3.7切线长定理
【教学内容】切线长定理 【教学目标】
知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；
过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。从而发现事物之间的相互联系。 【教学重难点】
重点：切线长定理及其应用。 难点：切线长定理及其应用 【导学过程】
【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？
2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】
过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、
经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。 注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，
而切线长是线段， 度量.
探究二：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言：
PA PB 、是⊙O 的两条切线
_____________,________________ .
（2）如何证明切线长定理呢？
已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：
（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.
（图2）
A
B O
A B
O
探究二、
四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。
探究三、
Rt ⊿ABC 的两条直角边AC=10，BC=24， ⊙O 是⊿ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，求⊙O 的半径。
【知识梳理】
本节课我们学习哪些知识？ 【随堂练习】 1.如图5，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（ ）
A ． 5 B. 35 C.10 D. 310
2.如图6，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，，若PA=8cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA ，PB 于点D 、E ，则PED ∆的周长是 cm.
3. 如图7，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且70MBN ∠=︒，则______A ∠=.
4. 已知：如图8，PA ，PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =35°，求∠P 的度数．
5.已知：如图9，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°． (1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．
P B O A （图5） E A P C D
B O （图6） （图7）
N
M A
B
O
（图8） （图9）
6．已知：如图10，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ． (1)求证：AT 平分∠BAC ；(2)若,3,2==TC AD 求⊙O 的半径．
7、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝900
，以AB 为直径的半圆切CD 于点M 。
（1）若这个梯形的面积是10cm 2
，周长是14cm ，求⊙O 的半径。
（2）连接AM 、BM ，连接DO 交AM 于F ，连接CO 交BM 于G 。试说明：
① CO ⊥DO ； ② 四边形MFOG 是矩形； ③FG 2
＝AD ·BC 。
（图10）
Ｏ Ｄ
Ｍ
活动四：课堂总结反思【板书设计】
提纲挈领，重点
突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在复习回顾切线的相关性质的基础上，在教师的引导下探究如何
画圆的切线，体会圆的切线的判定和性质，给学生留出充分的时
间在小组内讨论、交流．引入新课的同时对问题有自己的思考.
②[讲授效果反思]
通过对比分析得到切线长定理，感受知识的生成过程，强调知识
的严谨性和规范性，让学生在积极主动地参与学习的过程中理解、
掌握知识．在此基础上通过练习有针对性地进行落实、巩固，有
效突破重难点.
③[师生互动反思]
________________________________________________________
________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步
提升.
课题：3.7切线长定理
教学目标：
1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.
2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.
3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.
教学重、难点：
重点：切线长定理的推导过程及运用.
难点：综合运用切线长定理进行有关的证明和计算.
课前准备：课件、实物投影仪、圆规、三角板、导学案.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
活动内容：
上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条.那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进
入今天的课堂学习.
1.根据条件画出图形
已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法?
P
处理方式：
学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法.
最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.
设计意图：由学生作图，体验如何过圆外一点画圆的切线的方法和条数，为下面的学习做好
经验和事实铺垫.
二、合作探究，感悟新知 活动2：认识切线长
如图1，是我们所画的图形，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，我们把线段PA ，
PB 叫做点P 到⊙O
的切线长． 图1
问题1：切线长是如何定义的？
问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别和联系？ 处理方式：
问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示)
问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示)
设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系. 活动3：探索切线长定理
问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？
问题3：如何证明你的猜想？
处理方式：
问题1学生直接判断.
问题2当学生回答PA=PB时，师关注学生是怎么找到的？如：有的学生会利用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.
学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(若学生提不出师及时引导.)
问题3学生分组探究，写出证明过程.(个别组展示交流.)
已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.
求证：PA=PB.
证明：连接OA,OB.
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
∵OA=OB,OP=OP.
图2∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB
至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理.（课件展示）
师追加反思：切线长定理为说明线段相等提供了新的方法.
师追问：由Rt△AOP≌Rt△BOP我们还能得到哪些结论？
处理方式：学生观察图形可直接回答，∠OPA=∠OPB，∠POA=∠P OB.
因此，切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这
一点的连线平分两条切线的夹角.
