新人教版九年级上册初中数学
重难点有效突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
切线长定理—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即
(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
【答案与解析】
连结OA ，则OA ⊥AP ．
在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ，
∴△PDE的周长为PE＋DE＋PD＝PE＋EC＋DC＋PD，
＝PE＋EA＋PD＋DB
＝PA＋PB＝16（cm）．
【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．
【356967 ：方法总结及例题1-2】
2．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∠DAE=∠ABE,边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．
【答案与解析】
证明：（1）∵∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，
∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH=EF，
∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH=CF=CE+EH．
【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．
举一反三：
【变式】（2015•青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，
由勾股定理的，CG=，
则MC=2CG=3．
类型二、三角形的内切圆
3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案与解析】
设内切圆与三角形的三边AB、AC、BC分别交于D、E、F，
连接OE、 OF、OD、AO、BO、CO.
∴△ABC=△AO B+△AO C+△B OC=
1
2
r(a+b+c).
【总结升华】考虑把△ABC的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC的面积.
举一反三：
【356967 ：切线长定理及例3】
【变式】已知如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.
【答案】
连结OA、OB、OC，
∵△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5.
则S△AOB+S△COB+S△AOC=S△ABC，即
1111
5+4+3=34=1
2222
r r r r
⨯⨯⨯⨯⨯，
类型三、与相切有关的计算与证明
4．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.
G
F
E
D
C
B
A
【答案与解析】
（1）结论：GD 与O 相切
证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥ ∴123B ∠=∠∠=∠，
∵AB AG =，∴3B ∠=∠，∴12∠=∠ 在AED ∆和AGD ∆12AE AG
AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴AED AGD ∆∆≌，∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切
∴90AED ∠=︒，∴90AGD ∠=︒ ∴AG DG ⊥
∴GD 与A 相切
（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG ==
∵AD BC ∥，∴46∠=∠，∴1
562
B ∠=∠=∠
∴226∠=∠ ，∴630∠=︒ ∴10AD =.
【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最
基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.
65
4
3
21G
F E
D
C
B
A
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长． 【答案与解析】 连结OA ，则OA ⊥AP ． 在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ，
二次根式 知识点1 a ≥0）叫做二次根式． 1、 下列各式 ①－ 12+m ②38- ③1-x ④5 ⑤π 是二次根式的是 2、x 为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义 知识点 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 1、下列式子中是最简的二次根式的是： ① 2 8y ③a ④7.1⑤34 ⑥3 7 2 2、（1 ,求自然数n 的值是 n 的最小值是 知识点3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 1 、若a a = b = 2 x = 知识点4．二次根式的性质 2 =a （a ≥0） 0(0)a ≥≥ │a │=(0) 0(0)(0)a a a a a >??=??-0）． 1 、÷ 、2 3 、 4、)12 131(12-÷ 一元二次方程 知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程 （2）只有一个未知数——（一元） （3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2 -2x=1；③x+3= 1x ；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2 -1．一元二次
九年级上册数学概念、定义、公式归纳 一、二次根式 1. 2.二次根式的被开方数为非负数。所有二次根式都是非负数。 3. 4.二次根式乘法法则：反过来也适用。 5.二次根式除法法则：，反过来也适用。 6.被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，称为最简二次根式。 7.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 二、一元二次方程 8.等号的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫一元二次方程。 9.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c是常数项。 10.解一元二次方程的基本思路是“降次”。方法有四种： ①直接开平方法。如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么x=±√p，或mx+n=±√p。 ②配方法：（1）移项，把常数项移到等号右边。（2）系数化为1，方程两边同除以二次项系数。（3）配方，等号两边同加一次项系数一半的平方。（4）直接开平方。 ③公式法。