数列经典题目集锦一 一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造 1、 数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N * . (1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列， 求证：数列{a n }从第二项起为等差数列； (3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时， 数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论． 类型二： 整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N * 都成立． (1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列． 二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ， 且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）． (1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式； 三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+（*n ∈N ）． （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式； （2）若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，数λ的取值围． 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序 后能构成等差数列”成立的充要条件； （3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L 1 3246n n +=?--， 且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素，求λ的取值围.
华师大版科学七上《探索奇妙的自然界》教学设计——探索自然的重要方法 [教材分析] 1、本方案是《科学》七年级华东师大版上册“走近科学”第一节“探索奇妙的自然界”第二课时教学内容。 2、本课时根据实际情况共安排4个实验性活动，有的涉及物质科学，目的是用生动的现象制造悬念，激发学生的兴趣和学习科学的动机以及亲历科学探究的欲望。 3、在教学中，应尽量给学生积极参与的机会，尽可能邀请多一点的学生参与到实验中来（一些实验可以让学生来做），并指导学生围绕这些奇妙的现象展开讨论，鼓励学生提出问题，充分肯定学生的观察，从而使得学生兴致昂然，陡生情趣，使学生产生探索自然奥秘的欲望，激发学生的兴趣和学习科学的动机。 [教学目标] 1、对科学课程形成良好的印象和产生浓厚的兴趣。 2、了解观察和实验是科学探究的重要方法 3、通过实验和观察活动，体验科学探究的方法和感受科学探究过程中的喜悦。 4、要求学生把观察到的现象记录下来。 [教学重点和难点] 有效地引导学生围绕有关实验现象开展观察和讨论。 [教学方法] 观察法，实验法，探究式，讨论式相结合进行教学。 [教学过程] 引言：人类对大自然的认识，都是一个从不知到已知，由浅入深的探索过程。在这一过程中，观察和实验是我们探索自然的重要方法。通过观察和实验，我们可以发现许多有趣的，意想不到的现象和问题。 下面，就让我们一起来动手做几个实验，仔细观察奇妙的实验现象，体验科学探究的乐趣吧。 介实验操作
什么 色还有什么变化？
这是《科学》学科的第一堂活动课，在学生的思想中，科学是神秘的，科学是遥远而不可及的。他们对科学家是怎样工作、怎样探索、怎样解决问题的，可以说基本上是一无所知的。因此，这堂课的目的是要调动学生学习科学、探索自然奥秘的兴趣。所以在这一堂课上安排了一系列的活动，还尽可能多的邀请学生加入。（如明信片的下落运动：多人；溶液颜色的变化：少数人；肥皂膜的变化：多人）。在这些活动过程中，可以说所有学生都兴趣盎然，主动参与，情绪高涨。最后，提出问题是想把学生的这种兴致再强化一下，能保持延续下去。 [学习小结与练习] 1、自然界存在种种奇妙的现象，我们要探究自然的奥秘，＿＿＿＿和＿＿＿＿是重要的方法，也是我们学习科学的重要方式。 2、观察能使我们获得有关＿＿＿＿＿＿＿，实验可以使自然现象在＿＿＿＿＿＿＿再现。 3、在单侧光照射下生长的植物，会出现＿＿＿＿＿＿＿的现象。 4、氢氧化钠溶液加入酚酞，溶液会变＿＿＿。
