中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。
《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。下面我们来逐个讲解常见易错点。
1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。
2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。
3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中
f(x) = ax² + bx + c。抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。
4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。
5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。
6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。函数与y轴的交点是函数的截距，可以通过令x=得到。
7.利用函数图像求函数的性质：通过观察函数的图像，我们可以得到关于函数的一些性质，如开口方向、位置关系、顶点坐标等。利用这些性质可以更好地理解和解答与二次函数相关的问题。
8.解决实际问题：二次函数在实际问题中的应用广泛，如抛物线的最大最小值、极值的时间点、图像的面积等。在解决实际问题时，需要将问题转化为二次函数的形式，并利用函数的性质进行求解。容易出错的地方在于对问题的抽象和对二次函数性质的运用。
以上是《二次函数》的常见易错点的梳理，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。在复习和做题过程中，同学们应该注意强化易错点的理解和记忆，并且多做相关的习题和试题，加深对知识点的掌握和应用能力。祝同学们在中考数学中取得好成绩！
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。 《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。下面我们来逐个讲解常见易错点。 1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。 2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。 3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中 f(x) = ax² + bx + c。抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。 4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。
5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。 6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。函数与y轴的交点是函数的截距，可以通过令x=得到。 7.利用函数图像求函数的性质：通过观察函数的图像，我们可以得到关于函数的一些性质，如开口方向、位置关系、顶点坐标等。利用这些性质可以更好地理解和解答与二次函数相关的问题。 8.解决实际问题：二次函数在实际问题中的应用广泛，如抛物线的最大最小值、极值的时间点、图像的面积等。在解决实际问题时，需要将问题转化为二次函数的形式，并利用函数的性质进行求解。容易出错的地方在于对问题的抽象和对二次函数性质的运用。 以上是《二次函数》的常见易错点的梳理，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。在复习和做题过程中，同学们应该注意强化易错点的理解和记忆，并且多做相关的习题和试题，加深对知识点的掌握和应用能力。祝同学们在中考数学中取得好成绩！
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
二次函数知识点详解（最新原创助记口诀） 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
初三数学中考考点归纳 努力了，就无怨无悔。有道是：天道筹勤!相信自己，你是最棒的!!愿和你分享每一份的喜悦!下面是小编给大家带来的初三数学中考考点，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧! 初三数学函数纠错考点知识点归纳 【易错分析】 易错点1：函数自变量的取值范围考虑不周全. 易错点2：一次函数图象性质与 k、b之间的关系掌握不到位. 易错点3：在反比例函数图象上求三角形面积，面积不变成惯性. 易错点4：二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标的表示. 易错点5：二次函数实际应用时，y取得最值时，自变量x不在其范围内. 【好题闯关】 好题1. 函数中自变量x的取值范围是( ) A.x≤2 B.x=3 C. x<2且x≠3 D.x≤2且x≠3 解析：此题我们都能注意到2-x≥0，且x-3≠0，∴误选D，其实x≤2里已包含x≠3. 答案：A 好题2. 已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是( ) 解析：此题不仅要看k、b所决定的象限，还要看k变化大小与直线的倾斜程度，难度大，所以更易出错.首先排除D答案，b大小不变，排除B答案，2K>K，所以直线与x轴交点的横坐标变大. 答案：C 初三下册数学复习提纲新人教版 二次函数概述 二次函数(quadraticfunction)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 顶点式：y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k(两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子) 交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式 求根的方法还有十字相乘法和配方法 开口方向：a>0向上，a<0向下 顶点坐标：(0,0) 对称轴：Y轴 函数变化： (1)当a>0 x>0时，y随x增大而增大; x<0时，y随x增大而减小. (2)当a<0 x>0时，y随x增大而减小; x<0时，y随x增大而增大. (小)值： (1)当a>0，当x=0时，y最小=0. (2)当a<0，当x=0时，y=0.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
二次函数的图象与性质 易错清单 1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定. 【例1】(2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: ① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大. 其中正确的结论有(). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小. 【答案】∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴b=-4a,即4a+b=0,所以①正确. ∵当x=-3时,y<0, ∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误. ∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0), ∴a-b+c=0. 而b=-4a,∴a+4a+c=0,即c=-5a. ∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a. ∵抛物线开口向下, ∴a<0. ∴8a+7b+2c>0.所以③正确. ∵对称轴为直线x=2, ∴当-1
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀一、基本概念与定义 一次函数是二次函数特殊情况 图像开口向上或向下 二次项系数>0则为向上 二次项系数<0则为向下 二、二次函数的图像特征 顶点坐标为(-b/2a,f(b/2a)) 若a>0,最小值在顶点 若a<0,最大值在顶点 对称轴为x=-b/2a 两个根为函数与x轴交点 如果D=b²-4ac>0,两个根 如果D=b²-4ac=0,一个根 如果D=b²-4ac<0,无实数根 三、零点与因式分解 二次函数与x轴交点 解方程ax²+bx+c=0 求得零点x₁=(-b+√D)/2a
零点x₂=(-b-√D)/2a 由零点得因式分解 得到f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) 四、函数图像与参数之间的关系 函数f(x)=a(x-h)²+k h为平移的横坐标 k为平移的纵坐标 a，决定开口大小 a>0函数图像开口向上 a<0函数图像开口向下 整体上下平移k个单位 左右平移h个单位 五、函数与导数 导数用于求函数的曲线斜率 导数f'(x)表示函数f(x)的变化率求导公式如下所示： （ax²）' = 2ax (a²)=2a (ax+b)' = a
(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x) 函数的导数为f'(x) 原函数的导数为F'(x) 函数f(x)在区间I上有两个导数，则 在I上相等的只有常数项 f'(x)=g'(x)⇒f(x)=g(x)+c 六、描点法绘制二次函数图像 求顶点=(-b/2a,f(-b/2a)) 求显正负号设出f(-b/2a) 七、根与系数之间的关系 根与系数之间存在倒数关系 两根之和相当于系数b的相反数 两根之积相当于系数c的相反数 八、函数与图像的应用 判断增减性需知一二三 一阶导数为正则单调递增 一阶导数为负则单调递减 高度与顶点的纵坐标相同 顶点处横坐标为最值的轴
中考数学常考易错点：《二次函数》知识点梳理 二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 的性质： 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标
性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质： 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的
