高二数学必修五《等比数列》专项练习题
一、选择题：
1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为
（ ）
①{a n 2}也是等比数列
②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{n a 1
}也是等比数列
④{ln a n }也是等比数列 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为
（ ）
A ．216
B ．－216
C ．217
D ．－217
3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为
（ ） A ．1
B ．－
2
1 C ．1或－1 D ．－1或
2
1 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）
A ．4
B ．23
C ．9
16
D ．2
5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为
（ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0
D ．x 2－12x ＋25=0
6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后
一年该厂的总产值是
（ ）
A ．1.1 4 a
B ．1.1 5 a
C ．1.1 6 a
D ． (1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）
A ．89a b
B ．(a
b
)9
C ．910a
b
D ．(
a
b )10
8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的
前10项之和为
（ ）
A ．32
B ．313
C ．12
D ．15
9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为
（ ）
A ．11
n
B ．11n
C ．112-n
D ．111-n
10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅
⋅=，那么
36930a a a a ⋅⋅⋅
⋅ 等于
（ ）
A ．102
B ．202
C ．162
D ．152 11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为
（ ）
A ．全体实数
B ．－1
C ．1
D ．3
12．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定
按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 2
5
万3m ，为了既减少木材消
耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）
A ．[1，3]
B ．[2，4]
C ．[3，5]
D ．[4，6] 二、填空题：
13．在等比数列{a n }中，已知a 1=2
3
，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．
14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___
15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求
a 10＝ ．
16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (2
1=+是正整数)，则数列的通项公式
=n a ．
三、解答题：
17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；
(2) 求{a n }的通项公式．
18．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．
19．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．
20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．
21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．
22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)
参考答案
一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.2
5
1+．15.512 ．16.1
23-n ．
三、解答题：
17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴1
1
1+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．
(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q
n －1
即a n =(a 1＋1)q
n －1
－1=2·2n －1
－1=2n
－1
18.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1
且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－
1
由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2
又a 1＝1，∴a n ＝2n －1
，n ∈N*212221)2()2(-+=n n n
n a a ＝
4
即｛a n 2｝为公比为4的等比数列
∴a 12＋a 22＋…＋a n 2
＝
)14(3
141)41(2
1-=--n n a
②÷①得：1＋q n ＝45
即q n ＝4
1
③
③代入①得q
a
-11＝64
④
∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－34
1
)＝63
解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )
∴S 3n ＝48
)4860()(2
2222-=
+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2
当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：
xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②
①－②得：
(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋
①
②
1
)
1(21---x x x n ，
∴S n =2
1)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．
21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，
∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．
若a 1=2，a n =64，由q
q
a a n --11=126得2－64q =126－126q ，
∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．
若a 1=64，a n =2，同理可求得q =2
1
，n =6．
综上所述，n 的值为6，公比q =2或2
1
．
22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋
1%=1．01，n =11
则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)， 又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11
∴b 11=800＋10×30=1100(万米2
)
因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和 第1课时 等比数列前n 项和的示解 A 级 基础巩固 一、选择题 1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( ) A ．3n －1 B ．3(3n －1) C.9n －14 D.3（9n －1）4 3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( ) A ．190 B ．191 C ．192 D ．193 4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10) B.1 9 (1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A ．－15 B ．－5 C ．5 D.15 二、填空题 6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________． 8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．
达标习题（十五） (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．已知a n ＝(－1)n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0 D ．－1,0 【解析】 S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1. S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0. 【答案】 D 2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37 【解析】 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5 ＝q 5 ， ∴ S 10－1 1 ＝25，∴S 10＝33. 【答案】 B 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若 a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 【解析】 设{a n }的公比为q ， ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列， ∴4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， 即q 2－4q ＋4＝0， ∴q ＝2，
又a 1＝1， ∴S 4＝1－24 1－2＝15，故选C. 【答案】 C 4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋ a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 【解析】 由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8 成等比数列， 其首项为40，公比为 6040＝32 . ∴a 7＋a 8＝40×? ?? ??323 ＝135. 【答案】 A 5．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 30＋b 30＝60，则{a n ＋b n }的前30项的和为( ) A ．1 000 B ．1 020 C ．1 040 D ．1 080 【解析】 {a n ＋b n }的前30项的和S 30＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 30＋b 30)＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 30)＝30 a 1＋a 30 2＋30 b 1＋b 30 2 ＝15(a 1＋a 30＋b 1＋b 30)＝1 080. 【答案】 D 二、填空题 6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 【解析】 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公
等比数列（填空题：较难） 1、在数列中,,若（k为常数）,则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是 2、若三个正数，，成等比数列，其中，，则． 3、已知数列为等比数列，其前项和为，且公比；数列为等差数列， ，则__________．（填写“”“”或者“”） 4、下表给出一个“三角形数阵”： ， ，， …… 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则（1）_________；（2）前20行中这个数共出现了________次． 5、若数列是等比数列，且，，，则__________． 6、若数列是等比数列，且，，，则__________． 7、已知正项等比数列{a n}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 009＝2 009，则log2(a1＋a2 009)的最小值为 _________． 8、已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 _______________.
