切线长定理公式及证明
一、引言
在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。
二、切线长定理公式
设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示：
L = 2√(xd)
三、切线长定理的证明
为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。
1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。切线与半径垂直。
2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。
现在开始证明切线长定理。
证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。
由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。
由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。
根据勾股定理，可以得到：
BC^2 = BO^2 + OC^2
(2x)^2 = x^2 + d^2
4x^2 = x^2 + d^2
3x^2 = d^2
x^2 = d^2/3
x = √(d^2/3)
x = d/√3
再根据切线长公式可以得到：
L = 2√(xd)
L = 2√(d * d/√3)
L = 2√(d^2/√3)
L = 2 * d/√3
L = (2√3/3) * d
切线长定理得到证明。
四、应用举例
切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。
解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到：
L = (2√3/3) * d
L = (2√3/3) * 10
L ≈ 11.54 cm
所以，切线的长度约为11.54 cm。
五、总结
切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。
六、参考文献
[1] "切线长定理"，百度百科。
[2] "圆的切线与切线长定理"，知乎。
切线证明法 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线． 思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º． ∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证： CD 是⊙O 的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也 就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线 的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可． 图1 图2
郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦定理⊙O中，AB、 CD为弦，交 于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD， 证： △APC∽△DP B.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为 直径，CD⊥A B 于P. PC2＝ PA·PB. 用相交弦定 理. 切割线定理⊙O中，PT切 ⊙O于T，割 线PB交⊙O 于A PT2＝ PA·PB 连结TA、TB， 证： △PTB∽△PA T 切割线定理推论PB、PD为⊙O 的两条割线， 交⊙O于A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切 ⊙O于T，用 两次切割线 定理 圆幂定理⊙O中，割线 PB交⊙O于 A，CD为弦 P'C·P'D ＝r2－ OP'2 PA·PB＝ OP2－r2 r为⊙O的 半径 延长P'O交 ⊙O于M，延 长OP'交⊙O 于N，用相交 弦定理证；过 P作切线用切 割线定理勾 股定理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常
切线长定理及其应用 知识点一 切线长定义及切线长定理 1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 注意切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB. 推论： （1）△PAB 是等腰三角形； （2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ； （3）弧AM=弧BM ； （4）在Rt OAP ?和Rt OBP ?中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论； 如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==?==?==? （5）图中全等的三角形有 对，分别是： 题型一 切线长定理的直接应用 【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、 F ，求这两条切线的夹角及切线长. 【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________. 【过关练习】 1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长. e于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O △APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.
圆的切线长定理及其推论 一、引言 圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。 二、圆的切线长定理 圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。 证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有： kx₀+b=y₀ x₀²+y₀²=r² 将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到： x²+(kx+b)²=r² 化简得： (1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0 由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有： Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0 化简得：
(k²+1)r²=b² 解得： b=r√(k²+1) 由直线方程y=kx+b，可得直线长度为： l=√(1+k²) 由此可得切线的长度为： 2l=2√(1+k²) 即圆的切线长定理成立。 三、圆的切线长定理的推论 根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论： 推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。 证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有： kx₀+b=y₀ x₀²+y₀²=r² 将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到： x²+(kx+b)²=r² 化简得： (1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0 由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²
切线长定理公式及证明 一、引言 在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。 二、切线长定理公式 设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示： L = 2√(xd) 三、切线长定理的证明 为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。 1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。切线与半径垂直。 2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。 现在开始证明切线长定理。 证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。
由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。 由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。 根据勾股定理，可以得到： BC^2 = BO^2 + OC^2 (2x)^2 = x^2 + d^2 4x^2 = x^2 + d^2 3x^2 = d^2 x^2 = d^2/3 x = √(d^2/3) x = d/√3 再根据切线长公式可以得到： L = 2√(xd) L = 2√(d * d/√3) L = 2√(d^2/√3) L = 2 * d/√3 L = (2√3/3) * d 切线长定理得到证明。 四、应用举例
切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。 解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到： L = (2√3/3) * d L = (2√3/3) * 10 L ≈ 11.54 cm 所以，切线的长度约为11.54 cm。 五、总结 切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。 六、参考文献 [1] "切线长定理"，百度百科。 [2] "圆的切线与切线长定理"，知乎。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . 用相交弦定理.
