切线长定理和三角形的内切圆
知识点1切线长定理
1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()
图24-2-36
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是()
图24-2-37
A.6√3
B.3√3
C.6
D.3
3.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是()
图24-2-38
A.7.5 cm
B.10 cm
C.12.5 cm
D.15 cm
4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为()
A.50°
B.62°
C.66°
D.70°
图24-2-39图24-2-40
5.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为()
A.9
B.7
C.11
D.8
6.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC.
求证:AC=BC.
图24-2-41
7.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E.
(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.
(2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.
图24-2-42
知识点2三角形的内切圆与内心
8.三角形的内心是 ()
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条中线的交点
9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是()
图24-2-43
A.h=R+r
B.R=2r
C.r=√3
4a D.R=√3
3
a
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何.”其意思是:“如图24-2-44,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少.”其结果为()
图24-2-44
A.3步
B.5步
C.6步
D.8步
11.如图24-2-45,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=50°,求∠A 的度数.
图24-2-45
12.如图24-2-46,在△ABC中,边AC上有一点D满足CD=2AD,点O是△BDC的内心,E,F分别为☉O与边BD,CD的切点,已知BD=BC.
(1)求证:①AE⊥EF;
②AE∥DO.
(2)若AC=6,☉O的半径为1,求AE的长.
图24-2-46
能力拓展提升
13.联想三角形内心的概念,我们可引出如下概念.
定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.
举例:如图24-2-47①,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.
应用:如图②,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC BP.求证:点P是△ABC的内心.
于点E,且PF=1
2
图24-2-47
14.联想三角形外心的概念,我们可引出如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例如:如图24-2-48①,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
AB,连接AP,BP,求∠APB (1)如图②,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=1
2
的度数;
(2)如图③,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA 的长.
图24-2-48
典题讲评与答案详析
1.B
2.A
3.D
4.D[解析] ∵∠P=40°,
∴∠PCD+∠PDC=140°.
∵PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,
∴AC=CE,DE=DB,
∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE.
∵∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠PAE,
∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠PBE,
∴∠PCD+∠PDC=2(∠PAE+∠PBE)=140°, ∴∠PAE+∠PBE=70°.
5.C
6.证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC,∴AC=BC. 7.解:(1)∠APB=2∠BAC.
理由:∵PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO,
∴∠PAB=∠PBA.
∵∠APO+∠BPO+∠PAB+∠PBA=180°,
∴∠APO+∠PAB=90°.
∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,
即∠PAB+∠BAC=90°,
∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠BAC.
(2)存在.
∵PA,PB为☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴当OA⊥OB时,四边形PAOB为矩形.
又∵OA=OB,∴四边形PAOB为正方形,
∴PO=√2OA=4√2.
这样的点P 有无数个,当点P 在以点O 为圆心,4√2为半径的圆上时,四边形PAOB 为正方形. 8.B
9.C [解析] 如图.∵△ABC 是等边三角形,
∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆,设圆心为O.
过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD 过点O ,且D 为△ABC 的内切圆与边BC 的切点,设△ABC 的内切圆与边AC 的切点为E ,连接OE ,则OE ⊥AC. 由题意,得OE=r ,AO=R ,AD=h ,
∴h=R+r ,故A 正确; ∵AD ⊥BC ,
∴∠DAC=1
2∠BAC=1
2×60°=30°.
在Rt △AOE 中,AO=2OE ,
∴R=2r ,故B 正确; ∵AB=AC=BC=a , ∴AE=1
2AC=1
2a.
在Rt △AOE 中,由勾股定理,得AE 2+OE 2=AO 2, 即
1
2
a 2+r 2=(2r )2,
1
2
a 2+
1
2
R 2=R 2,
∴r=
√3a 6,R=√3
3
a ,故C 错误,D 正确.
故选C .
10.C [解析] 如图,设BC=8,AC=15, 则AB=√82+152=17.
∵S △ABC =12AC ·BC=12AB ·r+12AC ·r+12BC ·r=1
2r (AB+AC+BC ),
∴r=AC ·BC
AB+AC+BC =8×15
8+15+17=3.
故该直角三角形能容纳的圆形的直径是6步. 11.解:连接ID ,IF ,如图.
∵∠DEF=50°,
∵∠DIF=2∠DEF=100°.
∵☉I 是△ABC 的内切圆,与AB ,CA 分别相切于点D ,F ,
∴ID ⊥AB ,IF ⊥AC ,
∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A+∠DIF=180°, ∴∠A=180°-100°=80°.
12.解:(1)证明:①如图,连接OB ,OF.
∵点O 是△BDC 的内心,∴BO 平分∠DBC. ∵BD=BC ,∴OB ⊥CD.
∵CD 与☉O 相切于点F ,∴OF ⊥CD , ∴B ,O ,F 三点共线,∴DF=CF.