设计意图：让学生经历观察—猜想---验证的数学探索过程，有助于学生理解切线长定理，
更深层次的挖掘其内涵,为解题提供方便.
三、例题解析，运用新知.
活动4：应用切线长定理
应用切线长定理可以解决那些问题呢？
例1.如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E,F,G,H, 由切线长定理你能发现哪些线段相等?
H
G
E
F
处理方式：学生观察图形，直接回答.若学生有困难，师可以进行如下引导：
分析：由点A的切线可知 = .
由点B的切线可知 = .
由点C的切线可知 = .
由点D的切线可知 = .
师追问：将上面四个等式左右两边分别相加，你能得到什么结论？
处理方式：由学生发现：AB+CD=A D+BC，进而得出
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
例2.已知如图，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径.
处理方式：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程的知识，是一道综合性较强的计算题．因此，教师可组织学生小组讨论，寻求解题思路，并写出解题过程；师巡视指导，深入到学生的讨论中，适时提示学生添加辅助线解答.
完成后，学生代表展示交流解题方法，师同步播放课件.
解法1：连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF，设OD=r.
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
AB=AC2+BC2=102+242=26
∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，
∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC , BD= BE , AD=AF ,CE=CF.
又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.
∴CE=CF=r. ∴BE=24-r, AF=10-r.
∴AB=BD+ AD= BE+ AF=24-r+10-r =34-2r
而AB=26，∴34-2r=26
∴r=4，⊙O的半径为4.
解法2：连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
AB=AC2+BC2=102+242=26
∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，
∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC ,
设⊙O的半径为r
∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC
1 2BC•AC=
1
2
AB•OD+
1
2
BC•OE+
1
2
AC•OF
1 2BC•AC=
1
2
(AB+BC+AC)•r
∴ 24X10= (26+24+10)• r
∴r=4，⊙O的半径为4.
师追问：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们添加辅助线构建基本图形.从上面的解题过程中你体会到那些添加辅助线的方法？
引导学生发现：（1）分别连接圆心和切点.
（2）连接圆心和圆外一点.
设计意图：借助例题解析，引导学生领悟运用切线长定理解决问题的方法，以及常用的解题思路.
四、达标测试，检验新知.
1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm,过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为 cm.
2. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．
3.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点,∠ A =50°，点P是圆上异于B、C，且在
上的动点，则∠BPC的度数是（）
A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°
（1题）（2题）（3题）
4.已知：如图PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，C为⊙O上一点，过C点作⊙O的
切线，交PA,PB于D,E点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长.
(4题)
处理方式：学生独立完成1—3题，个别学生回答，简要说明思路.
第4题，要求学生写出解题过程.师巡回辅导.
设计意图：学生通过检测练习，加深对知识巩固，提高学生的解题能力.
五、回顾反思，共同进步
这节课你在知识方面有哪些收获？
在学习方法上，你学会了什么？
你还有什么疑惑？
你想进一步探究的问题是什么？
处理方式：给学生一定的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：以“回顾反思”的方式让学生总结本节课的收获，使学生养成梳理学习内容、
思想、方法、思路形成知识体系的习惯.
