八年级上册数学几何证明定理

七年级常用几何证明的定理

1、对顶角相等

∵∵1与∵2互为对顶角

∵∵1＝∵2

2、垂直的定义

∵∵AOB＝90°

∵AB∵CD

∵AB∵CD

∵∵AOB＝90°

3、平行公理

平行于同一直线的两直线平行。

∵AB∥EF，CD∥EF

∴AB∥CD

4、同位角相等，两直线平行

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD

5、内错角相等，两直线平行

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD

6、同旁内角互补，两直线平行

∵∠1+∠2＝180O

∴AB∥CD

7、垂直于同一直线的两直线平行

∵a⊥c，b⊥c

∴a∥b

8、两直线平行，同位角相等

∵AB∥CD

∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2

10、两直线平行，同旁内角互补

∵AB∥CD

∴∠1+∠2＝180°

11、余角的性质：同角或等角的余角相等

∵∠3与∠4互为对顶角

∴∠3＝∠4

∵∠1＋∠3＝90°

∠2＋∠4＝90°

∴∠1＝∠2

12、补角的性质：同角或等角的补角相等

∵∠AOB＋∠BOD＝180°

∠AOC＋∠COD＝180°

且∠BOD＝∠AOC

∴∠AOB＝∠COD

八年级常用几何证明的定理

1、三角形的角平分线

∵BD是△ABC的角平分线

∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC

2、三角形的中线

∵BD是△ABC 的中线

∴AD＝BD＝AB

3、三角形的高线：

∵AD是△ABC的高

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

4、三角形三边的关系：

三角形两边之和大于第三边，两

边之差小于第三边。

如图：|AB－AC|

1

2

1

2

5、三角形内角和定理

（证明：用内角转化为平角）

在△ABC中：

∠A＋∠B＋∠C＝180°

6、直角三角形的两锐角互余

∵△ABC中，∠C＝90°

∴∠A＋∠B＝90°

7、有两个角互余的三角形是直角三

角形

∵∠A＋∠B＝90°

∴△ABC是直角三角形

8、三角形的一个外交等于和它不

相邻的两内角之和

∵∠ACD是△ABC的外角

∴∠ACD＝∠A＋∠B

9、多边形的内角和=180°×（n-2）

n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180°

10、多边形的外角和等于360°

11、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等

∵△ABC≌△DEF

∴AB=DE,BC=EF,AC=DF

∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应）

12、全等三角形的判定定理：

13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的

距离相等（用AAS证明）

∵OC是∠AOC的平分线

且PD⊥AO，PE⊥BO

∴PD＝PE

14、角平分线的判定（垂线段相等

推出角相等）

角的内部到角的两边的距离相等的

点在角平分线上（用HL证明）

∵ PD ⊥AO ，PE ⊥BO ，PD ＝PE ∴点P 在∠A0B 的平分线OC 上

15、垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（用SAS 证明） ∵L ⊥AB ，CA=CB ∴PA ＝PB

16、垂直平分线的判定

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（用HL 证明） ∵PA ＝PB

∴点P 在AB 的垂直平分线L 上

17、对称坐标

点（x ,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ） 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ） 关于x 轴称，x 的坐标不变， 关于y 轴称，y 的坐标不变。 18、等腰三角形两个底角相等（等边对等角） ∵AB=AC ∴∠B=∠C

