八年级数学上册几何定理的表达 与证明

八上数学定理的几何表达

一、三角形的三边关系

三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

几何表达式：

在△ABC中，

AB+AC＞BC;

AB-AC＜BC;

二、三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

几何表达式：

（1）∵AH是ΔABC的高

∴∠AHC=90°（垂直定义）

(2) ∵∠AHC=90°

∴AH是ΔABC的高（判定垂直）

三、三角形的中线

在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.

几何表达式：

(1) ∵AD是三角形的中线

∴BD = CD（性质）

(2) ∵BD = CD

∴AD是三角形的中线（判定）

四、三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

几何表达式：

（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）

(2) ∵∠BAD=∠CAD

∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）

五、三角形的内角和与外角和

（1）三角形的内角和180°；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（1）在△ABC中，

∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°

（2）在Rt△ABC中，

∵∠B=90°

∴∠A+∠C=90°

（3）∠ACD=∠A+∠B

（4）∠ACD>∠A

∠ACD>∠B

六、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DEF

∴AB=DE, AC=DF, BC=EF

∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.

七、全等三角形的判定

1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）

2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）

3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）

4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）

5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（2）在△ABC和△DEF中

AB＝DE

AC＝DF

BC＝EF

AB＝DE

∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（4）在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（AAS）

（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）

或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D

∠B＝∠E

AB＝DE

∠A＝∠D

BC＝EF

∠B＝∠E

AC＝A′C′

AB＝A′B′

BC＝B′C′

AB＝A′B′

八、角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

∵AD 是∠C AB的角平分线，

或∵∠DAC=∠DAB

DC⊥AC ，D B⊥AB

∴DC=DB

九、角平分线的判定

角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，

DC=DB

∴点D在∠CAB的角平分线上。

或∴∠DAC=∠DAB

内心：三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

十、线段的垂直平分线（中垂线）

（1）线段垂直平分线的定义

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。∵PC是 AB的垂直平分线

∴AC=BC，∠ACP=∠ BCP=90°

（2）线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

∵PC是 AB的垂直平分线

∴PA=PB

（3）线段垂直平分线的判定

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

或∵AP=BP

∴点P 在AB的垂直平分线上。

方法一、利用线段垂直平分线的定义证明。垂直+中点平分

∵AC=BC，∠ACP=∠ BCP=90°

∴PC是AB的垂直平分线

方法二、利用等腰三角形三线合一性质证明。等腰三角形+垂直（或平分）∵PA=PB

∴△PAB是等腰三角形

∵PC⊥AB

∴AC=BC

∴PC垂直平分AB

方法三、利用两点确定一条直线证明。

∵PA=PB

∴点P在AB的垂直平分线上。

∵DA=DB

∴点D在AB的垂直平分线上。

∴PD垂直平分AB

例题：如图,已知:在三角形ABC中,角BAC的角平分线交BC于D,且DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AD是EF的垂直平分线。

解：∵AD是△ABC的角平分线.

DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF （角平分线上的点到角两边的距离相等。）

方法一、利用线段垂直平分线的定义证明。垂直+中点平分

解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∵∠AED=∠AFD=90°,

DE=DF（已证)

AD=AD(公共边)

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).

∴ AE=AF(全等三角形的对应边相等).

在△AOE和△AOF中，

AE=AF(已证),

∠EAO=∠FAO(已知)，

AO=AO(公共边),

∴△AOE≌△AOF(SAS).

∴EO=FO,∠AOE=∠AOF(全等三角形的对应边,对应角相等).

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AD⊥EF(垂直的定义)

∴ AD垂直平分EF(线段垂直平分线的定义).

方法二、利用等腰三角形三线合一性质证明

解:∵DE=DF (角平分线上的点到角两边的距离相等)，

∵AD是△ABC的角平分线(已知)，

∴∠EAD=∠FAD（三角形角平分线的定义).

∵∠EDA=180°-∠EAD -∠AED=90°-∠EAD，

∠FDA=180°-∠FAD—∠AFD=90°-∠FAD，

∴∠EDA=∠FDA(等量代换）

∵ DE=DF（△DEF是等腰三角形）

∴AD⊥EF,EO=FO (等腰三角形三线合一)，

即AD垂直平分EF.

评析：等腰三角形三线合一性质非常重要,可以解决垂直、平分角、平分线段等问题,是解决问题的利器,这种方法,不通过证明三角形全等,书写过程简单.

