1. 克里金法(Kriging）
克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。
克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择,IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题.它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。
2. 反距离权重法(Inverse Distance Weighted,IDW）
反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值.点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。
反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。
通过定义更高的幂值,可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联,因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果.
3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers)
含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性.
含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动,直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。
4. 地形转栅格(Topo to Raster）
地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。
5. 样条函数（Spline）
样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值,以生成恰好经过输入点的平滑表面.
从概念上讲，采样点被拉伸到它们数量上的高度；样条函数折弯一个橡皮页，该橡皮页在最小化表面总曲率的同时穿过这些输入点。在穿过采样点时，它将一个数学函数与指定数量的最近输入点进行拟合.此方法最适合生成平缓变化的表面，例如高程、地下水位高度或污染程度.
IDW 插值主要受幂指数和各采样点属性值变化情况的影响，幂指数越高，其局部影响的程度越高,在IDW搜索半径内，若各个采样点属性值变化较小时，内插结果受幂指数的影响较小；Spline 插值主要受插值类型（Regularized 或Tension）和weight 值的影响，一般Regularize 插值结果比Tension插值结果光滑，在Regularized Spline 插值中,weight 值越高生成的表面越光滑，Tension Spline 插值则相反；总体来看，IDW和SPLINE 插值受采样点范围、采样点密度、采样点属性取值变化以及各自的参数影响，当采样点足够密时，使用IDW 插值可以取得良好效果，SPLINE插值则适合那些空间连续变化且光滑的表面的生成。
6。自然邻域法（Natural Neighbor）
自然邻域法插值可找到距查询点最近的输入样本子集,并基于区域大小按比例对这些样本应用权重来进行插值(Sibson，1981）.该插值也称为Sibson 或“区域占用（area—stealing）"插值.该插值方法的基本属性是它具有局部性，仅使用查询点周围的样本子集，且保证插值高度在所使用的样本范围之内。该插值方法不会推断趋势且不会生成输入样本尚未表示的山峰、凹地、山脊或山谷。该表面将通过输入样本且在除输入样本位置之外的其他所有位置均是平滑的.
原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。首先将所有的空间点构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形,这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。
7。趋势(trend)
趋势面法是一种可将由数学函数(多项式）定义的平滑表面与输入样本点进行拟合的全局多项式插值法.趋势表面会逐渐变化，并捕捉数据中的粗尺度模式.使用趋势插值法可获得表示感兴趣区域表面渐进趋势的平滑表面。此种插值法适用于以下几种情况
（1）感兴趣区域的表面在各位置间出现渐变时，可将该表面与采样点拟合,例如，工业区的污染情况。
（2）检查或排除长期趋势或全局趋势的影响.此类情况下，采用的方法通常为趋势面分析。
学号：2013 大学毕业论文 五种插值法的对比研究 A Comparative Study of Five Interpolation Methods 学院: 理学院 教学系：数学系 专业班级: 信息与计算科学专业1301 学生: 指导教师: 讲师 2017年6月7日
目录 容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 2 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.4 分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 2.5 样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3 五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.1 五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.2 五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 4 结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22
逼近方法和插值方法的比较 逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术， 它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图 像处理等。虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原 理与应用有很大的不同。在本文中，我们将对逼近方法和插值方 法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。 一、逼近方法 逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。与 插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只 需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。逼近 方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、 小波模型等。 逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有 一定的容忍度。由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点， 因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。而插值方法则 要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对
插值结果产生极大的影响。逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。 逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。 二、插值方法 插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。 插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