19、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）

中线推角平分线、高（用SSS 证明） ∵AB=AC ，BD=CD

∵∵BAD=∵CAD ，AD∵BC

角平分线推中线、高（用SAS 证明）

∵AB=AC ，∵BAD=∵CAD ∵ BD=CD ，AD∵BC

高推中线、角平分线（用HL 证明） ∵AB=AC ， AD∵BC

∵ BD=CD ，∵BAD=∵CAD

20、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ∵∠B=∠C ∴AB=AC

20、等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°

∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠A =∠B =∠C =60°

21、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。

22、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。

23、等边三角形内心，重心，垂心，外心四心合一。

24、三个角都相等的三角形是等边三角形 ∵ ∵A= ∵ B= ∵ C

∵∵ABC 是等边三角形

25、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

∵ ∵A=60°, AB=BC

∵∵ABC是等边三角形

26、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

∵∠BAC = 90°，∠C＝30°

∴

AB=BC

27、同时加（减）公共边、公共角

∵AB=CD

∴AB+BC=CD+BC

∴AC=BC

∵∠1=∠2

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD

∴∠BAD=∠CAE

28、三角形中边与角之间的不等关系

三角形中大边对大角。

三角形中大角对大边。

29、线段公理：两点之间，线段最短

垂线公理：垂线段最短

30、将军饮马问题六大模型

1. 如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B。使△PAB的周长最小。

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

6.如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

造桥选址问题(旗形)：A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。

仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A2B最短。连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。所得路径AQPMNB最短。

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八年级上册数学几何证明定理

七年级常用几何证明的定理 1、对顶角相等 ∵∵1与∵2互为对顶角 ∵∵1＝∵2 2、垂直的定义 ∵∵AOB＝90° ∵AB∵CD ∵AB∵CD ∵∵AOB＝90° 3、平行公理 平行于同一直线的两直线平行。 ∵AB∥EF，CD∥EF ∴AB∥CD 4、同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD 5、内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD 6、同旁内角互补，两直线平行 ∵∠1+∠2＝180O ∴AB∥CD 7、垂直于同一直线的两直线平行 ∵a⊥c，b⊥c ∴a∥b 8、两直线平行，同位角相等 ∵AB∥CD ∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等 ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2 10、两直线平行，同旁内角互补 ∵AB∥CD ∴∠1+∠2＝180° 11、余角的性质：同角或等角的余角相等 ∵∠3与∠4互为对顶角 ∴∠3＝∠4 ∵∠1＋∠3＝90° ∠2＋∠4＝90° ∴∠1＝∠2 12、补角的性质：同角或等角的补角相等 ∵∠AOB＋∠BOD＝180° ∠AOC＋∠COD＝180° 且∠BOD＝∠AOC ∴∠AOB＝∠COD 八年级常用几何证明的定理 1、三角形的角平分线 ∵BD是△ABC的角平分线 ∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC 2、三角形的中线 ∵BD是△ABC 的中线 ∴AD＝BD＝AB 3、三角形的高线： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB＝∠ADC＝90° 4、三角形三边的关系： 三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边。 如图：|AB－AC|

5、三角形内角和定理 （证明：用内角转化为平角） 在△ABC中： ∠A＋∠B＋∠C＝180° 6、直角三角形的两锐角互余 ∵△ABC中，∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝90° 7、有两个角互余的三角形是直角三 角形 ∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是直角三角形 8、三角形的一个外交等于和它不 相邻的两内角之和 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD＝∠A＋∠B 9、多边形的内角和=180°×（n-2） n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180° 10、多边形的外角和等于360° 11、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE,BC=EF,AC=DF ∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应） 12、全等三角形的判定定理： 13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的 距离相等（用AAS证明） ∵OC是∠AOC的平分线 且PD⊥AO，PE⊥BO ∴PD＝PE 14、角平分线的判定（垂线段相等 推出角相等） 角的内部到角的两边的距离相等的 点在角平分线上（用HL证明）

初中平面几何四个重要定理

初中数学知识重点整理 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： 。

【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、 CG相交于一点。

【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。

八年级数学上册几何定理的表达 与证明

八上数学定理的几何表达 一、三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 几何表达式： 在△ABC中， AB+AC＞BC; AB-AC＜BC; 二、三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。 几何表达式： （1）∵AH是ΔABC的高 ∴∠AHC=90°（垂直定义） (2) ∵∠AHC=90° ∴AH是ΔABC的高（判定垂直）

