第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)；
解
=2⨯( 4）⨯3+0⨯（-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯（-1）⨯8-1⨯(-4）⨯(-1）
=-24+8+16 4=-4.
(2）;
解
=acb+bac+cba bbb-aaa-ccc
=3abc a3 b3 c3。
(3);
解
=bc2+ca2+ab2 ac2-ba2-cb2
=（a-b)(b-c)(c a).
(4）.
解
=x(x+y）y+yx（x+y)+(x+y）yx-y3 （x+y）3 x3
=3xy（x+y）-y3 3x2y-x3-y3 x3
=-2（x3+y3).
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2；
解逆序数为4：41, 43, 42, 32.
(3）3 4 2 1;
解逆序数为5： 3 2，3 1，4 2, 4 1，2 1.
(4)2 4 1 3；
解逆序数为3： 2 1, 4 1，4 3.
(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1）2 4 ⋅⋅⋅ (2n）；
解逆序数为：
3 2 （1个）
5 2，5 4(2个）
7 2，7 4, 7 6（3个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n-1)2，（2n 1）4, (2n-1）6,⋅⋅⋅, (2n-1）(2n-2）（n 1个)
(6)1 3 ⋅⋅⋅（2n-1）(2n）(2n 2）⋅⋅⋅ 2.
解逆序数为n（n 1）:
3 2(1个）
5 2，5 4 (2个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n 1)2，（2n 1）4, (2n 1）6,⋅⋅⋅，（2n-1)（2n-2）
(n 1个)
4 2(1个）
6 2，6 4（2个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n)2，（2n）4,（2n)6,⋅⋅⋅,（2n)(2n 2) （n-1个) 3。写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1）t a11a23a3r a4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是
（-1）t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
（-1）t a11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4。计算下列各行列式:
（1）；
解
.
(2)；
解
。
（3）；
解
.
(4)。
解
=abcd+ab+cd+ad+1.
5.证明:
(1）=（a b)3;
证明
=(a-b)3.
（2）;
证明
.
(3）；
证明
(c4-c3,c3-c2,c2 c1得）
(c4-c3，c3-c2得）
.
（4)
=（a b)（a c)（a-d)（b c）(b d）（c-d）（a+b+c+d)；证明
=（a b)（a-c)（a d）（b-c）(b d）（c d)（a+b+c+d）。（5)=x n+a1x n 1+⋅⋅⋅+a n 1x+a n。
证明用数学归纳法证明.
当n=2时，，命题成立。
假设对于（n 1)阶行列式命题成立，即
D n-1=x n 1+a1x n 2+⋅⋅⋅+a n 2x+a n 1，
则D n按第一列展开,有
=xD n 1+a n=x n+a1x n 1+⋅⋅⋅+a n 1x+a n。
因此，对于n阶行列式命题成立。
6.设n阶行列式D=det(a ij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得
，,,
证明，D3=D.
证明因为D=det(a ij）,所以
.
同理可证
。
.
7。计算下列各行列式(D k为k阶行列式）：
（1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0；
解
（按第n行展开）
=a n-a n 2=a n-2(a2-1）。
（2）；
解将第一行乘（ 1)分别加到其余各行，得
,
再将各列都加到第一列上,得
=［x+（n 1）a］（x a）n 1.
(3)；
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
。
(4）;
解
（按第1行展开）
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=a n d n D2n 2-b n c n D2n-2，即D2n=（a n d n-b n c n)D2n 2.于是。
而,
所以.
(5) D=det（a ij),其中a ij=|i j|；
解a ij=｜i-j|,
=(-1）n-1（n 1)2n 2。
（6)，其中a1a2⋅⋅⋅a n≠0.
解
.
8。用克莱姆法则解下列方程组：
(1);
解因为
,
,,
,,
所以，，，。
(2）.
解因为
,
,,
,,
,
所以
，,,，。
9。问λ，μ取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
.
令D=0，得
μ=0或λ=1.
于是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解。
10。问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解系数行列式为
=(1-λ）3+(λ-3) 4(1-λ)-2（1 λ）（ 3 λ)
=(1-λ)3+2（1 λ）2+λ-3。
令D=0，得
λ=0，λ=2或λ=3。
于是,当λ=0,λ=2或λ=3时，该齐次线性方程组有非零解。
第二章矩阵及其运算
1.已知线性变换：
,
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换。
解由已知：
,
故,
.
2.已知两个线性变换
,,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换。
解由已知
,
所以有.
3。设,,求3AB-2A及A T B.
解
,
.
4.计算下列乘积:
（1)；
解.
(2)；
解=(1⨯3+2⨯2+3⨯1）=(10).
(3);
解.
(4) ；
解.
(5）；
解
=（a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) .