图形计算器研究斐波那契数列隐含周期性 所在省市：天津市 作者姓名：李元亨 所在学校：天津耀华中学 指导教师：王洪亮
一.简单背景介绍 斐波那契数列，又称兔子数列，是一种最简单的递归数列；它的提出，首先在斐波那契的《算盘之书》中出现，有趣的是，斐波那契只是把这种简单的计算关系作为十进制数字比罗马数字简单的优越性的一个例子，这个例子又叫做兔子谜题，原题如下： 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力。 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。 如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 简单分析一下，可知： 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这样我们就得到了一个递归式：Fn =F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*） 三.关于斐波那契数列周期性性质的探究 斐波那契数列的无穷递增的性质很容易根据图形计算器的图形得到探究。我相信任何一个无穷递增数列的性质应当不仅仅与数列中每项的数字或数本身有关，也应当进行其在与数字进行其他运算方法的关系。利用类比的数学思想，我认为，有许多种无穷递增数列，即使在每项本身没有较易发现的关系，在经过某种运算后也可以体现出特殊的性质——体现周期性。因此，我们有不太充分的理由可以相信，斐波那契数列经过一种或几种特殊的运算之后也应当可以体现出某种周期关系。 为了让一个递增数列体现出一种周期性，我们只可以使其失去递增的特点，否则永远无法继续上一个周期。首先我只是认为斐波那契数列的末位数应当有周期关系（只要出现连续两项于前面的连续两项相等，后面必定具有周期性，证明从略）为了探讨这个问题，我将斐波那契数列一直用笔列至70项，使用了大量的时间，经过了巨大的运算量才发现了规律。后来，经过分析我认为斐波那契数列中每一项的末尾数即是每一项除以10的余数。 所以我们可以探讨对其他数取余的情况，经过了如此大规模的计算，我认为我应当可以减少计算量。突然，一个想法映入我的脑海：可使用图形计算其强大的计算功能来帮助我进行研究，并可以使用图表、递归等多种方式生动的将我的结论展现出来。 (一)斐波那契数列的周期性关系 对于斐波那契数列是否具有隐含的周期性，及余数的周期性我们应当先进行较为一般性的探究，所以我们定义一个数列bn = bn mod m（m是整数），以探究bn的周期性。为了更深层地讨论周期性问题，我们可以定义一个数列kn，以代表bn= bn mod n的周期长度。 1）首先我们讨论一下周期的存在性 利用上面建立的斐波那契数列an 建立一个bn 体现其余数关系。 我们任取一个数，比如说11 （bn=an+1-int（an+1/11）*11）即斐波那契数列中每一项对11取余。
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；
波浪理论的时间周期来计算未来市场的转折点 如果知道在历史上某个商品期货的平均DELTA转折点，就能够提高预测转折点精确度。更进一步，以下问题…在什么位置，前后浮动两天，【预测的DELTA】有最高精确度？前后浮动三天呢？四天呢？如何评价每个转折点的精确度呢 输出标题表示它是ITD，并且给出你输入的日期。第一个作为例子被打印的商品是咖啡。它的转折点是三个。每个转折点旁有如下五列： 日期：这是转折点日期，它总是平日。（如果你输入星期日，星期六，将输出最近的平日）。 AR：特定转折点的精确度。17表示从这个转折点到所有前期出现这个点的距离是天。很显然，AR越小，转折点越精确。 *2：这是转折点出现在给定日期两天内的概率。 *3：这是转折点出现在给定日期三天内的概率。 *4：这是转折点出现在给定日期四天内的概率。