方法三、利用两点确定一条直线证明。

∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).

∴点D在EF的垂直平分线上(到一条线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).

∵∠EDA=180°-∠EAD -∠AED=90°-∠EAD，

∠FDA=180°-∠FAD—∠AFD=90°-∠FAD，

∴∠EDA=∠FDA(等量代换）

∴AE=AF(角平分线上的点到角两边的距离相等).

同理,点A 也在EF的垂直平分线上。

∴AD垂直平分EF(（两点确定―条直线).

评析：这种方法要证明两点都在线段EF的垂直平分线上,不需要证明三角形全等，书写简单,但逻辑思维性很强,有部分同学只证明出一个点在线段的垂直平分线上﹐就得出AD垂直平分EF,这是错误的,因为两点确定一条直线，只有两个点都在线段的垂直平分线上,才可得出结论,可举如下反例加以纠正。

如图，AE=AF，只能说明点A在EF的垂直平分线上，而不能得到AD垂直平分EF。

（4）外心：外接圆的圆心。

三角形三条垂直平分线的交点叫外心，外心到三个顶点的距离是相等的。

十一、等腰三角形

（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形。

（2）等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

在△ABC中，

∵AB=AC

∴∠B=∠C

性质2：等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）；

在△ABC中，

∵AB=AC

BD=CD

∴AD⊥BC（或：∠ADB=∠ADC=90°）

∴∠BAD∠DAC（三线合一，知其一另外两个可以直接用出来。）

性质3：如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（简写成“等角对等边”）。

在△ABC中，

∵∠B=∠C

∴AB=AC

十二、等边三角形

（1）等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于

60°，等边三角形的三条边都相等。

（3）等边三角形的判定：

判定一：三条边都相等的三角形是等边三角形；

判定二：三个角都相等的三角形是等边三角形；

判定三：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形（任意角等于60°即可）。十三、直角三角形

在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.

如图，将两个含30°角全等的三角尺摆放在一起，求证：CD与AC之间的关系。∵△ABD和△ADC是轴对称图形，

∴AB=AC

∴∠BAC=60°

即△ABC是等边三角形

∵AD⊥BC

∴BD=CD=1

AC

2

∴∠DAC=30°，所对的直角边是斜边的一半。

八年级上册数学几何证明定理

七年级常用几何证明的定理 1、对顶角相等 ∵∵1与∵2互为对顶角 ∵∵1＝∵2 2、垂直的定义 ∵∵AOB＝90° ∵AB∵CD ∵AB∵CD ∵∵AOB＝90° 3、平行公理 平行于同一直线的两直线平行。 ∵AB∥EF，CD∥EF ∴AB∥CD 4、同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD 5、内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD 6、同旁内角互补，两直线平行 ∵∠1+∠2＝180O ∴AB∥CD 7、垂直于同一直线的两直线平行 ∵a⊥c，b⊥c ∴a∥b 8、两直线平行，同位角相等 ∵AB∥CD ∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等 ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2 10、两直线平行，同旁内角互补 ∵AB∥CD ∴∠1+∠2＝180° 11、余角的性质：同角或等角的余角相等 ∵∠3与∠4互为对顶角 ∴∠3＝∠4 ∵∠1＋∠3＝90° ∠2＋∠4＝90° ∴∠1＝∠2 12、补角的性质：同角或等角的补角相等 ∵∠AOB＋∠BOD＝180° ∠AOC＋∠COD＝180° 且∠BOD＝∠AOC ∴∠AOB＝∠COD 八年级常用几何证明的定理 1、三角形的角平分线 ∵BD是△ABC的角平分线 ∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC 2、三角形的中线 ∵BD是△ABC 的中线 ∴AD＝BD＝AB 3、三角形的高线： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB＝∠ADC＝90° 4、三角形三边的关系： 三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边。 如图：|AB－AC|

5、三角形内角和定理 （证明：用内角转化为平角） 在△ABC中： ∠A＋∠B＋∠C＝180° 6、直角三角形的两锐角互余 ∵△ABC中，∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝90° 7、有两个角互余的三角形是直角三 角形 ∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是直角三角形 8、三角形的一个外交等于和它不 相邻的两内角之和 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD＝∠A＋∠B 9、多边形的内角和=180°×（n-2） n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180° 10、多边形的外角和等于360° 11、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE,BC=EF,AC=DF ∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应） 12、全等三角形的判定定理： 13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的 距离相等（用AAS证明） ∵OC是∠AOC的平分线 且PD⊥AO，PE⊥BO ∴PD＝PE 14、角平分线的判定（垂线段相等 推出角相等） 角的内部到角的两边的距离相等的 点在角平分线上（用HL证明）

