a ⊄α ⎫
a ∥
b ⎭
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定
预习课本 P54～57，思考并完成以下问题
1．线面平行的判定定理是什么？
2．判定线面平行的方法有哪些？
3．面面平行的判定定理是什么？
4．判定面面平行的方法有哪些？
[新知初探]
1．直线与平面平行的判定
定理
表示
图形 文字
符号
直线与平面平行的判
定定理
平面外一条直线与此平
面内一直线平行，则该直
线与此平面平行
⎪
b ⊂ α⎬⇒ a ∥α
⎪
[点睛] 用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线 a 在平面 α 外，即 a ⊄α； (2)直线 b 在平面 α 内，即 b ⊂ α； (3)两直线 a ，b 平行，即 a ∥b .
2．平面与平面平行的判定
⎭表示
位置
图形文字符号
平面与平面平行的判
定定理
一个平面内的两条相交
直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行
a⊂β
b⊂β
a∩b＝P
a∥α
b∥α
⎫⎪
⎬⇒α∥β
⎪
[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()
答案：(1)×(2)×(3)×
2．能保证直线a与平面α平行的条件是()
A．b⊂α，a∥b
B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．aα，b⊂α，a∥b
解析：选D由线面平行的判定定理可知，D正确．
3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()
A．一定平行
C．平行或相交
B．一定相交
D．以上判断都不对
解析：选C可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
直线与平面平行的判定
[典例]如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
QN ， ＝ ， ＝ .
∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点，且 ＝ ＝2，
[证明] 连接 BC 1，则由 E ，F 分别是 BC ，CC 1 的中点，知 EF ∥BC 1. 又 AB 綊 A 1B 1 綊 D 1C 1，所以四边形 ABC 1D 1 是平行四边形， 所以 BC 1∥AD 1，所以 EF ∥AD 1.
又 EF ⊄平面 AD 1G ，AD 1⊂ 平面 AD 1G ， 所以 EF ∥平面 AD 1G.
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平
面内找
一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
[活学活用]
已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是
对角线 AE ，BD 上的点，且 AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面 CBE.
证明：如图，作 PM ∥AB 交 BE 于点 M ，作 QN ∥AB 交 BC 于点 N ，连接 MN ，则 PM ∥
PM EP QN BQ
AB EA CD BD
∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ .
又∵AB ＝CD ，∴PM 綊 QN ，
∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .
又∵PQ ⊄平面 CBE ，MN ⊂ 平面 CBE ，
∴PQ ∥平面 CBE.
平面与平面平行的判定
[典例] 已知，点 P 是△ABC 所在平面外一点，点 A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△
P AB 的重心．
(1)求证：平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.
(2)求 A ′B ′∶AB 的值．
[解] (1)证明：如图，连接 P A ′，并延长交 BC 于点 M ，连接 PB ′，并
延长交 AC 于点 N ，连接 PC ′，并延长交 AB 于点 Q ，连接 MN ，NQ .
∵A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心，
P A ′ PB ′ A ′M B ′N
∴A ′B ′∥MN .
同理可得 B ′C ′∥NQ .
∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂ 平面 ABC ，A ′B ′⊄平面 ABC ，
∴A ′B ′∥平面 ABC.
同理可证 B ′C ′∥平面 ABC.
即 A ′B ′＝ MN .
∵M ，N 分别是 BC ，AC 的中点，∴MN ＝ AB.
∴A ′B ′＝ MN ＝ × AB ＝ AB ，
(2)由(1)知 A ′B ′∥MN ，且 ＝
＝ ， ∴A ′B ′
1 1
＝
，即 A ′B ′∶AB 的值为 .
又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，B ′C ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，
∴平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.
A ′
B ′ P A ′ 2
MN PM 3
2
3
1
2
2 2 1 1
3 3 2 3
AB 3
3
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定
理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面
面平行．
[活学活用]
如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，E ，F ，G ，H 分别 是 AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1 的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；
(2)平面 EFA 1∥平面 BCHG. 证明：(1)∵GH 是 △A 1B 1C 1 的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.
又 B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．
(2)∵E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.
∵EF ⊄平面 BCHG ，BC ⊂ 平面 BCHG ，
∴EF ∥平面 BCHG.
∵A 1G 綊 EB ，∴四边形 A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB.
∵A 1E ⊄平面 BCHG ，GB ⊂ 平面 BCHG ， ∴A 1E ∥平面 BCHG.
∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面 EFA 1∥平面 BCHG.
平行中探索存在性问题
[典例] 在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别是线段 BC ，CC 1 的中
所以MD綊AC，OE綊AC，
点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
[解]如图，取线段AB的中点M，连接A
1
M，MC，A
1
C，AC
1
，设O为A1C，
AC
1
的交点．
由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
11
22
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，
C
1
D
1
，DD
1
，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中
找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.
解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平
面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直
线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易
知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，
H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．
层级一学业水平达标
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项
β
B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2．已知α，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()
A．平行
C．直线AC在平面DEF内
B．相交
D．不能确定
解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.
4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b ⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()
A．平行
C．平行或相交
B．相交
D．以上都不对
解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．
5．如图，下列正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()
解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.
6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另
外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．
答案：l⊄α
7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．
解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，
若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
答案：0或1
8.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别
是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF
为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
答案：平行
9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.
求证：平面P AB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF⊄平面P AB，∴EF∥平面P AB.
同理可证EG∥平面P AB.
又∵EF∩EG＝E，∴平面P AB∥平面EFG.