（1）运用根的判别式b2-4ac判断根的情况。若判别式△小于0，则方程无实数根；若等于0，则有两个相等的实数根；若大于0，则有两个不相等的实数根。（2）△≥0时，运用一元二次方程的求根公式“-b±√b2-4ac /2a”来解方程。 ④因式分解法。把方程化为mn=0的形式。 11.求两个单位时间段平均增长（减少）率公式：a(1±x)2=b 三、旋转 12.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角，转动方向有顺时针和逆时针两种。 13.旋转的性质：①对应点到旋转中心距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前后图形全等。 14.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称。这个点叫对称中心，对应点叫做关于中心的对称点。 15.中心对称性质：①中心对称的两个图形全等。②中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分。 16.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版 一、代数与函数 1.代数简介 ①常数：数值不变的量。 ②变量：数量可能改变的量。 ③代数式：由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。 ④同类项：指含有相同字母并且指数相同的项。 ⑤合并同类项：指将同类项合并成一个项。 ⑥因式分解：将代数式表示成幂或较简单的代数式，叫做因式分解。 ⑦方程式&方程：一个代数式与另一个代数式在等号两边，称 为方程式，且方程式构成了等式。 2.一次函数 ①函数：将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值，称为函数。 ②自变量：输入的值 ③函数表达式：用代数式表示函数的式子称为函数表达式 ④一次函数：函数表达式中，最高次项是一次幂的函数叫一次函数，也叫线性函数。 ⑤斜率：函数： y = kx + b ，函数图象的斜率 k，即为直线的斜率。 3.二次函数 ①二次函数：函数表达式中，最高次项是二次幂的函数，叫做二次函数。
②二次函数的一般式：f(x) = ax² + bx + c（a≠0） ③二次函数的顶点：二次函数图象的转折点，称为顶点。 ④二次函数的对称轴：图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线，称为二次函数的对称轴。 ⑤二次函数的最小值/最大值：二次函数）的顶点纵坐标所对 应的函数值，是二次函数的最小值或最大值。 4.函数的研究 ①函数图象的基本性质：函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。 ②函数的零点：函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。即 f(x) = 0 时 x 的解。 ③函数类型：函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。 二、图形的认识 1.图形的一些概念 ①线段：由两个端点所组成的线段,叫做线段。 ②射线：在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。 ③直线：没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。 ④平行线：永远不会相交的两条直线叫做平行线。 ⑤垂直平分线：在一条直线上，垂直于该线段、且等分该线段的线，称为垂直平分线。 ⑥角：两条射线共同有一个端点，所成的图形称为角。 ⑦圆的周长：圆周长的公式为：C = 2πr ，其中π≈3.14 。 ⑧圆的面积：圆面积的公式为：S = πr²。 2.相似形 ①相似形：具有相同形状的两个图形，称为相似形。 ②相似比：在相似形中，相应边长度之比叫做相似比。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版) 人教版九年级数学上册知识点整理 一、有理数 有理数是整数和分数的集合。有理数的数轴上，0的左侧是负 有理数，右侧是正有理数。加、减、乘、除有理数的运算规则。 二、立方根 如果一个数的立方等于另一个数，那么这个数叫做另一个数的立方根。 三、代数式 由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。其中数叫做常数项，变量叫做一次项。 四、图形的基本要素和运动 绿色的箭头表示平移，红色的箭头表示旋转，蓝色的箭头表示对称。 五、全等三角形 若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等，则称这两个三角形全等。 六、相似三角形 若两个三角形的三个角分别相等，则称这两个三角形相似。 七、平移与旋转 1、平移：用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置，移 动的距离及方向相同，不改变点的属性。 2、旋转：以一个点为中心旋转某个图形的每个点，旋转的角 度相同，不改变图形的形状和大小。
八、直线和角 两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。 九、相反数 两个数互为相反数，当且仅当它们的和为0。 十、分数的意义和性质 1、通分：将几个分数化成分母相同的分数。 2、分数的约分、化分； 十一、用比例表示实际问题 利用比例，确定两个量之间的等比关系，以解决实际问题。 十二、扇形和弧 1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。 2、弧是圆上任意两点之间的弧。 3、圆心角，切线和弦的关系。 十三、比例和类比 1、比例含义：比例是两个量之间的等比关系。 2、异比例的解决方法：设比例系数为k，则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。 十四、平行四边形和直角梯形 1、平行四边形的性质：对角线互相平分；一个角的补角等于它的邻角。 2、直角梯形：有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。 十五、直角三角形 1、勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。 2、定比分点定理：在一条线段上，任意三点A、B、C，如果
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基 础) 1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点. 2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线. 要点诠释： 在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系. 要点二、切线及其性质 1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线. 2．切线的性质： 1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直. 2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.