各种插值法的对比研究 插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。在实 际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融 分析、图像处理等。 本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、 样条插值和逆距离加权插值。 1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的 值变化是线性的。根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断 两个数据点之间的值。优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的 情况下估计效果较差。 2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项 式函数。通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多 项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。多项式插值 可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数 据点分布敏感。 3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的 多项式函数来逼近整个数据集。根据已知数据点的坐标和对应的值，通过 求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。 4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得 到插值点的值。该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。逆
距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。 在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。 此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。 综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。
插值方法比较范文 插值方法是数值计算中常用的一种数值逼近技术，用于通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的值。在插值过程中，根据不同的插值方法，可以得到不同的近似函数，从而得到不同的结果。 常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和样条插值等。下面将对这些插值方法进行比较，包括优缺点。 首先是拉格朗日插值法，它是通过使用已知数据点的函数值来构建一个多项式，再利用这个多项式来估算未知数据点的函数值。拉格朗日插值法的优点是简单易懂、计算简便，而且在已知数据点分布较为均匀的情况下效果较好。然而，拉格朗日插值法的缺点是对于较多数据点的情况，构建的多项式会非常复杂，容易导致插值结果的振荡。此外，拉格朗日插值法对于增加或减少一个数据点都需要重新计算，不够灵活。 其次是牛顿插值法，它也是通过已知数据点的函数值来构建一个多项式，但是与拉格朗日插值法不同，牛顿插值法利用差商的概念来简化多项式的计算。牛顿插值法的优点是可以递推计算差商，避免了重复计算，因此对于增加或减少一个数据点时比较方便。此外，牛顿插值法的插值多项式在已知数据点分布较为稀疏的情况下效果较好。缺点是对于较多数据点的情况，插值多项式同样会变得复杂，容易导致插值结果的振荡。 再者是埃尔米特插值法，它是拉格朗日插值法的一种改进方法。埃尔米特插值法不仅利用已知数据点的函数值，还利用已知数据点的导数值来构建插值函数，从而提高了插值的精度。埃尔米特插值法的优点是可以通过已知数据点的导数值来更好地拟合函数的特点，从而得到更准确的插值结果。缺点是在计算过程中需要求解一系列线性方程组，计算量较大。
最后是样条插值法，它是常用的插值方法之一、样条插值法通过将插值区间划分为若干小区间，在每个小区间上构建一个低次多项式，通过满足一定的光滑性条件来保证插值函数的平滑性。样条插值法的优点是插值函数的平滑性较好，能够解决拉格朗日插值法和牛顿插值法的振荡问题。缺点是在计算过程中需要求解大规模的线性方程组，计算量较大。 综上所述，插值方法各有优缺点，选择合适的插值方法需要考虑已知数据点的分布、插值精度的要求以及计算效率等因素。在实际应用中，可以根据具体情况选择最适合的插值方法来进行数值逼近。
空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋
多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
各种插值方法比较 插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数 据或者对连续数据进行平滑处理。常见的插值方法包括线性插值、多项式 插值、样条插值、Kriging插值等。 1.线性插值： 线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个 点之间的直线来估计缺失点的值。这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。2.多项式插值： 多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点 的值。多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生 平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。 3.样条插值： 样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合 数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。样条插值方法克服了多项式插值 的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。 4. Kriging插值： Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了 数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。Kriging 插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据 或环境监测数据。
除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。 5.逆距离加权插值： 逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。 6.最近邻插值： 最近邻插值方法简单和直观，它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强，但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下，可能会导致估计值的不准确。 7.高阶插值： 高阶插值方法通过使用高阶多项式函数来拟合原始数据，从而克服了低阶插值方法可能出现的过拟合问题。高阶插值方法适用于数据分布非常复杂或不规则的情况，但在数据点较少时可能导致算法复杂度较高。 总体而言，不同的插值方法适用于不同的数据分布和应用场景。在实际应用中，选择适当的插值方法需要考虑数据的特征、插值的准确性要求以及计算性能等因素。此外，在进行插值处理时，还需要对估计结果进行合理的验证和评估，以确保其准确性和可靠性。
1. 克里金法(Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择,IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题.它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法(Inverse Distance Weighted,IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值.点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值,可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联,因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果. 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers) 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性. 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动,直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格(Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值,以生成恰好经过输入点的平滑表面.