DELTA转折点有多精确？ 经过观察25个商品市场超过200年的DELTA现象，其平均中短期波动如下： （1）51%的概率，DETLA转折点将出现在投影点两天内。 （2）68%的概率，DETLA转折点将出现在投影点三天内。 （3）81%的概率，DETLA转折点将出现在投影点四天内。 所有的ITD转折点的平均精确度（AR）是27。这意味着每个DELTA 转折点离预定日期的平均距离少于三天。我知道，宣称未来所有ITD 转折点将保持这个精确度，它听起来是难以相信的。我坚信这一点，因为我已经对超过200年的日线数据和超过300年的周线和月线数据，进行了研究。 精确度将会一直保持的原因，是市场跟随DELTA现象。DELTA现象是市场运动的根本原因。观察液体市场最明显，它虽然也在运动，但是更像是跟着DELTA转折点震荡。DELTA是市场运动的本质。 DELTA转折点的精确度，可以通过观察来改善。如果一个转折点出现的早，它可能被漏掉。但是，如果转折点出现的晚，它就不会被
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。
斐波那契数列与股市分析 斐波那契数列[鲁卡斯数列表] 意大利的数学家列奥纳多·斐波那契发现的斐波纳契数列也就是我们说的费氏数列.鲁卡斯数列又是怎么来的呢?除了斐波纳契数列以外,我们进行金融分析还要了解鲁卡斯数列.19世纪时法国一个数学家鲁卡斯（E．Lucas）在研究数论的素数分布问题时发现和斐波那契数有些关系,而他又发现一种新的数列：1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521等等.这数列和斐波那契数列有相同的性质,第二项以后的项是前面二项的和组成.数学家们称这数列为鲁卡斯数列.斐波纳契数列与解鲁卡斯数列都与黄金分割比有密切的关系. 鲁卡斯数列与费波纳茨数列的关系 波纳茨数列Fn：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233………. 鲁卡斯数列…Ln：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、199、322……..鲁卡斯数列的构成为相邻两费波纳茨数之和的集合,即Ln=Fn-1+Fn+1.1876年鲁卡斯在研究一元二次方程POW（X,2）-X-1=0的两个根X1=（1+SQRT（5））/2,X2=（1-SQRT（5））/2时{1/X=X/（1-X）}得出了两个重要的推论结果： Fn=(1/SQRT(5))*POW((1+SQRT(5))/2,n)-(1/SQRT(5))*POW((1-SQRT(5))/2,n) Ln=POW((1+SQRT(5))/2,n)+POW((1-SQRT(5))/2,n) 方程1/X=X/（1-X）的正根,为无理数∮=（1+SQRT（5））/2≈1.618,即著名的黄金分割比. 由黄金分割比按0.38（∮平方分之一）的乘率递减求出的正方形,所作圆弧的连线,即黄金螺旋线.螺旋线是宇宙构成的基本形态,也是股市起伏时间序的基本形态,而其本质的参数即是黄金分割比∮.比较费波纳茨数列与鲁卡斯数列,对相邻两数的比值取n趋向无穷大的极限,比值趋向黄金分割比∮:Fn+1/Fn------->?∮ Ln+1/Ln------->?∮ 因此,结论是两数列的本质是一致的,都与黄金分割比有着密切的关系. 嘉路兰螺旋历法的缺陷与鲁卡斯数列预测系统的产生.研究过嘉路兰螺旋历法的人知道,螺旋历法建立在嘉路兰的两点结论之上： 1、市场是人类买卖的场所,投资者的情绪与心理往往受到天体运行周期的影响,其中月球的影响最大； 2、当月球周期（即E=29.5306）的倍数是费波纳茨数的开方时,市场投资情绪可能出现逆转,而市场变盘.( 怎么将鲁卡斯数用于股市？我们向嘉路兰学习.遵循他的思路或许有所收获. 嘉路兰于87股灾后发现了著名的螺旋历法.他的灵感可能来源于波浪理论,艾略特将形态与费氏比率∮结合.嘉路兰于是想到了将∮用于时间.他遇到第一个问题——费氏数在第11项后变化越来越大,由于相邻两数差值太大,使许多关键点被忽略.嘉路兰用平方根把变化速度减缓.他遇到第二个问题——费氏方根变化又太小了.前10项几乎粘在一起,用于测算意义不大.嘉路兰想到在平方根前乘一个常数.他遇到第三个问题——用哪个数值作这个常数.在大量的比较、计算、总结后.嘉路兰幸运的发现了太阴月周期与股市的关系.这只能解释为幸运之神的眷顾,他成功了.这个神奇的公式Bn=E√Fn.即周期日数是月球从圆到缺一循环时与费氏方根的乘积.E是太阴月周期29.5306天.用这么多笔墨解释嘉路兰的思维,是为将鲁卡斯数依样画葫芦,仿制另一个螺旋历法——鲁卡斯螺旋历.我们先将鲁卡斯数开方,再找那个常数.既然嘉路兰用太阴月周期,我们就可以用太阳月周期.遇到第一个问题
