突破2023年中考数学高频考点压轴微专题集训
（直线型瓜豆原理最值问题）
一、【模型解读】
1、必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
2、结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与
BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
二、分类过关练习
题型一：几何图形与瓜豆原理
1、如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到
点A 时，点F 运动的路径长是________．
2、如图，矩形ABCD 中，4AB =，
6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．
3、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．
4、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为 。
A
5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
题型二：坐标系中的瓜豆原理
1、如图，已知点A
是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，
交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
2、如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、
D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，
则OP的最小值为．
3、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
突破2023年中考数学高频考点压轴微专题集训 （直线型瓜豆原理最值问题） 一、【模型解读】 1、必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 2、结论： P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与 BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 二、分类过关练习 题型一：几何图形与瓜豆原理 1、如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到
点A 时，点F 运动的路径长是________． 2、如图，矩形ABCD 中，4AB =， 6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____． 3、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ． 4、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为 。 A
5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE． （1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE； （2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长． 题型二：坐标系中的瓜豆原理 1、如图，已知点A 是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M， 交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
中考数学复习线段和差最值系列之瓜豆原理 两个动点，一个动点随着另一个动点的运动而运动，通过找到两动点的轨迹，求线段最值.瓜豆原 理说的是“种瓜得瓜，种豆得豆”，两点运动的轨迹性质一样. 一．轨迹之圆篇 引例1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O 有什么关系？ 考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2． 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A 、Q 、P 始终共线可得：A 、M 、O 三点共线，由Q 为AP 中点可得：AM =1 2 AO ．Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 引例2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ． A O P Q Q P O A M O P A M A Q P O
引例3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP :AQ =2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO :AM =2:1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ =∠OAM ； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 例1：如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______． 【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹． O P A O P Q M A α Q P O ααO P M O y x A B C M P
瓜豆原理直线型题型 瓜豆原理是指在直线型题型中，通过线性关系的分析和计算，得出题目的答案。这类题型主要是要求学生根据所给条件，运用线性关系来解答问题。下面以一道1200字以上的例题来介绍瓜豆原理的应用：例题：小明去超市买西瓜和豆子，他买了5个西瓜和3袋豆子，总共花了120元。如果一个西瓜的价格是15元，一个豆子的价格是10元，问小明在买西瓜和豆子时分别花了多少钱？ 解题过程： 首先，我们要明确题目所给的条件和问题。根据题目，我们知道小明买了5个西瓜和3袋豆子，总共花了120元，一个西瓜的价格是15元，一个豆子的价格是10元。我们需要计算小明在买西瓜和豆子时分别花了多少钱。 假设小明在买西瓜时花了X元，在买豆子时花了Y元。根据题目的条件，我们可以得出以下两个等式： 5X+3Y=120（1） X=15（2） Y=10（3） 其中，等式（1）表示小明买了5个西瓜和3袋豆子共花了120元，等式（2）表示一个西瓜的价格是15元，等式（3）表示一个豆子的价格是10元。