3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定. 要点诠释： 切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法. 要点三、圆的面积和弧长 1．圆的面积公式：S=πr². 2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数). 3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr². 要点诠释： 圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出. 要点四、圆锥的侧面积和全面积 1．圆锥的侧面积公式：S=πrl. 2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r). 要点诠释： 圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径. 1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。 4.与圆有关的角度 1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。 2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。 要点诠释： 1) 圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，角的两边都与圆相交。 2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中。 要点二、与圆有关的位置关系 1.判定一个点P是否在圆O上 设圆O的半径为r，OP的长度为d，则有三种情况：点P 在圆O外，点P在圆O上，点P在圆O内。
初中数学集体备课活页纸 学科初中数学主备人节次 第周 第节课题24.2.2切线长定理课时 1 课型新授课 教学目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明。 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念。 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合的思想。 教学重点理解切线长定理 教学难点灵活应用切线长定理解决问题 课堂教学设计 教学环节教学过程二次备课 第一步：交流预习环节1：教师提问 【问题1】上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 【问题2】过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 环节2:师友释疑 1.切线长的定义： 2.切线长与切线有什么不同？ 第二步：互助探究环节1:师友探究 1.若P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP 对折图形，你能猜想一下P A与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？ 2.你能用学过的知识证明这两个结论吗？ 3.已知：线段P A，PB切⨀O于点A，B，连接OP 求证：（1）P A=PB（2）∠APO =∠BPO
4.如何用符号语言表示切线长定理？ 环节2：教师讲解 1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2.符号语言： ∵ P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点 ∴P A＝PB，∠APO＝∠BPO 第三步：分层提高环节1 师友训练 1.如图，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于点D，E．若△PDE的周长为12，则P A 的长为（） A. 12 B. 6 C. 8 D. 4 2.如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . 变式: 如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠APB= 40 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 环节2 教师提升 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 常见辅助线： （1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点 走进生活：想一想：如图是一块三角形铁皮，工人师傅要从中 裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 第四步：总结归纳环节1：师友归纳 •这节课我学会（懂得）了…… •这节课我想对师傅（学友）说…… 环节2：教师归纳 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
圆的切线证明中考专题复习教学设计 剑河县南寨中学吴贵兴 一、教材分析 1、教材的地位和作用 圆的切线证明是我黔东南州中考必考题型之一，《圆》是学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的曲线图形。圆作为一种常见的图形，圆的有关性质定理是进一步学好几何等数学知识的基础。从知识体系上来看，直线与圆的位置关系，切线的判定定理、性质定理及切线长定理是衔接直线形和圆形之间联系的重要纽带，常用它来解决与直线形有关的计算和证明；从数学思想方法层面上看，它揭示了数量关系与位置关系的内在联系，体现了数形结合，数量关系与位置关系之间相互转化的数学思想。 2、目标及目标解析： 根据教材的地位和作用，我制定了如下的教学目标： 一是掌握直线和圆的位置关系，切线的判定定理、性质定理及切线长定理的基本方法的运用。切线的判定定理、性质定理、切线长定理是研究直线和圆的有关问题常用的定理。直线形和圆形的有关计算和证明都是通过直线和圆的位置相关的定理来完成的，因此就要掌握其基本的运用。 二是能通过切线的判定定理、性质定理及切线长定理进行有关证明和计算的综合运用。通过自主探究，让学生体验建立基本数学模型，形成基本的求解模型。仅仅掌握切线的判定定理和性质定理的运用是不够的，还要掌握位置关系与数量关系互相转化的数学思想及其知识的综合运用，增强解决问题的能力。 3、重难点： 本节课是一节专题复习课，复习更注重数形结合及数量关系与位置关系相互转化的思想。而且本节课的主要知识点有着广泛的应用。因此本节课的重点是运用切线的判定定理，性质定理的应用。难点是切线的判定定理、性质定理及切线长定理的综合运用及其对转化思想的领悟。 二、教法、学法分析 九年级下学期的学生已经具备了解决问题的基本思路和方法，这是本节课学习的有利因素。但学生在理解上有一定局限性，对如何从图形中观察分析出比较隐蔽的数量关系的方法较弱。在学生已有的认知规律和获取的知识基础上，结合这些特点，本节课采用以下方法：1、合作探究。具体用题组，由浅入深，螺旋上升；变式探讨，层层递进，促进学生对知识