10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE平面ADE，而BF⊄平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
层级二应试能力达标
1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E
1
F
1
G
1
H
1
中，下列四对截面彼此平行的一对是()
A．平面E
1
FG
1
与平面EGH1
B．平面FHG
1
与平面F1H1G
C．平面F
1
H
1
H与平面FHE
1
D．平面E
1
HG
1
与平面EH1G
解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．
3．已知P是正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()
A．3个
C．9个
B．6个
D．12个
解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，
D
1
C
1
，DC.
4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()
A．0个
C．无数个
B．1个
D．以上都有可能
解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．
5．已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析：∵D ，E ，F 分别是棱 AA 1，BB 1，CC 1 的中点， ∴在平行四边形 AA 1B 1B 与平行四边形 BB 1C 1C 中，
DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴DE ∥平面 ABC ，EF ∥平面 ABC.又 DE ∩EF ＝E ，∴平面 DEF ∥平
面 ABC.
答案：平行
6.如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E ，F ，
G ，H 分别为 P A ，PD ，PC ，PB 的中点．在此几何体中，给出下面
四个结论：
①平面 EFGH ∥平面 ABCD ；②直线 P A ∥平面 BDG ；③直线
EF ∥平面 PBC ；④直线 EF ∥平面 BDG.其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面 EFGH ∥平面 ABCD ；P A ∥平面 BDG ；
EF ∥HG ，所以 EF ∥平面 PBC ；直线 EF 与平面 BDG 不平行．
答案：①②③
7.如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，S 是 B 1D 1 的中点，E ，F ， G 分别是 BC ，DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.
证明：如图所示，连接 SB ，SD ，
∵F ，G 分别是 DC ，SC 的中点，
∴FG ∥SD .
又∵SD ⊂ 平面 BDD 1B 1，FG ⊄平面 BDD 1B 1， ∴FG ∥平面 BDD 1B 1.
同理可证 EG ∥平面 BDD 1B 1， 又∵EG ⊂ 平面 EFG ，
FG ⊂ 平面 EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.
8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD ，点 E 在 PD 上，且
PE ∶ED ＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F ，使 BF ∥平面 AEC ？若存在，
请证明你的结论，并说出点 F 的位置；若不存在，请说明理由．
解：当 F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面 AEC.证明如下：取 PE 的中点
M ，连接 FM ，则 FM ∥CE.
因为 FM ⊄平面 AEC ，
EC ⊂ 平面 AEC ，
所以 FM ∥平面 AEC.
由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，
1
2
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．
连接OE，则BM∥OE.
因为BM平面AEC，OE⊂平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，
所以平面BFM∥平面AEC，
所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．
又BF⊂平面BFM，
所以BF与平面AEC没有公共点，
所以BF∥平面AEC.
2．2.3&2.2.4直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质
预习课本P58～61，思考并完成以下问题
1．线面平行的性质定理是什么？
2．面面平行的性质定理是什么？
3．面面平行还有哪些性质？
[新知初探]
1．直线与平面平行的性质
(1)文字语言：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α∩β＝b ⎭
β∩γ＝b ⎭
a ∥α
⎫⎪
a ⊂ β ⎬⇒ a ∥
b .
⎪
[点睛] 定理中有三个条件：①直线 a 和平面 α 平行，即 a ∥α；②直线 a 在平面 β 内，即
a ⊂ β；③平面 α，β 相交，即 α∩β＝
b .三个条件缺一不可．
2．平面与平面平行的性质
(1)文字语言：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α∥β
⎫⎪
α∩γ＝a ⎬⇒ a ∥b .
⎪
[点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这
两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不
可能是相交直线．
(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第
三个平面．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线 a ∥平面 α，直线 a ∥直线 b ，则直线 b ∥平面 α( )
(2)若直线 a ∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内任意一条直线都无公共点( )
(3)若 α∥β，则平面 α 内有无数条互相平行的直线平行于平面 β( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂ 平面 α，CD 平面 α，则直线 CD 与平面 α 内的直线的
位置关系只能是(
)
A ．平行
C ．平行或相交
B ．平行或异面
D ．异面或相交
解析：选 B 由题意，CD ∥α，则平面 α 内的直线与 CD 可能平行，也可能异面．
3．过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的顶点 A 1，C 1，B 的平面与底面 ABCD 所在的平面的交线为
l ，则 l 与 A 1C 1 的位置关系是________．
解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.
答案：平行
线面平行性质的应用
[典例]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC
的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
[证明]如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
∵平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，
∴AP∥GH.
线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．
[活学活用]
如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平
行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ
是平行四边形．
证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ为平行四边形.
面面平行性质的应用
α，M ，N 分别在线段 AB ，CD 上，且 ＝
.求证：MN ∥α. 连接 NP ，DE ，则 ＝ .
∵AM CN AP CN ＝ ，∴＝.
[典例] 如图所示，已知三棱柱 ABC-A ′B ′C ′中，D 是 BC 的中点，D ′是
B ′
C ′的中点，设平面 A ′
D ′B ∩平面 ABC ＝a ，平面 ADC ′∩平面 A ′B ′C ′＝b ，判
断直线 a ，b 的位置关系，并证明．
[解] 直线 a ，b 的位置关系是平行．
∵平面 ABC ∥平面 A ′B ′C ′，
平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ， 平面 A ′D ′B ∩平面 A ′B ′C ′＝A ′D ′， ∴A ′D ′∥a ，同理可得 AD ∥b .