接下来，我们可以通过瓜豆原理来解题，即通过联立方程组的方法解方程。由于等式（2）和等式（3）已经给出了X和Y的值，我们只需要解决等式（1）中的未知数。 将等式（2）和等式（3）代入等式（1），可以得到： 5(15)+3(10)=120 75+30=120 105=120 显然等式不成立，说明我们的假设有误。所以，我们需要寻找新的方法来解决这个问题。 观察等式（1），我们可以发现5个西瓜和3袋豆子共花了120元，其实就是5个西瓜花了75元，3袋豆子花了45元。这样，我们就可以得到小明在买西瓜和豆子时分别花了75元和45元。 答案：小明在买西瓜时花了75元，在买豆子时花了45元。 总结： 通过瓜豆原理，我们可以解决直线型题型，通过线性关系的分析和计算，得出题目的答案。在解题过程中，需要明确题目的条件和问题，设立变量和方程，将方程联立求解。如果假设的解不成立，需要重新考虑解题思路，寻找新的解决方法。通过不断的分析和计算，我们可以得出最终的答案。
中考数学压轴题：瓜豆原理最值模型，常考题型专练17道题 在中考数学，还有平时的期中期末考试中，有一类几何最值问题，比如求某线段的最小值，一个点是定点，另一个点是动点，怎么求这条线段的最小值？ 初学的同学，往往都觉得，这类考题有难度。那么有没有解题技巧呢？有的，就是先找到这个动点的运动轨迹。如何找动点的运动轨迹？就是这个专题要讲的内容：瓜豆原理。 何谓瓜豆原理？一个数学题，为什么叫这样一个厉害的名字？这其实都是一些民间爱好者，给一些常见数学题型，归纳总结后，给取得浪漫的名字。什么手拉手模型啊，多么生动形象而有趣啊。 那瓜豆原理的题型，又有什么特征呢？俗话说，种瓜得瓜，种豆得豆。那么这类考题，一般有一个已知的主动点的轨迹，再去找从动点的运动轨迹。这样，就形象地取了“瓜豆原理”的名字。 那么，如何去找这个从动点的运动轨迹？一般常用的方法，是构造三角形全等，或者三角形相似，或者利用起点和终点的方法，来确定从动点的运动轨迹。 所以，这几道题，大家可以先认真做一做，找到相对应的方法，总结归纳解题思路和技巧，以后遇到这类考题，那就得心应手了。 所以，初中数学，你说难吗？只要把基础的定义，性质定理，判定定理，烂熟于心，就是基础常考题型非常熟练，平时做题，扎实写好详细步骤，几何推理语言描述清晰准确，根本不难。 对于一些常考的几何模型，压轴题的解题思路和技巧，学会总结和归纳，也非常的熟练。举一反三，你说中考数学还有什么难的？ 学习，没有捷径可言，必须扎实一步一个脚印去做，去积累，时间一长，自然会有收获。三天两头，一棒子下去，是不可能出成绩的。 但是，学习是有方法和技巧的，方法得当，事半功倍。 我是方老师数学课堂，感谢有缘，可以关注我。
中考数学压轴题必考 破解瓜豆原理的三种必考题型 一.轨迹解析式 例1：如图，△ABO为等腰直角三角形，A(－4，0)，直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数解析式是_________ 分析：我们先来看看当时的解法．显然，由于题目已经明确给出点D的轨迹是一条直线，那么，可以采用特殊值法来考虑，选取两个特殊位置的点C，确定相应的点D的坐标，两点确定一条直线即可． 当然，本题要分两种情况，点D在BC上方，和点D在BC下方． 解答：
反思：题目解完了，但你肯定会问，为何点D的轨迹是一条直线呢？ 我们发现，两种情况下，点D的确都在直线上运动，能用瓜豆原理来解释吗？
何为瓜豆原理？下面就具体来解释下瓜豆原理的由来： 由此可见，在旋转放缩过程中， 从动点和主动点的轨迹是一致的！ 即所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”也！ 而本题若用一般方法求解，也不难，构造一线三直角全等可破．解答：
二.求经过的路径长 例2：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB向终点B 运动，以DE为边作正方形DEFG(点D、E、F、G按顺时针方向排列)．求在点E 的整个运动过程中，点F经过的路径长． 分析： 解答： 当点E与A点重合时，点F在点B处： 当点E与B点重合时，点F的位置如下图所示， 点F运动的路径为BF；
三.求最值问题 例3：如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值_________. 分析：点B为主动点，点C为从动点，根据瓜豆原理，BA绕点A逆时针旋转60°到CA，主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正 半轴绕点A逆时针旋转60°后的射线，我们可以用特殊位置来考虑．当OC⊥ 点C轨迹所在射线时，OC最短． 当然，我们也可以构造手拉手模型，将OC边转化，详细过程请见方法2．
专题02 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造 【引例】 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点，考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 【小结】 确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1 2 AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 是以点A 为圆心、4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，则线段CM 长度的最大值为( ) A ．7 B ．8 C ．6 D ．5 2．如图，点A 是双曲线4y x =在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt ABC ∆，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为( ) A ．14y x =- B ．12y x =- C ．4y x =- D ．2y x =- 3．如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)k y k x =>的图象交于A ，B 两点，点P 在以(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，已知OQ 长的最大值为32 ，则k 的值为( ) A ．4932 B ．2518 C ．3225 D ．98 4．如图，AB 是O 的直径，4AB =，C 为半圆AB 的中点，P 为弧AC 上一动点，连接PC 并延长，作