二次函数知识点总结 在数学中，二次函数的最高阶必须是二次的。在数学中，二次函数主要研究学生对公式的应用，是数学知识的重点。二次函数知识点总结有哪些？一起来看看二次函数知识点总结，欢迎查阅！ 数学二次函数知识点归纳 计算方法 1.样本平均数：⑴ ;⑵若，，…， ,则(a―常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 2.样本方差：⑴ ;⑵若, ,…, ,则(a―接近、、…、的平均数的较“整”的常数);若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。 3.样本标准差： 三、应用举例(略) 初三数学知识点：第四章直线形 重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 ☆ 内容提要☆ 一、直线、相交线、平行线 1.线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2.线段的中点及表示 3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”) 4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线) 5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角) 6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示 8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”) 9.对顶角及性质 10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系) 11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。 12.定义、命题、命题的组成 13.公理、定理 14.逆命题 二、三角形 分类：⑴按边分; ⑵按角分 1.定义(包括内、外角) 2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中， 3.三角形的主要线段 讨论：①定义②__线的交点―三角形的×心③性质 ① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线 ⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质 5.全等三角形 ⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS) ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6.三角形的面积 ⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7.重要辅助线 ⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料) 九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料) 二次函数知识点总结 一、定义与定义表达式 一般地，自变量某和因变量y之间存在如下关系：y=a某2+b某+c （a≠0），则称y为某的二次函数。二、二次函数的三种表达式 一般式：y=a某2+b某+c（a≠0）顶点式：y=a(某-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k） 交点式：y=a(某-某1)(某-某2)（a≠0）仅用于函数图像与某轴有两个交点时，某1、某2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（某1，0）和B （某2，0）），对称轴所在的直线为某= 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： 某1某22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；某1,某2=；某1+某2=-2a2a4a2a 三、二次函数的图像 从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质 1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线某=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线某=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。当某=-时，y 最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a5．常数项c决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y轴交于点（0，c）。 6．抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）与某轴交点个数与方程a某2+b某+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与某轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与某轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与某轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=a某2+b某+c（a≠0），当y=0时，二
一、选择题 1．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 2y ax bx c =++ -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ） A ．1.00 1.98x << B ．1.98 1.99x << C ．1.99 2.00x << D ．2.00 2.01x << 3．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为 （ ） A ． 32 B ． 3 2 或2 C ． 3 2 或6 D ． 3 2 或2或6 4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线2x =- B ．直线3x = C ．直线1x = D ．直线2x = 5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ） A ．26 B ．3 C ．6 D ．426．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
北师大版数学九年级下册：二次函数知识 点总结 二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质： a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。 性质：
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。 当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。 2.y=ax^2+c的性质： 上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。 性质： 当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。 当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。 3.y=a(x-h)^2的性质：
左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。 性质： 当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。 当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。 4.y=a(x-h)^2+k的性质： a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。 性质： 当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。 三、二次函数图象的平移 平移步骤： 方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确 定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下： 保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)， 向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。 向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位。 1.平移规律：对于二次函数y=a(x-h)^2+k，平移h个单位 时向右移动h个单位，平移k个单位时向上移动k个单位。可 以概括为“左加右减，上加下减”。 2.平移方法：对于函数y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单 位可得y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿x轴平移
中考数学复习专项知识总结—二次函数（中考必备） 1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的联系： (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根； (2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。 4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 1、二次函数的基本概念。 2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。 3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。 4、二次函数图象的平移。
5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。 1、下列各点中，在函数y =-x 2图象上的点是（ ） A 、(-2，4) B 、(2，-4) C 、(-4，2) D 、(4，-2) 2、二次函数y =(3m -2)x 2+mx +1的图象开口向上，则m 的取值范围是 。 3、抛物线21 (3)52 y x =---的开口方向 ，对称轴 是 ，顶点坐标是 ，与x 轴的交点个数是 个。 4、二次函数215 22 y x x = +-的图象的顶点坐标是 。 5、二次函数y =2(x -1)2+5图象的对称轴和顶点P 的坐标分别是（ ） A 、直线x =-1，P(-1，5) B 、直线x =-1，P(1，5) C 、直线x =1，P(1，5) D 、直线x =1，P(-1，5) 6、把抛物线y =-4x 2向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A 、y =-4(x +3)2+2 B 、y =-4(x +3)2-2 C 、y =-4(x -3)2+2 D 、y =-4(x -3)2-2 7、在平面直角坐标系中，将二次函数y =-2(x -1)2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点变为（ ） A 、（0,0） B 、（1，-2） C 、（0，-1） D 、（-2,1）
二次函数 易错清单 1.二次函数与方程、不等式的联系. 【例1】(2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为(). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 -1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1 时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 【答案】∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,所以①错误. ∵顶点为D(-1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间. ∴当x=1时,y<0. ∴a+b+c<0,所以②正确. ∵抛物线的顶点为D(-1,2), ∴a-b+c=2.