六、布置作业，课外巩固
课本习题P96习题3.9 1， 2, 3，
板书设计
3.7切线长定理
图1
图2
《切线长定理》 ◆模式介绍 “探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用． 探究式教学通常包括以下五个教学环节： 创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高 ◆设计说明 首先通过问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”；问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备；问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容；问题5进一步利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．最后通过例、习题的巩固，突出圆的切线长定理的运用． ◆教材分析 本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第7节《切线长定理》的教学内容，本节课是在学生学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出的，使学生的直观操作与逻辑推理有机的结合在一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性．切线长定理为证明线段，角相等，弧相等，线段的垂直关系等问题提供了理论依据．本节知识属于选学内容． ◆教学目标 【知识与能力目标】 1、了解切线长的概念； 2、探索并证明切线长定理． 【过程与方法】 探索并证明切线长定理，发展推理能力． 【情感态度与价值观】 通过轴对称的性质证明切线长定理的过程，让学生感受数学知识的美感．
《3.7切线长定理》教案 教学目标： 1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系. 2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力. 3．应用切线长定理进行相关的计算和证明. 教学重、难点： 重点：切线长定理及推论. 难点：应用切线长定理解决问题 教学过程： 一、知识回顾，引入新课 活动内容： 前面认识了圆的切线的性质和判定定理，并知道过⊙O上任一点A只能作一条切线,那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进入今天的课堂学习. 1.根据条件画出图形 已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法? P 处理方式：
学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法. 最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线. 设计意图： 在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的性质和判定，为下面的学习做好经验和事实铺垫. 二、合作探究，感悟新知 活动内容：认识切线长 如图1，是我们所画的图形，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B 是切点，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 图1 问题1：切线长是如何定义的？ 问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别
和联系？ 处理方式： 问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示) 问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示) 设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系. 活动内容：探索切线长定理 问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？ 问题3：如何证明你的猜想？ 处理方式： 问题1学生直接判断. 问题2当学生回答PA=PB、∠POA=∠POB时，师关注学生是
3.7切线长定理 【教学内容】切线长定理 【教学目标】 知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题； 过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。从而发现事物之间的相互联系。 【教学重难点】 重点：切线长定理及其应用。 难点：切线长定理及其应用 【导学过程】 【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？ 2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】 过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、 经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。 注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量， 而切线长是线段， 度量. 探究二： 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言： PA PB 、是⊙O 的两条切线 _____________,________________ . （2）如何证明切线长定理呢？ 已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明： （3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形. （图2） A B O A B O
《切线长定理》教案 课题：§6.10切线长定理 1、教学目标： （1）、知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。 （2）、能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 （3）、素质目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 （4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2、教学重点：理解切线长定理 3、教学难点：应用切线长定理解决问题 4、教学方法： 教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成本节课的教学。 5、课型：综合课 6、教具： 多媒体计算机、自制圆半径测量仪、悠悠球 7、学具： 刻度尺2把、量角器、圆规、水杯、强力胶 8、教学实施过程：
教学 过程 教学内容师生相互交往设计意图 一、 激发情趣导入新课 同学们，请看这是什么玩具？（悠悠球）对，这 是大家非常喜爱的一种玩具。（教师演示一次）可是， 大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包含 着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下它的构 造。（拆开球，出示球的剖面）这是悠悠球在转动的一 瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（球 的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可 抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？ （两圆为同心圆，线段所在直线和小圆相切）[在 这两问中，如果学生想不到球的整体时，这个圆可以 不提] 线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？（一个 是切点在小圆上，一个在小圆外） 我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段 的长度。在几何中，我们把满足上述特征的线段的长 叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的 有关知识。 教师出示同学们熟 悉并且喜爱的玩具之后 连续几问转入正题。 学生看到玩具眼睛 一亮，注意力被吸引， 想到老师为什么会在课 堂上拿出悠悠球，一时 兴致勃勃。当老师话锋 一转，步入正题时，他 们的兴致也随之而来， 带着强烈的好奇心思考 老师提出的问题。 此时教师又引导学 生说出线段的特征，不 失时机地引入新课，板 书课题。 吸引学 生的注意 力，激发学 生的求知 欲，同时也 使学生意识 到数学知识 广泛存在于 日常生活之 中。 二、合乎情理探索发现 （一）、切线长定义 1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点 和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。 （线段的长叫做切线长） （2）定义中的“线段”具有什么特征？ ①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个 是圆外已知点。 