选项错误，符合题意． 故选：D。 2．在平面中，下列说法正确的是（） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 解：A．四个角相等的四边形是矩形，正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；C．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D．四边相等的四边形应是菱形，故错误； 故选：A。 3．平行四边形、矩形、正方形之间的关系是（） A．B．C．D．
北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则 2 b 第四章成比例线段、平行线段成比例 一、单选题 1．下列各组线段的长度成比例的是（） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm 【答案】D 【解析】 【分析】 根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可． 【详解】 A、1×4≠2×3，因此不成比例； B、3×6≠4×5，因此不成比例； C、5×20≠10×15，因此不成比例； D、6×2＝4×3，因此成比例； 故选D． 【点睛】 本题考查成比例线段的定义，属于基础题． 2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（） A ．AP ：BP=A B ：AP B ．AP AB = C ．12BP AB = D ．0.618AP AB ≈ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据黄金分割的概念排除选项即可． 【详解】 由题意得： ∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确； 12 AP AB =，故B 正确； AP AB = ∴32 BP AB AP AB =-=，故C 错误； 2.236≈，∴0.618 AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ． 【点睛】 本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键． 3．如图，// DE BC，下列各式不正确的是（） A．AD AE AB AC =B． AD AE BD CE =C． AD AE AC AB =D． AD AB AE AC = 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】 ∵// DE BC, ∵AD AE BD CE =， AD AE AB AC =，即 AD AB AE AC =，， ∵选项A、B、D均正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序． 4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若 2 3 = AB BC ，DE＝4.2，则 DF的长是（）北师大版九年级上册数学 第四章 成比例线段、平行线段成比例(解析版)
北师大版数学九年级上册知识点归纳