《工程数学—线性代数》复习参考资料
——《线性代数》的复习尤其要求详细阅读人手一册的《综合练习题》
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授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）
第一章行列式
一、全排列及其逆序数（理解）
1、把 n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列。（也称排列）
2、对于 n 个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的
总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
例题求排列 32514 的逆序数
解
3 的逆序数为 0；
2 的逆序数为 1；
5 的逆序数为 0；
1 的逆序数为 3；
4 的逆序数为 1；
于是这个排列的逆序数为
t010315
二、 n 阶行列式的定义（理解）
定义设有 n2个数，排成n行n列的数表，
a a⋯a
11121n
a21a22⋯a2n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a n1a n2⋯a nn
作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号( 1)t，得到形如
(1)t a a
2p a
np（）
1 p
21
1n
的项，其中 p1 p2p n为自然数1,2,, n 的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（ 1）式的项共有 n！项，所有这 n！项的代数和
( 1)t a a
2 p2a
1p1np n 称为 n 阶行列式，记作
a
11a
12
a
1n
D a
21
a
22
a
2n
，a
n1
a
n2
a
nn
简记为 det(a ij ) ，数 a ij称为行列式 det(a ij) 的元素。元素 a ij的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第 i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第 j 列，
三、行列式的性质（掌握）
记
a
11a
12
a
1n
a
11
a
21
a
n1
a 21a
22
a
2 n
D T
a
12
a
22
a
n 2
D
，
a
n1a
n 2
a
nn
a
1n
a
2 n
a
nn
行列式 D T称为行列式 D 的转置行列式。
性质 1行列式与它的转置行列式相等。
性质 2互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质 3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数 k 乘以此行列式。
第 i 行（或列）乘以 k ，记作 r i k （或 c i k ）
推论
行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第 i 行（或列）提出公因子 k ，记作 r i k （或 c i
k ）。
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质 5
若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如
a
a
a
a /
a
11
12
1i
1i
1n
D
a
21
a
22
a
2i
a 2/i
a 2n
，
a
n1
a
n2
a
ni
a ni /
a
nn
则 D 等于下列两个行列式之和：
a
11
a
12
a
1i
a
1n
a
21 a
22
a
2i
a
2n
D
a
n1
a
n2
a
ni
a
nn
a a
a /
a
11 12
1i
1n
a
a
a /
a
21 22
2i
2n
a
a
a /
a
nn
n1 n 2
ni
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对
应的元素上去，行列式不变。
以数
k 乘第
j
列加到第
i
列上，记作
c i
kc j
；
以数
k 乘第
j
行加到第
i
行上，记作
r i
kr j
；
计算行列式常用的一种方法就是利用运算
行列式，从而算得行列式的值。
P16 例
（可以证明，对于上三角行列式 D 有：
r i
7、8。
kr j
把行列式化为上三角形
a 11a
12
a
1n
a
22
a
2 n a11
a
22
a
nn
D
a
nn
当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）
四、行列式按行（列）展开（掌握）
设
a
11a
12
a
1n
a
21a
22
a
2 n
D
a i 2a
ij
a
in
a
i1
a
n1a
n 2
a
nn
在 n 阶行列式中，把a ij所在的第 i行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 a ij的余子式，记作 M ij；记
A ( 1)i j M
ij ，
ij
A ij叫做元素 a ij的代数余子式。
引理一个 n 阶行列式，如果其中第i行的元素除a ij外都为零，那么这行列式等于 a ij与它的代数余子式的乘积，即
a
11a
12
a
1n
a
21a
22
a
2 n
D
0a
ij0
a
ij
A
ij
a
n1a
n 2
a
nn
定理行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a
i1
A
i 1
a
i 2
A
i 2a in A in (i1,2,, n)
或D a
1 j
A
1 j
a
2 j
A
2 j a nj A nj ( j1,2,, n)
推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
D a
i1
A
j 1
a
i 2
A
j 2
a
in
A
jn0,i j
或 D a
1i
A
1 j
a
2 i
A
2 j
a
ni
A
nj0, i j
，
。
五、四阶行列式的计算（重点掌握）例 1 计算行列式
1 2 34
1 1 23
2 1 12
3 2 11
解：
1 2
3 4
c
c 2 3c 2c 1
1
3
1
1 1
2
3 c
4 4c 1
1
2 1 1 2 2 3
2
1 1 3
1 1
1 c 2
c
1
( 1)3
3 5
c 3 c 1
6
4 8
11
(14
12)
2
0 0 0 1 1 1 1 1 1
1)
1 1
3 5
6
3 5
( 6 4
8 11
4 8 11
1 0 0 1 1
2
3
3
2 3 ( 1)
4
7
4
4 7
例 2 计算行列式
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
解：
1 2 3 4 c
c 2 3c 2c 1 1 0 0 0
1
2
7 3
1
2 3
4 1 c 4 4c 1
2
1 2 7 1)
1 1
2 8 10
3
4 1 2
3
2 8 (
10 7
10
13
4 1
2 3
4 7
10
13
3
1 2
7 r 2
2r
1
1 2 7
1 1
4 4
