第一部分 练习与思考题
第1章 建立数学模型
1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页） 1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k
人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k
应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页） 1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？
1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？ 1.6 某城市的Logistic 模型为26
10
25
25N
N dt ?-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当∞
→t 时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ?+时间内人口数量与)
(t x x
m -成正比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。 1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？
1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？
1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？
第2章 初等模型
2.1 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的Q 值方法.
（3）d ’Hondt 方法： 将各宿舍的人数用正整数,
2,1=n
,3相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A ，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较. （4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.
2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支
3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。 (2)给出单位重量价格C 与W 的关系。画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。解释实际意义是什么。
2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。
2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供
检验你的模型。
2.8 速度为v
的风吹在迎风面积
2.9 雨速的速度v
2.10 大气压强p
有关（设0=t 时r 2.11 人体尺寸d 。证明人体与水的热交换系数h 与上述各物理量的关系可表为???
?
?=
k c d h μ?,，?是未定函数，h
2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的推理是错误的?正确的答案是什么?
2.13 战后Olympic 运动会女子铅球记录如下:
你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.
第3章 简单的优化模型
3.1 3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r
k >在每个生产周期T
内，开始的一段时间0(的图形。设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c
，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论r k >>和r
k ≈3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，跑步最大速度s /m 5=m v ，雨速s
/m 4=u ，降雨量h /cm 2=w ，记跑步速度为v
。按以下步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，
估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内， 且与人体的夹角为θ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数v
（3v
及参数a ，b ，c ，d （4）以总淋雨量为纵轴，速度v
为横轴，对(3)作图（考 虑α
的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什 么变化。
图1 图2
3.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x 和y
。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数)(
y
x x
f +和)(
y
x y f +。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
（1）令y
x x t +=，则1)1()(=-+t f t f 。画出)
(t f 的示意图。 （2）写出甲公司利润的表达式)(x p 。对于一定的y ，使)(x p 最大的x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。 （1）设腿长l ，步长s
，证明人体重心在行走时升高)(82l s l s <≈δ （2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m ，行走速度v
，证明单位时间所需动能为s
mv 62。 （3）设人体质量M ，证明在速度v
一定时每秒行走 =n
ml Mg 43步作功最小。实际上，m
l m
M 1,4≈≈分析这个结果合理吗。
（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。证明结果应为ml
Mg n 4=
步。分析这个结果合理。
3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。 3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。潮水通过水轮机的瞬时速度可由操作者控制， 那么，要生产最大能量，应如 何控制潮水的瞬时速度？
3.9 为了保证 病人平躺在长宽分
别为p ，q
的病床 上从病房进入手术 室（如图所示）， 两条垂直的通道至 少应宽多少？
3.10 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。 （1）设鱼总是以常速v 运动，鱼在水中净重w ，向下滑行时的阻力是w 在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w
在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k 倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k
倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从A 点到达处于同一水平线上的B 点时（见下图），沿折线ACB 运动消耗的能量与沿水平线AB 运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）)
sin(sin sin βαβα++k k 。 （3）根据实际观察
2
.0tan ≈α，试对不同
的k
值（1.5，2，3）， 根据消耗能量最小的准则 估计最佳的β
值。
第4章 数学规划模型
4.1 某饲养场用n
种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m 种营养成分有一个最低标准。即对m
i ,,1 =，要求第种i 营养成分在饲料中的含量不少于i b ，若每单位第j
种原料 中含第i
种营养成分的量为ij a ，第j 种原料的单价为j c
，问应如何配制饲料才能使成本最低？
4.2拟分配甲、 乙、丙、丁四人去干 四项工作，每人干且 仅干一项。他们干各 项工作需用天数见右 表，问应如何分配才 能使总用工天数最少。
4.3 某校经预赛选出A ，B ，C ，D
四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？
4.4 某工厂生产两种标准件，A 种每个可获利0.3元，B 种每个可获利0.15元。若该厂仅生产一种标准件，每天可A 种标准件800个或B 种标准件1200个，但
A 种标准件还需某种特殊处理，每天最多处理600个，A ，
B 标准件最多每天包装1000个。问该厂应该如何安排生产计划，才能使每天获利最大。
4.5 将长度为500cm 的线材截成长度为78cm 的坯料至少1000根，98cm 的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任务的前提下，应如何截切，使得留下的余料最少？ 4.6 某厂有原料甲、乙，生产四种产品A ，B ，C ，D ，各参数如下表： （1）求总收入最大的生产方案；
（2）当最优生产方案不变时，分别求出A ，B ，C ，D 的单价的变化范围； （3）当最优基不变时，分别求出原料甲、乙的变化范围。
4.7 某厂生产A ，B 两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数
如下表：
B
（1）求收入最大的生产方案；
（2）若引进新产品C ，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C 的单价多少时才宜投产？当C 的单价为4百元时，求C 投产后的生产方案。 （3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。
4.8 已知某厂生产有关参数：
（1）求最优生产方案；
（2）根据市场情况，计划A 至少生产500件，求相应生产方案； （3）因E 滞销，计划停产，求相应生产方案；
（4）根据市场情况，限定C 不超过1640件，求相应生产方案； （5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；
（6）若限定生产A 至少1000件，生产B 至少200件，求相应生产方案。 4.9 要从宽度分别为3m 和5m 的1B 型和2B 型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5m ，2.1m 和2.7m 的1A 型、2A 型和3A
型三种卷纸3000m ，10000m 和6000m 。问如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少。
4.10 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税。此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
试解答下列问题：
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75％的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5％，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8％，投资应否改变？ 4.11 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下： 储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
4.12 一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15％的保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？ （2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
4.13 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（％），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（％），售价分别为9，15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨，产品A，B的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？
4.14. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？
4.15
已知发电站A可以将水库A的1万的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万的水转换为200千度电能。发电站A，B
的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）
请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝10
3
千瓦时）
4.16 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司？
4.17 某工厂生产两种产品Ａ、Ｂ，分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和盈利如下表。