八年级数学上册几何定理的表达 与证明

八上数学定理的几何表达 一、三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 几何表达式： 在△ABC中， AB+AC＞BC; AB-AC＜BC; 二、三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。 几何表达式： （1）∵AH是ΔABC的高 ∴∠AHC=90°（垂直定义） (2) ∵∠AHC=90° ∴AH是ΔABC的高（判定垂直）

三、三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 几何表达式： (1) ∵AD是三角形的中线 ∴BD = CD（性质） (2) ∵BD = CD ∴AD是三角形的中线（判定） 四、三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 几何表达式： （1）∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义） (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）

五、三角形的内角和与外角和 （1）三角形的内角和180°； （2）直角三角形的两个锐角互余； （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （1）在△ABC中， ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° （2）在Rt△ABC中， ∵∠B=90° ∴∠A+∠C=90° （3）∠ACD=∠A+∠B （4）∠ACD>∠A ∠ACD>∠B

六、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE, AC=DF, BC=EF ∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F. 七、全等三角形的判定 1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS） 2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS） 3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA） 4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS） 5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）在△ABC和△DEF中 AB＝DE AC＝DF BC＝EF AB＝DE

沪教版八年级上册-几何证明讲义

第二种：FB =CE ，AC =DF 添加 ③∠ACB =∠DFE 证明：因为FB =CE ，所以BC =EF ，又∠ACB =∠DFE AC =EF ，所以ABC ?DEF 所以∠ABC =∠DEF 所以AB//ED 精讲名题 例1、已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 证明：连结CD A C B C A B A C B A D D B C D B D A D D C B B A A E C F A D C B A D C D =∴∠=∠∠ =?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E C D F D E D F 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。 例2、已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F 证明：连结AC 在?A B C 和?C D A 中， AB CD BC AD AC CA ABC CD A SSS B D AB CD AE CF BE D F ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?B C E 和?D A F 中， BE D F B D B C D A BC E D A F SAS E F =∠=∠=??? ? ?∴?∴∠=∠??() 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

例3、已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C =?==90。 求证：FD ⊥ED 证明一：连结AD AB AC BD D C D A E D AB BAC BD D C BD AD B D AB D AE ==∴+=?==?=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090 在?A D E 和?B D F 中， A E B F B D A E A D B D A D E B D F F D E D ===∴?∴∠=∠∴∠+∠=?∴⊥，∠∠，??31 3290 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图所示，延长ED 到M ，使DM ＝ED ，连结FE ，FM ，BM B C A E F D M 图5 B D D C B D M C D E D M D E B D M C D E C E B M C C B M B M A C A A B M A A B A C B F A E A F C E B M =∠=∠=∴?∴=∠=∠∴∠=?∴∠=?=∠==∴==，，，??//9090

几何证明方法(初中数学)

初中数学几何证明题技巧，归类 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一） 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 *8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.垂径定理 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.相似三角形的对应角相等。 7.圆的内接四边形的外角等于内对角。 三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形梯形的中位线平行于第三边，底边。 6.平行于同一直线的两直线平行。

沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

精品文档 用心整理 沪教版初二数学上册 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练 习 《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义； 2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本 方法和思路； 3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹； 4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、几何证明 1.．命题和证明 （1）命题 定义：判断一件事情的句子. 判断为正确的命题，叫做真命题； 判断为错误的命题，叫做假命题. （2）演绎证明（简称证明） 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程 要点诠释： 命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成 “如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论. 2.公理和定理 （1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原 始依据. （2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真 假的依据，这样的真命题叫做定理. 3.逆命题与逆定理 （1 ）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二 个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题（ 2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理. 4.证明真命题的一般步骤 （1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证） （2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号

初中八年级数学几何定理符号语言

初中数学“图形与几何”内容 在中考中，几何解答题、几何证明题是热点内容，在解答过程中经常要用到定义、定理，而具体的过程需要用到符号语言表示，因此学生必须熟练掌握每个定理的几何表示法，下面就把初中阶段八年级涉及的所有几何定理的符号语言归纳出来：

