第一章行列式
1。利用对角线法则计算下列三阶行列式：
(1）3
81141102---; 解3
81141102--- =2⨯（-4)⨯3+0⨯( 1)⨯(-1）+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯（-1）⨯8 1⨯( 4）⨯（ 1)
=24+8+16 4=-4。
(2)b
a c a c
b
c b a ; 解b
a c a c
b
c b a =acb +bac +cba bbb aaa -ccc
=3abc a 3 b 3 c 3。
(3）2
22111c b a c b a ； 解2
22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2 ac 2 ba 2-cb 2
=（a -b ）(b c ）（c a ）.
（4)y
x y x x y x y y x y x +++. 解 y
x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y ）+（x +y ）yx -y 3 (x +y ）3 x 3
=3xy （x +y )-y 3 3x 2y -x 3 y 3-x 3
=2(x 3+y 3).
2。按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4；
解逆序数为0
（2）4 1 3 2；
解 逆序数为4： 41， 43， 42， 32。
(3）3 4 2 1;
解 逆序数为5： 3 2， 3 1， 4 2, 4 1， 2 1.
（4）2 4 1 3；
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3。
(5）1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n );
解 逆序数为
2
)1(-n n ： 3 2 （1个)
5 2， 5 4（2个）
7 2，7 4，7 6（3个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n 1)2，(2n-1）4,（2n 1)6，⋅⋅⋅,（2n-1)（2n 2)(n-1个)
(6）1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) （2n 2）⋅⋅⋅ 2。
解逆序数为n(n 1）:
3 2（1个）
5 2，5 4 （2个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n-1)2，（2n 1)4，（2n 1）6，⋅⋅⋅,（2n-1）（2n 2)（n 1个）
4 2(1个）
6 2，6 4（2个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n）2,（2n）4，(2n)6,⋅⋅⋅，(2n)（2n 2）(n 1个）
3。写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)t a11a23a3r a4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是
（-1）t a11a23a32a44=（-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
（-1）t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4。计算下列各行列式：
（1）7110
0251020214214； 解71100251020214214010014231020211021473234
-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=014
17172001099323211=-++======c c c c 。 （2)2605
232112131412-； 解 2
605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000
003212213041214=--=====r r . （3）ef
cf bf de cd bd ae ac ab ---； 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e
c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 41
11111111=---=.
(4）d
c b a 100110011001---。 解
d c b a 100110011001---d
c b a ab ar r 10011001101021---++===== d
c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c
d c ad a ab dc c cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5。证明：
(1）1
11222
2b b a a b ab a +=(a b ）3； 证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== a b a b a b a ab 22)1(2221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==（a b ）3。 （2）y
x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++；
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++
bz
ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bz
ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 z
y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= y
x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= y
x z x z y z y x b a )(33+=.
（3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
222222222222222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a ； 证明
2
2222222
2222
2222
)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4 c 3，c 3 c 2,c 2-c 1得） 5
2321252321252321252321222
22
++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a （c 4 c 3,c 3 c 2得)
02
2122212221222122
2
22
=++++=d d c c b b a a 。 （4）4444
222
21111d c b a d c b a d c b a =（a -b )(a c ）（a d )（b -c ）（b d )（c d ）（a +b +c +d )； 证明
4
4442222
1111d c b a d c b a d c b a )
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=
)
()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= )
)(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a b )（a c ）(a -d ）（b c )（b -d )（c d ）（a +b +c +d ).
(5)1
221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n 1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n 。
证明 用数学归纳法证明.
当n =2时，2121
221a x a x a x a x D ++=+-=，命题成立. 假设对于（n 1）阶行列式命题成立，即 D n 1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n 2x +a n 1,
则D n 按第一列展开, 有
1 11 00 100 01
)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n 1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n .
因此,对于n 阶行列式命题成立。
6.设n 阶行列式D =det （a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转，依次得
n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 证明D D D n n 2)
1(21)1(--==,D 3=D 。
证明 因为D =det （a ij ），所以
n
nn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121n
nn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)
1()1()2( 21)
1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=. 同理可证
nn
n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)
1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=。 D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)
1(2)
1(22)1(3)1()1()1()
1(.
7.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式):
（1）a a D n 1 1⋅⋅⋅=
， 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都
是0;
解
a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 00
10 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（按第n 行展开） )
1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a
n n n n n a a a
+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n a n 2=a n -2(a 2 1）。
（2)x
a a a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘（ 1)分别加到其余各行，得
a
x x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上,得
a x a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=00
00 0 000 00 )1(=［x +（n 1)a ］(x -a ）n 1. （3)1
11 1
)( )1()( )1(11
11⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n
n n ; 解 根据第6题结果, 有
n
n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(11
12)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1
12
1
)1(2
)1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i 。
(4)n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112； 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
1
1112（按第1行展开） n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111----⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n 2， 即D 2n =（a n d n -b n c n )D 2n 2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(.
而1
111111
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n
i i i i i n c b d a D 1
2)(.