三、三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 几何表达式： (1) ∵AD是三角形的中线 ∴BD = CD（性质） (2) ∵BD = CD ∴AD是三角形的中线（判定） 四、三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 几何表达式： （1）∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义） (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）

五、三角形的内角和与外角和 （1）三角形的内角和180°； （2）直角三角形的两个锐角互余； （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （1）在△ABC中， ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° （2）在Rt△ABC中， ∵∠B=90° ∴∠A+∠C=90° （3）∠ACD=∠A+∠B （4）∠ACD>∠A ∠ACD>∠B

六、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE, AC=DF, BC=EF ∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F. 七、全等三角形的判定 1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS） 2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS） 3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA） 4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS） 5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）在△ABC和△DEF中 AB＝DE AC＝DF BC＝EF AB＝DE

八年级上册几何证明的重要定理

八年级上册几何证明的重要定理 1、互为余角和互为补角的有关概念与性质如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角； 2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（传递性） 3、平行的性质①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补。 4、平行的判定①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义：不相交的两条直线叫做平行线。 5、临补角互补，对顶角相等。 6、垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 7、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 8、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（可以判断三边是否能够成三角形） 9、三角形的内角和：三角形的内角和为180° 10、三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（用于角度计算中）性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（用于证明两个角度比较大小） 11、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n ·180° 12、多边形的外角和：多边形的外角和为360°. 13、多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n 条对角线，把多边形分成(2)n 个三角形.②n 边形共有(3) 2nn 条对角线. 14、正多边形每个内角度数：用(2)n ·180°除以n,每个外角度数：360°除以n。 15、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 16、全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 17、角平分线：⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 18、轴对称的性质： ①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. 19、线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 20、等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.

八年级几何定理-经典总结

初二（八年级）几何定理总结 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边相等、对应角相等 22边角边公理(SAS) ：有两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) ：有两角和其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) ：有三边分别对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 ：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 ：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 推论2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 ：三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 ； 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1： 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 ：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理3 ： 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 ：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理： 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 47勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a 、b 、c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形 48定理： 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理： n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 ：夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4： 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1： 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 ：矩形的对角线相等 62矩形判定1： 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定2： 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 ：菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 ：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b ）÷2 67菱形判定定理1 ：四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 ：正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1： 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2： 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理： 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一 点中心对称 74等腰梯形性质定理 ：等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 ：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 ： 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。L= 12 （a+b ） S=L×h 83、三角形：（1）在一个三角形中：等边对等角，等角对等边．（2）证明两个三角形全等的方法有：SAS ，AAS ，ASA ，SSS ，HL ．（3）在Rt △中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）证明一个三角形是直角三角形的方法有：①证明有一个角等于90o ．②证明最长边的平方等于另两边的平方和．③证明一条边的中线等于这条边的一半．（5）三角形的中位线平行于笫三边，并且等于笫三边的一半．（6）等腰三角形中，顶角的平分线与底边上的中线和高线互相重合． 84、四边形：（1）n 边形的内角和等于(n －2)180o，外角和等于360o．（2）平行四边形的性质： 对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分．（3）证明一个四边形是平行四边形的方法有：①证两组对边平行．②证两组对边相等．③证一组对边平行且相等．④证两条对角线互相平分．⑤证两组对角分别相等．（4）矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相垂直平分，并且四条边相等．（5）证明一个四边形是矩形的方法有：①证明它有三个角是直角．②先证它是平行四边形，再证它有一个角是直角或对角线相等．（6）证明一个四边形是菱形的方法有：①先证明它的四条边相等．②先证它是平行四边形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．（7）正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质．（8）梯形的中位线平行于两底并且等 于两底之和的一半．（9）轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方 形，正多边形，圆．中心对称图形有：线段，平行四边形，矩形，菱形，正方形，边数是偶数的正多边形，圆．（10）先证它是梯形，再证它同一底上的两个角相等或对角线相等．

几何证明方法(初中数学)