初中数学“图形与几何”内容 八年级上册 20、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 F E D A B C 21、全等三角形的判定方法： （1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS ） 几何语言：如图所示 ∵AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ∴△ABC ≌△DEF （2）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS ） 几何语言：如图所示 ∵AB=DE ，∠A=∠D ，AC=DF ∴△ABC ≌△DEF （3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA ） 几何语言：如图所示 ∵∠A=∠D ，AB=DE ，∠B=∠E ∴△ABC ≌△DEF （4）角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS ） 几何语言：如图所示 ∵∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ∴△ABC ≌△DEF （5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（H L ） 22、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 23、推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 24、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。 25 、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 E F P A B C D

初二数学上册几何知识点总结

初二数学上册几何知识点总结 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点及直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线及这条直线平行 8 假如两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边, 对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边, 直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等 边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线, 底边上的中线和底边上的高相 互重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

数学人教版八年级上册多种方法证明定理

《三角形内角和》优秀教学设计 学 习 目 标 知识与技能 通过操作活动，探究并掌握三角形内角和性质，并能应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题。 过程与方法 经历观察、操作、想象、推理、交流，发展空间观念、 推理能力和有条理的表达能力。 情感态度价值观 学会多角度寻求解决问题的途径,在操作中进行自觉思 考,积累数学探索的经验 学习重点 三角形内角和定理的证明 及应用 学习难点 三角形内角和定理的推理过程（辅助线的添加） 学 习 过 程 教 师 活 动 学生活 动 一、 情境导入 内角三兄弟的对话。（见课件） 二、探索新知 1、 大胆猜测： 命题：三角形的三个内角的和等于180° 请学生思考该命题的题设和结论。 2、动手操作 拿出三角形学具，将它的两个内角撕下，把三个内角拼合在一起看看，你能量得它们的和为180°吗？ 设计意图： 通过动手操作，得到三角形内角和为180°的直观认识，以提高对课题的认识，激发学生的兴趣。通过对拼图过程的引导与分析，为下面添加辅助线进行证明作好铺垫。 同桌交 流 用量角器量三 角形三 个内角 的大小， 并比较 交流讨 论，并动手操作 分析论证 图1 图2 A B C C B A B C A B

3、交流讨论尝试证明 (1)拼角的实质其实就是将三角形的三个内角集中到某一个点，构成一个平角。 (2)对照你拼好了的图，与小组内的同学进行交流，有什么办法可以将这两个角进行转移？ (3)谈谈你的思路，能给出证明吗？ 设计意图：因为八年级学生的思维中直觉思维处于主导地位，因此先观察拼图可以使学生由拼图受启发，从实物图形抽象出几何图形，自然引出辅助线的作法，顺利突破难点。一题多证有利于学生进一步 弄懂作辅助线的思路，在这个环节中充分让学生表述自己的观点，这一过程对培养学生的能力极为重要。 证法一、 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：略 证法二、归纳小结 练习 思考，讨论

初二数学几何证明

初二数学几何证明 第一篇：初二数学几何证明 1.已知△ABC是等边三角形，D是BC边延长线上一点，以AD为边作等边三角形ADE。连接CE.求证：CE平分∠ACD E A BCD 2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC .3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等边三角形，求证：四边形ADEF 是平行四边形.A D F BC 4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC 交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。试说明BD=2CH。 A 21C 5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过C点在△ABC形外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N． (1)求证： MN=AM+BN (2)△ABC内，∠ACB=90°，AC=BC若过C点在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM，BN和MN满足MN=AM-BN，并证明之． 6.“等腰三角形两腰上的高相等” (1)根据上述命题，画出相关图形，并写出“已知’’“求证”，不必证明．(2)写出上述命题的逆命题，并加以证明． 7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别是AB、

BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长． 8.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF． B FA D C 9.已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF 和DE交于点P．求证： CP=CD 10.如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长． (2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积． 11.如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M 是BC的中点．求证：EM=FM A B E C 12.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等） 13.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=Λ=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