制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标：
（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；
（2）周加班时间限制在10小时以内；
（3）两种产品周生产量应满足预测销售量，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；
（4）尽量减少加班时间。
第5章微分方程模型
5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型
)(
003
.0
)(
t
p
dt
t
dp
=
其中t以分钟计。在t时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(
001
.02t
p，其中)(t
p是t时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。
（2）假设在0
=
t是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数
)(t
p，并问∞
→
t时会发生什么情况？
5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T
称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 5.4 用具有放射性的14C
测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C
。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。在活组织中14C 的吸收速率恰好与14
C
的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C
的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C
的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在14C
的衰变速率，由于14C
的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用14C 测古生物年代的模型（14C
的半衰期为5568年）。
5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：
（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min
?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min
?g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min
?g ），活数标本为6.68计数（min
?g ），试估计该建筑的年代。 5.6 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V
的两部分，分别
装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设)
(l V V B A ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。
5.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。 5.8 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量)
(t s 的下降速度与)(t s 成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)
(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。建立销量)
(t s 的模型。若广告宣传只进行有限时间τ
，且广告费为常数a
，问)
(t s 如何变化？
5.9 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。 （2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。 （3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。
5.10 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？ 5.11 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为0N 的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数)(t R E 而增长或衰减，即t t R E e
t N )()(μ，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。
5.12 只考虑人口的自然增长，不考虑人口的迁移和其它因素，纽约人口满足方程 2
6
10
251
251N N dt dN ?-=
若每年迁入人口6000人，而每年约有4000人被谋杀，试求出纽约的未来人口数，并讨论长时间后纽约的人口状况。 5.13 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为810
5?，当群体中生物很少时，每40mm 增加一倍。若开始时动物分别为710和8
10
，求2h 后群体中动物的总数。 5.14 某地有一池塘，其水面面积约为2100100m
?，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 （1）鱼的存活空间为2/1m
kg ； （2）每kg 1鱼每需要的饲料为kg 05.0，市场上鱼饲料的价格为kg /2.0元； （3）鱼苗的价格忽略不计，每kg
1鱼苗大约有500条鱼；
（4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为kg 2； （5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略； （6）若q
为鱼重，则此种鱼的售价为 ???????￡￡<￡<￡<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kg Q ???a
???a??
?a???a （7）该池内只能投放鱼苗。
5.15 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通．如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾． 设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长l
．建立单 位时间内人工肾带走废物数量的模型．
5.16 在鱼塘中投放0n
尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加. （1）设尾数)
(t n 的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比．分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解． （2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量n n
表示，记作E ，即单位时间捕获量是)
(t En ．问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大.
5.17 建立肿瘤生长模型．通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过1011
时才是临床可观察的；2)在肿瘤生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值．
(1)比较Logistic 模型与Gompertz 模型：N
n
n dt dn ln λ-=，其中)(t n 是细胞数，N 是极限值，λ是参数． (2)说明上述两个模型是Usher 模型：))(1(αα
λ
N n n dt dn -=的特例．
5.18 药物动力学中的 Michaelis-Menton
模型为=dt dx
液体流动方向 薄膜 血管 血液流动方向
人工肾
x
a kx
+-
（0,>a k ），)(t x 表示人体内药物在时刻t 的浓度．研究这个方程的解的性质.
（1）对于很多药物(如可卡因)，a 比)(t x 大得多，Michadis-Menton 方程及其解如何简化． （2）对于另一些药物(如酒精)，)(t x 比a 大得多，Michaeli-Menton 方程及其解如何简化．
5.19 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积V （以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以)(t x 记在任一时刻t 每立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称它为污染浓度。令r 记
每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的5%？
5.20 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。
5.21 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行隔年更为严重。
（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染的、传染的以及被隔离（或痊愈）。也适用于由于出生而大量增加易感染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率P 传染给被感染者。 （2）证明你的模型有某种周期性质。如果它不是，就加以修改，因为麻疹流行肯定是趋于周期式地出现的。
（3）估计你的模型中的参数以拟合0.5周期的潜伏期及2年的周期流行的观察结果。估计出的参数值是否实际？
5.22 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的记数率。
由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记数率成正比。
若某受试者的测试数据如下：
试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。 5.23 给狗一次快速静脉注射常咯啉kg
mg /20，测得血药浓度的动态数据如下： 利用这些数据估计有关二室模型的参数。
5.24 多数药物是口服或静脉注射的，并且被血液吸收需要时间。同时药物将由肾排除出。给出这种情况的药物动力学模型。下列是一些关于药物动态的数据。第一种药物是磺胺嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O 表示口服，I 表示静脉注射，第2列中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？
5.25 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹病流行，生物学家H.F.Soper试图解释这一现象，他认为，易感人数有新成员不断地补充，根据这一假设，试建立数学模型并解释这一现象。
5.26 在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水。试建模描述这两个湖的污染情况。如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，对它们的污染情况给出进一步的分析。
假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了。试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间。
5.27 下表给出了五大湖中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或两个湖的污染给出进一步的分析。
5.28 一家环境保护示范餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料，餐厅每天将剩余的食物制成浆状并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这些混合原料，变成肥料。由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力添加新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产。试通过分析以前肥料生产记录（表），建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生成的建议。
第6章 稳定性模型
6.1 一个渔场中的鱼资源若不进行捕捞按自限规律增长，若在渔场中由固定的船队进行连续的捕捞作业，单位时间的产量与渔场的数量成正比，比例系数为k ，试建立描述该渔场的数量的数学模型，并讨论如何控制k
使渔场的鱼资源保持稳定。 6.2 与Logistic 模型不同的另—种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：
x
N rx dt dx ln
= 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h
及获得最大产量的捕捞强度m E
和渔场鱼量水平*
0x .