初中数学几何证明题技巧，归类 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一） 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 *8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.垂径定理 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.相似三角形的对应角相等。 7.圆的内接四边形的外角等于内对角。 三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形梯形的中位线平行于第三边，底边。 6.平行于同一直线的两直线平行。

八年级数学复习必背几何定理定义公式

八年级数学复习必背几何定理定义公式 班级 姓名 第一部分 相交线、平行线 1、 直线公理：经过两点有且只有一条直线（两点确定一直线）。 2 、线段公理：两点之间线段最短。 3、 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等。 5、垂线的性质： ①经过一点．． 有且只有一条直线和已知直线垂直。 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简写为：垂线段最短。） 6、平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。 7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种，相交和平行。 在空间几何中两条直线的位置关系有三种，相交、平行和异面。 8、平行公理：经过直线外一点．．．．． ，有且只有一条直线与这条直线平行。 7、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 9、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 10、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 第二部分 三角形 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫作三角形。 2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 4、三角形的高：经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。 5、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 6、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 7、推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 8、真命题：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 9、多边形的内角和公式：（n-2)180° 10、任意多边的外角和等于360°。 11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线。从n 边形（n ≥3）的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n 边形（n ≥3）一共有)3(2 1 n n 条对角线。 12、能够完全重合的两个图形叫作全等形。 13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。全等三角形的对应边、对应角相等 。

沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

精品文档 用心整理 沪教版初二数学上册 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练 习 《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义； 2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本 方法和思路； 3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹； 4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、几何证明 1.．命题和证明 （1）命题 定义：判断一件事情的句子. 判断为正确的命题，叫做真命题； 判断为错误的命题，叫做假命题. （2）演绎证明（简称证明） 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程 要点诠释： 命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成 “如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论. 2.公理和定理 （1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原 始依据. （2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真 假的依据，这样的真命题叫做定理. 3.逆命题与逆定理 （1 ）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二 个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题（ 2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理. 4.证明真命题的一般步骤 （1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证） （2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号

八年级上册数学证明知识点

八年级上册数学证明知识点数学证明是数学学习中非常重要的一部分，也是很多学生头疼的一部分。八年级上册数学课程中，证明也是学习的重点之一。本文将针对八年级上册数学证明的知识点进行阐述，希望能对广大同学的学习有所帮助。 一、选用证明方法 证明数学问题时，选用不同的方法会影响证明的难度和证明的精细程度。八年级上册数学证明涉及的证明方法主要有归纳法、反证法、数学归纳法、分方法、结论攻略法等。在选用具体证明方法时，需要考虑到证明的难度、精确性和时效性等，然后确定证明的思路和具体步骤。 二、归纳法的应用 归纳法是证明数学问题时比较常用的一种证明方法，它是一种递归思想，使用起来比较方便。例如，证明自然数n满足某个性质，可以先证明n=1时性质成立，然后假设n=k时性质成立，再通过n=k+1时性质也成立的方式证明n满足某个性质。

在八年级上册数学中，归纳法可以用来证明等式、不等式、几 何图形的性质等问题。例如，我们可以使用归纳法证明斐波那契 数列的前n项和等于第n+2项减1。首先，当n=1时，前n项和为1，第n+2项为2，所以等式成立；接着，假设当n=k时等式成立，即前k项和等于第k+2项减1，那么当n=k+1时，前k+1项和可 以表示为前k项和加上第k+1项，即： F(1)+F(2)+...+F(k)+F(k+1)=(F(k+1)-1)+F(k+1)，化简得证明。 三、反证法的应用 反证法是证明某些数学问题时非常有用的一种证明方法，通常 用来证明一些不存在、不合法或矛盾的情况。在八年级上册数学中，反证法可以用来证明等式、不等式、几何图形的性质等问题。例如，我们可以使用反证法证明勾股定理。 假设存在一组整数a, b, c，且它们满足勾股定理a²+b²=c²。我们可以通过证明质数和偶数的性质来推定a, b, c至少有一个为偶数，然后通过公因式将它们约分，可以得到一个新的完整勾股三元组，将其视为原三元组，如此重复下去，可以推断出所有的勾股三元