八年级上册几何知识点总结

几何局部 一．全等三角形 １、能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和大小都一样。 ２、两个能重合的三角形叫全等三角形。 ３、全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ４、三角形全等的判定： 1〕三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边〞)。 2〕有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边〞)。 3〕有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角〞)。 4〕有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边〞) 5〕三条中线〔或高、角平分线〕分别对应相等的两个三角形全等。 ５、直角三角形全等的判定： 1〕斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边〞)。 2〕以上判定方法对于直角三角形全部适用。 二．轴对称图形 〔一〕轴对称及轴对称图形 1.轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够及另一个图形重合，那么这两个图形关于 这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，那么这个图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3.轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别: ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个局部沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系：①两局部都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个 轴对称图形的两旁的局部看成两个图形，这两个局部图形就成轴对称。 4.常见的轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、 等边三角形、角、线段、相交的两条直线等，正多边形等。 〔分别指出这些图形的对称轴的条数〕 5.怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。〔平面直角坐标系内的 点关于坐标轴以及一些特殊的直线的对称〕 6.轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 〔二〕线段，角的轴对称性

初中数学几何证明方法

初中数学几何证明方法 数学几何是初中数学的一个重要分支，它主要研究空间中的点、线、面及其相互关系。在数学几何中，证明是一项关键的技能，它可以帮助我们深入理解几何定理和性质。本文将介绍初中数学几何证明的一些常用方法和技巧。 1. 直接证明法 直接证明法是最常用的证明方法之一，它通过逻辑推理和定理运用来证明一个几何命题。这种证明方法通常包括两个步骤：首先，利用已知条件和几何定理推导出待证命题的前提条件；其次，利用已知条件和几何定理推导出待证命题的结论。最后，结合前提条件和结论，通过逻辑推理来证明待证命题成立。 2. 反证法 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设待证命题不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明待证命题是正确的。这种证明方法通常包括三个步骤：首先，假设待证命题不成立；其次，根据这一假设推导出与已知条件矛盾的结论；最后，由于这个结论与已知条件矛盾，所以假设是错误的，待证命题是正确的。 3. 数学归纳法 数学归纳法是一种常用的证明方法，它适用于证明一类命题的正确性。这种证明方法通常包括两个步骤：首先，证明命题对于某个特

定的数值成立；其次，假设命题对于某个数值成立，然后证明命题对于下一个数值也成立。通过数学归纳法可以证明一类命题的所有情况。 4. 分类讨论法 分类讨论法是一种常用的证明方法，它适用于待证命题有多种情况的情况。这种证明方法通常包括两个步骤：首先，将待证命题分成几种情况讨论；其次，对每种情况分别进行证明。通过分类讨论法可以全面地证明待证命题的所有情况。 5. 双重否定法 双重否定法是一种常用的证明方法，它通过排除其他可能性来证明待证命题的正确性。这种证明方法通常包括两个步骤：首先，假设待证命题不成立；其次，通过排除其他可能性，得出待证命题是正确的结论。通过双重否定法可以证明待证命题的唯一性。 6. 反证法的变形 反证法的变形是一种常用的证明方法，它通过转化待证命题，然后利用已知条件和几何定理推导出与转化后命题矛盾的结论，从而证明待证命题是正确的。这种证明方法通常包括三个步骤：首先，转化待证命题，得到一个等价命题；其次，根据已知条件和几何定理推导出与转化后命题矛盾的结论；最后，由于这个结论与已知条件矛盾，所以待证命题是正确的。

数学初中教材几何证明解析

数学初中教材几何证明解析 数学是一门让很多学生感到头疼的学科，特别是几何证明。然而， 掌握几何证明的方法和技巧对于学生的数学发展和思维训练至关重要。本文将对初中数学教材中的几何证明进行解析，帮助读者更好地理解 和掌握几何证明的原理和方法。 在几何学中，证明是一种非常重要的方法，用于验证几何命题的正 确性。为了进行几何证明，我们需要运用一定的几何定理和性质。下面，我们将对几何证明的常见方法和几何定理进行解析。 一、直角三角形的证明方法 直角三角形是最基础的几何形状之一，也是几何证明中经常出现的。证明一个三角形是直角三角形，有多种方法。一种常见的方法是使用 勾股定理。 1. 勾股定理的应用 勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和的定理。当我们需要证明一个三角形是直角三角形时，可以使用勾股定理 来求解。 例如，在一道题目中，已知一个三角形的两条边长分别为3和4， 需要证明这个三角形是直角三角形。我们可以按照以下步骤进行证明：首先，根据勾股定理，我们可以得到斜边的平方等于两直角边平方和：