9、已知数列的前项和为，且满足，设，若存在正整数 ，使得成等差数列，则__________． 10、设，，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为__________． 11、已知数列中,,,若为递增数列,则实数的取值范围为__________． 12、已知各项不为零的数列的前项的和为，且满足，若为递增数列，则的取值范围为 _______________． 13、已知数列中，，且，则数列的前项和__________． 14、艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足 ，我们把该数列称为牛顿数列。 如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________． 15、已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设 ，在数列中，，则实数的取值范围为__________. 16、已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设 ，在数列中，,则实数的取值范围是 .
高中数学等比数列专项训练题(含答案) 一、单选题 1.设是等比数列，且。则（）A。12 B。24 C。30 D。32 2.记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若a_5–a_3=12， a_6–a_4=24，则A。2n–1 B。2–2^(1–n) C。2–2n–1 D。2^(1–n)–1 3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）=（）A。3699块 B。3474块 C。 3402块 D。3339块 4.在等差数列（）．A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
5.数列，则（）中。若，中。．记，则数列A。2 B。3 C。 4 D。5 6.设比（）为等比数列的前___，已知。则公A。3 B。4 C。5 D。6 7.在公比为2的等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，且 S_7–2S_6=1，则a_1+a_5=（）A。5 B。9 C。17 D。33 8.已知正项等比数列，则n为（）满足，若，A。5 B。6 C。9 D。10 9.已知数列成等差数列，则（） 1.缺少选项，无法回答。 2.缺少选项，无法回答。 3.答案为B。根据等比数列的通项公式，第n项为 $a_n=a_1q^{n-1}$，代入式中可得$\frac{a_1(q^n-1)}{q- 1}=S_n$。
第二章 等比数列性质典型题（最全整理）含解析 2.4 第1课时 基础巩固 一、选择题 1．等比数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝8，则公比等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [答案] B [解析] ∵a 1＝4，a 2＝8，∴公比q ＝a 2 a 1 ＝2. 2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为2 3，则这个数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] B [解析] 98·(23)n －1＝13，∴(23)n －1＝827＝(2 3 )3∴n ＝4. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 [答案] A [解析] ∵{a n }是等比数列，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6， ∴设等比数列的公比为q ， 则a 2＋a 3＝(a 1＋a 2)q ＝3q ＝6，∴q ＝2. ∴a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3a 1＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝a 1q 6＝26＝64. 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．1 2 B ． 2 2 C ． 2 D ．2 [答案] B [解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2， 因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，
故a 1＝a 2q ＝12＝2 2 ，故选B ． 5．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝±3，ac ＝9 [答案] B [解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2 ＝－b b 2 ＝ac ＝9 c 2＝－9b ，∵⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 2 ≥0a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－3，故选B ． 6．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( ) A ．m >k B ．m ＝k C ．m
一、等比数列选择题 1．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()( )* 21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记 数列{} 2n n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．10 D ．11 2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16- 3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ （ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{} 2 n a 的前n 项和为n T ，若2 (1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,3- C ．93,5?? ??? D ．91,5? ?- ?? ? 6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352 a a +=，245 4a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n - 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8 B ．8± C ．8- D ．1 10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋ 1－1 D ．2n ＋ 1－2 解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1 －2. 答案：D 2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝1 8，则该数列的前10项和S 10＝( ) A ．2－1 28 B ．2－1 29 C ．2－1 2 10 D ．2－1 2 11 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝ a 1(1－q 10)1－q ＝1－(1 2)10 1－12＝2－129. 答案：B 3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－1 解析：S 4＝a 1·(1－q 4) 1－q ＝1，① S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，② ②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C 4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5 4，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 解析：设数列{a n }的公比为q ，
∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2. 又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54， ∴q ＝12 . ∴a 1＝a 4 q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31. 答案：C 5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.1 2 C ．4 D.14 解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C 6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1. 答案：2n －1 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝1 3. 答案：13 8．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2， S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2?a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2?a 3＝18m ， 又a 22＝a 1·a 3?(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ?m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－2 9．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则
课时训练11等比数列 一、等比数列中基本量的运算 1.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于() A.- B.-2 C.2 D. 答案:D 解析:=q3=,∴q=. 2.已知等比数列{a n}中,a1=32,公比q=-,则a6等于() A.1 B.-1 C.2 D. 答案:B 解析:由题知a6=a1q5=32×-=-1,故选B. 3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列{a n}中,=2,a4=8,则a6=() A.31 B.32 C.63 D.64 答案:B 解析:设等比数列{a n}的公比为q, 由=2,a4=8,得解得所以a6=a1q5=25=32.故选B. 4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于()
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 答案:B 解析:∵等差数列{a n }的公差为2,a 1,a 3,a 4成等比数列, ∴(a 1+4)2=a 1(a 1+6), ∴a 1=-8, ∴a 2=-6.故选B . 5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列{a n }的公比q=- ,则 等于 ( ) A.-3 B.- C.3 D. 答案:A 解析:∵等比数列{a n }的公比q=- , ∴ =-3.故选A . 二、等比中项及应用 6.2+ 和2- 的等比中项是 . 答案:±1 解析:设A 为等比中项,则A 2=(2+ )(2- )=1, ∴A=±1. 7.已知等比数列{a n }的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{a n }的通项公式a n = .