3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O 相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段 的长来表示？（线段PA） C 图1 图2 （2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点 A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来 表示？（线段PA或线段PB） （3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三 条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段 最多可以有几条？为什么？ （4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的 线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某 种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索 问题1，从而进入定理教学。 教师在板书定义 之后，通过对话交往， 引导学生把对概念的感 性认识上升到理性认 识，然后在图形中进行 识别，从而认识概念的 本质特征，理解概念的 外延。在对话中，教师 以民主的精神、平等的 作风、宽容的态度、真 挚的爱心和悦纳的情怀 对待学生，在相互倾听、 接受和共享中获得知 识，使教学相长。 此处通过学生思 考得出结论，再次加深 学生对概念的理解，也 使学生了解切线长与切 线的关系，同时由这个 结论教师适时引出探索 问题1 使学生 了解切线长 的定义，并 能在具体的 图形中把它 们识别出 来。 培养学 生合情推理 能力、语言 表达能力。 P O A B A P O
切线长定理 教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想， 熟悉用代数的方法解几何题。 教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程： 一、复习引入： 1．切线的判定定理和性质定理． 2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 （1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。 OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？ 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆
心的连线平分两条切线的夹角． （2）几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO． 证明： 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3、三角形的内切圆 思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段 （2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____ 例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且 AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S△ABC=1810,求⊙O的半径。 三、巩固练习 1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6，则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
24.2.2 第3课时切线长定理 教学目标 一、根本目标 【知识与技能】 1．了解切线长的概念，并理解切线长定理． 2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆． 3．理解和灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识开展解决实际问题的能力． 【过程与方法】 经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想． 【情感态度与价值观】 了解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 二、重难点目标 【教学重点】：切线长定理． 【教学难点】：应用切线长定理解决问题． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习． 【3 min反应】 1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间线段的长叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角． 3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，假设P A＝4，则PB＝__4__. 4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆． 5．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__， 它到三边的距离__相等__. 环节2合作探究，解决问题 【活动1】小组讨论(师生对学) 【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________. 【互动探索】(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些线段相等？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？ 【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.
“切线长定理”教学设计 一、教材分析 本节课是九年级下册第三章第7节的内容，是选学内容，本节课之前已经学习如何过圆上一点画圆的切线，三角形的内切圆，本节课主要学习如何过圆外一点画圆的两条切线，了解切线长的定义，理解切线长定理，该定理是一组线段的相等，为数学问题的解决提供相应的思考思路. 二、学生知识状况分析 学生已学习了直线和圆的位置关系，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆，在这些知识的基础上，学生具备学习本节课的基础. 三、教学目标 1.学生会过圆外一点画圆的两条切线，了解切线长定义理解并掌握切线长定理. 2.会利用切线长定理解决问题. 四、教学重难点 1．教学重点：掌握切线长定理. 2．教学难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 五、教学方法问题探究式教学法 六、教学准备多媒体课件、预习提纲 七、教学过程设计分析 一、新课引入-画一画 问题1：如图1，如果点P是圆外一点，如何过点P作该圆的切线呢？ 图1 问题2：如图2,过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？
图2 活动目的：学生回顾过圆上一点画圆的切线，延伸到过圆外一点画圆的切线，在这过程中，学生会发现过圆外一点可以画圆的两条切线，这个结论的获得，可以借助三角板，可以建立在自己已有的认知上. 二、新知探究—切线长定义 1.切线长的定义： 板书：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．如图：即线段AP，BP的长就是切线长. 2.切线长与切线的区别在哪里？ 图3 3.折一折 如图4,P A,PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 图4
切线长定理 九年级数学教案 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的 学习 兴趣，调动学生的 学习 积极性，树立科学的 学习 态度． 教学重点 : 切线长定理是 教学重点 教学难点
: 切线长定理的灵活运用是 教学难点 教学过程 设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、 切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的 切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．
2.2切线长定理 学习目标1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明 3、会作已知三角形的内切圆 重点掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算和证明 难点学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想 学习过程知识准备 1.三角形的外心： 它是的交点 2.角平分线的性质定理： 3.角平分线的判定定理： 4.切线的性质定理： 5.切线的判定方法： 一、自学梳理（阅读教材P44例1前面部分） 二、合作解疑（请你合上书，完成导学稿内容） 1、通过自学教材P44页的探究你知道什么是切线长吗？切 线长和切线有区别吗？区别在哪里？ 2、通过自学教材P44页的探究可得切线长定理：过圆外一 点所作的圆的两条切线长 .