∵抛物线的对称轴为直线=1, ∴b=2a. ∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确. ∵当x=-1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=1时,ax2+bx+c=2, ∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C. 【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物 线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点. 2.用二次函数解决实际问题. 【例2】(2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B 两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A,B两组材料的温度分别为 y A℃,y B℃,y A,y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同. (1)分别求y A,y B关于x的函数关系式; (2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少? (3)在0 二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 新人教版初三数学二次函数知识点总结一、二次函数看法： 1．二次函数的看法：一般地，形如做二次函数。2 ，，是常数，）的函数，叫 y ax bx c（ a a 0 b c 2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特点：⑴ 等号左侧是函数，右侧是关于自变量x 的 二次式， x 的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：y ax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。 张口方极点坐对称 2. a 的符号性质 y ax 2 c 向标轴 x 0 时， y 随x的增大而增大； x 0时， 的向上y 轴y 随x的增大而减小； x 0 时，y 有最 性 小值 0． 质： x 0 时， y 随x的增大而减小； x 0时， 上向下y 轴y 随x的增大而增大； x 0 时， y 有最 加 大值 0． 下 减。 张口方极点坐对称 a 的符号性质 向标轴 向上y 轴x 0 时， y 随x的增大而增大； x0 时， 向下 减。 张口方极点坐a的符号 向标 向上 张口方极点坐a的符号 向标 y 随x的增大而减小； x 0 时， y 有最 3. 小值 c ． 2 y a x h x 0 时， y 随x的增大而减小； x 0 时，的性 y 轴y 随x的增大而增大； x 0 时， y 有最质： 大值 c ．左加 右 对称 4. 性质 2 轴y a x hk x h 时， y 随x的增大而增大； x h 时， 的性 X=h y 随x的增大而减小； x h 时， y 有最质： 对称小值 0． 三、二 次函 性质数图 轴x h 时， y 随x的增大而减小； x h 时，象的 平移 向下X=h x h 时， y 随的增大而增大； x h 时， x 1. 向上X=h y 随x的增大而减大小值；0 ．x h 时， y 有最 平移 小值 k ． 步 x h 时， y 随x的增大而减小； x h 时， 骤：向下X=h y 随x的增大而增大； x h 时， y 有最 方法 大值 k ． 一：⑴ 将抛物线剖析式转变成极点式y a x 2 k ，确定其极点坐标 h ，k ； h ⑵ 保持抛物线 y 2 ， ax 的形状不变，将其极点平移到 h k 处，详尽平移方法以下： 2.平移规律 一、选择题 1．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y x x c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间 的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y << D ．321y y y < 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：∵抛物线顶点坐标为（1，n ）， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， ∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，即-2b a =1， ∴2a+b=0， ∵a≠0， ∴3a+b≠0，故②错误； ∵抛物线顶点坐标为（1，n ）， ∴抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与直线y=n 有唯一一个交点， 即方程ax 2+bx+c=n 有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4a （c-n ）=0， ∴b 2=4a （c-n ），故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴y 最大=n ， ∴直线y=n-1与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确； 故选：C ． 【点睛】 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 3．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当1x <-时，y 随x 的增大而减小； ④当21a -<<-时，关于x 的方程2 21x x a --=有4个实数根． 2020-2021南京精选中考数学易错题专题复习二次函数 一、二次函数 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（113 2 + ，﹣ 113 2 ）；（3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ⎧=-- ⎨ =-+ ⎩ ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），北师大版中考数学 二次函数知识点总结及相关题型
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