( 1) 2 8 r 3 7r 1 0 4 4
( 1)
10
4
36 7 10
13
4
36
( 144 116) 160
五、克拉默法则 （注意，计算量比较大）
设有 n 个未知数 x 1 、 x 2 、⋯、 x n 的 n 个线性方程的方程组
a 11
x 1
a 12
x
2
a 1n x
n
b 1 a 21
x 1
a 22
x
2
a 2 n
x
n
b 2
（1）
a n1 x 1 a
n 2
x
2
a
nn
x
n
b
n
克拉默法则 如果线性方程组（ 1）的系数笔列式不等于零，即
a
11
a
1n
D 0
a
n1
a
nn
那么，方程组（ 1）有唯一解
x 1
D 1
， x 2
D 2
，⋯， x n
D n
D
D
D 。
其中 D j ( j
1,2, , n) 是把第数行列式中第 j
列的元素用方程组右端的常
数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a 11
a 1, j i
b 1 a 1,j 1
a 1n
D j
a n1
a n, j 1
b n a n, j 1
a nn
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的概念 （理解）
1、由 m
n 个数 a ij (i
1,2, , m; j 1,2, , n) 组成的 m 行 n 列的数
表
a 11 a 12 a 1n
a 21
a 22
a 2 n
a m1 a m 2
a mn
称为 m 行 n 列矩阵，简称
m
n 矩阵，记作
a
11
a
12 a
1n
a
21 a
22 a
2n
A
a
m1
a
m2
a
mn
也常记作
A m n 。
这 m
n 个数称为矩阵 A 的元素，简称元，数 a ij 称为 (i , j ) 元。
以数 a ij 为 (i , j ) 元的矩阵可简记作（ a ij ）或 (a ij ) m n 。
2、行数和列数都等于 n 的矩阵 A 称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵，n 阶方阵 A 也记作
A n 。
3、只有一行的矩阵
A
a 1 a 2
a n
称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作
A (a 1, a 2 ,
, a n )
只有一列的矩阵
B
b 1
b 2
b m
称为列矩阵，又称列向量。
4、两个矩阵的行数相等，就称它们是
同型矩阵 ，如果 A
a ij 与 B
b ij 是同
型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
a ij
b ij (i 1,2, , m; j 1,2,
, n)
那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作
A B
5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。
6、单位矩阵简记作E，即
100
010
E n
001
7、对角矩阵简记作 A diag (11
,
2
,
, n ) 即
100
020 A
00n
二、矩阵的运算与性质（掌握）
1、矩阵的加法
设有两个矩阵 m n A a ij、 B b ij，那么矩阵 A 与 B的和记作
A+B ，规定为
a
11b
11
a
12
b
12
a
1n
b
1nn
A
a
21
b
21
a
22
b
22
a
2n
b
2 n B
a
m1
b
m1
a
m2
b
m2
a
mn
b
mn
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律：
设 A 、B、C 都是 m×n 矩阵，则
（1）AB B A；
（2）(A B) C A (B C)
（3）A B A (B)
设设矩阵 A a
ij，记
A
a
ij
—A 称为矩阵 A 的负矩阵。
2、数与矩阵相乘
数λ与矩阵 A 的乘积记作λA 或 Aλ，规定为
a
11a
12
a
1n
A
a
21
a
22
a
2n A
a
m1
a
m2
a
mn
数乘矩阵满足下列运算规律：
设 A 、B、为 m×n 矩阵，λ、μ为数，则
（1）（2）（3）()A( A)；()A A A；
(A B)A B。
3、矩阵与矩阵相乘
设 A a ij是一个
m s矩阵，B b ij是一个s n矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m n矩阵C c ij ,其中
c
ij a
i 1
b
1 j
a
i 2
b
2 j
a
is
b
sj
并把此乘积记作
C=AB
必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的
行数时，两个矩阵才能相乘。
矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下 AB BA ，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：
（ 1）
（ 2）
( AB)C A(BC)
( AB) ( A)B
A( B), （其中 λ 为数）
（3） A( B C)
AB
AC
(B C)A BA CA
（重要）例 1 已知矩阵
1 3 11
1 6
A 0
1
3
B
2
5
1
，
4
求 AB 。 解：
113(2)110
1635114
AB
01(1)(2)3006(1)534
010(2)(1)00605(1)4
5 65
2 7
4
4、方阵的行列式、伴随矩阵
定义
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 （各元素位置不变），称为方阵 A 的
行列式。 记作 A 。
行列式 A 的各个元素的代数余子式
A ij 所构成的如下矩阵
A
11
a
2 n
a
n1
A
12 a
22 a
n2
A
A
1n
a
2 n
a
nn
称为方阵 A 的伴随矩阵，记为
A。
．．．．
5、逆矩阵
定义对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B，使
AB BA E
则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A的逆矩阵。
定理若 A0 ，则矩阵A可逆，且
A11A
A。
重要例题P56-57 例 10
方阵的逆矩阵满足下述运算规律：
1）若 A 可逆，则
A 1亦可逆，且 ( A 1) 1 A 。
2）若 A 可逆，数0 则λA可逆，且
(
A)1
1
A。
3）若 A ，B 为同阶矩阵，且均可逆，则 AB 亦可逆，且
(AB) 1B1A1。
例题：设 n 阶方阵 A 满足 A 2—A —2E = 0，
证明： A—E 是可逆矩阵，并求 A— E 的逆矩阵。
证明：由 A2—A—2E = 0 得
A2—A = 2E
A（A—E）= 2E
1
A(A E)E
2
∴A—E 是可逆矩阵
且(A E)1 1 A。
2
复习说明——大家重点要掌握的是第一、二章的关于行列式、矩阵的各种
计算，必须非常熟练、坚定不移地掌握！！
第三章略为次要一些，试题比重不会太大，第四章一般只考一些基本的概
念、定理、推论，这两章建议大家按《综合练习》的题型进行复习即可。
《综合练习》还是看《通信工程专业——《线性代数》综合练习题与答案》
那本，题型较为全面，比较保险。
