工程数学--线性代数课后题答案_第五版5

工程数学--线性代数课后题答案_第五版

第五章 相似矩阵及二次型

1. 试用施密特法把下列向量组正交化:

(1)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;

解 根据施密特正交化方法,

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==11111a b ,

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=101]

,[],[1112122b b b a b a b ,

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=--=12131],[]

,[],[]

,[222321113133b b b a b b b b a b a b .

(2)⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a .

解 根据施密特正交化方法,

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-==110111a b ,

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=-=12313

1],[],[1112122b b b a b a b ,

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=--=43

3151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---121

312

11213

1211;

解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.

(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛------979494949198949891.

解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.

3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为

H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T

=E -2(x T )T x T =E -2xx T ,

所以H 是对称矩阵. 因为

H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.

4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,

(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

故AB 也是正交阵.

5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----201335212;

解

3)1(201335212||+-=-------=-λλ

λλλE A ,

故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A ,

得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于

特征值λ=-1的特征值向量.

(2)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛633312321;

解

)9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλ

λλλE A ,

故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A , 得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A ,

得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021

101113333823289~E A ,

得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应

于特征值λ3=9的特征值向量.

(3)⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛0001001001001000. 解

22)1()1(0010100

101

00||+-=----=-λλλ

λλλλE A ,

故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=+0000

00000110100

1100101100110

1001

~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----=-00

00

00000110100

110

101100110

1001

~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.

6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明 因为

|A T-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,

所以A T与A的特征多项式相同,从而A T与A的特征值相同.

7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)

证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t

若a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

类似地,设b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r,b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r,l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t,使k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r+l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0.

记γ=k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r),

则k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r不全为0,否则l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t不全为0,而

l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0,

与b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t线性无关相矛盾.

因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A 与B有公共的特征值,有公共的特征向量.

8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.

证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则

(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.

因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.

9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.

证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.

因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.

10.设λ≠0是m阶矩阵A m⨯n B n⨯m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.

证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有

(AB)x=λx,

于是B(AB)x=B(λx),

或BA(B x)=λ(B x),

从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.

11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.

解令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ,则ϕ(1)=3,ϕ(2)=2,ϕ(3)=3是ϕ(A)的特征值,故

|A3-5A2+7A|=|ϕ(A)|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.

12.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2,-3,求|A*+3A+2E|.

解因为|A|=1⨯2⨯(-3)=-6≠0,所以A可逆,故

A*=|A|A-1=-6A-1,

A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.

令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则ϕ(1)=-1, ϕ(2)=5, ϕ(-3)=-5是ϕ(A )的特征值, 故

|A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|ϕ(A )|

=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25. 13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相 似.

证明 取P =A , 则

P -1ABP =A -1ABA =BA ,

即AB 与BA 相似. 14.

设矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,

求x .

解 由

)6()1(504131

02||2---=---=-λλλ

λλλx E A ,

得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.

因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00030010140403101)(~x x E A r

知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.

15. 已知p =(1, 1, -1)T

是矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向

量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则 (A -λE )p =0,

即⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000111213521

2λλ

λb a ,

解之得λ=-1, a =-3, b =0.

(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由

3)1(2013352

12||--=-------=-λλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00011010111325211~r b E A

知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.

16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

(1)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----020212022;

解 将所给矩阵记为A . 由

λ

λλλ-------=-202

120

22E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),

得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即

0220232024321=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T )3

2 ,32 ,31(1=p .

对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即

0120202021321=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )3

2 ,3

1 ,32(2-=p .

对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即

0420232022321=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )3

1 ,3

2 ,3

2(3-=p .

于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).

(2)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----542452222.

解 将所给矩阵记为A . 由

λ

λλλ-------=-5424

522

22E A =-(λ-1)2(λ-10),

得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得

T 0) 1, ,2(5

11-=p , T 5) ,4 ,2(5

312=p .

对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000542452228321x x x , 得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(3

13--=p .

于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10). 17.

设矩阵⎪⎪⎭⎫

⎝⎛------=12422421x A 与⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,

求x , y ; 并

求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.

解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以

0)4(95

242424

25|4|=-=---+---=+x x E A ,

解之得x =4.

已知相似矩阵的行列式相同, 因为

100

1

242424

21||-=-------=A , y y

204

5

||-=-=

Λ,

所以-20y =-100, y =5.

对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得

T )1 ,0 ,1(211-=

p , T )1 ,4 ,1(2

312-=p . 对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(3

13=p .

于是有正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛

--

=2313221234310231322

1P , 使P -1

AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特

征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 解 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1101110110111111101

1P ,

所以

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-1101110111000200020111111101

P P A ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛------=244354331.

19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、

λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .

解

设⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2,

即

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2

22222122653542321

x x x x x x x x x , ---① ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+2

22122222653542321

x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有

x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③

由①②③解得

612

13

1x x --=, 622

1x x =, 634

13

2x x -=,

642

13

1x x -=, 654

13

2x x +=.

令x 6=0, 得3

11-=x , x 2=0, 3

23=x , 3

14=x , 3

25=x .

因此

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=022********A .

20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值

λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .

解

设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A .

因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1116111A , 即⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++6

66653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-331113333653

542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .

因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得

x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.

因此

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=411141114A .

21. 设a =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T , a 1≠0, A =aa T .

(1)证明λ=0是A的n-1重特征值;

证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则有

A x=λx,

λ2x=A2x=aa T aa T x=a T a A x=λa T ax,

于是可得λ2=λa T a,从而λ=0或λ=a T a.

设λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn是A的所有特征值,因为A=aa T的主对角线性上的元素为a12,a22,⋅⋅⋅,a n2,所以

a12+a22+⋅⋅⋅+a n2=a T a=λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn,

这说明在λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn中有且只有一个等于a T a,而其余n-1个全为0,即λ=0是A的n-1重特征值.

(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.

解设λ1=a T a,λ2=⋅⋅⋅=λn=0.

因为A a=aa T a=(a T a)a=λ1a,所以p1=a是对应于λ1=a T a的特征向量.

对于λ2=⋅⋅⋅=λn=0,解方程A x=0,即aa T x=0.因为a≠0,所以a T x=0,即a1x1+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n=0,其线性无关解为

p2=(-a2,a1, 0,⋅⋅⋅, 0)T,

p3=(-a3, 0,a1,⋅⋅⋅, 0)T,

⋅⋅⋅,

p n=(-a n, 0, 0,⋅⋅⋅,a1)T.

因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅112

212100), , ,(a a a

a a a a n n n p p p . 22.

设⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=340430241A ,

求A 100.

解 由

)5)(5)(1(3404302

41||+---=----=-λλλλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则

P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1,

A 100=P Λ100P -1. 因为

Λ100=diag(1, 5100, 5100), ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=--120210505511202101211

1P , 所以

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120210505551

12021012151100100

100A

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=100100100

5000501501.

23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1). (1)求关系式⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭

⎫

⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ; 解 由题意知

x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x q p

q p

y x 1111, 因此 ⎪⎭

⎫

⎝⎛--=q p q

p A 11.

(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05

.000y x , 求

⎪⎭

⎫

⎝⎛n n y x . 解 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11可知⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n . 由

)1)(1(11||q p q p q

p E A ++--=----=

-λλλ

λλ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令⎪

⎭

⎫

⎝⎛-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1. 于是 1

1100111-⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛-=p q r p q A n

n ⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=q p r p q q p n 11001111

⎪⎭⎫

⎝⎛+--++=n n n n q r p p r p q r q p r q q p 1,

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=⎪⎭⎫

⎝⎛5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.

24. (1)设⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=3223A , 求ϕ(A )=A 10-5A 9

;

解 由

)5)(1(322

3||--=----=

-λλλ

λλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(2

1.

对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(2

1-.

于是有正交矩阵⎪⎭

⎫

⎝⎛-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,

从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1

⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111

210004111121 ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=11

1122222.

(2)设⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=122221212A ,

求ϕ(A )=A 10-6A 9+5A 8.

解 求得正交矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛---=20223

123

161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1

=P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1

=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1

=P diag(12, 0, 0)P -1

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---=22203321

1001220223

123161

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=4222112112.

25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121) , ,(.

(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.

(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.

解 ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛------=432

1432110

2

101322311

1211

) , , ,(x x x x x x x x f . 26. 写出下列二次型的矩阵:

(1)x x x ⎪⎭

⎫

⎝⎛=1312)(T f ;

解 二次型的矩阵为⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=1312A .

工程数学线性代数课后答案(习题一至四)__同济第五版

习题解答 1+利帛对角线法则计算卞列三阶行列式: 1 -1 1 (2) 3 b b (1) 原式= 2x( - 4)X3 + 0x(-l)x( 一 1) -FlxixS -lx(-4)x(-l)-2X (^])X8^0xix3=-4； (2) 原式=acb + bac + cba - J 一 J 一 沪 ~3abc _ a* — ft* — c* | (3) 原式=1?&+ + =be 1 + ca 1 + ab 1 ~ ba 2 — cb 2 — ac z =c 2 (b - a) a^/(b - a} - c(b 2 - = (a - b)(b - c)(c - a)^ ⑷ = y)y + y) + (J : + y)yx - (x + y)3 - - y 3 =-2(x 3 + ^). 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 S 4； (2) 4 1 3 2i (3) 3 4 2 I ； (4) 2 4 1 3； (5) 1 3 ?八(2n — [) 2 4 … (2JI ); (6) 1 3 *?* (2n - 1) (2n) (2n - 2)…2. 解(1)此排列为自然排列?其逆序数为S (2) 此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元 累3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为如第3位元素2的逆序数为2.末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面*此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0T O t 2t 1*故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2齐个数的排列中，前“位元素之间没有逆序对■第对+ 1位 元素2与它前面的玮-I 个数构成逆序对，故它的逆序数为W R 同理，第? +2 倍 一 4 I 8 1 1 -1 1 (4) (3)