又 D 是 BC 的中点，D ′是 B ′C ′的中点，
∴DD ′綊 BB ′，而 BB ′綊 AA ′，∴DD ′綊 AA ′， ∴四边形 AA ′D ′D 为平行四边形， ∴A ′D ′∥AD ，因此 a ∥b .
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论．
[活学活用]
如图，平面 α∥平面 β，AB ，CD 是两异面直线，且 A ，C ∈β，B ，C ∈
AM CN
MB ND
证明：如图，过点A 作 AE ∥CD ，AE ∩α＝E ，连接 BE ，在平面 ABE 内作
MP ∥BE ，MP 交 AE 于 P ，
AM AP
MB PE
MB ND PE ND ∵平面 α∥平面 β，平面 ACDE ∩α＝ED ，
平面 ACDE ∩β＝AC ，
∴AC ∥ED ，∴PN ∥ED.
∵PN ⊄α，ED ⊂ α，∴PN ∥α.
∵PM ∥BE ，PM ⊄α，BE ⊂ α，∴PM ∥α.
又PM∩PN＝P，
∴平面PMN∥平面α.
∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.
平行关系的综合应用
[典例]在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，如图．
(1)求证：平面AB
1
D
1
∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A
1
C与平面AB
1
D
1
和平面C1BD的
证明：A
1
E＝EF＝FC.
[证明](1)因为在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD綊B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A
1
C
1
交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C
交点E，F，并
与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，
所以A1E＝EF＝FC.
(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
＝
MB
1
NB
PB NB
l l [活学活用]
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C
上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB
1
，
∴
CM CP
.
MB
1
PB
∵BD＝B
1
C，DN＝CM，
∴B
1
M＝BN，
∴
∴
CM DN
＝，
CP DN
＝，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB
1
，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
层级一学业水平达标
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，∥b，∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，
若GH∥平面SCD，则()
α∥c ⎫⎪ α∥γ⎫⎪
α∥c
⎫⎪
a
∥γ⎫⎪
⎭
⎭B ．24 或 解析：选 B
由 α∥β 得 AB ∥CD.分两种情况：若点 P 在 α，β 的同侧，则 ＝ ，∴PB
＝ ，∴BD ＝ ；若点 P 在 α，β 之间，则有 ＝ ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.
A ．GH ∥SA
B ．GH ∥SD
C ．GH ∥SC
D ．以上均有可能
解析：选 B
因为 GH ∥平面 SCD ，GH ⊂ 平面 SBD ，平面 SBD ∩平面 SCD ＝SD ，所以 GH
∥SD ，显然 GH 与 SA ，SC 均不平行，故选 B.
3．在空间四边形 ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当 BD ∥平
面 EFGH 时，下列结论中正确的是(
)
A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点
B ．G ，H 一定是 CD ，DA 的中点
C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且 DH ∶HA ＝DG ∶GC
D ．A
E ∶EB ＝AH ∶HD ，且 B
F ∶FC ＝D
G ∶GC
解析：选 D 由于 BD ∥平面 EFGH ，由线面平行的性质定理，有 BD ∥EH ，BD ∥FG ，
则 AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC.
4．已知 a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ 为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①
③
⎬⇒ α∥β； β∥c ⎪⎭
⎬⇒ a ∥α； a ∥c ⎪ ②
④ ⎬⇒ α∥β； β∥γ⎪⎭
⎬⇒ a ∥β.
β∥γ⎪
其中正确的命题是(
)
A ．①②③
C ．②
B ．①④
D ．①③④
解析：选 C ①α 与 β 有可能相交；②正确；③有可能 a ⊂ α；④有可能 a ⊂ β.故选 C. 5．已知平面 α∥平面 β，P 是 α，β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A ，C 两
点，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于 B ，D 两点，且 P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则 BD 的长为
( )
A ．16
C ．14
D ．20
24 5
P A PB
PC PD
16 24 P A PB
5 5 PC PD
6.如图，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF ∥平面 AB 1C ，则线段 EF 的长度等于________．
EF ＝ AC ＝ 2.
BD 上的点，且 ＝ ，求证：MN ∥平面 SBC.
证明：在 AB 上取一点 P ，使AP ＝AM
，连接 MP ，NP ，则 MP ∥SB.
又 AM DN AP DN ＝ ，∴ ＝ ，∴NP ∥AD .
解析：∵在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又 E 为 AD 的中点，EF ∥平 面 AB 1C ，EF ⊂ 平面 ADC ，平面 ADC ∩平面 AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为 DC 的中点，∴ 1
2
答案： 2
7．过三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共 有________条．
解析：记 AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1 的中点分别为 E ，F ，E 1，F 1，则直线 EF ，E 1F 1，EE 1，
FF 1，E 1F ，EF 1 均与平面 ABB 1A 1 平行，故符合题意的直线共有 6 条．
答案：6
8．已知 a ，b 表示两条直线，α，β，γ 表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若 α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且 a ∥b ，则 α∥β；
②若 a ，b 相交且都在 α，β 外，a ∥α，b ∥β，则 α∥β；
③若 a ∥α，a ∥β，则 α∥β；
④若 a ⊂ α，a ∥β，α∩β＝b ，则 a ∥b .
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，α 与 β 也可能相交；②正确，设 a ，b 确定的平面为 γ，依题意，得 γ∥α，
γ∥β，故 α∥β；③错误，α 与 β 也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．
答案：②④
9.如图，S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是 SA ，
AM DN
SM NB
BP SM
∵SB ⊂ 平面 SBC ，MP ⊄平面 SBC ，∴MP ∥平面 SBC.