过关检测（等比数列） 一、选择题 1．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a ?=， 且4a 与27a 的等差中项为 54 ，则5S = （ ） A ．35 B.33 C.31 D.29 2．已知数列 {} n a 是各项均为正数的等比数列， =++==54331,21,3a a a S a 则前三项和 （ ） A ．2 B ．33 C ．84 D ．189 3． 在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，则28a a 等于 （ ） A ．16 B ．6 C ．12 D ．4 4．若等比数列的公比为2，且其前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于 A ．8 B ．16 C ．17 D ．32 5． 已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（ ） A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 6．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 7．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,S 30=14,则S 40等于 （ ） （A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16 8．已知五个实数12316,,,,1a a a --成等比数列，那么123a a a ++等于（ ） A ．—6或—14 B ．6或14 C ．—6或14 D ．6或—14 9．正项等比数列}{n a 中，若,327382=+a a a a 则5a 的值是（ ） A ．3 B ．22 C ．4 D ．8 10．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且421,24,18S S S 则==等于 （ ） A ． 3 76 B ． 3 79 C ． 3 80 D ． 3 82 11．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=3 5a S （ ） A ． 4 31 B ． 8 31 C ． 4 15 D ．8 15 12． 在等比数列{}n a 中，若公比q=4,且前3项的和等于21，则该数列的通项公式n a =（ ）
高二数学必修五《等比数列》专项练习题 一、选择题： 1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{n a 1 }也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－ 2 1 C ．1或－1 D ．－1或 2 1 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ） A ．4 B ．23 C ．9 16 D ．2 5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后 一年该厂的总产值是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ） A ．89a b B ．(a b )9 C ．910a b D ．( a b )10 8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的 前10项之和为 （ ）
第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念与通n 项公式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在数列{a n }中，对任意n ∈N * ，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( ) A.14 B.13 C.12 D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1， 所以2a 1＋a 22a 3＋a 4 ＝4a 116a 1＝14. 答案：A 2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d . 由等差数列的第2，3，6项构成等比数列， 得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )， 则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2 ＝3.
答案：C 3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( ) A ．等差数列 B ．既是等差数列又是等比数列 C ．等比数列 D ．既不是等差数列也不是等比数列 解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)， 所以log 2b 2＝log 2ac 即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ， 所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列． 答案：A 4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．±6 D ．±12 解析：a ＝1＋22＝32 ， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4， 所以ab ＝±6. 答案：C 5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
[课时作业] [A 组 基础巩固] 1．设首项为1，公比为2 3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2 C ．S n ＝4－3a n D ．S n ＝3－2a n 解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝3－2a n . 答案：D 2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4 S 2＝( ) A ．5 B ．8 C ．－8 D ．15 解析：∵8a 2－a 5＝0，∴8a 1q ＝a 1q 4 ，∴q 3 ＝8，∴q ＝2，∴S 4S 2＝1－q 4 1－q 2＝1＋q 2＝5. 答案：A 3．已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512 D ．510 解析：由已知得⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或q ＝1 2. ∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝29 －2＝510. 答案：D 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334 D.172 解析：由a 2a 4＝1⇒a 1＝1 q 2，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7， 联立得：⎝⎛⎭⎫1q ＋3⎝⎛⎭⎫1q －2＝0，∴q ＝1 2，a 1＝4， S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－ 12＝314. 答案：B
等比数列 (30分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.在等比数列{a n}中,a1=8,a4=64,则a3等于( ) A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 【解析】选C.由a4=a1q3得q3=8,即q=2,所以a3==32. 2.已知等比数列的公比q=-,则= ( ) A. B. C.2 D.4 【解析】选 D.由题意可=====4. 3.(2019·哈尔滨高一检测)数列{a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ≠0,λ∈R),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值是( ) A.1 B.2 C. D.-1 【解析】选B.数列{a n-1}为等比数列⇒==q, 即:λa n-2=qa n-q,恒成立,可知:⇒λ=2. 4.在等比数列{a n}中,a4=4,则a2·a6等于 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选C.因为=a2·a6,所以a2·a6=16.