中考数学几何最值简析五：“瓜豆原理” 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。 类型一：点直线上运动 1.线段+直线 条件：线段AB上A为直线l上的动点。C为线段AB中点，B为定点，A为动点。 结论：1.点C的轨迹为A轨迹的一半 2.C的轨迹与A的轨迹平行 2.角+直线 条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B,C的连线的夹角为定值，且AB≠AC 。 条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B,C的连线的夹角为定值，且AB=AC
结论：1.C的运动轨迹和B的运动轨迹一样，都是直线 2.B运动的直线和C运动的直线之间的夹角=∠A 3.AB/AC=k 4.C运动的长度和B运动长度之比等于k 5.若AB不等于AC，则有△ABM∽△AM'C，相似比为k 6.若AB=AC，则有△ABM≌△AM'C 类型二：点在圆上运动 1.线段+圆 条件：线段AB中，A为⊙O上一动点，B为定点，C为AB中点 结论：1.点C的运动轨迹与点A的运动轨迹都是圆 2. 两圆半径之比为2:1 3. △ABO∽△BCO,相似比为2:1
2.角+圆 条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B,C的连线的夹角为定值，且AB≠AC 。 结论：1.C的运动轨迹和B的运动轨迹一样，都是圆 2.B圆和C圆上对应线段的夹角=∠A 3.AB/AC=k 4.C运动的长度和B运动长度之比=k 5.B圆的半径和C圆的半径之比=k 6.若AB≠AC，则有△ABM∽△AM'C，相似比=k 7.若AB=AC，则有△ABM≌△AM'C 8.若k=1，B圆和C圆是等圆，若k≠1，那么B圆和C圆不是等圆。总结：瓜豆原理主要掌握好从动点的变化规律，从动点轨迹到底是直线还是圆。以及他们轨迹之间的相互的比例关系。这样我们在解题过程中才能够迅速定位，找到破题之道。
教师姓名杨老师学生姓名年级初三上课时间学科数学课题名称轨迹问题解决方法之瓜豆原理 教学目标1、掌握圆形轨迹最值问题 2、掌握直线型轨迹最值问题 3、掌握瓜豆原理勾画轨迹的问题 轨迹问题解决方法之瓜豆原理 【知识要点】 在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．所以寻找到动点的轨迹，然后在计算，是一种不错的解决最值问题的方法。 本文讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路 【例题精讲】 知识点一、轨迹是圆 1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放 2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得 半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
瓜豆原理 题型一、直线型轨迹 思路：寻找特殊点，两点确定一条直线 （一）旋转类型 例1、如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF，当点P 从点E 运动到点A 时，点F运动的路径长是__________________ 例2、如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=2√2,BC=6,等腰直角△DAE中,∠DAE=90°，且点D是边BC上一点。 (1)当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。 (2)当DE=CE时，求BD
例3、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作等腰Rt △DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE 的最小值为___________ （二）垂直平分线 例4、在矩形ABCD 中，AB＝2，点P 在AD 上，AP＝1．将一直角尺的直角顶点放在 点P 处，直角尺的两边恰好分别经过点B、C．现将直角尺绕点P 顺时针旋转，直角尺的两边分别交AB、BC 于点E、F，当点E 和点A 重合时停止旋转．则在整个旋转过程中线段EF的中点经过的路线长为___________．
（三）综合题 例5、如图，在平行四边形ABCD中，BC=6√5，对角线BD=10，tan∠DBC=1 ，点E是线段 2 BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得∠DFE=∠DBC，连接CF，则△DCF周长的最小值为_______________; 课后作业 1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______
2023年中考几何培优专题主从联动瓜豆原理 类型一点在直线上运动 典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（） A．0.5B．2.5C．√2D．1 针对训练 1．（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan△ACB＝2√3，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为． 2．（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为． 3．（2021秋•东台市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，△DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E 运动的路程长是． 类型二点在圆上运动 典例2 （2022•桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图△，点O为坐标原点，△O的半径为1，点A（2，0）．动点B在△O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C 为顺时针顺序），求OC的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图△中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE． （1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由； （2）线段OC的最大值为． 【灵活运用】 （3）如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，△BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【迁移拓展】