SM NB BP NB ∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC.
又 BC ⊂ 平面 SBC ，NP ⊄平面 SBC ，
∴NP ∥平面 SBC.
又 MP ∩NP ＝P ，
∴平面 MNP ∥平面 SBC ，而 MN ⊂ 平面 MNP ，
∴MN ∥平面 SBC.
10.如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ∉平面 ABCD ，过 BC 作平
BCFE 交 AP 于点 E ，交 DP 于点 F ，求证：四边形 BCFE 为梯形．
面
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BC ∥AD .
∵AD ⊂ 平面 APD ，BC 平面 APD ，
∴BC ∥平面 APD.
又平面 BCFE ∩平面 APD ＝EF ，
∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF.
又 E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC.
∴四边形 BCFE 是梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知平面 α，β，直线 a ，b ，c ，若 a ⊂ α，b ⊂ α，c ⊂ α，a ∥b ∥c ，且 a ∥β，b ∥β，c
∥β，则平面 α 与 β 的位置关系是(
)
A ．平行
C ．平行或相交
B ．相交
D ．以上都不对
解析：选 C 由题意可知，平面 α 内不一定有两条相交直线与平面 β 平行，所以平面 α
与 β 有可能平行，也有可能相交．
2．已知直线 a ∥平面 α，直线 b ⊂ 平面 α，则(
)
A ．a ∥b
C ．a 与 b 相交
B ．a 与 b 异面
D ．a 与 b 无公共点
解析：选 D 由题意可知直线 a 与平面 α 无公共点，所以 a 与 b 平行或异面，所以两者
无公共点．
3．已知平面 α∥平面 β，a ⊂ α，b ⊂ β，则直线 a ，b 的位置关系是(
)
A ．平行
C ．异面
B ．相交
D ．平行或异面
解析：选 D ∵平面 α∥平面 β，∴平面 α 与平面 β 没有公共点．∵a ⊂ α，b ⊂ β，∴直线
a ，
b 没有公共点，∴直线 a ，b 的位置关系是平行或异面．
4.如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC ，
α 分别交线段 P A ，PB ，PC 于 A ′，B ′，C ′，若 P A ′∶AA ′＝2∶3，则 △A ′B ′C ′
与△ABC 面积的比为(
)
A ．2∶5
C ．4∶9
B ．3∶8
D ．4∶25
解析：选 D
∵平面 α∥平面 ABC ，平面 P AB ∩α＝A ′B ′，平面 P AB ∩平面 ABC ＝AB ，∴A ′B ′
∥AB.又∵P A ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝P A ′∶P A ＝2∶5.同理 B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.
∴ △A ′B ′C △
′与 ABC 相似，∴△S A ′B ′C ′∶△S ABC ＝4∶25. 5.如图，四边形 ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且 AB ∥平面 α，M 是 AC 的中点，BD 与平面 α
AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
(2)由(1)易知PQ＝D
1
C＝
m.同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.
22
交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
解析：∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是
1
2
答案：5
6.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边
上的点，它们共面，且A C∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，
BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝
BE AE BE AE
AB AB AB AB
答案：m∶n
7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC
1
D
1
；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB
1
D
1
D.
解：(1)证明：如图所示．
连接AC，CD1，
∵P，Q分别是AD1，AC的中点，
∴PQ∥CD
1
.
又PQ平面DCC1D1，
CD
1
⊂平面DCC
1
D
1
，
∴PQ∥平面DCC1D1.
12
a.
(3)证明：取B
1
C
1
的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1
＝E
1
，B
1
D
1
∩BB
1
＝B
1
，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
8.如图，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，
点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M
在何位置．
解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接
所以 MN ∥EC ，MN ＝ EC ＝1，
MN ，NF.因为 BF ∥
平面 AA 1C 1C ，
BF ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AA 1C 1C ＝MN ，所以 BF ∥MN .
又 MB ∥平面 AEF ，MB ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AEF ＝FN ，所以 MB ∥FN ，
所以 BFNM 是平行四边形，
所以 MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.
而 EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，
1
2
故 MN 是△ACE 的中位线．
所以 M 是 AC 的中点时，MB ∥平面 AEF.