(5) D =det （a ij ）,其中a ij =｜i -j ｜； 解 a ij =|i j ｜， 0
4
321
4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0
4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r
1
5242321 0 22210 02210 0021
0 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =（ 1)n 1（n -1）2n -2. （6)n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2⋅⋅⋅a n
≠0。
解
n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
112
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 00
1133221
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
11 000 00 110
00 011
00 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n
n n a a a a a a a a
∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i
n a a a a .
8。用克莱姆法则解下列方程组:
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
2135132
41211
111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,28411
2035122
4121
1
15
12-=-----=D , 42611013
5
232
422115113-=----=D ,1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 111==
D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144-==D
D
x .
（2）⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
1000
6510006510
065100065==D , 1507510016510006510
00650000611==D ,11455101065100065000
0601000152-==D , 703511006500006010
00051001653==D ,3955
1
060100005100
0651010654-==D , 2121
1
0510006510
0651100655==D , 所以
66515071=x ，665
11452-=x ，6657033=x ，6653954-=x ,6652124=x .
9。问λ，μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0，得
μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解。
10。问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零
解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
31111132421D
=(1 λ)3+（λ 3） 4(1 λ） 2(1-λ）（ 3-λ) =(1-λ）3+2(1 λ）2+λ 3。 令D =0， 得
λ=0,λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时，该齐次线性方程组有非零解。
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换：
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1,x 2,x 3到变量y 1,y 2,y 3的线性变换. 解由已知： ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,
⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y . 2。已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
2133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,
求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3的线性变换。 解由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010201
3514232102z z z
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T
.
4。计算下列乘积:
（1）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;
解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. （2）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛123)321(；
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛123)321(=（1⨯3+2⨯2+3⨯1)=（10).
（3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛;
解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=6321
42. （4）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4131210131
43110412； 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131
21013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
（5)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ；
解
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5。设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101
B , 问： (1）AB =BA 吗? 解AB ≠BA .
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43AB ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321
BA , 所以AB ≠BA . (2）（A +B ）2=A 2+2AB +B 2吗？ 解 （A +B ）2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+52
22B A ,
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+52
225222)(2B A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B ）2≠A 2+2AB +B 2. （3）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2吗？ 解 （A +B ）(A -B )≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A ,⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=-1020
B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-+90601020
5222))((B A B A ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-71
8243011148322B A ,
故(A +B ）（A -B ）≠A 2-B 2.
6。举反列说明下列命题是错误的：
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, ???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, ???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6, ???, (2n)(2n-2) (n-1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)； 解 =2⨯( 4）⨯3+0⨯（-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯（-1）⨯8-1⨯(-4）⨯(-1） =-24+8+16 4=-4. (2）; 解 =acb+bac+cba bbb-aaa-ccc =3abc a3 b3 c3。 (3); 解 =bc2+ca2+ab2 ac2-ba2-cb2 =（a-b)(b-c)(c a). (4）. 解 =x(x+y）y+yx（x+y)+(x+y）yx-y3 （x+y）3 x3 =3xy（x+y）-y3 3x2y-x3-y3 x3 =-2（x3+y3). 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2； 解逆序数为4：41, 43, 42, 32. (3）3 4 2 1; 解逆序数为5： 3 2，3 1，4 2, 4 1，2 1. (4)2 4 1 3； 解逆序数为3： 2 1, 4 1，4 3. (5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1）2 4 ⋅⋅⋅ (2n）； 解逆序数为： 3 2 （1个） 5 2，5 4(2个） 7 2，7 4, 7 6（3个) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （2n-1)2，（2n 1）4, (2n-1）6,⋅⋅⋅, (2n-1）(2n-2）（n 1个) (6)1 3 ⋅⋅⋅（2n-1）(2n）(2n 2）⋅⋅⋅ 2. 解逆序数为n（n 1）: 3 2(1个） 5 2，5 4 (2个） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2n 1)2，（2n 1）4, (2n 1）6,⋅⋅⋅，（2n-1)（2n-2）
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 1 32( 1) 81( 4) (1)
2481644 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2 221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3 y 3x 3 2(x 3 y 3)
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)81 ( 4) ( 1) 248 16 4 4 》 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2
( (a b)(b c)(c a) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3 (x y)3 x 3 3xy(x y)y 3 3x 2 y x 3 y 3 x 3 2(x 3 y 3 ) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的 逆序数 （ (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 ) (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)
解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) ￥ (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) / (2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
线性代数（同济大学第六版）课后答案 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=6321 42. (4)⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20 4 131 210131 43110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20 4 131 210131 43110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛321x x x 3223311321122 33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=. 2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3. 已知两个线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知
第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )?
(4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ??????
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)81 ( 4) ( 1) 248 16 4 4 》 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2
( (a b)(b c)(c a) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3 (x y)3 x 3 3xy(x y)y 3 3x 2 y x 3 y 3 x 3 2(x 3 y 3 ) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的 逆序数 （ (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 ) (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)
解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) ￥ (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) / (2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.
4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为 (-1)t a 11a 23a 3r a 4s , 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是 (-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式: (1)7110 025******* 214; 解 71 1 00251020214214 100142310 20211021473234 -----======c c c c 34)1(1431022110 14+-⨯---= 143102211014--=014 171720010 9932321 1=-++======c c c c . (2)2 605232112131412-;
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
同济大学线性代数第六版课后答案(全)
精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