工程数学线性代数
工程数学线性代数是一门非常重要的数学课程，它主要是研究关于矩阵、特征方程、特征向量和线性变换的知识。这门课程要求学生具备良好的线性代数基础，特别是针对数学分析和概率论。
第一部分，线性代数的入门知识介绍：基本定义、空间、矩阵的运算（加、乘和行列式）、实矩阵的特征值和特征向量以及向量空间、线性变换等等。
第二部分，介绍矩阵的几何意义、行列式的性质及其应用，进一步研究矩阵的性质和特征，例如可逆矩阵、正交矩阵、正定矩阵等等，以及研究矩阵的运算，如矩阵乘法、矩阵求逆、特征值和特征向量等等。
第三部分，介绍复矩阵的性质，并介绍线性变换的概念、类型及其应用，如线性映射、对称变换、正交变换等等。
最后，结合工程数学的实践案例，来进一步理解以上各个部分的概念，以及工程实际中如何运用该知识。
总之，工程数学线性代数是一门涉及广泛的数学科目，主要涉及矩阵、特征值和特征向量以及线性变换方面的知识。学习这门课程可以帮助学生更好地掌握工程数学的基本概念，以及熟悉和运用线性代数在工程数学中的实践应用。
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工程数学线性代数 工程数学线性代数是工程数学中的一个重要分支，它研究的是向量、张量、矩阵等有关的结构数学知识，也是工程师和工程数学科学家们日常解决工程问题的必备知识。 线性代数涉及到矩阵、向量等结构数学知识，它可以帮助我们解决复杂的数学问题，对于工程问题也有重要的启发性作用。线性代数可以帮助我们构建、求解线性方程组，它就像一台求解复杂的数学问题的军械库一样。线性代数的实用性不仅在数学研究方面，而且在工程应用中也是不可或缺的工具，在工程中有着广泛的应用。 线性代数虽然只是数学中的一小部分，但它对于工程数学应用却有着不可替代的作用。它可以用来分析复杂的数学模型，并进行有效的求解，为工程的设计和建造提供参考。例如，在建筑工程中，线性代数可以用来分析结构的物理组成、材料的性质以及施工的过程，可以提供最优的设计方案，以此来保证建筑的质量安全。 线性代数在工程数学中也有着广泛的应用，它可以用来分析、计算任意复杂的工程数学问题，并将结果应用于工程实践中，例如在控制系统设计过程中，可以用线性代数计算控制系统的稳定性、鲁棒性以及参数估计等，从而使控制系统的设计更加完善。 另外，线性代数也被用来计算机视觉，并在图像处理领域中发挥重要作用，例如检测图像中的边缘、色彩、噪声等。线性代数在图像处理中起着至关重要的作用，它可以用来提高图像的质量，检测图像的特征，并从而更精确地识别物体。
综上所述，线性代数是工程数学中不可缺少的一个重要分支，它被应用于各个领域，以求解复杂的数学模型和工程问题。它也可以用来提高图像处理的质量，从而使工程设计更加完善和先进。总而言之，线性代数在工程数学中发挥着不可或缺的重要作用，值得研究和深入探索。
《工程数学线性代数》教学大纲 一、课程性质、地位和任务 线性代数是一门重要的数学基础课程，已被广泛地应用于管理学科的各个领域，它是理工科大学生必备的基础知识。本课程基本任务是学习行列式，矩阵及其运算，向量的线性相关性，矩阵的初等变换与线性方程组，相似矩阵及二次型，线性空间等理论及其有关知识。在教学过程中注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提高学生分析问题解决问题的能力。通过本课程的学习，使学生具备有关线性代数的基本理论及方法，并能用它解决一些实际问题，为学生学习后续课程打下必要的数学基础。 二、课程基本要求 理论和知识方面 掌握本课程的基本知识和基本理论，如行列式的概念和性质、克拉默法则、矩阵的概念及线性运算、逆矩阵的概念、矩阵的初等变换、矩阵的秩、n维向量的概念、向量组线性相关性的概念、向量空间的概念、线性方程组的解的结构、线性方程组基础解系、特征值与特征向量的概念、相似矩阵的概念、正交变换、二次型、二次型的矩阵表示等。 能力和技能方面 掌握本课程的基本技能，如行列式的计算、矩阵的运算、矩阵初等变换、逆矩阵的计算、矩阵及向量组秩的计算、向量组线性相关性的判别、线性方程组的求解、施密特正交化过程、矩阵特征值与特征向量的计算、实对称矩阵的相似变换、化二次型为标准形的方法等。 该课程基本要求的设置分三个层次，其中对概念与理论用“理解”、“了解”和“知道”表述，对方法和运算用“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。 三、课程内容及学时分配 第一章行列式（8学时） 第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数 第三节 n阶行列式的定义 第四节对换 第五节行列式的性质 第六节行列式按行(列)展开 第七节克拉默法则 基本要求： 一、了解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质。 二、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开的定理计算行列式。 三、了解克拉默(Gramer)法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。 重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。 难点：行列式的定义，行列式的性质及行列式按行(列)展开定理，一些特殊n阶行列式的计算。
同济5版 工程数学—线性代数 公式归总 第1章、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 逆序数的计算（奇、偶排列）； 3. 对换：（在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．） a. 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数． b. 4. 如果1个n 阶行列式=0的元素比2n -n 还要多，则此行列式=0； 5. 证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）； 6. 在全部n 阶排列中（n>=2），奇偶排列各占一半； 7. D D ,1)T =即式相等行列式与它的转置行列 ； 行列式变号列互换行列式的两行),()2； 则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行,)()3； . ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行k k 面以提到行列式符号的外 的所有元素的公因子可列行列式中某一行 )( )5 ., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行 ., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一 列 行列式的值不变 对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列, )( , )( )8 8.余子式与代数余子式P16-21； 9.一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于 ij a 与它的代数余子式的 乘积，即 ij ij A a D = ; 10.行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 . ,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ ； 11. 代数余子式的性质： ①、 ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 12.代数余子式和余子式的关系： (1)(1)i j i j i j i j i j i j M A A M ++=-=- 13.设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； . , 212 1 2121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式p p p t D D n n n p p p p p p t a a a n n ∑-=
第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1
2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，
参考书： 线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社 概要&总结 一、线性代数的基础内容： 1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则； 2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵 例1：设A 是m n ?矩阵，设B 是n m ?矩阵，且AB E =，其中E 是m 阶单位矩阵，则： ()()() ; ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n ======== 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 例2：设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1) T T T a ααα=-==，若123,,ααα形成的向量组为2， 则___a = 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩 阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组 二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤 例3：设11010,1111a A b λλλ???? ? ? =-= ? ? ? ????? ，已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。 (I)求,a λ；(II)求AX b =的通解 2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化 方法；正交矩阵 3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵 iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤 例4：设A 是四阶实对称矩阵，且2 0A A +=，若()3r A =则A 相似于： 11111111();();();()11110000A B C D -???????? ? ? ? ? -- ? ? ? ? ? ? ? ?--- ? ? ? ? ???????? 4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系 ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系) iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使