6.3 Smith F E 曾提出过一个在有限食物中的生物种群增长的一个简单的模型。这个模型是基于对某种昆虫的实验而提出的。与Logistic 模型一样，种群个体的增长率正比于可获得的食物a f
与用以维持生存的食物消耗量c f
之差，即
)(c a f f N N -=α
以前假设c f
Smith 提出当种群处于增长状态时，为了存活将需要更多的食物，从而他给出了模型
rN
BN f c
+= 其中0>r 为常数，试给出Smith 研究的种群动态的模型，讨论它的平衡态及其稳定性。 6.4 设一生物群体经常受流行病的侵袭。该群体一开始以自限规律2bp ap dt
dp -=增长，当总数达到)(b a
Q <时，流行病开始流行，此时群体总数变化服从规律2
Bp Ap dt dp -=，b B a A <<,且Q B
A <，因此群体总数开始减少。当群体减少至某值q (
B A
>)时，流行病停止传播。群体又按最出的自限规律增长，直至总数达到Q ，流行病再次发生…，于是群体p 在q 与Q
之间循环。试证：p 从q 增至Q 的时间为)
()
(ln 11bQ a bq a Q a T --=，而从Q 减到q
的时间为)
()(ln 12A qB Q A QB q A T --=。从而整个循环的周期为2
1T T T +=。 6.5 当老鼠过多时鼠群就会发生瘟疫，而且鼠群总数增大会 吸引大量猫、猫头鹰等捕鼠动物。因此在几个星期内鼠群的97——98%就回死去或被捕食，直到数量降到最高峰的2%时，由于密度太低，瘟疫停止传播，捕鼠动物因鼠稀少而离开。设在增加时服从指数规律ap dt dp =，减少时服从2Bp dt
dp =。试证明鼠群增加到最高峰需要时间q Q a T ln 11=，而从最高峰减少至最低数字需时间qQB q Q T -=2
。设41≈T 年，50≈q Q
，说明1
≈a 。 6.6 如下哪一个模型对于描述疾病在有限的人群中的传播是合理的： （1）N N α= ； （2）)(N N N T -=α ； （3）)(T
N N N -=α ，其中N
为感染病人的总数，T N 为人群总数。 6.7 考虑如下的种群增长模型： （1）2bN aN N +-= ， （2）2bN aN N --= （3）2bN aN N += ， （4）2bN aN N -= 其中0
,0>>b a 为常数，对于每个情形，试描述生育和死亡的机制。
6.8 建立相互依存的两物种群体的数学模型：设第一物种独立存在时服从自限增长规律，第二物种为第一物种提供食物有助于第一物种的增长；若无第一物种，第二物种以固定的死亡率衰减，第一种生物为第二生物提供食物，促进第二物种的增长。同时第二物种也受自限规律制约。
6.9 若在掠肉鱼—小鱼系统中考虑一种情形：掠肉鱼只捕食成年的小鱼而不捕食幼鱼。试建立该情形的数学模型。 6.10 试建立以下化学反应的数学模型
（1）设1mol 物质A 和1mol 物质B 经不可逆化合反应生成1mol 物质P 。由于化合反应是由两物质分子碰撞而发生的，物质A 和B 的浓度越大，A 、B 转化为P 的速率越快。设已知A 和B 的初始浓度，试建立此化合反应的数学模型。
（2）设A 、B 两种物质溶解在水中，A 、B 可以相互转化。A 转化为B 称为正反应，B 转化为A 称为逆反应。若正反应的速率与A 的浓度成比，比例系数为1k ，逆反应的浓度与B 的浓度成正比，比例系数为2k
，已知A 、B 初始时的浓度，试建立此可逆反应的数学模型。
6.11 考虑如下的三种群的生态模型
)(cS a F F -= ，)(mG F k S S -+-=λ ，)(S e G G δ+-=
假设系数δλ,,,,,,e m k c a 都是正的，试描述每个生物种在这个系统中所起的作用。
6.12 假设给第一类即易受传染者注射预防针，其注射的速度λ同这一类的人数成正比，这时
?????+-=--=)()()()()
()()()(t I t S t I dt t dI t S t I t S dt t dS αβλα
（1）试求其轨线。
（2）由（1）推出下列结论：对于方程的每一个)(),(t I t S ，当t 趋向于无穷大时，)(t S 趋向于零。 6.13 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两
年爆发一次麻疹传染病。生物学家H.E.Soper 试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添新的成员而不断得到补充。因此，他假设
?????