又∵CD=2AD ,∴AD=DF.
∵BD 与☉O 相切,
∴由切线长定理可知DE=DF , ∴AD=DE=DF ,
∴∠DAE=∠DEA ,∠DEF=∠DFE. ∵∠DAE+∠DEA+∠DEF+∠DFE=180°, ∴∠DEA+∠DEF=90°, ∴∠AEF=90°,∴AE ⊥EF.
②∵点O 是△BDC 的内心,∴DO 平分∠BDC ,
∴∠EDF=2∠EDO.
由①知∠DAE=∠DEA. 又∵∠EDF=∠DAE+∠DEA ,
∴2∠EDO=2∠DEA ,∴∠EDO=∠DEA , ∴AE ∥DO.
(2)如图,设DO 与EF 相交于点G. 由(1)可知DE=DF ,DO 平分∠EDF ,
∴DO ⊥EF ,∴EF=2FG. ∵AD=DF=CF ,AC=6,∴DF=2. ∵OF=1,∴由勾股定理可求得OD=√5. ∵1
2DF ·OF=1
2OD ·FG ,
即1
2×2×1=1
2×√5FG ,∴FG=
2√5
5
,
∴EF=2FG=
4√5
5
. ∵AF=2DF=4,∠AEF=90°, ∴由勾股定理可求得
AE=√AF 2-EF 2=√42-(4√55)2
=8√55.
13.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=60°.
∵BF 为△ABC 的角平分线, ∴∠PBE=30°,∴PE=1
2
BP.
∵BF 是等边三角形ABC 的角平分线, ∴BF ⊥AC.
∵点P 是△ABC 的准内心,PD ⊥AB ,PE ⊥BC ,PF=1
2BP , ∴PE=PD=PF ,∴点P 是△ABC 的内心.
14.解:(1)①若PB=PC ,则∠PCB=∠PBC.
∵CD 为等边三角形ABC 的高, ∴AD=BD ,∠PCB=30°, ∴∠PBD=∠PBC=∠PCB=30°,
∴PD=√3
3BD=√3
6AB ,与已知PD=1
2AB 矛盾,∴PB ≠PC ;
②若PA=PC ,同理可推出矛盾,∴PA ≠PC ; ③若PA=PB ,由PD=1
2AB ,
得PD=BD=AD.
∵∠ADP=∠BDP=90°,
∴∠PAB=∠APD=∠PBA=∠BPD=45°, ∴∠APB=90°.
综上可得,∠APB=90°. (2)①若PB=PA ,连接PB. 设PA=x ,则PB=x.
∵∠C=90°,AB=13,BC=5, ∴AC=12,∴PC=12-x.
在Rt △BCP 中,有x 2=(12-x )2+52,
解得x=169
24,即PA=169
24
.
②若PA=PC,则PA=6.
③若PC=PB,由图知,此种情况不存在.
综上可得,PA的长为169
24
或6.
切线长定理和三角形的内切圆 知识点1切线长定理 1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为() 图24-2-36 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是() 图24-2-37 A.6√3 B.3√3 C.6 D.3 3.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是() 图24-2-38 A.7.5 cm B.10 cm C.12.5 cm D.15 cm 4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为() A.50° B.62° C.66° D.70° 图24-2-39图24-2-40
5.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为() A.9 B.7 C.11 D.8 6.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC. 求证:AC=BC. 图24-2-41 7.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E. (1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由. (2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由. 图24-2-42 知识点2三角形的内切圆与内心 8.三角形的内心是 () A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.三条中线的交点 9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是() 图24-2-43
《切线长定理的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习 （专题分类练习+详细解析） 题型一：切线长定理与三角形问题 1. 如图所示,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是( ) A.PA=PB B.∠APO=20° C.∠OBP=70° D.∠AOP=70° 2. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为( ) A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1 3. 如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB 上,若BG=√2-1,则△ABC的周长为 . 4.如图,PA,PB分别切圆O于点A,B,并与圆O的切线CD,分别相交于点D,C,已知△PCD的周长等于10cm,求PA.
1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( ) A.32 B.34 C.36 D.38 2. 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DC⊥AD,DC⊥BC,以CD为直径的半圆O与AD,BC 以及AB均相切,切点分别是点D,C,E.若半圆O的半径为2,AB长为5,则该四边形的周长是( ) A.9 B.10 C.12 D.14 3. 如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm. (1)求证:BO⊥CO. (2)求BE和CG的长.
1. 在直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-2x+√5与☉O的位置关系 是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 2. 如图,在平面直角坐标系中,☉P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2√ 3.若将☉P向左平移,则☉P与y轴相切时点P的坐标为 _. 3. (1)已知,如图1,△ABC的周长为l,面积为S,其内切圆圆心为O,半径为r,求 . 证:r=2S l (2)已知,如图2,△ABC中,A,B,C三点的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),C(0,4).若△ABC内心为D.求点D的坐标. (3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标.