比较重要的题目有：
第一大题的 1 至 8；第二大题的 1 至 7；第三大题的 1 至 11；第四大题的 1、2。
工程数学线性代数 工程数学线性代数是工程数学中的一个重要分支，它研究的是向量、张量、矩阵等有关的结构数学知识，也是工程师和工程数学科学家们日常解决工程问题的必备知识。 线性代数涉及到矩阵、向量等结构数学知识，它可以帮助我们解决复杂的数学问题，对于工程问题也有重要的启发性作用。线性代数可以帮助我们构建、求解线性方程组，它就像一台求解复杂的数学问题的军械库一样。线性代数的实用性不仅在数学研究方面，而且在工程应用中也是不可或缺的工具，在工程中有着广泛的应用。 线性代数虽然只是数学中的一小部分，但它对于工程数学应用却有着不可替代的作用。它可以用来分析复杂的数学模型，并进行有效的求解，为工程的设计和建造提供参考。例如，在建筑工程中，线性代数可以用来分析结构的物理组成、材料的性质以及施工的过程，可以提供最优的设计方案，以此来保证建筑的质量安全。 线性代数在工程数学中也有着广泛的应用，它可以用来分析、计算任意复杂的工程数学问题，并将结果应用于工程实践中，例如在控制系统设计过程中，可以用线性代数计算控制系统的稳定性、鲁棒性以及参数估计等，从而使控制系统的设计更加完善。 另外，线性代数也被用来计算机视觉，并在图像处理领域中发挥重要作用，例如检测图像中的边缘、色彩、噪声等。线性代数在图像处理中起着至关重要的作用，它可以用来提高图像的质量，检测图像的特征，并从而更精确地识别物体。
综上所述，线性代数是工程数学中不可缺少的一个重要分支，它被应用于各个领域，以求解复杂的数学模型和工程问题。它也可以用来提高图像处理的质量，从而使工程设计更加完善和先进。总而言之，线性代数在工程数学中发挥着不可或缺的重要作用，值得研究和深入探索。
工程数学复习资料 2020.7 线性代数部分 一、 单选题 1. 下列各式正确的是（ ）。 A 、 a b c d d c b a = B 、 c d a b d c b a = C 、 b a d c d c b a = D 、 d b a c d c b a = 2. 行列式=9 87654 3 21（ ）。 A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2 3. =k h g f e d c b a λλλλλλλλλ（ ）k h g f e d c b a 。 A 、0 λ B 、1 λ C 、2 λ D 、3 λ 4. ??? ? ??=4321A ，=* A （ ）。 A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 5. 若行列式01 014 3≠-a a a ，则（ ）。
A 、1≠a B 、3≠a C 、4≠a D 、1≠a 且3≠a 6. 若行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = ，ij A 为元素ij a 的代数余子式，下列各式正确 的是（ ）。 A 、kj n j ij A a D ∑== 1 ，k i ≠ B 、kj n j ij A a D ∑==1 ，k i = C 、jk n j ji A a D ∑== 1 ，k i ≠ D 、jk n j ji A a ∑==1 0 ，k i = 7. =??? ? ??+???? ??87654321（ ）。 A 、???? ??41026 B 、??? ? ??12381 C 、???? ??121021 D 、? ?? ? ??121086 8. ????? ??3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a λλλλλλλλλ=（ ）???? ? ??3332312322 211312 11a a a a a a a a a 。 A 、0 λ B 、1 λ C 、2 λ D 、3 λ 9. n ??? ? ??1011 =（ ） 。 A 、???? ??101n B 、??? ? ??101n C 、???? ??n 011 D 、??? ? ??111n 10. n ??? ? ??1101 =（ ） 。
第一章 线性代数基本知识 一、内积定义： 设α=[1a ,…, n a ]，β=[1b ,…, n b ]都是n 维复向量，记<α,β>= ∑=n i i i b a 1 ，其中i b 表示对i b 取 共轭，称<α,β>为向量α与β的内积。 二、向量正交： 对于向量α、β，若<α,β>=0，则称α与β正交，记作α⊥β。 三、Ax=b 的解的结构： (1) n 个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n. (2) n 个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A 与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n 时有唯一解; 当R(A)=R(B)
第一章 一.选择题 （1）设行列式D 1=222 2 1111 a c b a a c b a a c b a +++，D 2=2 2 2 111c b a c b a c b a ，则D 1= （ ） A ．0 B ．D 2 C ．2D 2 D ．3D 2 （2）设行列式D =3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为 （ ） A .－15 B .－6 C.6 D.15 （3）已知3332 312322 211312 11a a a a a a a a a =3，那么33 32 31 23222113 12 11222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．－24 B ．－12 C ．－6 D ．12 二.填空题 1.排列341265 的逆序数是__________；排列513264 的逆序数是（ ）。 2.四阶行列式中，项14432231a a a a 的符号是__________；项42342311a a a a 的符号是__________； 三.计算题 1.4 3 21 03213 1001011-， 2.3 31511204 3512131------， 3. 设 D=3 14231315 0111 253------, D 的（i ，j ）元的代数余子式记作j i A ,，求+11A +12A +13A 14A 。 4. 设 D=3 35111024 3152113------, D 的（i ，j ）元的代数余子式记作j i A ,，求331+A 232-A 233+A 34A 。