数学·必修2(人教A版) 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.2直线与平面平行的性质 基础达标 1．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条 C．有且只有一条D．不可能有 解析：直线a与n条直线的交点可确定一个平面，该平面与平面α的交线与a平行，故至多有一条直线与a平行． 答案：B 2．下面给出四个结论，其中正确结论的个数是() ①若a∥α，b∥α，则a∥b； ②若a∥α，b?α，则a∥b； ③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若a∥b，b∥α，则a∥α. A．0个B．1个C．2个D．4个 解析：①②③④都不正确． 答案：A 3.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为() A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45° 答案：C 4．a∥β，b∥β，则直线a与b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直且不相交．其中可能成立的有________． 答案：①②③④ 5．三条异面直线a，b，c两两异面，它们所成的角都相等且存在
一个平面与这三条直线都平行，则a与b所成的角的度数为() A．30°B．45°C．60°D．90° 解析：与a，b，c都平行的平面记为α，如图所示，作a′∥a，b′∥b，c′∥c，则a′，b′，c′所成的角都相等，即为60°. 答案：C 6．已知直线a，b，平面α，且a∥b，a∥α，a，b都在平面α外，求证：b∥α. 证明：过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c， ∵a∥α，a?β，a?α，α∩β＝c，∴a∥c. ∵a∥b，∴b∥c. 又∵c?α，b?α，∴b∥α. 巩固提升 7．E，H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD的中点，平面α
学习目标 1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 3. 进一步体会转化的数学思想. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 56~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：直线与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为____ ___和_______. 讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？ 结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题. 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 ⑴如图6-1，AA AA B B '''⊂面,AA '∥面BB C C ''，则面AA B B ''∥面BB C C ''吗？ 图6-1 ⑵如图6-2，AA '∥EF ，AA '∥DCC D ''面，EF ∥DCC D ''面， 则A ADD ''面∥DCC D ''面吗？ 图6-2 ⑶如图6-3，直线A C ''和B D ''相交，且A C ''、B D ''都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ''''∥平面ABCD 吗？
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定 预习课本P54～57，思考并完成以下问题 [新知初探] 1．直线与平面平行的判定 [点睛] 用该定理判断直线a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a 在平面α外，即a ?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α； (3)两直线a，b平行，即a∥b. 2．平面与平面平行的判定 [点睛] (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的． (2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α( ) (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行( ) (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．能保证直线a与平面α平行的条件是( ) A．b?α，a∥b B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D．a?α，b?α，a∥b 解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确． 3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( ) A．一定平行B．一定相交 C．平行或相交D．以上判断都不对 解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
[典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证： EF ∥平面AD 1G . [证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ?平面AD 1G ，AD 1?平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G . 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE . 证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝ EP EA ，QN CD ＝BQ BD . ∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ， ∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN . 又∵PQ ?平面CBE ，MN ?平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE . [典例] 已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心． (1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求A ′B ′∶AB 的值． [解] (1)证明：如图，连接PA ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ . ∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心，
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质(习题课) 学习目标 1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理,能合理选用其证明平行关系； 2. 熟练掌握线线、线面、面面之间的相互转化关系. . 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 54~ P663，找出疑惑之处） 复习1：直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？ 复习2：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为： 面面平行 二、新课导学 ※ 典型例题 例1 如图9-1，在正方体中，,,,E F G H 分别为BC ，,,CC C D A A ''''的中点. 求证：⑴BF ∥HD '； ⑵EG ∥BB D D ''平面； ⑶BDF 平面∥B D H ''平面. 图9-1
例2 如图9-2，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖ 图9-2 小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行，线面平行到面面平行，最后又回到线线平行这一过程, 归根结底还是线线平行. ※ 动手试试 练1. 如图9-3，直线,,AA BB CC '''相交于点O ，AO =A O '，BO B O '=，CO C O '=， 求证：平面ABC ∥平面A B C ''' . 图9-3 练2. 如图9-4，右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和左边画出（单位：cm ）在所给直观图中连结BC '， ⑴证明：BC '∥面EFG ； ⑵求多面体体积. 图9-4 E D A C F G B ' C ' D '
高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案 一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理; 2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。 二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。 三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。 2重点难点 教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。 教学难点:线与面的性质定理的应用。 3教学过程3.1 第一学时教学活动活动1【导入】问题引入 一、问题引入 木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A C .现在小刘要经过平面A C 内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗? 预设：(1)过P作一条直线平行于B C (2)过P作一条直线平行与BC。 (问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。) 活动2【讲授】新课讲授 二、知识回顾 判定一条直线与一个平面平行的方法： 1、定义法：直线与平面没有公共点。 2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行线面平行) 三、知识探究(一)