反距离权重法的工作原理 反距离权重(IDW) 插值使用一组采样点的线性权重组合来确定像元值。权重是一种反距离函数。进行插值处理的表面应当是具有局部因变量的表面。 此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 使用幂参数控制影响 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 可将所产生的最小平均绝对误差最低的幂值视为最佳幂值。ArcGIS Geostatistical Analyst 扩展模块提供了一种研究此问题的方法。 1. 3 限制用于插值的点 也可通过限制计算每个输出像元值时所使用的输入点，控制内插表面的特性。限制经考虑的输入点数可加快处理速度。此外，由于距正在进行预测的像元位置较远的输入点的空间相关性可能较差或不存在，因此有理由将其从计算中去除。 可直接指定要使用的点数，也可指定会将点包括到插值内的固定半径。 2. 4 可变搜索半径 可以使用可变搜索半径来指定在计算内插像元值时所使用的点数，这样一来，用于各内插像元的半径距离将有所不同，而具体情况将取决于必须在各内插像元周围搜索多长距离才能达到指定的输入点数。由此将导致一些邻域较小而另一些邻域较大，这是由位于内插像元附近的测量点的密度所决定的。另外，也可指定搜索半径不得超出的最大距离（以地图单位为单位）。如果在获取指定点数之前特定邻域的半径达到最大距离，则会针对最大距离内的测量点数执行该位置的预测。通常，如果此现象产生的偏差较大，则应使用较小邻域或最少点数。
数值分析论文 ——几种插值方法的比较 1．插值法概述 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用！在生产和实验中，函数()x f 或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数()x ?，使其近似的代替()x f ，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermite 插值,分段插值和样条插值.这里主要介绍拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值和埃尔米特插值（Hermite 插值）。 2．插值方法的比较 2．1拉格朗日插值 2.1.1基本原理 构造n 次多项式()()()()()x l y x l y x l y x l y x P n n k n k k n +???++==∑=11000，这 是 不超过n 次的多项式，其中基函数： ()x l k = ) ...()()...()(() ...()()...()(()1110)1110n k k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+- 显然()x l k 满足()i k x l =?? ?≠=) (0) (1k i k i
此时()()x f x P n ≈,误差()()()=-=x P x f x R n n (x ))! 1() (1)1(+++n n n f ωξ 其中ξ∈()b a ,且依赖于x ，()()()()n n x x x x x x x -???--=+101ω. 很显然，当1=n ，插值节点只有两个k x ,1+k x 时 ()()()x l y x l y x P k k k k i 11+++= 其中基函数()x l k =11++--k k k x x x x ， ()x l k 1+= k k k x x x x --+1 2.1.2优缺点 可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数()x l k ()n k ,,1,0???=均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值可以克服这一缺点。 2.1.3数值实验 程序如下： #include
17世界后牛顿,拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 三种插值方法的比较： 拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的比较。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1个实点 0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…，f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1个离散数据对｛（i x ，i y ）｝i n ＝0．要估算f(x)在其它点ｘ处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y (i x )＝f (i x )，i=0，1，…，n ．并以y (x)作为f (x)的近似值．其中y (x)称为插值函数，f (x)称为被插函数．[1,2,3] 选用不同类型的插值函数，逼近的效果不同，下面给出拉格朗日多项式插值、 分段线性插值及三次样条插值在处理问题时的应用比较分析． 多项式插值是最常见的一种函数插值．在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过ｎ的插值多项式满足上述条件．从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条次数不超过ｎ的多项式曲线通过这些点．插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日(Lagrange)插值多项式，另一个是牛顿(Newton)插值多项式．且 Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式恒等于Ｎｅｗｔｏｎ插值公式． 分段线性插值与三次样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象(龙格现象)，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差．为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具。 所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值，即可得分段线性插值函数。特点：插值函数序列具有一致收敛性，克服了高次Ｌａｇｒａｎｇｅ插值方法的缺点， 故可通过增加插值基点的方法提高其插值精度．但存在基点处不光滑、插值精度低的缺点．从几何上看所谓分段线性插值就是通过插值基点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理.