七年级科学上册走近科学1《探索奇妙的自然界》习题1（无答 案）（新版）华东师大版 一、选择题 1.小王很喜欢《科学》课程要进入奇妙的科学世界，下列说法和知识不正确的是（）。A．从探究身边的问题着手 B．留心观察，认真思考 C．书本上的知识肯定是对的 D．学习前人积累的科学知识 2.下列现象不属于自然现象的是（）。 A．电闪雷鸣 B．“神六”升空 C．雨后彩虹 D．大雁南飞 3.我们知道蝙蝠蒙住眼睛，在黑夜中也能飞行，这个事实能说明（）。 A.蝙蝠是用耳朵来辨别方向 B.蝙蝠不是用眼睛来辨别方向 C.蝙蝠的眼睛是没有用处的 D.蝙蝠的耳朵特别发达 4.能够在南极生存的生物必须（）。 A．会游泳 B．会飞翔 C．耐严寒 D．耐干旱 5.伟大的科学家牛顿好奇于苹果落地而发现了“万有引力”；瓦特好奇于水的沸腾顶起壶盖而发明了蒸汽机……在讨论这些事例告诉我们什么道理时，4位同学分别讲了如下的看法。甲说：小小的疑问都有可能引发科学的发现。乙说：从探究身边的问题着手可以进入科学的世界。丙说：科学的发现有赖于仔细观察、认真思考、积极实验。丁说：科学的发现都是从偶然的观察中得到的。根据你的观点，最不同意谁的看法（）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 1. 和是探索自然的重要方法，也是我们学习科学的重要方式。通过能使人们获得有关自然现象的信息，通过可使自然现象在人为控制的条件下再现。 2.根据科学家对古生物化石的研究，恐龙早在6500万年前灭绝了。你了解恐龙灭绝的原因吗？如果不了解，请上网查一查。根据你掌握的信息，提出一个有关“恐龙是怎样灭绝的”猜想。你的猜想：。 3.请你仿照例子，针对现象提出一个恰当的问题。 例：鱼在水中游动。问题：鱼为什么会在水中游动？ ①下雨了。问题：。
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a
观察和实验——探索自然的重要方法 本节课是针对《科学》七年级华东师大版上册“走近科学”第一节“探索奇妙的自然界”第二课时教学内容。本节课主要是以书本上的内容为主，讲解五个自然现象，和学生们一起来探索大自然的奥秘。书本上的五个活动，因为由于可操作性较强，通过讲解一些要点，留给学生课后去做。 本节课的授课对象是针对初一的新生，这些学生是刚开始步入初中科学的学习，还不清楚如何进行科学的学习。通过一起看书本，试着让他们领悟怎么看书，看书时应该注意哪些。 1、对科学课程形成良好的印象和产生浓厚的兴趣。 2、了解观察和实验是科学探究的重要方法。 3、通过实验和观察活动，体验科学探究的方法和感受科学探究过程中的喜悦。 有效地引导学生学会科学知识的学习 引言：上节课我们已经通过实验，一起来探索了奇妙的自然界，也让大家一起经历观察和实验的过程，今天老师就要和大家一起通过看书，再来进行探索一次奇妙的自然界。 老师：首先我们来看书上给我们举的第一个例子，“为什么树上熟透了的苹果会往下落，而天上月亮既不落向地球，也不飞向外空？” 学生：因为万有引力的作用 老师：很好，但是如果你奶奶问你这个问题，你也这样回答么？ 学生：不能。 老师：那我们应该怎么来描述呢？ 学生：重力的作用。（注：学生回答不出来） 老师：其实万有引力指的就是，我们地球上的万物都在地球的吸引下，都会受到重力。其实是因为重力的原因，才让苹果下落的。 老师：好，接下来我们再来看第二个例子。“为什么蝙蝠能在黑暗中自由飞行，而人在黑暗中为什么会举步维艰？” 学生：因为蝙蝠能发出超声波。 老师：很好，那么大家知不知道，蝙蝠是怎样通过超声波来判别方向的呢？ 学生：……
以斐波那契数列谈均线与时间的关系 -----用科学的观点论证股市的奥秘 何谓时间？时间早于生命，存在于宇宙之中，宇是空间的别称，宙即时间代表，宇宙即是“时空”，它由过去、现在、未来三者构成，是一个连续体系，具有不可逆性及连续性，最重要的物理特点是重复性，俗称循环。 何谓周期？周期它有无色无形的抽象特点，只能通过空间物质位移来感知。它的长度与物体运动速度相关。从科学角度看，事物可分为有序及混沌两种状态，几乎万事万物表现出有节律性的周期性运动的特理特征，来源与宇宙节律同步，或者说自然节律是万事万物节律的来源，也就是说有节律性的循环，这就是周期。 均线与时间又有何关系呢？这得从均线周期和时间的相互关系谈起：我先举个例子：一年分四季，一季分三月，一月分四周，一周分七天，如果让我们预测一个星期里的气候变化是很难确定的，但是只要我们知道这个星期是哪个月的，这个月是哪个季节的，至少也能预测个大概，是夏季出门得带伞，这个季节得遮阳挡雨；是深秋得带件外套，这个季节早、中、晚温差大……。