切割 线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
圆的切线长定理 圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。 一、圆的切线长定理的表述 圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。即PA * PB = PT^2，其中T是切点。 二、圆的切线长定理的证明 要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。 连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。由正弦定理可得： sin∠OAT = r / OT sin∠OBT = r / OT 又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，
所以sin∠OAT = cos∠OBT。 将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到： r * r = PA * PB 因此，圆的切线长定理得证。 三、圆的切线长定理的应用 圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。 2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。 3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。 4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。 圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交
切线长定理及应用 切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。 一、切线长定理的概念 切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。 二、切线长定理的证明 为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。 三、切线长定理的应用 切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。 2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体
表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。 3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。 4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。 5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。 总结： 切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。
切线的证明方法和技巧 切线的证明方法和技巧主要有以下几种: 1. 基本几何证明方法:利用平行、同位角、内外角、角度相等、线段长度相等等基本几何定理,证明切线与被切圆弧的公共角为60度,进而证明切线与被切圆弧切于点。 2. 利用余弦定理证明切线:利用余弦定理,将圆周角转化为角度,进而证明切线与被切圆弧切于点。具体步骤为:设切点为A,被切圆弧为AB,切线为CD,则有: CD · AB = CA · AB + CS · CA,其中 CS 为切点到圆弧中心的连线与圆弧的夹角。 将圆周角转化为角度,则有: CD · AB = |CA| · (180° / 2) - CS · CA = 180° / 2 - CS · (CA / |CA|) 化简得: CD · AB = CS |AB| - CS · AB = CS (AB / |AB|) - CS = CS / |AB| = (CD / |CD|) · AB 因此,CD · AB · ||CD| = CS · ||CD| · AB = CS · AB = (CD / |CD|) · AB,即切线与被切圆弧切于点。 3. 利用相似三角形证明切线:利用相似三角形的性质,证明切线与被切圆弧的公共弦长为半径,进而证明切线与被切圆弧切于点。 4. 利用圆的性质证明切线:利用圆的性质,证明切线与被切圆弧切于点的方法主要依赖于圆的性质,如半径、直径、对称性、同位角、
内角和等。具体步骤为: (1)设切点为O,被切圆弧为AB,已知弦CO与圆弧AB的公共弦心角为θ。 (2)根据圆的性质,可得弦CO与圆弧AB同弧,即CO = AB / 2,进而可得半径CO = (AB / 2)。 (3)根据圆周角定理,可得角度θ = 60°。 (4)由(2)和(3)可得,弦CO / CO = |AB| / (AB / 2),即CO / CO = |AB| / AB,即弦CO与圆弧AB相似。 (5)根据相似三角形的性质,可得弦CO与圆弧AB的公共弦长为CO / CO = |AB| / AB,进而可得切线与被切圆弧切于点。
割线长定理证明 设$P$是曲线$y=f(x)$上某点，其切线的斜率为$k$，则曲线上另一点$Q$到点$P$所在的割线长$L$为： $$ L=\frac{y_q-y_p}{k}+\Delta x $$。 其中 $\Delta x$ 是点 $P$ 到点 $Q$ 的横坐标差。 由于 $Q$ 点在曲线上，所以有 $y_Q = f(x_Q)$。同时，$Q$ 点在垂线上所以有 $y_Q - y_P = k \cdot QN$，即： $$ QN = \frac{y_Q - y_P}{k} $$。 根据勾股定理，有： $$ L^2 = QM^2 + QN^2 = (f(x_Q) - y_P)^2 + \left(\frac{y_Q - y_P}{k}\right)^2 $$。 注意到 $x_Q = x_P + \Delta x$，又因为 $P$ 点在曲线上，有 $y_P = f(x_P)$。代入上式，整理得到： $$ L^2 = (\Delta x)^2 + \left(f(x_P) - f(x_P + \Delta x)\right)^2 + \left(\frac{f(x_P + \Delta x) - f(x_P)}{k}\right)^2 $$。 当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，$\frac{f(x_P + \Delta x) - f(x_P)}{\Delta x}$ 趋近于斜率 $k$。因此，上式右侧第三项可以用$k$ 替换，得到： $$ L^2 = (\Delta x)^2 + \left(f(x_P) - f(x_P + \Delta x)\right)^2 + \frac{(f(x_P + \Delta x) - f(x_P))^2}{k^2} $$。