叫做圆的_________，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的_________。 4、通过自学教材P44页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明： 5、已知PA，PB切⊙O于A，B。 （1）（2） （3）（4） 图（1）中，有什么结论？ 图（2）中，连结AB，增加了什么结论？ 图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？ 图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？ 四、典型精析： 例1：如图，PA，PB是⊙O的切线， A，B为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时， 求AP的长．
五、巩固练习 1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点， BC是直径。求证：AC∥OP。 2、已知，如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC＝105°，∠ACB ＝90°， AB＝20cm，求：BC、AC。 六、拓展提升： 例2：如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm,求AF,BD,CE的长. 变式： 如图，把三角形改为“直角三角形”，已知AC=13cm，AB=5cm，求内切圆的半径 E D F O A C B
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．（重点） 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．（难点） 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．（重点，难点） 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个面积最大的圆形花园，请你设计一个建 筑方案． 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、 F ，切点C 在AB ︵上．若P A 长为2，则△PEF 的周长是________． 解析：∵PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，∴PA ＝PB .∵⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于 点E 、F ，切点为C ，∴EA ＝EC ，CF ＝BF ，∴△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋AE )＋(PF ＋BF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 方法总结：本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF 的周长 =P A +PB . 【类型二】利用切线长定理求角的度数 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝ 70°，那么∠OP A 的度数是________度． 解析：如图，连接OA 、OB,OP .∵P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥P A ，
OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－ ∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.由切线长定理可知∠OP A＝1 2 ∠APB＝ 20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到PO平分∠APB. 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OP A为直角三角形，从而在Rt△OP A中解直角三角形易求得半径. 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠P AQ的平分线，即∠P AO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠P AO＋∠QAO＋∠BAC ＝180°，∴∠P AO＝∠QAO＝60°.在Rt△OP A中，P A＝5，∠POA＝30°，∴OP＝3 5(cm)，即铁环的半径为3 5cm. 方法总结：解决此类问题时常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形来解决有关问题. 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线、底边高、角平分线的交点．∴∠OCD ＝30°，OD⊥BC，∴CD＝1 2 BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾 股定理得OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋12＝(2OD)2，∴OD＝3 3.即⊙O的半径为 3 3 . 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线、底边高、角平分线的交点，它到三边的距离相等．
切线长定理 课程标准描述探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 考试大纲描述 教材内容分析本节课是一节选学内容，学生的要求较高 学生分析实验班学生的理论水平尚且足够，平行班的学生在学习本节内容的时候估计存在困难。 学习目标 1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题. 重点切线长定理的理解 难点切线长定理的应用 教学过程教师活动学生活动设计意图 （备注） 导教师用问题导入，引入新课题， 明确目标 （一）探究切线长的定义： 如下图，过⊙O外一点P， 画出⊙O的所有切线. 引出定义：过圆外一点，可 以作圆的______条切线，这点与 其中一个切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长. 学生思考，了解学习目标 导入新课 思教师出示导学提纲，提出学生自 学的明确要求，做好巡视检查， 做好小组评价 根据导学提纲阅读教材， 完成导学提纲的问题 跟踪训练：判断 1. 圆的切线长就是圆的 切线的长度.（） 2. 过任意一点总可以作 圆的两条切线.（） （三）探究切线长定 理： 如图，已知P A、PB 让学生认 真阅读教 材，培养自 学能力 A