多种插值法比较与应用 (一) Lagrange 插值 1. Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 n x x j j 0 X k X j j k 称为Lagrange 插值基函数 2. Lagrange 插值多项式 足插值条件 的n 次多项式 n f(xj k (x) k 0 n x f (X k )( k 0 j 0 X k j k 为Lagrange 插值多项式，称 (n 1) 为插值余项，其中x (x) (a,b) (二) Newton 插值 1 .差商的定义 f(x)关于X i 的零阶差商 f[xj f(xj f(x)关于X i , X j 的一阶差商 f[X j ] f[X i ] E(x) f(X) L n (x) (n 1)T j o (X X j ) l k (x) 0,1, ,n 设给定n+1个互异点(x k , f(x k )) , k 0,1, ，n , X i X j , i j ，满 L n (X k ) f(X k ), 0,1, L n (X ) |)
X j X i 依次类推，f(x)关于X i , X i 1 , .................... , X i k 的k 阶差商 f[X i 1, , X i k ] f [X i , ,X i k 1] f[X i ,X i 1, , X i k ] X i k X i 2. Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点(X k , f (X k )) , k 0,1, ,n , X i X j , i j , 称满足条件 N n (X k ) f(X k ) , k 0,1, ,n 的n 次多项式 N n (x) f[X 。] f[X 0,X 1](X X 。) f[X o ,X 1, ,X n ]( x X 。) (X X n 1) 为Newton 插值多项式，称 E(x) f(x) N n (x) f [X o ,X 1, ,X n ] j n (X X j ),x [a,b] 为插值余项。 (三) Hermite 插值 设f(x) C 1[a,b]，已知互异点X 0 , X 1，…，x n [a,b]及所对应的函 数值为 f o , f 1，…，f n ，导数值为f o',(，…，f n',贝 U 满足条件 H 2n1 (X i ) f i ,H 2n 1 ( X i ) f i', ' 0,1, ,n 的2n 1次Hermite 插值多项式为 n n H 2n1(X ) f i j (x) f j' j (X) j j 0 其中 j (x) [1 2(x X j )l j (X j )]l j 2, j (x)(x X j )l j 2(x)
各种插值法的对比研究
目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (4) 3.4分段线性插值 (5)
3.5三次样条插值 (6) 4.五种插值法的对比研究 (6) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (7) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7) 5.插值法在实际生活中的应用 (7) 6.结束语 (7) 致谢 (8) 参考文献 (8)
各种插值法的对比研究 摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过 数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1] .所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法. 2.插值法的历史背景 插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支, 它来源于生产实践.
几种常用高程插值方法的比较数学模型 【最新版3篇】 目录（篇1） 1.引言 2.常用高程插值方法介绍 2.1 反距离权重法 2.2 普通克里金插值法 2.3 普通最小二乘法 2.4 残差最小二乘法 2.5 线性回归法 2.6 多项式回归法 3.各方法的优缺点比较 4.结论 正文（篇1） 高程插值是在地理信息系统 (GIS) 和遥感技术中常用的数据处理方法，目的是根据已知的高程点数据，估算出其他地点的高程值。高程插值的方法有很多种，下面将对几种常用的高程插值方法进行介绍和比较。 2.1 反距离权重法 反距离权重法是一种基于距离的插值方法，其基本思想是根据距离衰减权重，对各个高程点进行加权平均。该方法的优点是简单易行，计算速度快，但是缺点是插值结果受距离衰减系数的选择影响较大，且不能很好地处理数据中的噪声。 2.2 普通克里金插值法
普通克里金插值法是一种基于网格的插值方法，其基本思想是利用周围的已知高程点，通过插值函数估算待求点的高程值。该方法的优点是插值精度高，能够很好地处理数据中的噪声，但是缺点是计算量较大，需要进行多次迭代计算。 2.3 普通最小二乘法 普通最小二乘法是一种基于最小二乘原理的插值方法，其基本思想是通过最小化误差的平方和来估算待求点的高程值。该方法的优点是简单易行，插值精度较高，但是缺点是需要选择合适的基函数，且计算量较大。 2.4 残差最小二乘法 残差最小二乘法是一种改进的普通最小二乘法，其基本思想是将待求点的残差作为基函数，通过最小化残差的平方和来估算待求点的高程值。该方法的优点是插值精度更高，能够更好地处理数据中的噪声，但是缺点是计算量较大，需要进行多次迭代计算。 2.5 线性回归法 线性回归法是一种基于线性回归模型的插值方法，其基本思想是通过线性回归模型估算待求点的高程值。该方法的优点是简单易行，计算速度快，但是缺点是插值精度较低，不能很好地处理非线性关系。 2.6 多项式回归法 多项式回归法是一种基于多项式回归模型的插值方法，其基本思想是通过多项式回归模型估算待求点的高程值。该方法的优点是插值精度较高，能够很好地处理非线性关系，但是缺点是计算量较大，且多项式阶数过高容易过拟合。 3.各方法的优缺点比较 不同的高程插值方法具有不同的优缺点，具体比较如下: 反距离权重法：优点是简单易行，计算速度快;缺点是插值结果受距 离衰减系数的选择影响较大，且不能很好地处理数据中的噪声。