思考一：如果直线a与平面平行，那么直线a与平面内的直线有哪些位置关系? 答：平行或异面。 思考2：若直线a与平面平行，那么在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 答：无数条;平行。 思考3：如果直线a与平面平行，经过直线a的平面与平面相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 答：平行;因为a∥，所以a与没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面内，所以a与b平行。 思考4：综上分析，在直线a与平面平行的条件下我们可以得到什么结论? 答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. (四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。) 四、知识探究(二) 定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 定理可简述为：线面平行，则线线平行。 直线与平面平行的性质定理的符号表示： (由图形语言到文字语言，再到符号语言，一步一步深化学生对该定理的理解) 活动3【练习】课堂练习 五、应用示例 练习1：判断下列命题是否正确，正确的画，错误的画。 (1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。( ) (2)如果直线a和平面满足a∥，那么a与内的任何直线平行。( )
人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质 一、直线与平面平行的判定定理 语言文字_______一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行 图形语言 符号语言a?α，b?α，且a∥b?a∥α 作用证明直线与平面______________ 二、平面与平面平行的判定定理 语言文字一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行 图形语言 符号语言a?β，b?β，__________，a∥α，b∥α?α∥β 作用证明两个平面__________ 1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢． 2．可以通过证明线线平行来证明面面平行． 三、直线与平面平行的性质定理 （1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行． （2）图形语言：如图．
（3）符号语言：,,a a b a b αβα β?=?∥∥． （4）直线与平面平行的性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线． 四、平面与平面平行的性质定理 （1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行． （2）图形语言：如图． （3）符号语言：,,.∥∥a b a b αβαγβγ==? 1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 2．应用该定理证明线线平行． 五、两个平面平行的其他性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． （2）夹在两个平行平面间的平行线段相等． （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
直线与平面平行（1） 学习目标: （1）让学生通过实例操作，认识直线和平面的位置关系，并能画出相应图形 （2）让学生通过实际操作与说理，理解直线和平面平行的判定定理； （3）通过例题和练习能利用线面平行解决有关平行的问题. 学法指导： 1. 直线与平面的位置关系有几种？ 2.要证直线与平面平行，需要证明什么问题？ 3.当直线a 平行于平面α时，a 与α内的一条直线的位置关系有哪些？ 自学检测： 1.直线a//直线b,b α平面?,则a 与α的位置关系是：（ ） A α//a B αα?a a 或// C α?a D 相交与或或αααa a a ?// 2.a 是平面α外的一条直线，可得出α//a 的条件是：（ ） A α与a 内的一条直线不相交 B. α与a 内的两条直线不相交 C α与a 内的无数条直线不相交D α与a 内的任意一条直线都不相交。 3、过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（ ） A 不存在 B 有且只有一个或不存在 C 有且只有一个 D 有无数个 4、下列命题正确的为是_____________________ （1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行（2）过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行（3）过直线外一点，可以作无数条直线与该平面平行（4）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行 5.下面四个命题中： ①平面外的直线就是平面的平行线。②平行于同一平面的两条直线平行 ③若直线a 平行于直线b ，则直线a 平行于经过直线b 的任何平面。 正确命题的序号是______________________ 6.已知长方体1111D C B A ABCD -,求证：//11D B 平面ABCD 1 B C A
2.2.3直线与平面平行的性质 2.2.4平面与平面平行的性质 1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点) 2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点) [基础·初探] 教材整理1直线与平面平行的性质定理 阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题． 自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b 图形语言 作用证明两直线平行 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()
(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．() (3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．() (4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．() 【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确； 由直线与平面平行的定义知(2)正确； 因为经过一点可作一条直线与已知直线平行， 而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错． 【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√ 教材整理2平面与平面平行的性质定理 阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题． 自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 图形语言 作用证明两直线平行 已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是() A．平行B．相交 C．异面D．不确定 【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b. 【答案】 A [小组合作型]
高中数学必修 2 知识点总 结 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （ 1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些 面所围成的几何体。 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E ' 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 ：用各顶点字母，如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E ' 几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 ：用各顶点字母，如五棱台 P A 'B 'C 'D 'E ' 几何特征 ：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征： ①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （ 7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征： ①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2 空间几何体的三视图和直观图 （1） 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体 左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 第一章 空间几何体
一、直线与平面平行 1．判定定理 2 (1)证线面平行 ①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β． (2)线面平行的性质 ①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．②若a∥α，a⊥β，则α⊥β． 二、平面与平面平行 1．判定定理 2