斜边平方 = 3的平方 + 4的平方 斜边平方 = 9 + 16 斜边平方 = 25 由于25是一个完全平方数，即5的平方，所以可以判断这个三角 形是直角三角形，斜边等于5。 通过以上的证明过程，我们可以得出结论，这个三角形是一个直角 三角形，斜边等于5。这个例子展示了直角三角形证明中勾股定理的应用。 二、等腰三角形的证明方法 等腰三角形是指两边边长相等的三角形，证明一个三角形是等腰三 角形的方法有很多，下面我们来介绍其中一种常见的方法。 1. 通过辅助线的方法 在证明一个三角形是等腰三角形时，我们可以通过引入一条辅助线 来简化证明过程。具体的步骤如下： 首先，假设一个三角形ABC，已知AB=AC，我们需要证明这个三 角形是等腰三角形。 接下来，我们可以假设在BC中点D处引入一条辅助线，连接AD。 由于BD=CD的关系，我们可以得到三角形ABD和ACD两个三角 形有相等的底边AD和相等的角BDA和CDA。

八年级数学上册第5章一个独特的几何证明(青岛版)

一个独特的几何证明 勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．这是平面几何中的一个十分重要的定理，国外称为毕达哥拉斯(约公元前580——500年)定理．可是，据我国古算书《周髀算经》记载，在公元前十一世纪的周朝初年，商高就讲过“勾广三，股修四、径隅五”．这是我国关于勾股定理的最早陈述，比毕达哥拉斯学派发现勾股定理早了五百多年，不过没有给出证明．到了公元三世纪的三国时期，吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》时，写了一篇《勾股园方图注》，并附了一幅“弦图”(如下图)对勾股定理作出了严格而又简捷的证明： 以勾股为边的长方形可视为被对角线等分成两个直角三角形之和，三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”，四个这样的长方形合成了一个正方形，其面积称为“弦实”，中间突出的小正方形涂上黄色，其面积称为“黄实”，显然这个小正方的边长等于勾、股之差，因为“弦实”等于四个“朱实”与中间“黄实”的和，于是 22221=4(2 ⨯⨯+-=+弦勾股）（股勾）勾股 这个证明不但是勾股定理的最早证明（比国外最先用类似方法来证明的印度数学家婆什迦罗要早900年)，而且也是有史以来勾股定理的四百多种证明中最独特、最巧妙的一个． 应该指出，赵爽证明勾股定理的思想，是把平面几何问题归结为研究平面图形的面积，通过对平面图形面积的代数运算而完成对几何问题的证明．这种几何问题代数化的思想是我国古代数学的一大特点．与古希腊几何学偏重于概念间的逻辑关系，把形与数割裂开来，是完全不同的风格． 还应提到的是，与赵爽大约同时的刘徽，对勾股定理也给出了一个证明，其基本思想是利用平面图形的面积，巧妙地加以移、合、拼、补之后，甚至无须代数运算，而勾、股、弦之间的关系便可一目了然．刘徽把这种方法概括成一个基

八年级数学几何证明题技巧(含答案)

几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF C F B A E D 图1 分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =， ∠=︒DCF 45。从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴≅∴=∆∆A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的

初中八数学几何定理符语言

八年级上册 第十一章 三角形 1、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间 的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高线（简称三角形的高）。 2、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的 两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 4、多边形知识要点梳理 1、n 边形的内角和等于（n-2）X180°。 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 n （n - 3） 3、n 边形的对角线条数等于 —2— 初中数学 图形与几何 内容 多边形的定理,

(1)正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。 (2)多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线'「一 段，叫做多边形的对角线.如图2, BD为四边形ABCD的一 条对角线。\ 要点诠释：E图£:g ①从n边形一个顶点可以引(n —3)条对角线，将多边形分成(n —2) 个三角形。n(n-3) ②n边形共有一条一条对角线。 证明：过一个顶点有n — 3条对角线(口三3的正整数)，又•・•共有n个顶点，，共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，， 凸n边 n(n - 3) 形，共有一2一条对角线。 (3)多边形的内角和公式 g八与超、力中的出缶和汨("—2) - 180"(?3 > 3) ①公式：/边形的内角和为工' - ...