+-=+-=)
()()()()()()(t I t S t I dt
t dI t I t S dt t dS αβμα
其中和都是正的常数。试求：
（1）找出方程组的平衡解；
（2）证明方程组的初始值足够接近这个平衡解的每一个解)(),(t I t S ，当t 趋于无穷大时，都趋向于平衡解。 （3）当t
趋向于无穷大时，方程组的每一个解)(),(t I t S
都趋于平衡解。所以，我们得到结论：方程组不能解释重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明，这种疾病最终将趋向于稳恒状态。
6.14 （本题为美国首届大学生数学模型竞赛试题）在一个资源有限——即有限的食物、空间、水等等——的环境里发现天然存在的动物群体。试选择一种鱼类或哺乳动物（例如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼）以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体捕获量的最佳方针。
第7章 差分方程模型
7.1 设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此 种群分为3组。设初始时三组中的动物为T
)1000,1000,1000(，相应的Leslie 矩阵为
?????
? ??=02100
061
030
L
试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的发展趋势。
7.2 设医疗保健水平已达到相当高水准，可以假设i P 已几乎无法在增大。在此假设下，讨论Leslie 模型给出的结果。试根据Leslie 模型设计一个理想的人口增长模式。 7.3 在7 .4节按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为3,4,0321===b b b ，存活率为4
1,2121==s s ，开始时3组各有1 000只．求15年后各组分别有多只以及 时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布．
7.4 在按年龄分组的种群增长模型基础上，建立种群的稳定收获模型．
(1)设年龄组区间、时段长度都正好等于种群的繁殖周期，种群的按年龄组分布、Leslie 矩阵及增长规律仍用7.4节的)
()1(k k x L x =+表示.如果时段k 第i
年龄组种群的增加量就是这个时段的收获量，表示为
)()()1()(k x k h k x k x i
i i i =--， ,2,1,,,2,1==k n i 其中)
(k h i 为收获系数．
所谓稳定收获是指，各个时段同一年龄组的收获量不变，即)(k h i 和)(k x i (在收获之后)与k 无关．用H
表示以i h 为对角元素的对角阵，证明稳定收获模型可表为x HL x x L =-，其中x
是种群的按年龄组的稳定分布． (2) 证明获得稳定收获的充要条件是：i h
满足
+-+-)1()[1(2
1211h s b b h 1
)]1()1(211=--+-n n n h h s s b 且*=x x c (c
是大于零的常数)，其中 T
n
n h h s s h s )]
1()1(,),1(,1[21121---=-* x (3) 利用第7.3题的数据至少给出H 和x
的两组解，并计算按年龄组稳定收获的分布． 7.5 讨论稳定收获模型(第7.4题)的两个特例
（1）有些种群最年幼的级别具有较大的经济价值，所以饲养者只收获这个年龄组的种群，于是h h =1， =2h n h =0
=。给出这种情况下稳定收获的充要条件，并在第7.3题数据下求收获系数、种群的稳定分布和收获量按年龄组的稳定布．
（2）对于随机捕获的种群，区分年龄是困难的，不妨假定h
h h n
=== 1。讨论与(1)同样的问题． 7.6 在7 .4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若种群繁殖率1>R ，则种群增长，若1
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定．如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7．1节的结果进行比较. （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定．试分析稳定平衡的条件是否还会放宽． 第8章 离散模型 8.1 设n 阶矩阵A 为一致阵，证明A 具有下列性质： （1）A 的秩为1 ，唯一的非零特征根为n ； （2）A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量。 8.2 若发现一成对比较矩阵A 的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵 ???? ??????=16116153511A （1）对A 作一致性检验； （2）若A 的非一致性较严重，应如何作修正。 8.3 你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。你选择的标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵 ??? ?????? ??=13151131517155118731A 三种车型（记为a ，b ，c ）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度的成对比较矩阵为 （价格） （耗油量） c b a c b a c b a ??????????121312121321 c b a ????? ?????17127152111 （舒适程度） （外表） c b a c b a c b a ???? ??????141514131531 c b a ???? ???? ??17131715 3511 （1）根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请按由重到轻的顺序将它们排出。 （2）哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，你认为哪辆车最漂亮？ （3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。 8.4 外出旅游选择交通工具（包括飞机、火车、汽车），由于不同人外出的目的不同，经济条件不同，体制、心理、经历、兴趣都不同，考虑到安全、舒适、快速、经济、游览等因素，问应如何选择交通工具。 8.5 用层次分析法解决下列问题： （1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型，可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。 （2）你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何作出决策。 （3）为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。 （4）你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔……。 8.6 右图是5位网球 选手循环赛的结果。作为 竞赛图，它是双向连通的 吗？找出几条完全路径， 用适当方法排出5位选手 的名次。 8.7 排名次的另一种方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉场次的数目为他的失分），按失分由小到大排列名次。 （1）证明：这相当于把竞赛图中各有向边反向后，按得分向量排列名次，再把名次倒过来。 （2）用失分向量方法对 右图的竞赛图排列名次， 结果与用得分向量方法一 致吗？ 