第3课时切线长定理 教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟 悉用代数的方法解几何题。 教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程： 一、复习引入： 1．切线的判定定理和性质定理． 2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这 点到圆的切线长。 2、切线长定理 （1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。 OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？ 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． （2）几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3、三角形的内切圆 思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段 （2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____ 例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm =1810,求⊙O的半径。 BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S △ABC 三、巩固练习 1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6，则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____. 2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。 （1）若PA=12，则△PCD周长为____。 （2）若△PCD周长=10，则PA=____。 （3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠A MB=____ 3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E 、D、F，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。
一. 教学内容： 切线长定理及其应用 二. 重点、难点： 重点：切线长定理以及应用 难点：切线长定理的题设、结论 三. 具体内容： 1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。 【典型例题】 [例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。 解：（1）∵⊙O切△ABC三边AB、BC、CA于D、E、F ∴AD=AF，BD=BE，CE=CF ∴2 CF BD AC AB AF AD -- + = = 2 CE BE AC AB- - + = 2BC AC AB- + = ∵BC=a，CA=b，AB=c ∴2a c b AD - + =
同理2b c a BE - + = 2c b a CF - + = （2）连结OE、OF ∵⊙O与AB、BC切于D、E ∴OE⊥BC，OF⊥AC ∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形 又∵OE=OF ∴四边形OECF为正方形 ∴OE=OF=CE=CF 由（1）知2c b a CF CE - + = = ∴内切圆半径2c b a r - + = [例2] 如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、F，△ABC的周长为18，求AE。 解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF ∴AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD =AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE ∵△ABC周长为18 ∴ 9 2 = + + = BC AC AB AE [例3] 如图，在ABC Rt∆中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。 证明：（1）作DF⊥AC于F ∵AD平分∠BAC ∴DB=DF ∴AC切⊙D于F
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷 并且可以用于解决一些圆的问题。 在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和 DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。 七、切线与切点 1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线； 2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点； 3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆 心的距离等于半径长。 在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的 距离等于半径OA的长度。 参考答案：
一、圆的概念 集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。 三、直线与圆的位置关系 直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。 四、圆与圆的位置关系
圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。 五、垂径定理 垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 六、圆心角定理 圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理。 七、切线与切点 切线是过圆上一点的直线，切点是圆上与切线相切的点。切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。
新人教版九年级上册数学期末复习资料知 识点归纳 二次根式 1.二次根式是指形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子。 1）下列哪些式子是二次根式？ ① $m^2+1$。② $3-8$。③ $x-1$。④ $5$。⑤ $\pi$ 2）当 $x$ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ 2.最简二次根式 最简二次根式是指同时满足以下两个条件的二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；
②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。 1）下列哪些式子是最简的二次根式？ 8y^2x^2+1$。42 2）若 $18-n$ 是整数，求自然数 $n$ 的值。 3）若 $24n$ 是整数，求正整数 $n$ 的最小值。 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。 1）若 $\sqrt{a+4\sqrt{3}b-1}$ 和 $\sqrt{a+4}$ 是同类二次根式，则 $a=\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_$。 2）若 $\sqrt{3x-1}$ 和 $\frac{x}{\sqrt{3}}$ 是同类二次根式，则 $x=\_\_\_\_$。
4.二次根式的性质 ① $(\sqrt{a})^2=a$ （$a\geq 0$）； ② $\sqrt{a^2}=|a|$，即当 $a\geq 0$ 时，$\sqrt{a^2}=a$，当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=-a$。 1）化简 $x-1+1-x=$ ______。 2）若 $a<0$，化简 $a-3-a^2=$ ______。 3）要使 $3-x+\frac{1}{2x-1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。 5.二次根式的运算 ① $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ （$a\geq 0$，$b\geq 0$）；