是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言叙述为： ∵ ∴ 议教师巡视各组讨论情况，记载各 组的共性问题和突出问题，对小 组做好评价 小组长指导大家起立讨 论下列问题 利用群学， 达成“兵教 兵”的目的 展教师指导分组展示学习成果，教 师注意总结归纳相关问题，并做 好小组评价 典例解析： 例1：如图，P是⊙O外一点，PA、 PB分别和⊙O切于A、B两点， PA=PB=4cm， ∠P=40°，C是劣弧AB上任意一 点，过点C作⊙O的切线，分别 交PA、PB与 点D、E，试求：（1）△PDE的周 长；（2）∠DOE的度数. 2. 如图，P为⊙O外一点，PA、 PB是⊙O的两条切线，A、B是切 点，BC是直径. （1）求证：AC∥OP ︵ （2）如果∠APC=70°，求 AC 的度数 学生根据教师要求吧，分 组展示，可板书，也可口 述 检验学生自 学成果，为 教师的讲铺 垫
2.2切线长定理 1.了解切线长的定义,掌握切线长定理,并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中,进一步渗透方程的思想,熟悉用代数的方法解几何题。 2.经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 3.了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。 教学重点 切线长定理 教学难点 应用切线长定理解决问题 一、新课导入 同学们,请看这是什么玩具？（悠悠球）对,这是大家非常喜爱的一种玩具。（教师演示一次）可是,大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下它的构造。（拆开球,出示球的剖面）这是悠悠球在转动的一瞬间的剖面,从中你能抽象出什么样的数学图形？（球的整体和中心轴可分别抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？ （两圆为同心圆,线段所在直线和小圆相切）[在这两问中,如果学生想不到球的整体时,这个圆可以不提] 线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？（一个是切点在小圆上,一个在小圆外） 我们可以看出,球与手的距离就决定于这条线段的长度。在几何中,我们把满足上述特征的线段的长叫做点到圆的切线长,这节课我们就来研究切线长的有关知识。 二、探索新知 （一）、切线长定义 1、板书定义：在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2、剖析定义：（1）找出中心词,把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长） （2）定义中的“线段”具有什么特征？ ①在圆的切线上；②两个端点一个是切点,一个是圆外已知点。
《切线长定理》 教学设计 课题：浙教2011课标版九年级下册2.2《切线长定理》 教学目标： 情感态度与价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣和学习积极性，培养学生分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力．t 知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理； 过程与方法：通过对习题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 教学重点:切线长定理是教学重点 教学难点:切线长定理的灵活运用是教学难点 教具：自制教具、多媒体。 教学过程设计: （一）引入： 今天我们将认识切线家族中重要的一员——切线长。请同学们随我一起探索切线长的奥秘！（寻宝之旅） （二）观察、猜想、证明，形成定理 1、画一画 过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？ 找一名学生板演（注意分类讨论） 2.切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB的长叫做点P 到⊙O的切线长． 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3、折一折 将图形沿着OP所在的直线对折，发现了什么？ 4、猜想 引导学生直观判断，猜想图中有哪些重合（相等）的量？明确方向：我们今天主要对线段和角进行探究。(PA＝PB，∠OPA＝∠OPB)． 5、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确，需要证明。 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，引出遇切线连接与圆心和切点的辅助线。通过“HL”证明全等得到结论。 选一名学生口述证明过程。得到证明后引导学生自己总结定理内容。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 几何语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB 6、收获：（1）切线长的定义（2）常用辅助线：遇切线连圆心与切点（3）为我们证明线段相等、角相等提供了理论依据。（宝贝） 7、学以致用（试宝） 1.已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点且AP=4，∠APB=60°，则∠APO=( ),PB=( ) A
教学设计 切线长定理 教材分析： 这节课是北师大版九年级下册第三章第七节的内容，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，为我们证明线段、角、弧、垂直关系等提供了一个基本图形和证明依据，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。数学核心素养： 主要体现在对学生直观想象、逻辑推理方面的培养 数学思想或能力： 转化思想、方程思想、数形结合思想、用代数方法解决几何问题的思想，合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。教学目标： 1、知识与技能目标： 了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。 2、过程与方法目标： 经历添线、猜想、证明等数学活动过程，让学生体验到知识的生成、联系及转化过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 3、情感与态度目标： 了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点： 理解切线长定理 教学难点： 应用切线长定理解决问题 教法： 教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“大胆添线—提出猜想—推理验证—应用拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要把概念教学、定理教学、解题教学有机组合，完成本节课的教学。 学法： 研究性学习，学生在教师引导下，去思考、猜想、探索、讨论。 教学流程： 复习回顾总结方法，二、大胆添线猜想验证，三、学以致用自我检验，四、总结反思自我升华，五、完成作业自我巩固 教学过程：