5.设，,问：
(1)AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
(2)(A+B）2=A2+2AB+B2吗?
解（A+B）2≠A2+2AB+B2.
因为,
,
但,
所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.
（3)（A+B）（A-B)=A2-B2吗?
解(A+B)(A-B）≠A2-B2.
因为,,
,
而,
故(A+B)（A-B）≠A2-B2.
6。举反列说明下列命题是错误的：
(1)若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
（2）若A2=A，则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
(3)若AX=AY，且A≠0,则X=Y。
解取
,,,
则AX=AY,且A≠0，但X≠Y。
7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,A k.
解,
,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
8.设,求A k.
解首先观察
,
,
,
,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
用数学归纳法证明：
当k=2时,显然成立.
假设k时成立，则k+1时，
,
由数学归纳法原理知:
.
9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵。
证明因为A T=A,所以
（B T AB)T=B T（B T A)T=B T A T B=B T AB,
从而B T AB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:因为A T=A,B T=B,且AB=BA,所以
（AB)T=(BA)T=A T B T=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:因为A T=A,B T=B,且(AB)T=AB,所以AB=（AB)T=B T A T=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
（1)；
解.｜A|=1，故A-1存在.因为
,
故。
（2)；
解。｜A|=1≠0，故A 1存在.因为
,
所以。
（3);
解. |A｜=2≠0，故A-1存在.因为
,
所以。
(4)（a1a2⋅⋅⋅a n≠0) .
解,由对角矩阵的性质知
。
12.解下列矩阵方程：
（1);
解.
（2)；
解
.
（3）;
解
.
（4)。
解
.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组：
（1）;
解方程组可表示为
,
故,
从而有.
（2）.
解方程组可表示为
,
故,
故有.
14。设A k=O（k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1.
证明因为A k=O,所以E-A k=E.又因为
E-A k=(E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1）,
所以(E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1)=E,
由定理2推论知（E-A）可逆,且
（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1.
证明一方面,有E=(E-A)-1（E-A).
另一方面,由A k=O,有
E=(E-A）+(A-A2)+A2-⋅⋅⋅-A k-1+(A k-1-A k）
=(E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1）（E-A),
故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1)（E-A）,
两端同时右乘(E-A)-1,就有
（E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1.
15。设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆,并求A-1及（A+2E)-1。
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A(A-E）=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即（A+2E)（A-3E）=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
｜A2-A|=2,
即｜A|｜A-E｜=2,
故|A｜≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,｜A+2E|=|A2｜=｜A|2≠0,故A+2E也可逆。
由A2-A-2E=O⇒A（A-E）=2E
⇒A-1A（A-E）=2A-1E⇒,
又由A2-A-2E=O⇒（A+2E)A-3（A+2E)=-4E
⇒（A+2E）（A-3E）=-4 E,
所以（A+2E）-1(A+2E)（A-3E)=-4(A+2 E）-1,
.
16.设A为3阶矩阵,,求｜（2A)-1 5A*｜.
解因为,所以
=|-2A 1｜=(-2)3|A-1|=8|A|-1=-8⨯2=-16.
17。设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且（A ＊）-1=(A-1）＊。
证明由,得A＊=｜A|A 1，所以当A可逆时,有
|A＊｜=｜A｜n|A-1|=｜A|n 1≠0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A｜A-1，所以
(A＊）-1=|A｜-1A.
又,所以
（A＊)-1=｜A|-1A=|A｜-1｜A|(A-1）＊=(A-1）*.
18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
（1）若｜A｜=0,则|A*|=0；
(2）|A＊｜=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明。假设|A＊｜≠0,则有A＊（A＊)-1=E,由此得
A=A A＊（A*)-1=｜A｜E（A*）-1=O,
所以A＊=O,这与｜A*｜≠0矛盾,故当｜A|=0时,有|A*|=0.
(2）由于,则AA＊=｜A｜E,取行列式得到
|A|｜A*｜=｜A｜n.
若|A｜≠0,则|A＊｜=｜A｜n-1;
若|A|=0,由(1）知|A*｜=0,此时命题也成立.
因此｜A*|=｜A｜n-1.
19。设，AB=A+2B,求B.
解由AB=A+2E可得(A-2E）B=A,故
.
20.设,且AB+E=A2+B,求B.
解由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即（A-E)B=（A-E）(A+E）.
因为,所以（A-E)可逆,从而
.
21.设A=diag(1,-2, 1),A*BA=2BA-8E,求B.
解由A＊BA=2BA-8E得
(A＊-2E)BA=-8E,
B=-8(A＊-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)］-1
=-8(AA＊-2A）-1
=-8（|A｜E-2A）-1
=-8（-2E-2A)-1
=4（E+A）-1
=4[diag（2,-1, 2）］-1
=2diag(1,-2, 1).
