2
1E
D
C B
A
勾股定理复习
班级______姓名_________
一．知识归纳
１．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么____________, 2.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边 如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2
c 与2
a +2
b 是否具有相等关系.
若2c =2a +2b ，则△ABC 是 ；若2c ≠2a +2
b ，则△ABC 不是 .
3.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为_____整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等
题型一：直接考查勾股定理
例１.（1）在ABC ?中，90C ∠=?，17AB =，15AC =，BC ＝
（2）在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝
（3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 （4）已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm
练习1：求下列阴影部分的面积：
（1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ；
2：如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10， BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为
例2.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
D
C
B
A
题型二：勾股定理的逆定理及判断三角形的形状
例3.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
D C
B
A
练习1
：已知()2
1213x y -+-与2
1025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为边的三角形是 三角形。（填“直角”、“等腰”、“任意”）
2、若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．
3．如图网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求△ABC 的面积；（2）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．
题型三：勾股定理与方程思想的结合
例4、已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.
练习．一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为 ．
题型四：勾股定理在折叠问题中的应用
例5、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
C
B
A
D
练习、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．
题型五：实际问题中应用勾股定理
例6、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道
上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多
少元钱?
练习1．如图，长方体三条棱的长分别为4cm，3cm，2cm，蚂蚁从A1出发，沿长方体的表面爬到C点，
则最短路线长是cm．
练习2．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO
方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
5m
13m
例7、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发.现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB,如图13所示.为了安全起见,爆破点C 周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否需要暂时封锁? 请通过计算进行说明。
练习1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．
（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
练习2．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
勾股定理复习讲义 【中考命题趋势】 本章内容在中考中多以填空题与选择题的形式出现，应结合直角三角形的有关性质、三角函数知识进行线段的计算或证明，近几年来，以实际问题为背景的探究题、材料分割题、实际应用题、网格试题不断涌出，题目多以中档题为主，这也是今后中考试题发展的重要趋势。 【知识点归纳】 123456?? ?? ?? ??? ???? ?? ??? ? ?? ?? ??? ?????????? ?? ?? ?? ????? ?? ?? ?? ??? 1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题 3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状 3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题 勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理相关概念性质 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证 a b c a b c a b c a b c a b a b a b b a 例题：
例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2 -，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2 + （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A.222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能 （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242 c m B 、36 2 c m C 、482 c m D 、602 c m 考点二：勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 （2）常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n 为正整数） （3）直角三角形的判定方法： ①如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 ②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③两内角互余的三角形是直角三角形。 ④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 例题： 例1：勾股数的应用 （1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 （2）若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7 例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1）下面的三角形中：
勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 += a b c 2．勾股定理的适用围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∠=?，则c，b=，a= ?中，90 C ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC C ∠=? ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AB=，15 AC=，求BC的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程
2 1 E D C B A 例２.⑴在AB C ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，C D AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
A B C D E 例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
勾股定理（基础） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条 边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以. 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为 的线段. 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝2，c ＝3，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3， ∴ 2222325a c b =-=-； （2）设3a k =，5c k =． ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、勾股定理的证明
2 1E D C B A 勾股定理复习 班级______姓名_________ 一．知识归纳 １．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么____________, 2.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边 如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2 c 与2 a +2 b 是否具有相等关系. 若2c =2a +2b ，则△ABC 是 ；若2c ≠2a +2 b ，则△ABC 不是 . 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为_____整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等 题型一：直接考查勾股定理 例１.（1）在ABC ?中，90C ∠=?，17AB =，15AC =，BC ＝ （2）在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ （3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 （4）已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm 练习1：求下列阴影部分的面积： （1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ； 2：如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10， BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为 例2.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 D C B A
第一章 勾股定理 【知识点归纳】 123456?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? ??? ?????????? ?? ?? ?? ????? ?? ?? ?? ???1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状 3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题 勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论： ①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证
a b c a b c a b c a b c a b a b a b b a 例题： 例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2+ （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A.222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能 （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m B 、36 2c m C 、482c m D 、602c m （3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 例3：探索勾股定理的证明
勾股定理实际应用（讲义） 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________；__________；___________．2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3.读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 方案一：小聪准备用一根绳子沿着蚂蚁爬过的轨迹来进行测量，然后再借助绳子的长度来估计爬行的路程，如图1．方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，并参照小聪和小明的方法，动手测量一下这条线的长度．图1 图2
知识点睛 蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． 精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8cm，底 面半径等于2cm．在圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A 上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）
【课题名称】八上数学《勾股定理》 【考纲解读】 1.掌握勾股定理的含义； 2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数； 3.能够根据勾股定理，解决实际问题。 【考点梳理】 考点1：勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么222a b c += （3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 考点2：勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 考点3：勾股数 （1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。 （2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。 考点4：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在A B C ?中，90C ∠=?，则c ，b ，a ； （2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； （3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
学习必备 欢迎下载 泽仕学堂学科教师辅导讲义 学员姓名：丁鹏程 辅导科目：数学 年级：初二 学科教师：张先安 授课日期及时段 课 题 勾股定理和两点间的距离公式 重点、难点、考点 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 2.运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形 . . 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 . 2.勾股定理的应用 . 学习目标 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形 . 教学内容 1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边的 ______和等于 _______ 的平方． 就是说， 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那么一定有： ———————————— .这就是勾股定理． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为 ________. ”这一命题是勾股定理的逆定理 .它可以帮 助我们判断三角形的形状 . 3.勾股定理的作用： (1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示 n （ n 为正整数）的点． (3)判断三角形的形状 4.两点间的距离公式 平面直角坐标系中，两点间的距离公式为 d ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 。 知识点和例题讲解 一、勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。用字母表示： a 2 b 2 c 2 A ABC 中， AD ⊥BC ， AB=3 ， BD=2 ， DC=1. 求 AC 的长度。 例 1、如图所示，已知在△ B D C B D 练习：（ 1）如图，已知在△ ABC 中，∠ACB=90 °，CD ⊥AB 于 D ，如果∠ BCD=30 °， BD=3 ，求 AD 、 AC 、 CD 的长。 A C