2.2 切线长定理 1、教材分析 重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？ ∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 5、归纳： 把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流） 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB 于C
*3.7 切线长定理 1．理解切线长的定义；(重点) 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点 ) 一、情境导入 如图①，P A 为⊙O 的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO 经过圆心O ，所以PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A 重合的点为点B ，这里，OB 是⊙O 的一条半径，PB 是⊙O 的一条切线．图中P A 与PB 、∠APO 与∠BPO 有什么关系？ 二、合作探究 探究点：切线长定理 【类型一】 利用切线长定理求线段的长 如图，从⊙O 外一点P 引圆的两 条切线P A 、PB ，切点分别是点A 和点B ，如果∠APB ＝60°，线段P A ＝10，那么弦AB 的长是( ) A ．10 B ．12 C ．5 3 D ．10 3 解析：∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△P AB 是等边三角 形，∴AB ＝P A ＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是在圆中判断线 段相等的主要依据，经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】 利用切线长定理求角的度数 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切 点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A 的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA 、OB .∵P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠P AO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA ≌△POB ，∴∠OP A ＝1 2 ∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线， 可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
新修订初中数学教学教案 数学教案( Mathematics Lesson Plans ) 学校：_______________________ 年级：_______________________ 教师：_______________________ 本文档文字可以自由修改
九年级数学：切线长定理(教案示范) 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：及其应用．因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻
剖析的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 是教学重点 教学难点: 的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
中考数学几何复习第七章圆第19课时切线长定理教案 第一篇：中考数学几何复习第七章圆第19课时切线长定理教案第七章 切线长定理 教学目标： 1、使学生理解切线长定义． 2、使学生掌握切线长定理，并能初步运用．教学重点： 切线长定理，它在以后的证明中经常使用．教学难点： 切线长定理的归纳．学生在观察后可以叙述内容，但语言可能是不规范的．教学过程: 一、新课引入： 我们已经学习了圆的切线的性质，今天我们继续来学习圆的切线的其它性质． 经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？请同学们打开练习本画一画．学生动手画，教师巡视．当学生把可能的位置情况画完后，教师指导全班同学交流并得到结论：1．经过圆内已知点不能作圆的切线；2．经过圆上已知点可作圆的唯一一条切线；3．经过圆外一已知点可作圆的两条切线． 二、新课讲解： 观察从圆外一点所引圆的切线上，有一条线段，线段的端点一边是已知点，一边是切点．务必使学生清楚，我们是把这样的一条线段的长度定义为切线长．提醒学生注意，直线是没有长度的事实．然后让学生观察从圆外一点引圆的两条切线会产生什么样的结论？开始不要害怕学生的语言不简炼，教师最终指导学生把握“从”、“引”、“它们”、“连线平分”、“夹角”，完成切线长定理． 1．在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．练习一，已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6
厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．提示，如图7-66，连结OE，由切线的性质定理得Rt△POE，已知OE=3，OP=6，勾股定理求出PE后，再求∠1，然后2倍的∠1．练习二，如图7-67，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于e． (1)写出图中所有的垂直关系．(2)写出图中所有的全等三角形． 例1 P．119例1已知：如图7-68，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径． 求证：AC∥OP． 分析：欲证AC∥OP．题中已知BC为⊙O的直径，可想到CA⊥AB，若能证出OP⊥AB，问题便得到解决．可指导学生考虑切线长定理，证三角形PAB为等腰三角形，再根据“三线合一”的性质，证得OP⊥AB，证法参考教材P．119例1． 在证明AC∥OP时，除了上面的方法，还可以从角的相等关系来证．例2 P．119，圆外切四边形的两组对边的和相等． 已知：如图7-69，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O 分别相切于L、M、N，P．求证：AB+CD=AD+BC． 分析：这是本书中唯一在今后可做为定理使用的例题．首先教师指导学生根据文字命题正确地使用已知，求证的形式把命题具体化．然后指导学生完成证明，证明过程参照教材． 练习三，P．120中3．已知：如图7-70，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB 切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长． 分析：这是一道利用几何图形的性质，采用代数的解题方法的一道计算题．教学中教师要注意引导学生通过解三元一次方程组来得到切线长． 解：∵AB、AC分别切⊙O于F、E，∴AF=AE． 同理：BF=BD，CD=CE．设AF=x，BD=y，CE=z． 答：切线长AF=4厘米，BD=9厘米，CE=5厘米． 三、课堂小结：