8.8 公共汽车系统用带符号的有向图表示如下，其中只有单位距离票价随着乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定（图中有向边1→2的标以?号）.讨论这个符号应为 + 还是 － 才能使冲量过程稳定. 8.9 某甲(农民)有一块土地,若从事农业生产可收入1万元.若将土地组给某乙(企业家)用于工业生产，可收入3万元。当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley 值方法分配各人的所得。 8.10 某作坊若由作坊主甲经营估计年获利1万元，若租给乙经营估计年获利5万元，若租给丙经营估计年获利6万元，若乙、丙合伙经营估计年获利10元。试按Shapley 公式计算在最大获利情况下各人的所得。 8.11 议会有100个席位，分别为四个党派所得，它们拥有的席位数分别为40、30、20、10。设法律规定提案需3 2赞成方能通过，试用Shapley 公式计算各党派在议会表决中的权重（设同派别的成员投票一致）。 8.12 设议会的席位由三个党派所拥有，法律规定提案需半数赞成方能通过。证明： （1）若存在一个党派，其席位数过半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用； （2）若任一党派的席位数均少于总席位数的一半，则三个党派在表决中所起的作用相同。 8.13 用最小距离意义下的选举规则研究由下式给出的投票： 1p ：z y x >>， 2p ：x z y >>， 3p ：y x z >> （1）如果以∑=3 1),(i i p p d 最小为原则确定选举结果p ，说明p 可以是1p ，2p 或3p 中任一个； （2）如果以∑ =3 1 2),(i i p p d 最小为原则确定选举结果p ，说明p ：z y x ~~。 第9章 概率模型 9.1 在传送带效率模型中，设工人数n 固定不变。若想提高 传送带效率D ，一种简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只钩子是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样。试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好。（传送带效率模型见姜启源《数学模型》第271页） 9.2 设某货物的需求量呈正态分布，已知其均值150 =μ，标准差25 =σ。该商品每件进价为8元，售价为15元，处理价为5元，缺货供应没有损失。问最佳订货批量应是多少？ 9.3 某商店预期商品年销售量为350件，且在全年（按300天计算）内基本均衡。若该商店每组织一次进货需订货费50元，存贮费每年每件13.75元，当供应短缺时，每缺一件的机会损失为25元。已知订货提前期为零，求经济订货批量和最大允许的缺货数量。 9.4 一商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为50元， 售价为70元，如果售不出去，每单位商品将损失10元。已知甲商品销售量k 服从参6=λ（即平均销售量为6单位）的泊松分布! )(k e k p k λ λ-= ， ,2,1.0=k 。问该商店订购量应为多少单位时，才能使平均收益最大？ 9.5 某公司利用塑料作原料制成产品出售，已知每箱塑料购价为800元，订购费为60元，存贮费为40元，缺货费为1015元，原有存贮量为10元，并已知该公司对原料需求的概率为 =======k P k P k P k P (,40.0)50(,20.0)40(,20.0)30(20 .0)60=，试求该公司订购原料的策略。 2 3 5 5 7 8 1 3 1－乘客的行程； 2－单位距离票价； 3－节油量； 4－燃料消耗 5－污染； 6－事故； 7－晚点； 8－居民人数 9.6 建立交货时间为随机变量的存贮模型。设商品订货费为1c ，每件商品单位时间的贮存费为2c ，缺货费为3c ，单位时间需求量为r 。下图中L 称为订货点。当贮存量降到L 时订货，而交货时间x 是随机的，如图中的 ,,21x x 。 设 x 的概率密度函数为)(x p 。订货量使下一周的贮存量达到固定值 Q 。为了使总费用最小，选择合适的目标函数建立数学模型，确定最佳订货点L 。 9.7 在轧钢问题中，若钢材粗轧后长度在1l 与2l 之间的可降级使用，长度小于1l 的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费最小。（轧钢问题将姜启源《数学模型》第278页） 9.8 做出与确定性阻滞增长模型相应的假设，建立随机性的阻滞增长模型。 9.9 考察一种既不同于指数模型，也不同于阻滞增长模型的情况：人口为 ，最大允许人口为m x ，t 到t t ?+时间内人口数量与) (t x x m -成正比。 （1（2在形式上完全一致的意义。 第10章 统计回归模型 10.1 下表是20世纪60年代世界人口增长的统计资料（单位：百万），试确定世界人口的最佳回归方程，并预测2000年的世界人口。 10.2 据观察，个子高的人一般腿都长，今从16名成年女子测得数据如下表，希望从中得到身高x 与下体长y 之间的回归关系。 身高x 与下体长y 观测数据 10.3 某厂表面处理车间试验将铬后污水同电解污泥混合，使之生成无毒液体，效果很好。但实际排出污水的浓度不大相同，而且一定浓度的定量铬后污水只有同定量的电解污泥混合后，才能反应完全。现通过试验，找出铬后污水量与电解污泥 用量之比对于铬后污水浓度之间的关系，实验数据如下表所示。 铬后污水用量与电解污泥用量实验数据 10.4 研究小麦产量（y ）对肥料水平（x ）的关系，有如下观测数据，试确定之。 小麦产量与肥料水平观测数据 10.5 炼钢厂出钢对所用盛钢水的钢包在使用过程中，钢渣及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容积不断增长。经试验，钢包的容积y （由于容积不便测量，故以钢包盛满时钢水的重量来表示）与相应的使用次数x （也称包龄）的数据如下表 所示，请找出定量关系。 10.6 下表列出了某城市18位35岁—44岁经理的年平均收入1x 千元，风险偏好度2x 和人寿保险额y 千元，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。 请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面看法，并给出进一步的分析。 10.7 在酶促反应中，如果用指数增长模型) 1(21 x e y β--=代替Michaelis-Menten 模型对经过嘌呤霉素处理的实验数据作非线性回归分析，其结果将如何？更进一步，若选出模型)(231x x e e y βββ---=来拟合相同数据，其结果是否比指数增长模型有所改进。试作出模型的残差图进行比较。 10.8 Logistic 增长曲线模型和Gompertz 增长曲线模型是计量经济学中的两个常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势。记Logistic 增长曲线模型为kt t ae L y -+= 1，记Gompertz 增长曲线模型为kt be t Le y --=，这两个模型 中L 的经济学意义都是销售量的上限。下表中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台），为给出此两模型的拟合结果，请参考如下问题： （1）Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型吗。如果给定3000 =L ，是否是一个可线性化模型，使用线性化模型给出参数a 和k 的估计值。 （2）利用（1）所得的a 和k 的估计值和3000=L 作为Logistic 模型的拟合初值，对Logistic 模型作非线性回归。 （3）取初值4 .0,30,3000)0()0()0(===k b L ，拟合Gompertz 模型。并与Logistic 模型的结果进行比较。 10.9 下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一 个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。 第11章马氏链模型 11.1 在钢琴销售模型中，将存贮策略修改为： （1）当周末库存量为0或1时，订购，使下周初的库存量达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。 （2）当周末库存量为0时，订购量为本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。（钢琴销售模型见姜启源《数学模型》第338页） 11.2 针对近亲繁殖模型，推导转移概率矩阵P的第4、5行。（近亲繁殖模型见姜启源《数学模型》第343页） 11.3 在基因遗传过程中，考虑3种基因类型：优种) (dd D，混种) (dr H和劣种) (rr R。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。 11.4 色盲具有遗传性，由两种基因c和s的遗传规律决定。男性只有一个基因c或s，女性有两个基因cc，cs或ss，当某人具有基因c或cc时则呈色盲表征。基因遗传关系是：男孩等概率地继承母亲两个基因中的一个，女孩继承父亲的那一个基因，并等概率地继承母亲的一个基因。由此可以看出，当母亲色盲时男孩一定色盲，女孩却不一定。用马氏链模型研究非常极端的近亲结婚情况下的色盲遗传，即同一对父母的后代婚配。父母的基因组合共有6种类型，形成马氏链模型的6种状态，问哪些状态是吸收状态。若父亲非色盲而母亲为色盲，问平均经过多少代其后代就会变成全为色盲或全不为色盲的状态，变成这两种状态的概率各为多大？ 11.5 两种不同的外部表征是由两种不同基因决定的，这两种基因的遗传关系是相互独立的。例如猪的毛有颜色表征（黑和白）与质地表征（粗和光）。对于每一种表征仍分为优种) (dd D，混种) (dr H和劣种) (rr R3种基因类型，两种表征的组合则有9种基因类型。在完全优势遗传中，优种和混种的猪毛颜色黑、质地粗，劣种则颜色白、质地光，这样共有4种外部表征组合，即黑粗、黑光、白粗、白光。假设群体的两种外部表征对应的基因中d和r的比例相同（即均为0.5），在随机交配的情况下构造马氏链模型。证明在稳定情况下上述4种外部表征组合的比例为9：3：3：1。 11.6 如果在等级结构模型中将距离函数的定义改为 ∑ = - = k i i i i a a a a D 1 )2( )1( )2( )1(| | ) , (λ 试给出求解问题1 E的方法。（等级结构模型见姜启源《数学模型》第345页） 第12章动态优化模型 12.1 个月内，市场对于该产品的需求量如下表所示： 假定该厂生产每批产品的固定费用为3千元，若不生产，则为零。每单位产品的可变成本为1千元。同时，任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位。则任何时期生产x个单位产品的成本费用为：生产成本 ? ? ? = ￡ < ? + = , 6 , 1 3 x x x 又设每时期的每个单位产品库存费用为0.5千元，同时规定在第1个时期开始之初及在第4个时期之末，均无产品库存。 问：在满足上述条件下，该厂应如何安排各个时期的产量与库存，才能使总成本费用最低？ 12.2 今有10单位资源可用于3种产品的制造，当将i x单位的资源用于制造第i种产品时（3,2,1 = i），所获得的收益分别为： 1 1 1 5 ) (x x g=10 1 ￡ ￡x 2 2 2 ) (x x g=10 2 ￡ ￡x 2 3 3 3 07 .0 ) (x x g=10 3 ￡ ￡x 假定这些资源可用非整数单位数量分配，那么，这些资源应如何分配，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 12.3 一旅行者必须在旅行中携带一些物品，现有n件物品，第i件物品的重量为i a公斤，携带的“价值”为i c（n i, ,2,1 =）现在问他应带那些物品使得物品的总重量不超过6公斤，又使总的“价值”最大？ 12.4 假定有一笔1000元的资金依次于三年年初分别用于工程A和工程B的投资。每年初如果投资工程A，则年末以0.6的概率回收本利2000元或以0.4的概率分文无收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000元或以0.9的概率回收1000元。假定每年只允许投资一次，每次投1000元（如果有多余资金只能闲置），试确定： （1）第三年末期望资金总数为最大的投资策略； （2）使第三年末至少有2000元的概率为最大的投资策略。 12.5 某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下生产时，产品年产量1 1 8u s=，式中 1 u为投入生产的机器数量，机器的年折损率为7.0 = a，即年初完好的机器数量为 1 u，年终就只剩下 1 7.0u台是完好的，其余 均需维修或报废。在低负荷下生产时，产品年产量2 2 5u s=，式中 2 u为投入生产的机器数量，机器的年折损率为9.0 = b。设开始时，完好的机器数为1000 1 = x台，要求制定一个五年计划，在每年开始时决定如何重新分配完好机器在两种不同负荷下工作的数量，使产品五年的总产量最高。 12.6 某工厂新添100台设备，打算生产A，B两种产品。如果生产产品A，每台设备每年可收入5万元，但损坏率达60％，如果生产产品B，每台设备每年仅收入3万元，而损坏率为30％， 三年后的设备完好情况不计，试问应如何安排每年的生产，使三年的总收入最大？ 12.7 12.8 2 c，缺货费为 3 c，单位时间需求量为r。下图中L称为订货点，当存储量降至L时订货，而交货时间X是随机的，如下图中 1 X， 2 X……，设X的概率密度为(p q Q 12.9 经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力。假设运 动员克服生理限制后能发挥的冲力) (t f 满足k t f t f 1)()(-= ，k 是冲力限制系数，F f =)0(为最大冲力。 将上述关系代入下面的赛跑模型： )()(t f t =+τνν ， 0)0(=ν 求出短跑比赛时速度)(t ν和距离) (t s 的表达式，及达到最高速度的时间，做出)(t ν的示意图。 某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离s 处所用的时间和当时的速度ν 如下表所示（平均值）： 上机练习题一 班级： 姓名： 学号： 1.建立起始值=3,增量值=5.5,终止值=44的一维数组x 答案： x=(3:5.5:44) 2.写出计算 Sin(30o )的程序语句. 答案： sin(pi*30/180) 或 sin(pi/6) 3.矩阵??????????=187624323A ,矩阵???? ??????=333222111B ;分别求出B A ?及A 与B 中对应元素之间的乘积. 答案：A = [3,2,3; 4,2,6; 7,8,1] B = [1,1,1; 2,2,2; 3,3,3] A*B ；A.*B 4计算行列式的值1 876243 23=A 。答案：det(A) 5对矩阵 ???? ??????=187624323A 进行下述操作。 (1)求秩。答案：rank(A) (2)求转置。答案：A' (3) 对矩阵求逆，求伪逆。答案：inv(A) ，pinv(A) (4) 左右反转,上下反转。答案：fliplr(A)，flipud(A) (5) 求矩阵的特征值. 答案：[u,v]=eig(A) (6) 取出上三角和下三角. 答案：triu(A) tril(A) (7)以A 为分块作一个3行2列的分块矩阵。