我想大家不会是夏天出门带棉袄的，因为大家都知道，这是自然规律。然而某一个特别气候现象也会影响年降雨量，比如厄尔尼诺现象。 均线的变化也亦然，大周期主导小周期，小周期的变化范围基本是在大周期的预期内；小周期的变化同样也是影响大周期的变化方向。因此，在操作中我们也应该用理解气候变化的道理一样去理解个股趋势，比如60分钟K线走成死叉的话，我们知道交点原理至少要两个60分以上才能走回金叉，但往往是两三个60分是走不回来的，就像春天过了之后，要走过夏、秋、冬，才能回到一个新的春天。说到这里应该有人要问，个股明明是走成死叉了，次日却又在涨？这一点就需要我们做一个大势的判断，如果周均线还是好的、低风险的，日K线走成死叉又何妨？就像在秋天里一场秋雨，一丝凉意过后同样再现秋高气爽。而反过来说如果周均线已经走成死叉，就还想当然“已经连续跌好好几天了，应该涨了吧？”，这就像在寒冷的冬季里幻想“已经冷了那么多天了，应该到夏天了吧”一样愚蠢！再反过去说假如今天的股市大跌150点，明明是周线挺好的，怎么今天会跌得如此厉害？前面我们说过气候的特殊现象“厄尔尼诺现象” 会影响年降雨量的道理一样，均线的小周期的变化有时也同样会影响大周期的变化。而均线与时间之间的这种内在规律又如把握呢？这是我们要去搞懂的重要规律。
《探索奇妙的自然界》 教学目标 通过对列举的奇妙的现象，使学生感受到自然界有很多奥妙，培养学生对自然界的好奇心、求知欲和探索愿望。 教学重点与难点 重点：使学生感受到大自然的奇妙之处。 难点：启发学生提出更多问题。 教具 1.多媒体课件《天文》、《海底世界》、《熊猫》、《火山》等。 2.化学实验溶液酸、碱、酚酞等。 课时 2节课 教学活动 第一课时：以讨论为主。 导入新课：播放有关图片和录像，引导学生认识自然界。 探究：1.你对宇宙了解有多少？ 2.海洋深处有生物吗？如果有，它们的能量来自何处？人能在那里生存吗？ 3.为什么熊猫是我们的国宝？你认为熊猫会灭绝吗？为什么？ 4.为什么地球表面会发生火山和地震等自然灾害？ 5.让学生提出问题。 讨论：1.你还对自然界的哪些其他现象感兴趣？ 2.为什么你对这些现象感兴趣？ 3.让学生提出可讨论的问题。 探究：1.恐龙为什么会灭绝？ 2.怎样能发现蝙蝠的定位本领？ 3.有些动物有迁徙的习性，它们是靠什么导航的？ 总结：通过本节课的学习，使我们了解到茫茫宇宙，奇妙无穷，在浩瀚的宇宙中存在着一个美丽的星球——我们共同的家园，那里有人类及人类的朋友——各种动植物。让我们一起来认识自然，学习科学，保护自己的美好家园。
作业：1.让学生提出一个关于科学的问题。 2.自主准备下一节课的有关实验。（可参照课本也可自己设计） 第二课时：以活动为主。 引入新课：展示科学家霍金的照片，介绍有关霍金的研究成果，提问：为什么霍金及爱因斯坦等二十世纪最伟大的科学家都没有获得诺贝尔奖？引起学生对科学实验的重视。 活动：1.让学生做明信片下落的实验，记录、讨论。 2.老师做液体颜色有变化实验、要求学生做记录、讨论。 3.参观实验室和了解实验室的各种仪器。 4.学生演示自己准备的实验，老师或其他同学给予评价。 总结：让学生通过活动提高学习的兴趣，同时学会观察、记录、讨论科学的方法。
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
自然界奇妙的费氏数列（图） 一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。他让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？这就是费氏数列（也称作斐波那契数列）的奥妙所在。 斐波那契数列用文字来说就是，斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数（费氏数）就由之前的两数相加。头几个斐波那契数是（OEIS A000045）： 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，……………… 特别指出：0不是第一项，而是第零项。这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【√5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… 让我们再回到上文魔术师拼地毯的游戏：为什么64＝65？其实这是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到！