初中几何定理的证明

初中几何定理的证明 几何定理是数学中的基本定理之一，它们是通过推导和证明得出的，以确保它们的正确性。本文将介绍一些常见的初中几何定理以及它们的证明。 1.三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180度。 证明： 设三角形的三个内角分别为A、B、C，连接线段AB、AC，将三角形ABC分成两个三角形ABD和ACD。 根据直线与角平分线垂直的性质，可得出∠BAD=∠CAD。 由AD是角ABC的平分线，可得出∠BAD=∠DAC。 所以，∠DAC=∠CAD，即角ADC是个等角。 同理，通过连接线段BC可以得知∠ACB=∠ABC。 在三角形ABC中，∠ADC+∠ACD+∠BAC=180度。 根据等角的性质，可得出∠ADC=∠BAC，∠ACD=∠ABC。 所以，∠ADC+∠ACD+∠BAC=∠BAC+∠ABC+∠ACB。 由此，我们得出三角形内角和等于180度的结论。 2.三角形外角定理： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

证明： 设三角形的一个外角为∠ABC，连接线段AC，延长线段BA得到点D。 由延长线段与直线的交角性质，可得出∠ACB和∠ABC相等。 在三角形ABC中，∠ACB+∠CAB+∠ABC=180度。 我们已知∠ACB+∠CAB=180度，所以∠ABC+∠ACB=180度。 这就证明了三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和的定理。 3.相似三角形的性质： 两个三角形的相对应的角相等，则它们相似； 若两个三角形的对应边成比例，则它们相似。 证明： （1）若两个三角形的相对应的角相等，则它们相似。 设两个三角形分别为△ABC和△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E。 在△ABC和△DEF中，由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以∠C=∠F。 根据角对应定理，可得出△ABC与△DEF相似。 （2）若两个三角形的对应边成比例，则它们相似。 设两个三角形分别为△ABC和△DEF，且AB/DE=AC/DF=BC/EF。 在△ABC和△DEF中，由于AB/DE=AC/DF=BC/EF，根据边对应定理，可得出△ABC与△DEF相似。 4.圆的性质：

八年级数学几何证明题技巧(含答案)1

八年级数学复习之几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题. 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： 〔1〕综合法〔由因导果〕,从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题解决； 〔2〕分析法〔执果索因〕从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止； 〔3〕分析综合法：将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的. 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形.在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的. 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到. 例1. 已知：如图1所示,∆ABC 中,∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，.求证：DE ＝DF 分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知,∠=∠=︒A B 45,由D 是AB 中点,可考虑连结CD,易得CD AD =,∠=︒DCF 45.从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CD 说明：在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线.显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线.本题亦可延长ED 到G,使DG ＝DE,连结BG,证∆EFG 是等腰直角三角形.有兴趣的同学不妨一试. 说明：利用三角形全等证明线段求角相等.常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意： 〔1〕制造的全等三角形应分别包括求证边或者角； 〔2〕添辅助线能够直接得到的两个全等三角形 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置.证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证.证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形"三线合一"来证. 例2. 已知：如图4所示,AB ＝AC,∠，，A AE BF BD DC =︒==90.求证：FD ⊥ED 证明一：连结AD 在∆ADE 和∆BDF 中,

(最新)初中八年级数学几何定理符号语言

初中数学“图形与几何”内容 八年级上册 第十一章 三角形 1、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 2、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 4、多边形知识要点梳理 边形的内角和等于（n-2）×180°。 360°。 n 边形的对角线条数等于2) 3( n n （1）正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形

要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。 （2）多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线 段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对 角线。 要点诠释： ①从n 边形一个顶点可以引（n －3）条对角线，将多边形分成（n －2）个三角形。 ②n 边形共有 2)3(-n n 条对角线。 证明：过一个顶点有n －3条对角线(n ≥3的正整数)，又∵共有n 个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n 边形，共有 2) 3(-n n 条对角线。 （3）多边形的内角和公式 ①公式：边形的内角和为.. （4）多边形的外角和：多边形的外角和等于360° 第十二章 全等三角形 一、全等三角形 1、全等三角形的概念 （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （3）两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。

八年级数学理科班讲义教学-几何证明

B C D A O B C E D A A C B ’ C A B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质 姓名 一、【直角三角形全等的特殊判定方法】 知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。简记为HL 。 1、【定理证明】 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’ 2、【直角三角形全等判定方法梳理】 如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________ 3、【应用练习】 选择题 1．下列说法正确的有（ ） ① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ） A ．相等 B ．不相等 C ．互余或相等 D ．相等或互补 4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DB