初二数学上册几何知识点总结

初二数学上册几何知识点总结 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点及直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线及这条直线平行 8 假如两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边, 对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边, 直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等 边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线, 底边上的中线和底边上的高相 互重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

初中数学 几何证明题的知识点总结

几何证明题的知识点总结 知识点： 一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理： 定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 M P A B N 二、角平分线的性质定理及其逆定理： 定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。 三、相交线、平行线 1、对顶角相等 2、平行线的判定 （1)同位角相等，两直线平行 （2)内错角相等，两直线平行 （3)同旁内角互补，两直线平行 3、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 （4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

四、三角形 1、等腰三角形 （1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线 （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT 的性质定理： （1）RT 的两个锐角互余。 （2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。 推论： （1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。 （2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。 2、勾股定理 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即： c b a 2 22 =+ 3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。 4、全等三角形的判定定理 （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应角相等 （2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等 五、平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理：（1)平行四边形的对边相等 （推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等） （2）平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的两条对角线互相平分 （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 六、矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质：（1）矩形的四个角都是直角 （2）矩形的对角线相等

初二数学几何证明

初二数学几何证明 第一篇：初二数学几何证明 1.已知△ABC是等边三角形，D是BC边延长线上一点，以AD为边作等边三角形ADE。连接CE.求证：CE平分∠ACD E A BCD 2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC .3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等边三角形，求证：四边形ADEF 是平行四边形.A D F BC 4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC 交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。试说明BD=2CH。 A 21C 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过C点在△ABC形外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N． (1)求证： MN=AM+BN (2)△ABC内，∠ACB=90°，AC=BC若过C点在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM，BN和MN满足MN=AM-BN，并证明之． 6.“等腰三角形两腰上的高相等” (1)根据上述命题，画出相关图形，并写出“已知’’“求证”，不必证明．(2)写出上述命题的逆命题，并加以证明． 7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别是AB、

BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长． 8.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF． B FA D C 9.已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF 和DE交于点P．求证： CP=CD 10.如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长． (2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积． 11.如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M 是BC的中点．求证：EM=FM A B E C 12.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等） 13.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=Λ=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

八年级数学几何证明题技巧(含答案)

几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF C F B A E D 图1 分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =， ∠=︒DCF 45。从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴≅∴=∆∆A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的

八年级上册几何知识点总结

几何局部 一．全等三角形 １、能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和大小都一样。 ２、两个能重合的三角形叫全等三角形。 ３、全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ４、三角形全等的判定： 1〕三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边〞)。 2〕有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边〞)。 3〕有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角〞)。 4〕有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边〞) 5〕三条中线〔或高、角平分线〕分别对应相等的两个三角形全等。 ５、直角三角形全等的判定： 1〕斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边〞)。 2〕以上判定方法对于直角三角形全部适用。 二．轴对称图形 〔一〕轴对称及轴对称图形 1.轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够及另一个图形重合，那么这两个图形关于 这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，那么这个图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3.轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别: ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个局部沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系：①两局部都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个 轴对称图形的两旁的局部看成两个图形，这两个局部图形就成轴对称。 4.常见的轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、 等边三角形、角、线段、相交的两条直线等，正多边形等。 〔分别指出这些图形的对称轴的条数〕 5.怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。〔平面直角坐标系内的 点关于坐标轴以及一些特殊的直线的对称〕 6.轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 〔二〕线段，角的轴对称性