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=. （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++ ++=， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，
斐波那契数列 百科名片 “斐波那契数列”是意大利数学家列昂纳多·斐波那契首先研究的一种递归数列，它的每一项都等于前两项之和。此数列的前几项为1，1，2，3，5等等。在生物数学中，许多生物现象都会呈现出斐波那契数列的规律。斐波那契数列相邻两项的比值趋近于黄金分割数。此外，斐波那契数也以密码的方式出现在诸如《达芬奇密码》的影视书籍中。 目录[隐藏] 奇妙的属性 相关的数学问题 斐波那契数列别名 斐波那契数列公式的推导 1编程中的斐波那契数列C语言程序 1C#语言程序 1Java语言程序 1JavaScript语言程序 1Pascal语言程序 1PL/SQL程序 数列与矩阵 数列的前若干项 斐波那契弧线 o斐波那契数列的应用 o影视作品中的斐波那契数列 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。[编辑本段]奇妙的属性 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1 6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1) 8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1] 斐波那契数列 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
斐波那契数列在股市中的应用 时间周期理论 是股价涨跌的根本原因之一，它能够解释大多数市场涨跌的奥秘。在时间周期循环理论中，除了利用固定的时间周期数字寻找变盘点之外，还可以利用波段与波段之间的关系进行研究。但无论如何寻找变盘点，斐波那契数列都是各种重要分析的基础之一，本文将简单阐述斐波那契数列及其与市场的关系。 步骤/方法 1斐波那契数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现。数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数奇异数。具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233等，从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。而斐波那契数列中相邻两项之商就接近黄金分割数0.618，与这一数字相关的0.191、0.382、0.5和0.809等数字就构成了股市中关于市场时间和空间计算的重要数字。 大到整个宇宙空间到小到分子原子，从时间到空间，从自然到人类社会，政治、经济、军事等，各种现象中的规律
都能找到斐波那契数的踪迹。世界著名建筑如巴黎圣母院、埃菲尔铁塔、埃及金字塔等均能从它们身上找到0.618的影子。名画、摄影、雕塑等作品的主题都在画的0.618处。报幕员站在舞台的0.618处所报出的声音最为甜美、动听。人的肚脐眼是人体长度的0.618位置，人的膝盖是从脚底到肚脐眼长度的0.618。战争中0.618的运用也是无所不在，小到兵器的制造、中到排兵布阵到战争时间周期的运用，相传拿破仑大帝即败于黄金分割线。 在金融市场的分析方法中，斐波那契数字频频出现。 例如，在波浪理论中，一轮牛市行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪； 在空间分析体系中，反弹行情的高度通常是前方下降趋势幅度的0.382、0.5、0.618；回调行情通常是前方上升趋势的0.382、0.5和0.618。 2斐波那契数列在实际操作过程中有两个重要意义： 第一个实战意义在于数列本身。本数列前面的十几个数字对于市场日线的时间关系起到重要的影响，当市场行情处于重要关键变盘时间区域时，这些数字可以确定具体的变盘时间。使用斐波那契数列时可以由市场中某个重要的阶段变盘点向未来市场推算，到达时间时市场发生方向变化的概率