22.已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E,求B.
解由|A＊|=|A|3=8,得｜A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3［A（E-A-1）］-1A
.
23.设P-1AP=Λ，其中，,求A11.
解由P-1AP=Λ，得A=PΛP-1,所以A11= A=PΛ11P-1。
｜P|=3,,,
而,
故.
24.设AP=PΛ,其中,,
求ϕ(A)=A8（5E-6A+A2）.
解ϕ（Λ）=Λ8(5E-6Λ+Λ2）
=diag（1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag（12,0,0）=12diag（1,0,0）.
ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1
.
25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.
证明因为
A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1（A+B）B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1（A+B)B-1可逆,即A-1+B-1可逆.
（A-1+B-1）-1=［A-1（A+B）B-1］-1=B（A+B）-1A.
26.计算.
解设,,,,
则,
而,
,
所以,
即.
27.取,验证.
解,
而,
故.
28.设，求｜A8｜及A4.
解令,,
则,
故,
.
.
29。设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求（1）;
解设,则
.
由此得⇒,
所以.
（2).
解设,则
.
由此得⇒,
所以.
30.求下列矩阵的逆阵:
(1）;
解设,,则
,.
于是.
(2).
解设,,,则
.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:
（1）;
解(下一步:r2+（-2）r1,r3+（-3)r1. )
~(下一步:r2÷(-1),r3÷（-2）.）
~（下一步:r3-r2.）
~(下一步:r3÷3. )
~(下一步:r2+3r3.）
~(下一步:r1+(-2）r2,r1+r3.）
~.
（2);
解（下一步：r2⨯2+( 3)r1,r3+（-2）r1。）
～(下一步：r3+r2,r1+3r2. )
~（下一步：r1÷2。)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, ???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, ???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6, ???, (2n)(2n-2) (n-1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为
同济大学工程数学线性代数第六版答案（全） 第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 ⑴ 2 1 04 31 2 0 1 解 1 4 1 1 8 3 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 a b c (2) b c a cab a b c 解 b c a cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2 (a b)(b c)(c a) 1 C 21b 2 1 C 2 1b x y x y ⑷ y x y x x y x y x y x y 解y x y x x y x y x(x y)y yx(x y) (x y)yx y (x y) x 3xy(x y) y3 3x2y x3 y3 x3
2(x3 y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1) 1 2 3 4 解逆序数为0 (2) 4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 3 2 (1 个) 5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个) (3)3 4 2 1 解逆序数为 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为 (5)1 3 (2n 逆序数为1) 2 4 n(n 1) 2 (2n) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1 个) 5 2 5 4 (2 个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) 4 2(1 个) 6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个) 3写出四阶行列式中含有因子ana23的项 解含因子ana23的项的一般形式为 (1)t ana23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42
第一章行列式 1。利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1）3 81141102---; 解3 81141102--- =2⨯（-4)⨯3+0⨯( 1)⨯(-1）+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯（-1）⨯8 1⨯( 4）⨯（ 1) =24+8+16 4=-4。 (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba bbb aaa -ccc =3abc a 3 b 3 c 3。 (3）2 22111c b a c b a ； 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2 ac 2 ba 2-cb 2 =（a -b ）(b c ）（c a ）.
（4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y ）+（x +y ）yx -y 3 (x +y ）3 x 3 =3xy （x +y )-y 3 3x 2y -x 3 y 3-x 3 =2(x 3+y 3). 2。按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； 解逆序数为0 （2）4 1 3 2； 解 逆序数为4： 41， 43， 42， 32。 (3）3 4 2 1; 解 逆序数为5： 3 2， 3 1， 4 2, 4 1， 2 1. （4）2 4 1 3； 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3。 (5）1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n ); 解 逆序数为 2 )1(-n n ： 3 2 （1个) 5 2， 5 4（2个）
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)81 ( 4) ( 1) 248 16 4 4 》 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2
( (a b)(b c)(c a) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3 (x y)3 x 3 3xy(x y)y 3 3x 2 y x 3 y 3 x 3 2(x 3 y 3 ) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的 逆序数 （ (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 ) (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)
解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) ￥ (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) / (2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
线性代数（同济大学第六版）课后答案 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=6321 42. (4)⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20 4 131 210131 43110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20 4 131 210131 43110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛321x x x 3223311321122 33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=. 2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3. 已知两个线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)81 ( 4) ( 1) 248 16 4 4 》 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2
( (a b)(b c)(c a) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3 (x y)3 x 3 3xy(x y)y 3 3x 2 y x 3 y 3 x 3 2(x 3 y 3 ) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的 逆序数 （ (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 ) (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)
解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) ￥ (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) / (2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )?
(4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ??????
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
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精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