切线定理的证明方法 切线定理是一种基本的数学定理，用于研究曲线在某一点处的切线。一个点处的切线是一条与曲线相切的铅直直线，它的斜率等于该点的导数。切线定理可以用来求解各种曲线的切线，例如圆、椭圆、双曲线和抛物线等等。 切线定理的证明方法有多种，以下是其中一种证明方法： 假设有一条曲线y=f(x)，它在点P(x0,y0)处有切线L。我们可以将切线L 写成以下形式：y-y0=m(x-x0)，其中m 是切线的斜率。在点P(x0,y0)处，曲线y=f(x) 与切线L 相切，因此它们在该点处有一个公共切点。这个公共切点的坐标为(x0,y0)，而且它在曲线y=f(x) 上，因此我们可以将其表示为y=f(x0)。 接着，我们考虑曲线y=f(x) 在点P(x0,y0) 处的导数f'(x0)，它代表了曲线在该点处的切线的斜率。我们可以将导数表示为一个极限： f'(x0)=lim(delta->0)(f(x0+delta)-f(x0))/delta。将这个极限代入切线方程中，我们可以得到以下式子： y-y0=(lim(delta->0)(f(x0+delta)-f(x0))/delta)(x-x0) 现在，我们将delta 乘到等号的右边，然后将其去掉，得到以下式子： y-y0=(f(x0+delta)-f(x0))(x-x0)/delta
在这个式子的分母中取极限，我们可以得到delta 的值趋近于0，因此式子变成： y-y0=lim(delta->0)(f(x0+delta)-f(x0))(x-x0)/delta 现在，我们将导数代入公式中，得到： y-y0=f'(x0)(x-x0) 由此可知，切线L 的方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，这也是切线定理的证明。
切线长定理逐字稿 切线长定理是指在任一曲线上，任一点的切线的斜率与曲线的斜率的乘积等于曲线的弧长。 性质： 1、曲线的曲线弧长与点的切线斜率成正比； 2、某点的切线斜率与曲线的曲线弧长之差的绝对值最小； 3、曲线的曲线弧长与曲线的斜率成正比； 4、某点的切线斜率与曲线的曲线弧长之和的绝对值最大； 5、某点的切线斜率越大，则该点弧长与曲线斜率成正比的关系越紧密； 6、某点的切线斜率越小，则该点弧长与曲线斜率成正比的关系越松散。 应用： 1、切线长定理用于计算弧线和曲线的曲线长度，当知道切线的斜率时，可以计算出曲线的曲线长度； 2、切线长定理也可以用来判断不同的函数的性质，以及求解几何函数的特征； 3、切线长定理也可以用于最优路径问题，在建立求解曲线最优路径的具体方案时，可以利用切线长定理对路径进行优化； 4、切线长定理也可用于积分的求解，求解不同曲线的面积，当知道切线的斜率时，可以使用此定理计算曲线的面积。 证明：
假设曲线是由x=(x,y§)的函数表示的曲线，考虑曲线上的关于曲线的某一点P，取准点O和P之间的短线段OP，假设其切线斜率为K，曲线的斜率为k，那么在点P处我们可以构造一条和切线在P点重合的矢量，用差分公式表示为 begin{equation}Delta x=(Delta x,Delta y)=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=KcdotDelta send{equation} 将差分公式代入到函数中并做微积分，便得到 begin{equation}int_{P_{1}}^{P_{2}}KDelta sds=int_{P_{1}}^{P_{2}}left(f^{prime}(x)right)Delta xdxend{equation} 即 begin{equation}Kcdotint_{P_{1}}^{P_{2}}Delta sds=int_{P_{1}}^{P_{2}}left(f^{prime}(x)right)Delta xdxend{equation} 由上述公式可以知道，切线斜率K和曲线斜率k之间的乘积等于曲线的曲线弧长，即 begin{equation}Kcdot k=int_{P_{1}}^{P_{2}}Delta sdsend{equation} 这就是切线长定理的证明。 结论： 由上述推导我们可以得出，在任一曲线上，任一点的切线的斜率与曲线的斜率的乘积等于曲线的弧长，即切线长定理成立。
切割线定理 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB（切割线定理） 推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：TC²=PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT^2=PA·PB=PC·PD 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB 证明：连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则:PB：PT=PT：AP 即：PT^2=PB·PA 切线
曲线切线和法线的定义 [编辑本段] 曲线切线和法线的定义 P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点T并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；在图5－26中，PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线．[编辑本段] 圆的切线的性质和定理 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。 [编辑本段] 切线性质 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的性质主要有五个： (1)切线和圆只有一个公共点； (2)切线和圆心的距离等于圆的半径； (3)切线垂直于经过切点的半径； (4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点； (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心． (6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项 其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由相似三角形推得的，也就是切割线定理
切线长定理的三个推论 切线长定理，也称斯蒂芬定理，指出对于任意直角三角形中的斜边上一点，过该点的斜边两侧的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、弧正弦、弧余弦、弧正切、弧余切的值之间均存在一个固定的关系，即斯蒂芬定理的公式。 斯蒂芬定理的公式：设一直角三角形的直角边分别为a、b，斜边长度为c，过斜边上一点P作垂线交直角边分别于A、B，则有： - 正弦定理：AP/AC = BP/BC = sinC - 余弦定理：AP/AB = cosC，BP/AB = cosC - 正切定理：AP/PB = tanC，PB/AP = cotC - 正割定理：AC/AP = secC，BC/BP = secC - 余割定理：AB/AP = cscC，AB/BP = cscC - 弧正弦定理：AP/c = arcsin(sinC)，BP/c = arcsin(sinC) - 弧余弦定理：AP/c = arccos(cosC)，BP/c = arccos(cosC) - 弧正切定理：AP/c = arctan(tanC)，BP/c = arctan(cotC) - 弧余切定理：AP/c = arcctan(cotC)，BP/c = arcctan(tanC) 由此，可以得到以下三个推论：
一、相反角的正弦、余弦、正切、余切相等 斯蒂芬定理展示的是一条直角三角形在斜边上选取任意一点P，关于直角点所构成的2个直角三角形的正弦、余弦、正切、余切相等，但是因为斜边的对边和邻边是对称的，所以这些三角函数关于斜边点P对称，也就是说对于三角形外角或内角$c$的补角或余角$\\hat{c} = 90 - c$，函数值是相等的，即： - sin(c) = sin(90-c) - cos(c) = cos(90-c) - tan(c) = cot(90-c) - cot(c) = tan(90-c) - sec(c) = csc(90-c) - csc(c) = sec(90-c) 二、余割等于弧正弦，弧余切等于正切 斯蒂芬定理既可以写成三角函数形式，还可以写成弧度形式。如由正弦定理和弧度公式可得： - AP/c = arcsin(sinC) 同样地，由正切定理和弧度公式也可得： - AP/c = arctan(tanC)
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上 ∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理） 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A ∴l ⊥OA（切线性质定理） 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理） 证明：连结OA、OB ∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴OA⊥AP、OB⊥PB ∴∠OAP=∠OBP=90°
在△OPA和△OPB中： ∠OAP=∠OBP OP=OP OA=OB=r ∴△OPA≌△OPB（HL） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 弦切角概念 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； （2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； （3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质． 弦切角定理 弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC] 几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理） 推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ ∴∠1=∠2 证明：作AD⊥EC ∵∠ADC=90° ∴∠ACD+∠CAD=90° ∵ED与⊙O切于点C ∴OC⊥ED
切线长定理及应用 切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。下面我将详细解释切线长定理及其应用。 首先，我们来证明切线长定理。考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。我们需要证明切线长AP等于切线长BP。 假设圆C的半径为r，圆心为O。连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。 根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。 另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。 因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。 根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。又因为∠OCA =
∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。 考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。 将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。 注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。 将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。 现在，考虑三角形OAB。我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。因此，根据等腰直角三角形的定义，∠OBA = ∠OAB = 45度，所以三角形OAB 是等腰直角三角形。 注意到AP是直线，而∠OBA = 45度是等腰直角三角形OAB的顶角，所以∠OBA = ∠PAB = 45度（根据等腰直角三角形顶角的性质）。 现在，我们注意到∠APB是一个外角，由于AB为切线，∠APB等于切线与弧的
一、切线长定理： 1．切线长概念： 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 二、弦切角定理： 1．弦切角概念： 理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D， 已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数 如图，△ABC中,∠C =90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r. 如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
一、选择题 1．如图，P是⊙O外一点，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA.PB于D.E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为。 2.如图，AB.AC与⊙O相切于B.C∠A=50°，点P是圆上异于B.C的一动点，则∠BPC的度数是。 3．如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为。 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 4题图5题图6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18
1 与切线有关的定理 一、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． l A l A l 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． P
2 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 O F E D C B A C B A C B A c b a c b a （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12 p a b c = ++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12 r a b c =+- cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长