平面与平面平行的几个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 一、直线与平面平行的判定 1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PB ， 且侧面P AB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点． (1)求证：CD ∥平面P AB ； 【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以CD ∥AB ． 又因为CD ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． 2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点． (1)求证：BF ∥平面A 1EC ； 【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ， 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝1 2CC 1． 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝1 2 CC 1． 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．
新人教版高中数学必修2《直线与平面平行》说课稿 各位评委、各位老师，大家好： 我叫，来自第一中学，今天我说课的题目是《直线与平面平行》，下面我将从教材分析、目标分析、教法分析、教学过程、设计说明五个方面阐述我对本节课的理解和设计。 一、（教材分析）首先分析一下教材，教材的地位和作用：《直线与平面平行》是点、线、面位置关系的重要组成部分，容纳了高中数学中的很多数学思想。在学习本节之前，学生已经学习了柱、锥、台、球等简单几何体和平面的基本性质，但基于数学本身的抽象性和概括性，要求学生对空间图形的认识不仅停留在直观感知和观察上,而是要进行空间想象、抽象概括，得到有关定义、以及公理、定理，使学生对空间图形的认识能适当的上升到理性层面;同时本节课的学习还为后面学习空间中的垂直关系提供了重要的思维模式和解决问题的方法，因此本节起到了承上启下的作用。另外,本节内容具有相当重要的现实意义，为解决实际问题提供了理论依据。所以通过该部分的学习，对培养学生的空间想象能力、抽象思维能力和应用意识，全面提高学生的数学素养有着非常重要的意义。 结合中学生的认知结构特点和本校学生的实际情况，《直线与平面平行》的新课教学可以安排两个课时, 第一课时学习直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定定理以及应用。第二课时学习直线与平面平行的性质定理以及应用。本节说课为第一课时。 根据教材内容，确定直线和平面平行的判定定理为本节的教学重点，另外考虑到判定定理反证法证明的抽象性，因此把正确理解判定定理的证明过程作为第一教学难点，第二个教学难点则是掌握判定定理的
应用。因为它是证明线线平行、面面平行的重要方法，在平行关系的证明中起着核心的作用。 二、（目标分析）下面来看本节的教学目标,根据课程标准,我把这一节课的教学目标进一步分解为三个子目标，知识与技能目标, 过程与方法目标，情感目标。知识与技能目标是根据本节的教材内容确定的,过程与方法目标,则主要是考虑到课堂教学应以学生为主体，教师为主导的教学原则；而情感目标则是为了营造一种良好的学习气氛，有利于提高学习兴趣和学习效率的因素。 知识与技能目标,掌握直线和平面的三种位置；掌握直线与平面平行的判定定理及其应用． 过程与方法目标，通过本节学习，进一步培养学生的空间想象能力和几何论证能力。通过复习平面内直线与直线的位置关系，引导学生提出问题并加以论证，培养学生归纳总结的能力和抽象概括能力，进而形成科学的思维思维方法和良好的思维品质。 情感目标为通过学生类比、归纳、得出直线与平面的三种位置关系, 增强探寻事物规律的强烈愿望。通过体验线面平行判定定理的应用过程，激发学生的学习兴趣，树立学好数学的信心。 三、（教法分析）根据以上教学内容和教学目标，确定本节课的教学方法为“启、思、演、练、结”五字教学法，即在每个小的知识单元中先以固有的知识启发学生提出问题,进而通过自主探究,思考和分析问题,得出结论,然后再借助直观的模型到抽象的思维训练来演示知识,加强对问题的理解,最终通过反思和总结,达到初步解决问题的目标。 即以平面内直线与直线的位置关系引入课题，启发学生类比，归纳出直线与平面的位置关系；通过创设情景,提出问题，引导学生思考直线与平面平行所需要的条件及其正确性，借助电脑演示和学生的动手操作，提高教学的直观性和趣味性，为教学重点和难点的突破提供感性基础。教学中教师精选出练习，
《直线与平面平行的性质》教学设计 1．教材的地位与作用：“直线与平面平行的位置关系”是“空间直线平行关系”和“空间平面平行关系”的桥梁与纽带．即： “线线平行线面平行 面面平行” 2．“直线与平面平行的性质”是立体几何的第一节性质定理课，揭示“直线与平面平行的判定定理”与“直线与平面平行的性质定理”的内在关系．构建新的知识与方法系统．3．创设问题情境，采用探究讨论法进行教学，使学生主动参与提出问题、探究问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动． 1．通过对线面平行性质的学习，进一步掌握直线与平面平行的判定和性质定理； 2．通过对探索成果的归纳、整理、分析，从而认清结论的地位和作用，建立知识之间的联
系； 3．初步学会应用直线与平面平行的判定和性质定理解决简单的问题； 4．通过对线面平行性质的学习，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，形成办事仔细、认真，养成实事求是的学习态度． 重点：线面平行的性质定理及应用． 难点：发现线面平行的性质，理解性质定理与判定定理的关系，并把它们整合到数学知识方法体系中． 1．学生的学习准备：复习“空间直线与平面的位置关系”，“直线与平面平行的判定”，依据学案预习本节新课知识．学具模型：长方体模型． 2．教师的教学准备：在了解学生的知识储备的基础上备课，制作课件（积件）． 3．教学用具的设计和准备：多媒体，投影仪，三角板． 1．创设情境，提出问题： 问题1：直线与平面平行的判定定理是怎样的？平行于平面α的直线a，平行于平面α的所有直线吗？ 【学具模型演示】 设计意图：问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点——思维的动力，把问题作为教学的出发点和归宿．创设学生熟悉的问题情境，构造问题悬念，激发学生学数学，用数学的兴趣，自然导入课题，为学习新知识创造一个最佳的心理和认知环境．2．问题探究，发现规律： 问题2：这条直线和这个平面内的哪些直线平行呢？如何找出这些直线呢？ 【积件演示】 设计意图：通过学生学具模型演示和教学课件演示，进一步培养学生的空间想象与思维能力． 3．归纳成果，证明结论： 问题3：请你归纳我们的探究成果，并证明我们发现的结论． 【投影展示学生成果】 设计意图：探究性学习是一种探索活动．通过教师（主导）创造一个个教学情境，激发学生（主体）进行层层探究，层层引导学生发现问题、提出问题、解决问题；并归纳自己发现的结论，证明自己发现的结论．这一切的学习活动都是由学生自己的探究与思考获得，不仅仅是让学生获取了新知识，更重要的是让学生有了一个探究知识的来源、发生的过程．这比掌握这些
《直线与平面平行的判定》教案 一、教学内容分析 本节选自教材《基础模块》下第九章，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 二、学生学习情况分析 任教的学生在年级段属中上程度，学生学习兴趣较高，学生已经学习完空间直线与直线的位置关系以及直线与直线平行，并掌握直线与直线平行的判断方法．在日常生活中积累了许多线面平行的素材，和直观判断的方法，但对这些方法是否正确合理缺乏深入理性的分析．在空间想象和逻辑论证等方面的能力有待于再进一步学习中提高．学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。 三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 四、教学目标 通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
面平行
2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行 已知：a∥α，a⊂β,α∩β＝ 求证：a∥b 证明：α∩β＝b⇒b⊂a a∥α⇒a∩b=φ⇒a∥b b⊂β 评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行” 例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a、b、c为三条交线，且a∥b，那 么a与c、b与c 师：猜a与c什么关系？ 师：已知a∥b 解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β=C 借助多媒体将∵a⊂α,b⊄α,且a∥b∴b∥α图形多角度展又∵b⊂β, α∩β=C∴b∥c 示，便于观察 又∵a∥b, ∴a∥c 师：b∥α,过b且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？多媒体展示过生：有无数条交线，且它们相互平行。程注：①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行” ②过b且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这 些交线都互相平行 3．练习 ①能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ） A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥b C. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c D. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD ②下列命题正确的是（ D F ） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行 C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行 D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α ③若两直线a与b相交，且a平行于平面α，则b与α的位置关系是平 行或相交 ④如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一矩形。 （1）求证：CD∥平面EFGH； （2）求异面直线AB、CD所成的角 证明：⑴依题： 矩形EFGH⇒GH∥EF EF⊂面ACD ⇒GH∥面 GH⊄ 面ACD GH⊂面 面BCD∩面 ⇒GH∥CD GH⊂面EFGH CD∥GH,且面BCD∩面EFGH＝GH⇒CD⊄ ⇒CD∥平面EFGH ⑵如⑴可证CD∥GH 同理可证AB∥GF ⇒∠HGF即为异面直线AB与CD所成的角且 矩形EFGH⇒∠HGF＝90° ∠HGF＝90° 4．思考补充 ⑴过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有无数个 ⑵过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有一个,并说明理由。 已知：a与b为异面直线 求证：过b有且只有一个平面与a平行 证明：假设过b有两个平面α、β都与a平行 在b上任取一点P，a与b为异面直线， ∴P∈a.过a和P有且只有一个平面设为γ，且γ与α、β都相交，设分别 交于C和C′ 又∵a∥α,a∥β∴a∥C,a∥C′ ∵a⊂γ,C⊂γ,C′⊂γ且C∩C′=P ∴这与在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面只有一个 5．小结