【考纲解读】 1.掌握勾股定理的含义； 2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数； 3.能够根据勾股定理，解决实际问题。 【考点梳理】 考点1：勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ， 斜边为c ，那么222a b c += （3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 考点2：勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 考点3：勾股数 （1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。 （2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。 考点4：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在A B C ?中，90C ∠=?，则c ， b ，a ； （2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
（3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。 【例题讲解】 例1：如图字母B所代表的正方形的面积是（） A．12 B．13 C．144 D．194 例2：下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（） A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c= C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12 例3：三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形 例4：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米B．10米C．13米 D．14米 例5：如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（） A．9 B．10 C．D． 例6：如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个． 【课堂检测】 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（） A．2 B．C．D． 2．在ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（） A．B．5 C．D．7 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=?，则c ，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC ?中，90C ∠=? ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为
2 1 E D C B A A B C D E 例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 2. 常用的平方数 112 ＝_______，122 ＝_______，132 ＝_______，142 ＝_______，152 ＝_______，162 ＝_______，172 ＝_______，182 ＝_______，192 ＝_______，202 ＝_______，252 ＝_______． 注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中
勾股定理讲义 考点1、勾股定理的内容和证明 勾股定理： 例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？ 图1 图2 图3 图4 例2： 中，，若∠C=? 90，如下图1根据勾股定理可以得出：a2+b2=c2， 222
∠C =?90， ，则 例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． (1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若∠A ＝30°，c ＝24，求c 边上的高h c ； (5)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ． 1、△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． (1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______． 2、如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______． 3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 4、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 5、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长．
勾股定理全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理 1. 勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2 b2 c2） 2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要 应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理 1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ； （2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系，若a2 b2 c2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3. 勾股数 222 满足不定方程x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：① 3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤9、40、41. 如果（a、b、c ）是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1. 较小的直角边为连续奇数； 2. 较长的直角边与对应斜边相差1. 2 3.假设三个数分别为a、b、c ，且a b c ，那么存在a2 b c成立. （例如④中存在72＝24＋25、9 2＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
初二数学勾股定理【知识点归纳】 考点一：勾股定理 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有2c 2 2 + b a= 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论： ①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证 例题： 例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1 n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1 n2+ （3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（） A.222 += a c b += B.222 a b c C.222 += D.以上都有可能 c b a （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 （2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242 c m c m D、602 c m B、362 c m C、482 （3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A、5 B、25 C、7 D、15
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理知识点汇总 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以2 2 2 a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 222a b c += ３.勾股定理的适用范围 ，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c =，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角 形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边 的三角形是锐角三角形； ③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足 222 为斜边 ６.勾股数 满足a 2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。
精品文档 勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ，b，斜边为 c ，那么a2b2c22．勾股定 理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对 于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在 ABC中， C90 ，则 c a2b2， bc2 a 2， ac2b2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１.在 ABC 中，C90 ⑴已知 AC6， BC8．求 AB 的长 ⑵已知 AB17， AC15 ，求 BC 的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程 例２ . ⑴在 ABC 中， ACB90，AB5cm ，BC 3 cm ，CD AB于D，CD＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为 30cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为
精品文档 例３.如图ABC 中， C 90 ，12，CD 1.5，BD 2.5，求 AC的长C D 1 A2B E 例 4. 如图 Rt ABC ， C 90AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积C B A 题型三：实际问题中应用勾股定理 例 5. 如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高 2 cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m A D E B C 三、勾股定理的逆定理知识归纳 1.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a， b，c 有下面关系：a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。 2.常用的平方数 222222 11＝_______，12 ＝ _______，13 ＝ _______，14 ＝_______，15＝ _______，16＝ _______，172＝_______， 182＝ _______， 192＝ _______， 202＝ _______， 252＝ _______．
一、选择题 1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2 ()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111 ,,345 a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．如图所示，在中， ， ， .分别以 ， ， 为直径作 半圆（以 为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．6 4．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A 22d S d + B 2d S d - C ．22d S d + D ．( ) 22 d S d + 5．如图，是一长、宽都是3 cm ，高BC ＝9 cm 的长方体纸箱，BC 上有一点P ，PC ＝ 2 3 BC ，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是( )
A ．62cm B ．33cm C ．10 cm D ．12 cm 6．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 230=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD=1，则 AB 的长是（ ） A ．2 B ． 23 C ． 43 D ．4 8．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（） A ．22 B ．32 C ．62 D ．82 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角 形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若 2 )21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）
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第一章 勾股定理 【知识点归纳】 123456?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? ??? ?????????? ?? ?? ?? ????? ?? ?? ?? ???1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状 3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题 勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有 222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论： ①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证
a b c a b c a b c a b c a b a b a b b a 例题： 例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2+ （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A.222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能 （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m B 、36 2c m C 、482c m D 、602c m （3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 例3：探索勾股定理的证明
初二数学勾股定理 【知识点归纳】 123456????????????????????????????????????????????????????????1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状 3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题 勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论： ①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证
a b c a b c a b c a b c a b a b a b b a 例题： 例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2 + （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A.222a b c += B.222a c b += C.222c b a += D.以上都有可能 （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m B 、36 2c m C 、482c m D 、602c m （3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 例3：探索勾股定理的证明