参考书： 线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社 概要&总结 一、线性代数的基础内容： 1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则； 2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵 例1：设A 是m n ?矩阵，设B 是n m ?矩阵，且AB E =，其中E 是m 阶单位矩阵，则： ()()() ; ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n ======== 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 例2：设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1) T T T a ααα=-==，若123,,ααα形成的向量组为2， 则___a = 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩 阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组 二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤 例3：设11010,1111a A b λλλ???? ? ? =-= ? ? ? ????? ，已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。 (I)求,a λ；(II)求AX b =的通解 2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化 方法；正交矩阵 3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵 iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤 例4：设A 是四阶实对称矩阵，且2 0A A +=，若()3r A =则A 相似于： 11111111();();();()11110000A B C D -???????? ? ? ? ? -- ? ? ? ? ? ? ? ?--- ? ? ? ? ???????? 4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系 ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系) iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使
《线性代数》综合练习资料 第一章 n 阶行列式 一、判断题 1．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。 （ × ） 2．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。 （ × ） 3．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号 ( √ ). 4. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( √ ) 5．ij ij A a D ,3 3?=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( √ ) 6、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。 （ √ ） 7、 1122121233 44 3 4 34 a b a b a a b b a b a b a a b b ++= + ++ （ × ） 二.填空题： 1．多项式=)(x P 3 3 332222 11 11x c b a x c b a x c b a （其中a,b, c 是互不相同的数）的根是 ,,x a x b x c === . 2.. 三阶行列式 D ＝3 33 222 1 11 435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 0 。 3、(),____1________.n n ij ij D a a D a a ===-=-若则 4.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=0 0A B ?? ? ?? ，则|C |=______()16nm -?_____. 5、设四阶行列式 3 21421431 4324 321，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ， _______ 3432=+A A .根据定义求即可 6 ．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5， x ，7，4，则x ＝ 3- 7、已知n 阶行列式
工程数学考研题库及答案 工程数学考研题库及答案 工程数学是应用数学的一个分支，广泛应用于工程领域的建模、分析和解决问题。对于工程数学考研的考生来说，掌握一套全面的题库及答案是非常重要的。本文将为大家介绍一些常见的工程数学考研题型及其答案。 一、线性代数 线性代数是工程数学的基础，也是考研中的重点内容之一。常见的线性代数题 型包括矩阵的运算、矩阵的特征值和特征向量、线性方程组的解等。 例如，以下是一道关于矩阵的题目： 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：首先，我们需要求解矩阵A的特征值。特征值满足方程|A-λI|=0，其中I 是单位矩阵，λ是特征值。计算可得特征值λ1=15，λ2=-1，λ3=0。 接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。将特征值代入方程(A- λI)X=0，其中X是特征向量。计算可得特征向量X1=[1; -2; 1]，X2=[1; 0; -1]， X3=[1; 1; 1]。 二、微积分 微积分是工程数学的另一个重要内容，也是考研中的常见题型。常见的微积分 题型包括函数的极限、导数和积分等。 例如，以下是一道关于函数极限的题目： 已知函数f(x) = (2x^2 + 3x - 1)/(x^2 + x - 2)，求lim(x→1)f(x)。 答案：根据极限的定义，我们需要求解lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x^2 + 3x - 1)/(x^2 + x - 2)。首先，我们可以通过因式分解得到f(x) = (2x - 1)(x + 1)/(x -
1)(x + 2)。 由于分母(x - 1)(x + 2)在x=1处为0，我们可以通过消去分母的方式来求解极限。将x=1代入分子(2x - 1)(x + 1)，可得lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x - 1)(x + 1) = 3。 三、概率论与数理统计 概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是考研中的必考内容。常 见的题型包括概率计算、随机变量的分布和参数估计等。 例如，以下是一道关于概率计算的题目： 已知事件A和事件B相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，求P(A∪B)。 答案：由于事件A和事件B相互独立，我们可以利用概率的加法规则来求解 P(A∪B)。根据加法规则，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。 由于A和B相互独立，P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.3 = 0.12。代入公式可得 P(A∪B) = 0.4 + 0.3 - 0.12 = 0.58。 总结： 工程数学考研题库涵盖了线性代数、微积分、概率论与数理统计等多个领域的 题目。掌握这些题目的解题方法和答案对于考研的准备非常重要。希望本文的 介绍能够帮助到正在准备工程数学考研的考生们。加油！