插值方法优缺点的比较及选择 比较不同插值方法的优缺点需要考虑多个方面，包括方法的精度、稳定性、计算成本、可扩展性等。以下是一些常见的比较方法： 1.精度比较：比较不同插值方法的预测精度，可以使用均方根误差、平均绝 对误差、相关系数等指标进行评估。精度较高的方法更优。 2.稳定性比较：比较不同插值方法在不同数据集和不同参数下的表现，可以 使用交叉验证、反复试验等方法进行评估。稳定性较好的方法更优。 3.计算成本比较：比较不同插值方法的计算复杂度和计算时间，可以使用时 间复杂度和空间复杂度等指标进行评估。计算成本较低的方法更优。 4.可扩展性比较：比较不同插值方法在大规模数据和复杂模型下的表现，可 以使用可扩展性和并行化等指标进行评估。可扩展性较好的方法更优。 在实际应用中，可以根据具体的需求和数据情况选择合适的比较方法。如果对精度要求较高，可以选择精度较高的方法；如果对计算资源有限制，可以选择计算成本较低的方法；如果需要处理大规模数据或复杂模型，可以选择可扩展性较好的方法。同时，也可以通过实验比较不同方法的优缺点，选择最适合的方法来处理数据。 以下为您推荐几种插值方法： 1.多项式插值：以一个多项式的形式来刻画经过一系列点的曲线。该基函数 的一个优点是当增加一个新的插值节点时，只需在原有基函数的基础上增加一个新的函数即可。但随着节点数逐渐增加，插值曲线可能会出现不稳定的现象。 2.分段插值：为了解决高次插值多项式的缺陷，常用的方法是分段插值。这 种方法把插值区间分为若干个子区间，并在每个子区间上构造低次插值多项式。常见的分段插值法有分段线性插值和三次Hermite插值等。 3.三次样条插值：此法利用分段插值绘制通过节点的曲线，有效地避免了龙 格现象。
GIS空间数据插值方法优劣比较分析GIS（地理信息系统）是一种以地理坐标为基础，用于存储、处理、分析和可 视化地理数据的强大工具。在GIS中，空间数据插值是一种常用的技术，用于根 据已知的点数据来估计未知地点的属性值。本文将对常见的GIS空间数据插值方 法进行优劣比较分析，以帮助用户选择适合自己需求的方法。 1. Kriging插值法 Kriging是一种基于统计模型的插值方法，其基本思想是用已知点的值的权重 的线性和来估计未知点的值。Kriging方法考虑了空间数据的空间相关性，针对空 间上的各点给予不同的权重，可以得到较为准确的预测结果。相比于其他插值方法，Kriging在保持空间一致性和稳定性方面具有优势，但其计算复杂度较高，对于大 规模数据和计算资源有要求。 2. 反距离加权插值法 反距离加权法是一种简单而直观的插值方法。其基本思想是根据已知点到未知 点的距离的倒数来给予权重，在插值时对已知点的值进行加权平均。反距离加权插值法对于局部数据的变化敏感，对离插值点较近的点给予较大的权重，因此适用于局部变化较为明显的情况。然而，反距离加权法没有考虑空间相关性，容易受到离群点的影响。 3. 最近邻插值法 最近邻插值法是一种简单而快速的插值方法。其基本思想是在已知点中找到最 近的邻居点，将其值作为未知点的值。最近邻插值法适用于空间数据较为离散、空间相关性较小的情况。然而，最近邻插值法无法提供流畅的表面，结果可能是一个由离散点组成的表面。 4. 样条插值法 样条插值法是一种平滑而连续的插值方法。其基本思想是通过插值节点处的多 项式函数来逼近已知点的形态。样条插值法能够提供流畅的表面，并在插值点周围具有较高的精度。但样条插值法对于大规模数据的计算较为复杂，且对插值节点选取较为敏感，需要合适的节点密度来平衡平滑性与精度。 综上所述，不同的GIS空间数据插值方法具有各自的优势和劣势。Kriging插 值法在保持空间一致性和稳定性方面具有优势，但计算复杂度较高；反距离加权法适用于局部变化较为明显的情况，但容易受到离群点的影响；最近邻插值法简单而快速，适用于空间数据较为离散的情况，但无法提供流畅的表面；样条插值法能够提供流畅的表面，具有较高的精度，但计算复杂度较高，对插值节点选取敏感。因
插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x ,
插值法的应用与比较 信科１302 万贤浩 1327１０3８ 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值)多项式.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1７７９年发现,不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现。179５年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。 1．１拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(−9， 5）, (−4, 2)， （−１， −2), (7, ９)，拉格朗日多项式： )(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y ， )(22x l y 以及)(x l y ςς各 穿过对应的一点,并在其它的三个点的x 值上取零。 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ，………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个。如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点: