一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n
n S S S n +-+=+≥，
若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52
-
B ．
116
C ．
332
D ．1
2．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039
B ．4040
C ．4041
D ．4042
3．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10
B ．17
C ．21
D ．35
4．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若5
5
2a b =，则9
9
A B =( ) A ．512
B ．32
C ．8
D ．2
5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞
B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．
1629
B ．
1627
C ．
1113
D ．
1329
7．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线11
2
y a x m =
+与圆()2
2
21x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和
为（ ） A ．
1011
B ．
910
C ．
89
D ．2
8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则
4
3
a a =（ ）．
A ．2
B ．1
C ．
32
D ．
12
9．对于数列{}n a ，定义11233n n
n a a a T n
-++
+=
为{}n a 的“最优值”，现已知数列
{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2020
2020
S
=（ ） A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022
10．已知数列{}n a 的通项公式为2
11n a
a n n n
=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--
B ．[40,0]-
C ．[25,0]-
D ．[25,0]-
11．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92
B ．103
C ．2048
D ．1024
12．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，24627
8
a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题
13．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2
123n n S S n n ++=+，若数
列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q
，n S 为{}n a 的前n 项和，记21
9n n
n n S S T a +-=
（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________． 15．已知数列{}n a 满足对*,
m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72
a π
=
，函数
()f x =2
sin 24cos 2
x
x +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 16．无穷数列{}n a 满足：只要(
)*
,p q a a p q N
=∈，必有1
1p q a
a ++=，则称{}n a 为“和谐
递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则
2021S =_________．
17．在等比数列{}n a 中，251
4,
2
==
a a ，则公比q =__________． 18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.
19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n
n n b a -=+，且
1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．
20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2
235n n n a λ--<-对任意
*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 满足()()()()
*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，
112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345
,,4
b b b 成 等差数列，
②1
2n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下
面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 满足112
a =，12
23241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设1
21
n n b a n =+
-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .
24．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若114
3
a b +=
，21n n S a +=，22
11(1)0n n n n nb b b n b ----+=
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.
（1）求证数列{}1n a +是等比数列； （2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()
*
112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；
（3）设2n
n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由n S 与n a 的关系得21n
n a =-，则272n max
n λ-⎛⎫≥
⎪⎝⎭，设27
2n
n n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n
n S S S n +-+=+≥， 所以112n
n n n n S S S S +--=+-，
故()12
2n
n n a a n +-=≥，
因为1
212a a -=，所以()12
1n
n n a a n +-=≥，
所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1
212a a -=， 则121
1222n n a a --=++⋯+，
故11
21122
2121
n n n n a --=++⋯+==--， 所以(
)1231
22122222
221
n n n n
S n n n +-=+++⋯+-=-=---，
所以21n
n n S a n -=--，
因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，
所以272n
max
n λ-⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭． 设272
n n n c -=
，则111252792222n n n n
n n n n
c c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即53
32c λ≥=，故λ的最小值为332
． 故选：C 【点睛】
本题解答的关键利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出n
a 的通项；
2．B
解析：B 【分析】
由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．
【详解】
∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，
又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()
2020()02
a a S a a +=
=+>，
14041404120214041()
404102
a a S a +=
=<，
∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】
关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】
212n n n a a a ++=-（*n N ∈），
212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，
312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，
则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.
4．A
解析：A 【分析】
直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入
5
5
2a b =即得解. 【详解】
由题得
99
912
91928559912
9192855()()()2512()()()
A a a a a a a a a a
B b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】
(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则
2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．C
解析：C 【分析】
先利用1,1
,2n n
n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分
离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=，
1
2n
n a a -∴
=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，
由10n n S S λ+-<，得()()
111
11112121112221212221n n
n n n n n S S λ+++++---<===----，
所以，数列1n n S S +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
单调递增，其最小项为12
2211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，故选C ．
【点睛】
本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1
,2n n
n S n a S S n =⎧=⎨
-≥⎩，其次考查了
数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．
6．A
解析：A 【解析】
由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得3029
3053902d ⨯⨯+
=，解之得1629
d =，应选答案A ． 7．A
解析：A 【分析】
由题意可知，直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前10项和. 【详解】 由于直线112
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则11
12
a =，可得12a =，
且直线0x y d +-=过圆()2
221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，
()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()12212
2
n n n a a n n S n n ++=
=
=+，
()111111
n S n n n n ∴
==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.
故选：A. 【点睛】
本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．D
解析：D 【分析】
分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a a
S a a q a q
q q
--=
-=
+----， 为了符合题意，需11
201a a q -=-，得12
q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】 根据11233n n
n a a a T n
-++
+=
，且3n
n T =，得到112333n n n a a a n -++
+=⋅，然后
利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】
∵11233n n
n a a a T n
-++
+=
，且3n
n T =，
∴112333n n n a a a n -+++=⋅，
当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，
两式相减可得：()()1
113
313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.
∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.
则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202
+⨯+⨯==⨯.
∴
2020
20222020S =. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】
由题设有5n a a ≥恒成立， 故2
1125555a a
n n n -+
≥-+恒成立即()()()5565a n n n n
---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.
11．C
解析：C 【分析】
根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】
123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.
故选：C . 【点睛】
本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.
12．A
解析：A 【分析】
先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】
{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，3246427
8
a a a a =
=， 33a ∴=，432
a =，431
2a q a ∴==，112a =，543·
14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要
解析：15,44⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】
由2
123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥
两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥
143(3)n n a a n n -∴+=-≥
两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥
∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的
等差数列，
将1n =代入2
123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-
将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+
42492a a m =+=-
要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可
524292m m m m ∴<-<+<-
解得1544
m <<
则m 的取值范围是15,44⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.
14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3
【解析】
数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，
219()n n n n S S T n N a *
+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n n
n n
n n
a a T a --⋅---∴==--⋅
822n n +
≥=， 当且仅当8
22
n
n =
时取等号， 又,1n N n *
∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．
∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．
故答案为3 ．
15．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运
用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析：26
【分析】
由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点
,22π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和． 【详解】 解：对*,
m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，
可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2
()sin 24cos 2
x
f x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x f
x x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，
可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，
113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，
∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，
∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．
故答案为26． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．
16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列
解析：7576 【分析】
根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】
∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，
又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．
17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：
12
【分析】
本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组214
51412a a q a a q ==⎧⎪
⎨==⎪⎩
解题即可. 【详解】
解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，45
1a a q
∵24a =，512a =，∴ 214
51412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：18
12a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩
， 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查等比数列的基本量法，是基础题.
18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通
解析：81
7
n n a -= 【分析】
根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】
由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，2
3281881a a =⨯+=++， 依次类推，12
88...1n n n a --=+++，
数列{}1
8n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881
187
n n n a --==
-， 故答案为：81
7
n n a -=
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.
19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-
【解析】
1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-+
+-=+-
所以2
22
(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-
20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数
解析：4 【分析】
根据题意等价变形得2352n
n λ-->对任意*
n N ∈恒成立，再求数列232n
n n b -=的最大值即可得答案. 【详解】
解：∵()102n
n a n =+⋅>，
∴不等式()2
235n n n a λ--<-等价于23
52n
n λ-->
， 记232
n n
n b -=，112121223462
n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，1
1n n
b b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24
b b =-=， ∴ ()3max 38
n b b ==， ∴358
λ->
，即337588λ<-=，
∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.
三、解答题
21．（1）21n a n =-；（2）23
32n n
n S +=-
.
【分析】
（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 1
22
-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由已知得()()1212
234
12a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，
即122348
a a a a +=⎧⎨
+=⎩，
所以()()()111
1428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，
解得11
2
a d =⎧⎨
=⎩， 所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122
-=， 所以12123212232
12n n n n n S ---=
++⋯++，① 23112321
22222
13n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：
211111
121323
2222
22
22n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭，
所以23
32
n n
n S +=-． 【点睛】
易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
22．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）21
2222
n n n n T +=-++.
【分析】
选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公
比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，利用分组
求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.
选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用
1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，
结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.
由题意知132452,24b b b b ⎛⎫
=⋅=+
⎪⎝⎭
，得324522b b b =+， 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，
解得2q
，或12q =
，由数列{}n b 为递增等比数列可知1
2
q =不合题意， 所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.
1222n n n b -∴=⨯=
（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，
()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++，
()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212n
n n n T -+∴=+
-
21
2
222
n n n n T +∴=-++.
选②解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.
令1n =，则11
1112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，
122n n S +∴=-
当2n ≥时，(
)()1
122222n n n n n n b S S +-=-=---=
当1n =时，12b =也满足上式.
2n n b =
（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，
()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212
n
n n n T -+∴=+
-
21
2
222
n n n n T +∴=-++.
【点睛】
方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）直接利用定义证明12n n b b +=即得证；
（2）分析得到211321
n n a -≤⋅-，再利用等比数列求和得证. 【详解】 解：（1）121n n b a n =+-，1223
241
n n n a a n ++-=-， 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--， 又11312
b a =+=
， 所以数列{}n b 是等比数列； （2）由（1）得，1
232322
n n n b --=
⋅=⋅，N n *∈， 21
3221
n n a n -∴=⋅-
-，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，
211321
n n a -∴
≤⋅-， 当2n ≥时，
2123
1111111111222+
233
122222111
1
22511
32112
n n n n n S ----⎛⎫
- ⎪⎝⎭
<++++=+<+=-<-+++
+
⋅-，
又11
1
23S a =
=<， 综上，3n S <，n *∈N . 【点睛】
方法点睛：证明数列不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）数学归纳法；（5）放缩法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24．（1）13n n a =，1
2n n b +=；（2）151144323
n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】
（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得
n b ；
（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】
（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴114
13
b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111
333n n n n a a q a +=⇒=
⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴1
2112
1131
(1)1
22
n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵1
23
n n n n a b += ∴232341
3333n n n T +=
++++ 231123133333
n n n n T ++=++++ ∴
123111112211
11219313333
333313
n n n n n n n T -++⎛⎫
- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633
n n n -++⎛⎫=
+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n n
n T -+=
--⋅⋅． 【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：
设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
25．（1）证明见解析；（2）()()
235412n n n
T n n +=++
【分析】
（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 （1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，
即
11
21
n n a a ++=+，且112a +=， 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；
（2）由（1）可知11222n n
n a -+=⋅=， 所以2log 2n
n b n ==，
()211111222n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
， 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭
111112212n n ⎛⎫=
+-- ⎪++⎝⎭
()()
235412n n n n +=++ 【点睛】
关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.
26．（1）2n
n a n =⋅；（2）()1
12
2n n T n +=-⋅+；（3）
12
.
【分析】
（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；
（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】
（1）数列{}n a 满足：12a =，()
*
112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪
⎝⎭
， 则2140a a =>，323
202
a a =⨯
>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，
由已知条件可得()121n n n a a n
++=， 3
2112
1222322212
1
n n n n a a a n
a a n a a a n -⨯⨯=⋅
⋅⋅⋅
=⨯⨯⨯⨯
=⋅-； （2）1
2
3
1222322n n T n =⨯+⨯+⨯+
+⨯，
()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
上式-下式得
()()2311121222222212212
n n n n n n T n n n +++--=+++
+-⋅=
-⋅=-⋅--，
因此，()1
12
2n n T n +=-⋅+；
（3）21n n n b a n =
=，则111123
n S n
=++++， 令2n n n c S S =-，则
()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()
11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112
c S S =-=. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
第二章 数列 【基础练习】 1．下列说法中，正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 2．已知n ∈N ＋，给出4个表达式：①a n ＝? ???? 0，n 为奇数， 1，n 为偶数； ②a n ＝1＋(－1)n 2；③a n ＝1＋cos n π2；④a n ＝????sin n π 2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 3．如下图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( ) A ．a n ＝3n － 1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n － 1＋2n －3 4．数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝1 4，a n ＋a n ＋2＋a n ·a n ＋2＝1(n ∈N *)，则a 5＋a 6等于( ) A ．3 4 B ．56 C ．712 D ．1415