一、判断题 1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ） 2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ） 3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 4.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。 （ bA ） 6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ） 7.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ） 8.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ） 10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 （ bA ） 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 （ a ） 13.设12 ,s ηηη 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12 ,s k k k 为实 数，满足121,s k k k ++= 则1122 x k k ηη=+s s k η+也是它的解。 （ a ） 14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （ a ） 15. {} 112 12 12(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=设满足则1V 是向量 空间。 （ a ）
《线性代数（经）》综合复习资料 第一章 n 阶行列式 一、判断题 1. 1122121233 44 3 4 34 a b a b a a b b a b a b a a b b ++= + ++ ） ． （ ） 3、如果行列式0=D ，则D 中必有一行为零。 4. 设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) 5．ij ij A a D ,3 3?=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( ) 二.填空题： 2、设行列式11 121321 222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3、n 个方程、n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是 。 4、设,A B 均为3阶方阵，且2,3A B ==-，则13A B *-= 。 5.设行列式3 040222207 5 3 22 D = --，则41424344A A A A +++=____________. 三.选择题 1、设A 为3阶矩阵且行列式0A =，则下列说法正确的是（ ） （A ）矩阵A 中元素都等于0； （B ）矩阵A 中必有两列元素对应成比例； （C ）矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）矩阵A 中任一列向量是其余列向量的线性组合。
2、一个n 级方阵的行列式的值不为零，经若干次初等变换后，其行列式的值（ ） (A) 保持不变； (B ) 保持不为零； (C) 可变成任何值； ( D)保持相同的符号。 4. 已知4阶行列式D 的第三行元素分别是1，0，2，-3；第四行元素对应的代数余子式依次是5，10，t ，5，则t=( ) (A) 3 (B) 4 (C)5 (D) 6 5.下列说法错误的是（ ） （A ）若n 阶线性方程组Ax b =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组存在唯一解； （B ）若n 阶线性方程组0Ax =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组只有零解； （C ）一个行列式交换两列，行列式值不变； （D ）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。 二、计算题 1、计算 18276414916123411 1 1 ； 2、 求x 的值使1 4 13 12 32x x x +2 1 311 132x x x -=0 3、 计算n D = 51 656516 5165O O O . 4、 计算n x a a a x a D a a x = L L M M M M L ；
《工程数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其要求详细阅读人手一册的《综合练习题》 ．．．． 授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 第一章行列式 一、全排列及其逆序数（理解） 1、把 n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列。（也称排列） 2、对于 n 个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的 总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题求排列 32514 的逆序数 解 3 的逆序数为 0； 2 的逆序数为 1； 5 的逆序数为 0； 1 的逆序数为 3； 4 的逆序数为 1； 于是这个排列的逆序数为 t010315 二、 n 阶行列式的定义（理解） 定义设有 n2个数，排成n行n列的数表， a a⋯a 11121n a21a22⋯a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1a n2⋯a nn 作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号( 1)t，得到形如
(1)t a a 2p a np（） 1 p 21 1n 的项，其中 p1 p2p n为自然数1,2,, n 的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（ 1）式的项共有 n！项，所有这 n！项的代数和 ( 1)t a a 2 p2a 1p1np n 称为 n 阶行列式，记作 a 11a 12 a 1n D a 21 a 22 a 2n ，a n1 a n2 a nn 简记为 det(a ij ) ，数 a ij称为行列式 det(a ij) 的元素。元素 a ij的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第 i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第 j 列， 三、行列式的性质（掌握） 记 a 11a 12 a 1n a 11 a 21 a n1 a 21a 22 a 2 n D T a 12 a 22 a n 2 D ， a n1a n 2 a nn a 1n a 2 n a nn 行列式 D T称为行列式 D 的转置行列式。 性质 1行列式与它的转置行列式相等。 性质 2互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质 3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数 k 乘以此行列式。