高二数学 两直线、平面平行的判定及其性质 一、引入： 二、请完成下表： 平行关系是一种非常重要的位置关系，在实际实践中应用较广。前面直线与平面平行、两直线平行的位置关系只是从直观认识，那么怎样判定直线、平面平行？如果具有平行关系，又会具有怎样的性质？ 二、知识结构： ⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎪⎨ ⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— ———————————性质判定定理：定义：判定平面与平面平行性质判定定理： 定义：判定直线与平面平行平行 三、分块引学： 1、怎样判定直线与平面平行呢？ 【引学】根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？请观察下列现象。 (1)在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系? （2）将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB 所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ （1） （2）
a C / A / C （3）教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。 2、如下图，如果平面α内有直线b 与平面外的直线a 平行，那么直线a 与平面α的位置关系如何？ （1）这两条直线共面吗？ (2) 直线a 与平面α相交吗? 【引学】（1）问的作用是什么? (2 ) 问用什么方法说明? 4、请完整证明直线与平面平行的判定定理。 【引学】把前面讨论的过程规范，指导学生完成。 5、通过对直线与平面平行的判定定理理解，你会发现什么？ 【引学】（1）直线与平面平行关系 ⇐ 直线间平行关系 （2）空间问题 ⇒ 平面问题 6、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。 【引学】提示：先画图，写出已知和求证，然后在加以证明。 7、如图，正方体/ / / / D C B A ABCD -中， E 为 /DD 的中点，试判断直线/ BD 与平面A /EC / 的位置关系，并说明理由． 【引学】怎样在平面A /EC 、 内找与直线/ BD 平行的直线。
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 1．理解直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理．(重点) 2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理，并知道其地位和作用．(易混点) 3．能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行(难点) [基础·初探] 教材整理1 直线与平面平行的判定定理 阅读教材P 54～P 55 “例1”以上的内容，完成下列问题． 自然语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 能保证直线a与平面α平行的条件是( ) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b 【解析】A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或
a⊂α或a与α相交；D正确． 【答案】 D 教材整理2 平面与平面平行的判定定理 阅读教材P 56～P 57 “例2”以上的内容，完成下列问题． 自然语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)平行于同一平面的两条直线平行．( ) (4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.( ) 【解析】(1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行． (2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面． (3)错误．两条直线平行或相交或异面． (4)错误．直线a∥β或直线a⊂β. 【答案】(1)×(2)√(3)×(4)× [小组合作型] 直线与平面平行的判定 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内， P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图221)．求证：PQ∥平面CBE.
一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯= 底31 3台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31 下下上上（ 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行． (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想． (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心． 求证：PQ ∥平面BCC 1B 1. 证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF . 又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+=
直线平面平行的判断及其性质的说课材料 第一篇：直线平面平行的判断及其性质的说课材料 一。教材分析 本节课主要学习直线和平面平行的定义，判定定理以及初步应用。其中，线面平行的定义是线面平行最基本的判定方法和性质，它是探究线面平行判定定理的基础，线面平行的判定充分体现了线线平行和线面平行之间的转化，它既是后面学习面面平行的基础，又是连接线线平行和面面平行的纽带！（可用箭头学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的非常重要的. 二。教法学法 通过对大量实例、图片的观察感知，概括线面平行的定义对实例，模型的分析猜想，实验发现线面平行的判定定理。 学生在问题的带动下，进行主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑、思辨、创新的精神。 课前安排学生在生活中寻找线面平行的实例，上网查阅有关线面平行的图片、资料，然后网上师生交流，从中体现出学生活跃的思维，浓厚的兴趣，强烈的参与意识和自主探究能力，在初中学生已经掌握了平面内证明线线平行的方法，前一节又刚刚学过在空间中直线与直线的位置关系，对空间概念的建立有一定基础，因而可以采用类比的方法学习本课。 但是学生的抽象概括能力，空间想象力还有待提高，线面平行的定义比较抽象，要让学生体会“与平面无公共点”有一定困难，线面平行的判定的发现有一定隐蔽性，所以我确定本节的重点是：通过直观感知和操作确认概括出线面平行的定义及判定定理 难点是： 1、操作确认并概括出线面平行的判定定理 2、反证法的证明方法
§2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 一、基础过关 1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交 C．n⊂αD．n∥α或n⊂α 2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交 C．平行或相交D．不相交 3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交 C．b⊂αD．b∥α或b与α相交 4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥α C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α 5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中： (1)与直线AB平行的平面是______； (2)与直线AA1平行的平面是______； (3)与直线AD平行的平面是______． 6．已知不重合的直线a，b和平面α. ①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________． 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC. 8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求 证：AB∥平面DCF. 二、能力提升 9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()
A．平行B．相交 C．在内D．不能确定 10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个 C．能作出无数个D．以上都有可能 11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条． 12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE. 三、探究与拓展 13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP ＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)