答案：repmat(a) 6 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和。 >> a=[5 3 5;3 7 4;7 9 8]; >> b=[2 4 2;6 7 9;8 3 6]; >> a+b 7 计算??????=572396a 与?? ????=864142b 的数组乘积。 >> a=[6 9 3;2 7 5]; >> b=[2 4 1;4 6 8]; 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学 2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。 二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重 从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重 通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为 《数学建模》练习试题2003 1、假设岛上不断有大陆来的移民。再假设t 时刻大陆上有S 种人，岛上有 ()t N 种人。移居到岛上并在那边开拓殖民地的新人种的增加速度与大陆上尚未 移居到岛上的人种数()t N S -成比例，比例常数为I 。此外，人种的灭绝速度与岛上的人种数成比例，比例常数为E 。证明岛上的人种数将达到一个平衡值，它近似为 E I IS +。画出其与t 的函数曲线。√ 2、与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型： x N rx t x ln )(=? ， 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同。 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度 m E 和渔场鱼量水平* x 。（p201ex2）√ 3、外出旅游选择交通工具（包括飞机、火车、汽车），由于不同人外出的目的不同，经济条件不同，体质、心理、经历、兴趣都不同，考虑到安全、舒适、快速、经济、游览等因素，问应如何选择交通工具。√ 4、鼓励儿童们学习的一种方法是：当他们回答问题正确时给予奖励，而当他们回答不正确时不予奖励（或者有时给予惩罚）。教育工作者感兴趣的问题是设计一种能提高学习效率的方案。试建立一个在儿童中进行试验之前就能评估不同方案的数学模型。 5、一条流水线有五个岗位，分别完成某产品装配的五道工序。现分配甲、乙、丙、丁、戊五个工人去操作。由于每人专长不同，各个工人在不同岗位上生产效率不一样，具体数字见表2。问应如何分配每个工人的操作岗位，使这条流水线的生产能力最大？ 表 2 《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取 决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则 1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6 山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试 卷 （本试卷共4页） 说明： 本次考试为开 卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严 禁相互借用。 一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别； 2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它； 二、简答题（本题满分16分，每小题8分） ?1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ 1 > s 时)(t i 的变化情况 并加以证明。 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？ 三、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？ 四、（本题满分20分） 某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。 五、（本题满分16分） 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵 选择就业岗位 数学建模训练题 1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。 （1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。 （2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？ 2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。 4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。 5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长 第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。 数学模型课后答案 《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分 配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少． 华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . . 实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G 1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000 试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅 卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当； 关于利用数学建模训练增强高职学生创新能力 当前，随着我国现代化教育技术的逐步发展，为了确保人才质量，高校数学教学必须注重联系实际生活与生产实践，强调创新意识的培养.数学建模为数学学科同其他学科之间的联结提供了桥梁和枢纽，采用数学建模不仅可以对实际问题加以数学形式的描述，还为实际问题的理论分析及科学解决提供了强有力的工具.由于数学建模均来源于生活实践，并非固定、唯一的答案，其目的在于激发学生的思维，提高学生的动手能力，能够深入生产及生活实践，去寻找并解决问题，因此，提高学生的数学建模能力，有助于培养学生的创新意识及实践能力. 1、数学建模的内涵及其重要性分析 数学建模，即采用数学思想及方法解决实际生活及生产实践中所遇到的各种问题，是将数学理论知识同实际问题进行有效联系的枢纽，并直接展现了数学教育对于大学生创新意识及能力培养方面的重要作用.如今，数学建模的重要性已经受到了社会各界的广泛认同，并在多个领域得到了广泛的应用.因此，各高校纷纷开设了数学建模课程，并积极组织大学生参与数学建模竞赛，将数学教育有效地融入社会生活实践中，转变了传统数学教学过程中的自我封闭、自成体系的局面，为数学同现实世界之间的联接提供了可行之道. 在如今这个注重素质教育，强调个性化发展的新时代，提高大学生的数学建模能力显得尤为重要.我国著名数学家丁石孙先生曾经说过：数学公式更为重要的作用，在于培养大学生树立科学的思想方法，同时，根据自身所学知识，不断创新，寻求更多新的途径，这远非在课堂中死啃定理即可实现的.我们采用何种方法，才能使更多学生意识到这个问题?