《线性代数》复习资料 一、单项选择题 1.A * 是A 的n 阶伴随矩阵，且A 可逆，刚|A * |=（ C ）。 A.|A| B.1 C.|A| n-1 D.|A|n+1 2.设A 和B 都是n 阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（C ）。 A.|A|=0 B.|E+B|=0 C.|A|=0 或|E+B|=0 D.|A|=0且 |E+B|=0 3.当（ C ）时，A =是正交阵。 A.a = 1, b = 2, c = 3 B.a = b = c = 1 C.a=1,b=0,c ±1 D.a=b=1,c=0 4.设λ=-3是方阵A 的一个特征值，则A 可逆时，A -1 的一个特征值是 （ C ）。 A.-3 B.3 C.-1/3 D.1/3 5.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（ D ）。 A.相等； B.所含向量的个数相等； C.不相等 ； D.秩相等。 6.若 4321,,,y y y y 是线性方程组AX=O 的基础解系，则4321y y y y +++是AX=O 的（ A ）。 A.解向量 B.基础解系 C.通解 D.A 的行向量 7.矩阵A 的秩为r ，则知 （ B ）。 A.A 中所有r 阶子式不为0； B.A 中所有r+1阶子式都为0； C.r 阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0； D.r-1阶子式都为0。 8.设A ，B ，C 为同阶矩阵，若AB ＝AC ，必推出B ＝C ，则A 应满足条件（ A ）。 A.|A|≠0 B.A ＝O C.|A|＝0 D.A ≠0 9.对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 （ C ）。 A.两矩阵的特征值相同 B.两矩阵的秩相等 C.两矩阵的特征向量相同 D.两矩阵都是方阵。 10.两个n 阶矩阵A 与B 相似的，是指（ C ）。 A.PAP -1 =B B.Q T AQ=B C.Q -1 AQ=B D.AB=E （Q ，P ，Q 均为n 阶可逆方阵） 11.下列命题中正确的是（C ）。 A.任意n 个n +1维向量线性相关； B.任意n 个n +1维向量线性无关； C.任意n + 1个n 维向量线性相关； D.任意n + 1个n 维向量线性无关. 12.若A 为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=( C )。 A.15 B.60 C.405 D.45 13.设A 为三阶方阵，且A 2 =0，以下成立的是（B ）。 A.A=0 B.A 3 =0 C.R(A)=0 D.R(A)=3 14.当A 是正交阵时，下列结论错误的是（ D ）。 A.A -1 =A T B.A -1 也是正交阵 C.A T 也是正交阵 D.A 的行列式值一定为1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.A*是A 的伴随矩阵，且A 可逆，则(A*)-1 =。 2.A,B 是同阶可逆矩形，则（AB ）-1 =______。 3.若A=，则R(A) =___2___。 4.设A 为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝___128___ 。 5.排列36i15j84在i=___7__,j=___2___时是奇排列。 三、计算题 1.计算行列式D = 。
2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料 2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分 本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。 考试的重点内容 第一章行列式 1.行列式的定义 了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。 2.行列式的性质 理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。 3.行列式按一行〔或一列〕开展 娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。 第二章矩阵 1.矩阵的概念 理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。 2.矩阵的运算 娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。 3.可逆矩阵 4.矩阵的初等变换与初等矩阵 娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。 5.矩阵的秩 知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。
第三章向量空间 1.维向量空间 2.向量间的线性关系 会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。 3.向量组的极大线性无关组 掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。 4.向量组的秩与矩阵的秩 掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。 第四章线性方程组 1.齐次线性方程组 会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。 2.非齐次线性方程组 会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。 第五章矩阵的相像对角化 1.特征值与特征向量 理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。 2.相像矩阵与矩阵对角化 理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。 3.实对称矩阵的对角化 掌控用正交矩阵将实对称矩阵化为相像对角矩阵的方法。 第六章实二次型 1. 二次型及其矩阵表示 理解二次型的概念，会求二次型的矩阵表示。 2.二次型的标准形 掌控用正交变换化二次型为标准形的方法。