线性代数课后答案_习题5和习题6

习题五 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： 1）1124-?? ???；2）123213336?? ? ? ???；3）001010100?? ? ? ???；4）310410482?? ?-- ? ? --?? 。 并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。 解：1） 1 1 (2)(3)24 λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。 当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。 当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。 2）1 23 2 13(1)(9)3 36 λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。 当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。 当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。 当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。 3）201 010(1)(1)10λ λλλλ --=+--，特征值1,1λ=- 。 当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。故属于1λ=的特征向量为 1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。 当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

线性代数课后习题答案全）习题详解

线性代数课后习题答案全）习题详解 前言 因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）2 22111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.

线性代数同济大学第五版课后习题答案

线性代数同济大学第五版课后习题答案 第五版线性代数同济版答案第一章行列式 1用对角法则计算下列三阶行列式 (1) 2011年？4？1？183 解决办法 2011年？4？1？183 2(4)3 0(1)(1)1 1 8 0 1 3 2(1)8 1(4)(1)24 8 16 4 4 (2) abcbcacab 解决办法 abcbcacab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111abc222abc (3) 111abc222abc解决方案 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a)b)c)c)a) xyx？yyx？yxx？yxy (4) 解决办法 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3 x3 3xy(x y)y3 x2 y x3 y3 x32(x3 y3) 根据自然数从小到大的标准顺序，找出下列排列的逆序数xyx？yyx？

yxx？yxy (1)1 2 3 4解的逆序数是0 (2)4 1 3 2 反向订单号是4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 逆解的数目是5 3 2 3 1 4 2 4 1，2 1 (4)2 4 1 3 逆解的个数是3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n )?1)解的逆序数为 2 3 2 (1) 5 2 5 4(2) 7 2 7 4 7 6(3) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n (6)13(2 n1)(2n)(2 N2)2解的逆序数是n(n 1) 3 2(1) 5 2 5 4 (2) (2 n1)2(2 n1)4(2 n1)6(2 n1)(2 N2)(n42(1) 6 2 6 4(2) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1) 3将包含因子a11a23的项写入四阶行列式以求解包含因子a11a23的项的一般形式是(1)ta11a23a3ra4s 当rs是2和4的排列时，有两个这样的排列，即24和42，因此包含因子a11a23的项分别是 (1)ta 11a 23 a 32 a 44(1)1a 11 a 23 a 32 a 44 a 11 a 23 a 32 a 44)11 (1)ta 11 a 23 a 34 a 42(1)2 a 11 a 23 a 34 a 42 a 11 a 23 a 34 a 42 4计算下列行列式

工程数学线性代数第五版全程导学及习题全解

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然 数 从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

工程数学--线性代数课后题答案_第五版5

工程数学--线性代数课后题答案_第五版 第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=--=12131],[] ,[],[] ,[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-==110111a b ,

⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=12313 1],[],[1112122b b b a b a b , ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=--=43 3151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---121 312 11213 1211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛------979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T ,

Bqpfzos工程数学--线性代数课后题答案 第五版

七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。 -----啸之记。 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ;

解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );

工程数学-线性代数第五版答案 第二章 矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (1)⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=49635. (2)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛---=632142. (4)⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.

(5)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32133231323221213121132 1)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32133231323221213121132 1)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛321x x x 3223311321122 33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=. 2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3. 已知两个线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3 2133212311 542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3 23312211 323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.

工程数学-线性代数第五版课后习题答案

第二章 矩阵及其运算 13. 已知线性变换: ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3 21332123211 3235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211 221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32 1423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3 21332123211 423736947x x x y x x x y x x x y . 3. 已知两个线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3 2133212311 542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3 23312211 323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z

⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3 21332123211 1610941236z z z x z z z x z z z x . 2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 1. 计算下列乘积: (1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛123)321(;

工程数学线性代数第五版答案05

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-==110111a b , ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,

⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---121312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛------979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T )

(同济大学)线性代数第五版课后答案

成都大学诗叶子制作 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +ba c +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

成都大学诗叶子制作 (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)

线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

前言 解肖斌 因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）2 22111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．