学员姓名：_______ 年级：__________ 所授科目：___数学__________ 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心 角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
初三上数学期末复习知识点总结 期末复习知识点 《一元二次方程》 1、一般式：ax2+bx+c=0(a≠0 bb24ac2、求根式：x= 2a3、根的判别式：b2-4ac△>0方程有两个不等实根△=0方程有两个相等实根△0时对称轴左侧y随x的增大而减小；对称轴右侧图像y随x的增大而增大。 a0x＿时yR+r外离d=R+r外切 R-r2、切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间的距离叫切线长。3、切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分切线的夹角。 已知PA、PB切圆O与A、B 则PA=PBOP平分∠APB abc4、在Rt△中内切圆半径= 2c在Rt△中外切圆半径=
25、圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 6、圆心角：顶点在圆心上的角叫圆心角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，等于这条弧所对圆周角的二倍。 7、垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 如图DC为直径AB垂直于DC则AE=EB弧AC等于弧BC 8、9、 圆锥S侧面积=πra（a母线长） 圆柱S圆柱=2πrh+2πr2 nπr21lr10、扇形S扇=360211、扇形弧长lnπr1 扩展阅读：初三总复习数学课本知识点归类总结 七至九年级数学课本知识点归类总结 志诚专业辅导知识结构：一代数二几何 三概率与统计 知识脉络：
代数 实数： 1内容 A有理数（七上第二章） B勾股定理与实数（主要指实数和平方根、立方根）八上第二章C二次根式（九上第三章）2详解 ①实数的有关概念及其分类： 正整数整数零负整数有限小数或无限循环小数有理数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 二、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系。 三、在数轴上，原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数。四、两个互为相反数的和等于零；互为倒数的两个数的积等于1；零没有倒数。 五、偶数一般用2n（n为整数）来表示，奇数一般用2n1来表示。（包括负偶数和负奇数）
人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（x 21 m- +（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -.
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公
−n± p m 人教版九年级数学上册知识点整理（完整版） 第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程的有关概念 （一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （二）一元二次方程的一般形式：ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax 2；二次项系数为 a ；一次项为 bx ，一次项系数为 b ；常数项为 c 。 特殊形式： （三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。 （四）一元二次方程的解（根） 1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 2、判断一个数是否是一元二次方程的根 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。 3、关于一元二次方程根的三个重要结论 （1）a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。 （2）a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。 （3）c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。二、解一元二次方程 （一）直接开平方法解一元二次方程 1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。 2、方程x 2 = p 的根 （1） 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ，x 2 =− p 。 （2） 当 p=0 时，方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。 （3） 当 p<0 时，因为对任意实数 x ，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根。 3、用直接开平方法解一元二次方程时，要先将方程左边化成完全平方的形式，右边是非负数 的形式，再用直接开平方解方程。 4、解形如(nx ＋n)2 = p （m≠0，p≥0）的一元二次方程，把nx ＋n 看作一个整体，直接开平方 降次得nx ＋n =± p ，即x = 。 5、适用范围：直接开平方法只适用于能转化为x 2 = p 或(mx ＋n)2 = p （m≠0，p≥0）形式的方 程。
专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题 专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流 题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。 切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于0 90。 1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（） A．26°B．32°C．52°D．64° 【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝26°，∴∠AOB＝90°﹣26°＝64°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝32°， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（） A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5） 【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，∴OM＝2，NO＝8，∴NM＝6，∵PD⊥NM，∴DM＝3∴OD＝5，∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．即点P的坐标是（4，5）．
九年级上册数学知识点梳理总结(全) 九年级上册数学知识点梳理总结(全) 九（上）数学知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理