线性代数复习要点 第一篇：线性代数复习要点 “线性代数”主要题型（以第三版的编号为准） (注意：本复习要点所涉及的题目与考试无关) 一、具体内容 第一章、行列式： 1.1、四阶或者五阶行列式的计算。比如第1.3节例 3、例4，第四节的例3等。 1.2、n阶含字母或数字的行列式的计算。比如第1.3节例8，第四节的例4。 1.3、一些特殊的齐次线性方程组有非零解的判断。比如第1.5节例3。 第二章、矩阵。 2.1、矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算、行列式运算、逆运算以及它们的运算性质。 2.2、矩阵方程的求解。比如第2.3节的例6，第2.5节的例7等等。 2.3、矩阵秩的计算。比如第2.6节例6等等 2.4、矩阵运算的简单证明题目。比如第2.2节的例 12、例13，第2.3节例8等等。 第三章、线性方程组 3.1、向量的线性运算。比如第3.2节的例1等等。 3.2、抽象的或n维向量线性相关性的证明。比如第3.3节的例 2、例 3、例4等等。 3.3、极大线性无关组的求解或证明。比如第3.4节的例 2、例3等等。 3.4、向量空间的基的计算或证明。比如第3.5节的例9等等。 3.5、线性方程的解的数量与结构的讨论。比如第3.1节的例4，
第3.6节的例1等等。 第四章、矩阵的特征值 4.1、矩阵特征值、特征向量的计算。 4.2、矩阵特征值的性质及简单应用。比如第4.2节例6等等。 4.3、矩阵相似对角化的判断。比如第4.3节的例4等等。 4.4、实对称矩阵的相似对角化。比如第4.4节的例 1、例2等等。 第五章、二次型 5.1、用正交相似变换化二次型为标准型。比如第5.2节的例5等等。 5.2、正定矩阵的判别。比如第5.3的例4等等。 二、专业要求 1、非经管类专业的同学，最好掌握上述所有的内容。 2、经管类专业的同学的要求，相对要低一些：若是计算题目，计算量减少；若是证明题，证明难度降低；一般只有一道题目里面的参数需要讨论。比如“1.1”里面最多要求计算四阶行列式，“3.2”里面只要求n维向量线性相关性的证明，“5.2”不要等等。请相应的上课老师注意把握。 第二篇：2012线性代数Ⅱ复习要点 《线性代数Ⅱ》复习要点 教材：工程数学《线性代数》第五版，同济大学数学系编 1、掌握行列式的相关性质与计算 2、掌握行列式的按行按列展开法则 3、掌握矩阵的各种运算及性质，掌握分块对角阵的行列式、逆矩阵的计算 4、掌握矩阵可逆的判定方法 5、掌握方阵A与A及伴随矩阵A之间的关系，以及三者行列式之间的关系 6、掌握矩阵的初等变换及初等矩阵，掌握初等矩阵的性质 7、掌握矩阵秩的定义及相关性质
线性代数复习资料 1. 设A 为3阶方阵,且 1=A , 则 =-A 2()823-=-A 2. 求矩阵⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=11 101 011 A 的特征值 解：1 10 11 1 1------=-λλλλA I =0 解的2,1,1321=-==λλλ 3. =-α α αα sin cos cos sin αα22cos sin +=1 4．设⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡=5321A ,求A 的逆矩阵1 -A 解：[]⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡=1310250110530121初等变换I A 所以⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡--=-13251A 5. 设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，求A 的行列式|A | 解：15321==λλλA 6. 排列12453的逆序数为 2个 7．设⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=300010002A , 则A 的逆矩阵= -1 A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡310 00100021 8. 矩阵⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300220111A , 则= A A T ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡1451551111 9. 设向量α=(1,-2,0,1),β=(-1,0,3,1),则由α+γ=β所确定的向量γ=()0,3,2,2-
10. 设向量α=(6,-2,0,4),β=(-3,1,5,7),则由2α+γ=3β所确定的向量γ=()13,15,7,21- 11. 方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=+=+=-1 x 2x 0x x t x 2x 21 3231 有解的充分必要条件是t=1 12. 设λ0是可逆阵A 的一个特征值，则A -2必有一个特征值是 2 1 λ 13. 设λ0是可逆阵A 的一个特征值，则kI-A 必有一个特征值是0λ-k 14. 设abc ≠0，则三阶行列式0 000 d c b a =0 15. 设A 为n 阶方阵, λ是数则A A n λλ= 16. 设非齐次线性方程组Ax=b 有n 个未知数，m 个方程，且秩（A ）=r, .当r 第一部分、复习纲要 1、行列式：掌握行列式的计算：①利用行列式的性质②按行（列）展开③利用已知特征值． 2、矩阵及其运算：熟练掌握矩阵的运算（线性运算及矩阵乘法），会用伴随矩阵求逆阵，知道矩阵分块的运算律． 3、矩阵的初等变换与线性方程组：熟练掌握用矩阵的初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法（包括求B A 1-）；熟练掌握用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；会讨论带参数的方程组的解的情况． 4、向量组的线性相关性：熟悉一个向量能由一个向量组线性表示这一概念与线性方程组的联系；知道两向量组等价的概念；熟悉向量驵线性相关、线性无关的概念与齐次线性方程组的联系；会用初等变换求向量组的秩和最大无关组；掌握齐次方程组的秩与解空间的维数之间的关系，熟悉基础解系的求法；会求向量组生成的向量空间的维数，会求从旧基到新基的过渡矩阵及向量的一个基下的坐标． 5、相似矩阵及二次型：了解内积、长度、正交、规范正交基、正交阵、特征值与特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法，熟悉特征值的性质；知道矩阵相似、合同的概念及性质，熟悉二次型及其矩阵表示，掌握用正交变换把二次型化为标准型的方法；知道对称阵的性质、可对角化的条件，二次型的正定性及判别法等． 第二部分、典型题型 一、填空题 1、设4阶矩阵A 的秩()2R A =，S 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，则S 的维数为__2_____，A 的伴随矩阵* A 的秩是______0_______． 2、 已知3阶方阵A 的特征值为1，2，-3，则A 的迹t r A =___0_____，det A =___-6_____， *|32|A A E ++=_____25________， 3、n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是_____A 有n 个线性无关的特征向量_________________. 对称阵A 为正定的充分必要条件是________ A 合同于单位矩阵E __________. 