一、判断题 1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ） 2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ） 3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 4.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。 （ bA ） 6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ） 7.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ） 8.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ） 10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 （ bA ） 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 （ a ） 13.设12,s ηηηL 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12,s k k k L 为实数，满足121,s k k k ++=L 则1122x k k ηη=+L s s k η+也是它的解。 （ a ） 14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （ a ） 15. {} 1121212(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=L L L 设满足则1V 是向量空间。 （ a ） 16.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ）
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)??? ? ??--340313021201; 解 ???? ??--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. ) ~???? ??---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). ) ~???? ??--010*********(下一步: r 3-r 2. ) ~???? ??--300031001201(下一步: r 3÷3. ) ~???? ??--100031001201(下一步: r 2+3r 3. ) ~???? ??-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~???? ??100001000001. (2)??? ? ??----174034301320;
解 ??? ? ??----174034301320(下一步: r 2?2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. ) ~???? ??---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. ) ~???? ??0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~???? ??000031005010. (3)??? ?? ??---------12433023221453334311; 解 ???? ? ? ?---------12 43 30232214533 34311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1 . ) ~????? ??--------10105006630088400 34311 (下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4 ÷(-5). ) ~???? ? ??-----22 1002210022100 34311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2 . ) ~???? ? ? ?---0000 00000022100 32011.
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 1 32( 1) 81( 4) (1)
2481644 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2 221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3 y 3x 3 2(x 3 y 3)
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。 -----啸之记。 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ;
解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
工程数学线性代数试题及答案 总分：100分题量：30题 一、单选题（共15题，共30分） 1.某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示 A.全部击中 B.至少有一发击中 C.必然击中 D.击中3发 正确答案：B 本题解析： 暂无解析 2.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有 A.X和Y独立 B.X和Y不独立 C.D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.D(XY)=D(X)D(Y) 正确答案：C 本题解析： 暂无解析 3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是 A. B. C. D. 正确答案：D 本题解析： 暂无解析 4.设随机变量X～N(u,4),Y～N(u,5),P1=P{X≤u-4},P2=P{Y≥u+5},则有 A.对于任意的u,P1=P2 B.对于任意的u,P1
5.设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是 A.D(X+c)=D(X) B.D(X+c)=D(X)+c C.D(X-c)=D(X)-c D.D(cX)=cD(X) 正确答案：A 本题解析： 暂无解析 6.设c为从原点沿y=x至1+i的弧段，则 A. B. C. D. 正确答案：D 本题解析： 暂无解析 7.设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则 A. B. C.0 D.(A)(B)(C)都有可能 正确答案：D 本题解析： 暂无解析 8.设:c1：|z|为负向，c2:|z|3正向，则 A.-2πi B.0 C.2πi D.4πi 正确答案：B 本题解析： 暂无解析 9.设c为正向圆周|z|=2，则 A.-sin1 B.sin1 C.-2πisin1 D.2πisin1 正确答案：C 本题解析： 暂无解析
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)
工程数学知识点 第一篇 线性代数 第１章 行列式 1． 二阶、三阶行列式的计算Ｐ2 2． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2） 3． 行列式展开（代数余子式）Ｐ7 4． 利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法） 5． 字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2） 6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别 7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律） （n n kD k D =） 8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 9． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 10． 逆矩阵的定义、运算性质 11． 伴随矩阵Ｐ38 12． 利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单） 13． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩 第２章 线性方程组 1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4 第３章 特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1 第二篇 概率论 第4章 概率的基本概念及计算 １、 基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机 事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例 ２、基本公式： 概率的可加性（互不相容）()()121n n i i P A A A P A ==∑U L U 概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-U 击落飞机问题