如图，菱形ABCD 中，AB ＝9，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为_____． 如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝30°，AC =4√2，则四边形 ABCD 面积的最小值是 ． 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 是AD 边的中点，点F 是线段AB 上任一点，连接EF ，以EF 为直角边在AD 下方作等腰直角△EFG ，FG 为斜边，连接DG ，则△DEG 周长最小值为 ． 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝9． 问题提出 （1）如图①，D 、E 是分别是AB 、AC 两边上中点，则BD CE = ． 问题探究 （2）若在AB 上找一点M 使得AM =1 3AB ，在AC 上找一点N 使得CN =1 3AC ，点D 是直线
MN上的一个动点，过A作AE⊥AD．使AD：AE＝1：3，求BE的最小值． 问题解决 （3）如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCD，其中AB＝300m，BC：CD＝3：5，BC⊥CD，BC∥AD，且∠BAD＜90°．其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员希望这片区域面积尽可能大，试求△ABC的最大面积． 问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝ 60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，AD BD =2，求DF CF 的值； 拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝8，AC＝4√3，则AD的长为． （1）观察猜想：平面内有三个点A，B，C连接AB，AC，BC．测得AB＝6，AC＝4，则BC 的最大值是． （2）探究证明：如图①，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，点D为△ABC内一点，∠BAD＝30°，AD＝6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC 重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，求CF的长． （3）拓展延伸：如图②，在公园内有一个等边三角形的支架△ABC，在顶点A处悬挂一个等边三角形的旋转座椅△AMN，旋转座椅△AMN绕顶点A旋转，连接CM，点D，E，F分别为CM，BC，MN的中点，已知支架△ABC边长10米，旋转座椅△AMN边长2米，若要在D，E，F三点处连接弹性灯光彩带，那么在旋转过程中，彩带的最大长度是多少？ （支架，旋转座椅厚度忽略不计）
最值系列之瓜豆原理 【瓜豆圆介绍】 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ.当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？ 思路提示： 总结 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ．当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？ 思路提示： 总结 方法解析 为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点（你）”，点Q 为“从动点（我）”． 主动点（你）、从动点（我）与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点（你）、从动点（我）到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）． Q Q
【例题精讲】 例1、如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为________ 解析提示： 总结： 例2、如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠A＝30°，点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（） 解析提示： 总结： 例3、如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为． 解析提示： 总结：
例4、（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A． （2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 解析提示： 总结：
最值系列之瓜豆原理 在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值． 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路． 一、轨迹之圆篇 引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． 引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． O P Q A O P Q A
运动轨迹为直线 问题1：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？ 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP=2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线AB 上运动，Q 的运动轨迹是？ 解析：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1
理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线. 模型总结 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 例题精讲 【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． ➢变式训练 【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的运动轨迹．