4、向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 它的秩是__3_______，一个最大无关组是 _____321,,ααα_______________________． 第一部分 第一章矩形和行列式 1.矩阵的概念，要求达到“领会”层次。 1.1 理解矩阵的概念。 1.2 熟知单位矩阵、零矩阵的定义。 1.3 理解矩阵相等的定义。 2.消元法与矩阵的初等变换，要求达到“综合应用”层次。 2.1知道n元线性方程组的解是一个n元有序数组。 2.2理解矩形初等变换及矩形等价的概念。 2.3会用初等行变换矩形为阶梯形或简化行阶梯形。 2.4掌握用矩形初等形变换求解线性方程组的方法。 3.举行的运算及其元素按规律，要求达到“综合应用”层次。 3.1熟练掌握矩阵的线性运算（加法及数乘）、乘法、方阵的幂、转置等运算及其运算规律。特别应注意，矩阵乘法不满足交换律，以及AB=0时不一定有A=0或B=0. 3.2知道上（下）三角形矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义极其简单运算性质。 4.分块矩阵及其运算，要求达到“识记”层次。 4.1知道分块矩阵的定义。 4.2了解一般分块矩阵的运算。 4.3掌握分块对角矩阵的运算。 5.行列式的定义与性质要求达到“识记”层次。 5.1知道行列式的定义。 5.2牢记行列式的性质（证明不作要求）。 5.3能去分数乘矩阵与数乘行列式、矩阵相加与行列式相加、方阵相乘与行列式相乘的不同之处。 5.4知道方阵的初等变换对方阵行列式的值的影响。 6.行列式的展开法则要求达到“领会”层次。 6.1正确理解余子式与代数余子式的定义。 6.2牢记下列公式：设方阵A=（）n*n，则成立 7.行列式的计算，要求达到“简单应用”层次。 7.1熟练掌握2、3阶行列式的计算方法。 7.2会计算简单的n阶行列式。 7.3知道范德蒙行列式的就计算结果。 8.逆矩阵的定义与性质，要求达到“领会”层次。 8.1理解逆矩阵的定义与性质。 8.2理解n阶方阵A(n 2)的伴随矩阵A*的定义。 8.3牢记公式：AA*=A*A=det(A)E,det(A*)=det( )。 8.4知道det(A) 0是方阵A可逆的充要条件。 9.逆矩阵的计算，要求达到“简单应用”层次。 9.1会利用公式求逆矩阵。 9.2会求可逆的分块对角矩阵的逆矩阵。 9.3理解初等方阵的定义，知道初等方阵的逆矩阵。 9.4知道初等方阵与矩阵初等变换之间的关系。 工程数学复习资料 一、线性代数 1、 矩阵的初等行变换：1）两行互换，2）某一行乘以一个非零常数，3）某一行的K 倍加到另一行。 2、 阶梯型矩阵：1）全为0的行写在最下面，2）首非零元的列标随行标的增大而增大。如2301 310 146500001240 00000-⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ -⎢⎥ ⎣⎦ 3、 行简化阶梯型矩阵：满足下列条件的阶梯型矩阵：1）首非零元全为1，2）首非零元所在列其余元素全为0。如： 1010250140310001230 00000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 4、 求矩阵A 的秩：A −−−→−初等行变换 阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵A 的秩即r(A) 例： 设矩阵115121123 5318191397 8A --⎡⎤⎢⎥-⎢ ⎥=⎢⎥-⎢ ⎥-⎣⎦ ，求矩阵A 的秩． 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢ ⎢⎢ ⎢⎣⎡-----68 14403472034720215 1187931918135321121 5111151 202743000000000 0--⎡⎤ ⎢⎥-⎢ ⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由此可知矩阵的秩为2． 5、 求矩阵方程AX=B ：（A B ）−−−→−初等行变换 (I X)或X=1 -A B 求矩阵A 的逆矩阵：（A I ）−−−→−初等行变换 （I 1 -A ） 1. 例：设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--322121011,B=⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡500050002,求A 1 -B. 或解矩阵方程AX=B 解：（AB ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--500322050121002011→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--504340052110002011 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520121000521100541 01→⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----52012100515100105158001 ∴B A 1 -＝⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-----52012515105158 行列式 1. 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 如11 121311121321 222321 222331 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零． 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和. 如11 12131112131112 13 2121 2222 2323 21222321 222331 32 33 31 32 33 31 3233 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变. 如11 121311121321 222321222331 32 33 3111 3212 3313 a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++ 例1 已知，那么（ ） A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案 B 解析 2. 余子式与代数余子式 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j ij ij A (1) M +=-叫做元素ij a 的代数余子式． 3. 行列式按行（列）展开法则 定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ ()1,2, ,;1,2 i n j n ==线性代数复习资料
工程数学-线性代数
电大本科工程数学复习资料
线性代数期末复习知识点参考
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