我认为，建模竞赛就是一种很可行的方法.数学建模使学生应用所学数学知识解决问题，并通过实践进一步创新，寻求更多解决途径，在此过程中，不仅游戏提高了学生的动手能力，还培养了其创新意识，提高了自身的综合素质，推动了应用型人才的成长与发展.这不仅是数学教学改革的结果，也是我国经济社会发展对于数学教育所提出的要求.数学建模为大学生有效运用数学思想、理论知识及方法体系提供了途径.在数学建模教学过程中，应将重点放在基础理论知识，如微分方程、概率统计、优化方法、拟合等理论知识方面，同时，还应加强前沿理论成果的介绍，注重提高学生常用数学软件的使用等等，以逐步积累建模知识，开拓思路，提高寻找问题、分析问题及解决问题等能力，使大学生逐步养成创新意识及创新能力，推动其综合素质的全面提高. 2、数学建模与创新之间的关系 数学建模采用了计算机、信息查询等数学工具，针对实际生活及生产过程中所遇到的各种问题，将数学研究同工业、农业、经济管理等多个领域进行交叉组合所产生的一门新兴学科.数学建模是针对所研究事物的实际特征及数量关系，借助于形式化数学语言进行近似性表达所形成的数学结构，具体而言，常常表现为一套具体算法，或一系列数学关系式.在构建数学模型时，不仅要全面反映出问题的实质，还要将问题予以适当简化，以方便进行分析和推导，回到实际研究对象中将问题予以顺利解决，此外，合适的数学模型还应能够对误差范围进行科学估计.图1为数学建模的基本流程，是由简单问题出发，通过师生共同努力，进行数学模型的构建，从而初步理解数学模型构建的思路及方法，培养自身的创新意识及能力，利用活动小组或实习作业等多种形式进行讨论和分析，对不同模型的利弊进行分析，提出相 1、放射性废料的处理问题 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 kg，体积为 0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题： 1. 判断这种处理废料的方法是否合理? 2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6) 鱼雷攻击问题 在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。 试建立合理的数学模型解决以下问题: 1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹； 2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中 3、贷款买房问题 某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题： 1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？ 2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房? 4、养老保险问题 养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率(也就是投保人的实际收益率)? 5、生物种群数量问题 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????? ???---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 1 13ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0 ， [μ]=MLT -2 （LT -1L -1 ）-1L -2 =MLL -2T -2 T=L -1 MT -1 ，[g ]=LM 0T -2 ,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()() (210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得 g v μρπ1 3 --=. 3 ρ μλg v =∴，其中λ是无量纲常数. 西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定 摘要 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。本文应用时间序列法来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。 针对问题一，要求根据所选的5种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。通过绘制5种蔬菜价格随月份变化的折线图，发现蔬菜价格具有较明显的季节性变动。显然，5种蔬菜价格分别是5个时间序列，利用EViews软件对5个时间序列进行稳定性检验，结果显示全部5个时间序列都是平稳时间序列。因此，本文分别对5个时间序列建立了ARMA模型，利用EViews和MATLAB软件进行参数求解和模型检验得出具体的时间序列模型，并通过所建立的模型对未来一年内的蔬菜价格进行了预测。 针对问题二，本文首先利用SPSS软件对17种蔬菜进行了系统聚类，将17种蔬菜分为三类，通过分别计算三类蔬菜价格的平均值来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。然后考虑人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，按销量将17种蔬菜分为五类，用各类蔬菜的销量在一定程度上反映人们的消费习惯。通过各类蔬菜的销量来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。最后对于上述两种因素，本文凭借生活经验，人为的对两种因素赋予不同的权重值，进而计算每月蔬菜价格的加权平均价格，求出每月的定基价格指数。通过检验发现价格指数仍是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立ARMA模型进行研究。 针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，利用SPSS软件绘制散点图，发现在95%的置信区间内可以进行线性回归分析。然后利用SPSS软件做线性回归，得到显著性水平为0.05时，线性回归模型整体显著。由回归方程可知近几年蔬菜价格总体升高，结合蔬菜价格指数的变动情况可知西安市每年一月至四月蔬菜价格总体处于高位。 针对问题四，本文根据题目要求，在满足所有约束条件的情况下，以采购蔬菜的最大重量为目标函数，分别对四个蔬菜批发市场建立整数规划模型。通过LINGO软件进行求解，得出到胡家庙蔬菜批发市场进行一次采购可以使得当天采购蔬菜的总重量最大。 关键词：蔬菜价格时间序列 ARMA模型价格指数线性回归整数规划 一、问题重述 为监测食品价格的实际变化情况，西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测，每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据。为了跟踪研究西安市农副产品价格变动的规律，请从该网站下载查阅相关监测数据，建立数学模型解决如下问题： 第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ （1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ （2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。 解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种数学模型习题解答解读
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