5.(2019·新乡高二检测)在正项等比数列{a n}中,a4,a46为方程x2-100x+9=0的两根,则a10·a25·a40= ( ) A.9 B.27 C.64 D.81 【解析】选B.由已知得a4·a46=9=, 因为{a n}是正项等比数列,所以a25=3, 所以a10·a25·a40==27. 6.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n,n∈N*,则a n= ( ) A. B. C. D. 【解析】选A.因为a n+1=a n,所以q==.所以a n=a1q n-1=. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.在等比数列{a n}中,a2=2,a4=4,则a6=________. 【解析】设公比为q,由条件知 解得q2=2, 故a6=a1q5=a1q·q4=2×22=8. 答案:8 8.若a1,a2,a3,a4成等比数列,公比为2,则的值为________. 【解析】由题意q=2, 所以====.
[A 组 学业达标] 1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－1 2，则a 6等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12 解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×(－1 2)5＝－1，故选B. 答案：B 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3 a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64. 答案：A 3．已知数列{a n }满足：a n ＋1a n ＋1＋1＝1 2，且a 2＝2，则a 4等于( ) A ．－12 B ．23 C ．12 D ．11 解析：因为数列{a n }满足：a n ＋1 a n ＋1＋1＝1 2，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即数列{a n ＋1} 是等比数列，公比为2.则a 4＋1＝22(a 2＋1)＝12，解得a 4＝11. 答案：D 4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 3＝( ) A ．－10 B ．－6 C ．－8 D ．－4
解析：因为等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以a 23＝a 1a 4，所以a 2 3＝(a 3－4)(a 3＋2)， 解得a 3＝－4. 答案：D 5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.1 2 解析：因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1 ＝4d 2d ＝ 2. 答案：C 6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项 是192，则n ＝________. 答案：5 7．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________. 解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2， a 1＝1，a n ＝2n －1. 答案：2n －1 8．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是________． 解析：设公比为q ，则8q 6＝5 832，所以q 6＝729，所以q 2＝9，所以a 5＝8q 4＝648. 答案：648 9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)－16 81是否为该数列的项？若是，为第几项？
第五节 等比数列及前n 项和 【基础知识】 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n － 1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项 若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{2 n a }，{a n ·b n }，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式 等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， S n ＝111(1) (1)(1)11n n na q a a q a q q q q =⎧⎪ --⎨=≠⎪--⎩ 6．等比数列前n 项和的性质 公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 难点正本 疑点清源 1．等比数列的特征 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范 (1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．
第2课时等比数列前n项和的性质及应用 课后篇巩固探究 A组 1.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于() A.33 B.72 C.84 D.189 S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84. 2.已知数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列{a n}() A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 S n=a n-1符合S n=-Aq n+A的形式,且a≠0,a≠1,所以数列{a n}一定是等比数列. 3已知{a n}是等比数列,a1=1,a4=,则a1a2+a2a3+…+a n a n+1等于() A.2(1-4-n) B.2(1-2-n) C. (1-4-n) D. (1-2-n) q,∵=q3=,∴q=. ∵a1=1, ∴a n a n+1=1××1×=21-2n. 故a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1 =2-1+2-3+2-5+…+21-2n = = (1-4-n). 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A.2盏 B.3盏 C.5盏 D.6盏 a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.
等比数列（填空题：一般） 1、数列的前项和为，若，，则数列的通项公式 __________． 2、等比数列的公比为__________. 3、在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，，则______. 4、在等比数列中，，，则 . 5、已知等比数列中，，，，则 . 6、如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形 边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为． 7、在等比数列中，已知，则公比q =_____ 8、已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 . 9、在正项等比数列{a n}中，S n是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝________. 10、数列的首项，，则__________．
11、在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是 ________________. 12、函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为为正整数，若 ，则________. 13、中，若、、依次成等比数列，则的取值范围为________. 14、设函数数列是公比大于的等比数列，且，若 ，则__________． 15、已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________． 16、等差数列中，，，等比数列中，，，则等于 __________． 17、已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝ __________，d＝__________. 18、在数列{a n}和{b n}中，b n是a n与a n＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*都有3a n＋1－a n＝0，则数列{b n}的通项公式b n＝________． 19、已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则 的值等于________．