【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM 为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为． 【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为． 【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（） A．B．1C．2D．
瓜豆原理 1.动点轨迹直线型最值问题 【知识精讲】 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时， Q点轨迹是？ 【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点 轨迹是一条直线． 【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线 BC上运动时，求Q点轨迹？
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 【模型总结】 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论： P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）
P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ） 【精典例题】 1、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ） A B C ．1 D ．2 2、如图，矩形ABCD 中，4AB =， 6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____． 3、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______． 4、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针
2023年探究中考数学最值之瓜豆原理 瓜豆原理 必备知识 一、旋转及性质 1.旋转的定义：一个图形绕一点沿一定方向旋转一定的角度； 2.旋转三要素：①旋转中心（绕哪个点转）；②旋转方向（顺时针或逆时针）；③旋转角度； 3.旋转的性质：①旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置，即旋转前后图形全等；②对应点与旋转中心所连线段间的夹角等于旋转角。 二、位似及性质 1.位似的定义：若两个图形F 和F'的点之间可以建立一一对应关系，并且满足：①每组对应点的连线所在的直线都经过同一点O;②每组对应点都在点O 的同侧或异侧；③对每一组对应点A 和A',有 k OA A O =′(k 为常数），则称图形F 和F'位似，k 叫位似比； 2.位似三要素：①位似中心（关于哪个点位似）；②位似方向（同侧或异侧）；③位似比（等于相似比）； 3.位似的性质：成位似的两个图形必相似； 把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换； 利用位似变换可把一个图形放大或缩小，若位似比大于1,则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1,则通过位似变换把原图形缩小． 提炼方法 一、旋转作图 问题1:如图1,在平面内有两点A 、B,请将点B 绕点A 按顺时针方向旋转40°. 简析:如图2所示，这里AB=AC,即“共顶点，等线段”． 图1 图2
二、位似作图 问题2:如图3,已知线段AB,请以点A 为位似中心，3 1为位似比，在同侧将线段AB 进行位似变换。 图3 图4 简析如图4所示，这里 3 1=′AB B A ，即“共顶点，定比值线段”。 三、模型建立 （一）旋转变换 问题3:(1)如图5,已知等腰Rt △APQ,其中A 为定点，根据旋转作图的经验，请你说说：点Q 可以看作点P 经过怎样的变换得到？ （2)如图6,若改为等边ΔAPQ 呢？ （3)如图7,若改为任意等腰ΔAPQ(其顶角为α)呢？ 图5 图6 图7 简析:（1)点Q 可以看作点P 绕定点A 按逆时针方向旋转90°而来； （2)点Q 可以看作点P 绕定点A 按逆时针方向旋转60°而来； （3)点Q 可以看作点P 绕定点A 按逆时针方向旋转角α而来； 问题4:在问题3中，若点P 在一条定直线l 上运动，其他条件不变，如图14-2-8至图14-2-10所示，请问：点Q 的运动路径是什么？它可以看作点P 的路径如何而来？
O'M O A P M O A P M O A P 专题07 瓜豆原理与圆中最值 瓜豆原理（圆）的模型 A 为圆外一定点，当点P 在圆O 上运动时，则AP 中点M （如上图）的运动轨迹为：以AO 中点O’为圆心，O‘M 为半径的圆。 此模型中：O’M=12OP, 最值分两种情况：（核心---AP 所在直线过圆心） 一．瓜豆原理（共12小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，C （0，4），A （3，0），⊙A 半径为2，P 为⊙A 上任意一点，E 是PC 的中点，则OE 的最小值是（ ） M O A P
A ．1 B ．32 C ．2 D ．√2 答案详解:如图，连接AC ，取AC 的中点H ，连接EH ，OH ． ∵CE ＝EP ，CH ＝AH ， ∴EH =12P A ＝1， ∴点E 的运动轨迹是以H 为圆心半径为1的圆， ∵C （0，4），A （3，0）， ∴H （1.5，2）， ∴OH =√22+1．52=2.5， ∴OE 的最小值＝OH ﹣EH ＝2.5﹣1＝1.5，所以选：B ． 2．如图，等边△ABC 中，AB ＝2，点D 是以A 为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD ，取CD 的中点E ，连接BE ，则线段BE 的最大值与最小值之和为 2√3 ． 答案详解:延长CB 到T ，使得BT ＝BC ，连接AT ，DT ，AD ．
∵△ABC 是等边三角形， ∴BA ＝BC ＝AC ＝BT ＝2，∠ACB ＝60°， ∴∠CAT ＝90°， ∴AT ＝CT •sin60°＝2√3， ∵AD ＝1， ∴2√3−1≤DT ≤2√3+1， ∵CB ＝BT ，CE ＝DE ， ∴BE =12 DT ， ∴2√3−12≤BE ≤2√3+12， ∴线段BE 的最大值与最小值之和为2√3，所以答案为2√3． 3．如图，直线y =34x +3与坐标轴交于A 、B 两点，⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 上动点，△ABP 面积的最大值为 11 cm 2． 答案详解:如图， ∵直线y =34x +3与坐标轴交于A 、B 两点， ∴A （﹣4，0），B （0，3）， ∴OA ＝4，OB ＝3，