数学人教版八年级上册多种方法证明定理

《三角形内角和》优秀教学设计 学 习 目 标 知识与技能 通过操作活动，探究并掌握三角形内角和性质，并能应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题。 过程与方法 经历观察、操作、想象、推理、交流，发展空间观念、 推理能力和有条理的表达能力。 情感态度价值观 学会多角度寻求解决问题的途径,在操作中进行自觉思 考,积累数学探索的经验 学习重点 三角形内角和定理的证明 及应用 学习难点 三角形内角和定理的推理过程（辅助线的添加） 学 习 过 程 教 师 活 动 学生活 动 一、 情境导入 内角三兄弟的对话。（见课件） 二、探索新知 1、 大胆猜测： 命题：三角形的三个内角的和等于180° 请学生思考该命题的题设和结论。 2、动手操作 拿出三角形学具，将它的两个内角撕下，把三个内角拼合在一起看看，你能量得它们的和为180°吗？ 设计意图： 通过动手操作，得到三角形内角和为180°的直观认识，以提高对课题的认识，激发学生的兴趣。通过对拼图过程的引导与分析，为下面添加辅助线进行证明作好铺垫。 同桌交 流 用量角器量三 角形三 个内角 的大小， 并比较 交流讨 论，并动手操作 分析论证 图1 图2 A B C C B A B C A B

3、交流讨论尝试证明 (1)拼角的实质其实就是将三角形的三个内角集中到某一个点，构成一个平角。 (2)对照你拼好了的图，与小组内的同学进行交流，有什么办法可以将这两个角进行转移？ (3)谈谈你的思路，能给出证明吗？ 设计意图：因为八年级学生的思维中直觉思维处于主导地位，因此先观察拼图可以使学生由拼图受启发，从实物图形抽象出几何图形，自然引出辅助线的作法，顺利突破难点。一题多证有利于学生进一步 弄懂作辅助线的思路，在这个环节中充分让学生表述自己的观点，这一过程对培养学生的能力极为重要。 证法一、 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：略 证法二、归纳小结 练习 思考，讨论

上海教材八年级第十九章几何证明知识整理

上海教材八年级第十九章 几何证明知识整理 一、知识梳理： 重要定理： ★线段的垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 如图： ∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图： ∵PA=PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上 ★角平分线 定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 如图： ∵OP 平分∠AOB P D ⊥OA ，P E ⊥OB ∴PD=PE 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 如图： ∵PD=PE P D ⊥OA ，P E ⊥OB ∴OP 平分∠AOB ★基本轨迹 轨迹1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。 轨迹2：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。 轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。 ★直角三角形的全等判定 直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。（H.L ） ★直角三角形的性质及判定 定理1：直角三角形的两个锐角互余。 如图： ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图： ∵∠ACB=90°， 且点D 是AB 的中点 ∴AB CD 2 1 （CD=AD=BD ，或AB=2CD ） M N B A P A B O D E P B B

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 如图： ∵∠C=90°，∠A=30° ∴AB BC 2 1 = 推论2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于30°。 如图： ∵∠C=90°，AB BC 2 1 = ∴∠A=30° ★勾股定理及逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 如图： ∵∠C=90°， ∴2 2 2 AB BC AC =+ （2 2 2 c b a =+） 勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 如图： ∵2 2 2 AB BC AC =+， ∴⊿ABC 是RT ⊿，且∠C=90° ★两点之间的距离公式： 若A （1x ，1y ）B （2x ，2y ），则AB=2 212 21)()(y y x x -+- 二、基础训练 命题 1、等腰三角形的底角相等的逆命题是 2、下列说法正确的是（ ） A 、每个定理都有逆定理 B 、真命题的逆命题是真命题 C 、假命题的逆命题是假命题 D 、每个命题都有逆命题 轨迹 1、到定点A 的距离为4cm 的点的轨迹是 。 2、经过点P 、Q 的圆的圆心轨迹是 。（怎样画） 3、到∠AOB 的两边距离相等的点的轨迹是 。（怎样画） 线段的垂直平分线 1、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，AB=8cn ，BC=6cm ，则⊿BCD 的周长是 。 2、已知，在⊿ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 边的垂直平分线，AB=16cm ，且 ⊿BCD 的周长是30cm ， BC= 。 B