2021年人教版数学九年级上册 《切线长定理》同步专项练习卷 一、选择题 1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( ) A.4 B.8 C.4 3 D.8 3 3.如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( ) A.15° B.30° C.60° D.75° 4.把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6 cm，则圆形螺母的外直径是( ) A.12 cm B.24 cm C.6 3 cm D.12 3 cm
5.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（） A.50° B.60° C.70° D.70° 6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=50°，则∠ACB的度数为( ) A．60° B．75° C．70° D．65° 7.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA 的长为( ) A．2 B． C． D． 8.如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是（） A.55° B.60° C.65° D.70° 9.如图，等边三角形ABC边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O半径为（） A.2 B.3 C.4 D.4﹣
《圆：切线长定理》 知识梳理： （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 综合练习： 一．选择题 1．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为（） A．2 B．3 C．3.5 D．4 2．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（） A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形
3．如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P＝56°，则∠MON＝（） A．56°B．60°C．62°D．不可求 4．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（） A．大于B．等于C．小于D．不能确定 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是（） A．16 B．14 C．12 D．10 7．如图△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）
切线长定理及三角形的内切圆 一知识回顾 1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3. 常用辅助线 已知PA，PB切⊙O于A，B。 （1）（2）（3）（4） 图（1）中，有什么结论？（PA＝PB） 图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA） 图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC，）。图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等） 4. 和三角形的各边都相切的圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。 二典型例题 例1. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。求证：AC∥OP。 (一题多解) 例2.已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D。 （1）若PA = 6，求△PCD的周长。 （2）若∠P = 50°求∠DOC
例3. 已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O 于E点。 求证：AB＝AD. 例4.已知：AB为⊙O直径，AD∥BC，∠B = 90°，DC切⊙O于E 求证：（1）CD = AD + BC 例6已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90° （1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r； （2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。 例7如图,在⊿ABC中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB、AC都相切,则⊙O的半径是多少?
第3课时切线长定理 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个 4题图5题图6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )
P B A O A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 二、填空题 6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o ， 则∠A 的度为________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度． 三、解答题 9. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长． 11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．
初三数学 三角形的内切圆、切线长定理知识精讲 人教四年制 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 三角形的内切圆 2. 切线长定理 二. 重点、难点： 1. 内心的特点： （1）角平分线的交点 （2 （3）内心X （4（5（62. 【典型例题】 [例1] 已知ABC ∆（1）D 为BIC ∆（2）若DE=1，证明： （1）连BD 、∵1∠与5∠对圆弧⋂ BD ∴251∠=∠=∠ 又 ∵32∠+∠=∠DIC ，54∠+∠=∠DCI ∴DCI DIC ∠=∠∴ DI=DC 又 ∵21∠=∠∴ BD=DC=DI ∴ D 为BIC ∆的外心 （2）∵52∠=∠，ADC ∠为公共角 ∴EDC ∆∽CDA ∆ ∴ DA DC DC DE =∴4412 =⨯=⋅=DA DE DC ∴ DC=2 ∴ DI=DC=2
但7=r 时，AB=3，CD=14，CD AB <，矛盾 ∴ 圆O 的半径为cm 3 [例4] ABC ∆中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，求ABC ∆内切圆的半径。
设内切圆半径为r ，以ABC ∆面积为等量关系建立方程， 有： r c b a AH BC )(2121++=⋅，即r )161717(21 151621++=⋅⋅
连OA 、O O '、OB 、OP PC 、PD 切⊙O 于C 、D ⋂ ⋂ =⇒∠=∠⇒OF OE 21 ⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⊥'⇒=⇒=⊥'⇒⋂⋂AB O O OB OA OB OA EF O O EF ∥AB 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题： 1. 圆的最大弦长为m ，如果直线与圆相交，该直线与圆心距离为d ，则（ ） A.m d > B.m d 21> C.m d = D.m d 2 1< 2. 圆的周长为π2，如果一条直线与圆心的距离为 2 π ，那么这条直线与这个圆（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 3. 在ABC ∆中，︒=∠90A ，⊙O 分别与AB 、AC 切于D 和E ，点O 在BC 上，设AB=a ， 长为（ ） A. 320B.3 25C. 5 D. 8 9. 若圆的外切四边形ABCD 的面积为2 20cm ，边AD 与边BC 的和为10cm ，则该圆的半径长为（ ） A.4cm B. 2cm C. 1cm D. 以上都不对 二. 填空题： 1. 直角三角形两条直角边长分别为9和40，则它的外接圆半径R=，内切圆半径=r
第二十四章圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时切线长定理及三角形的内切圆 学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心 的性质. 重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质. 难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 一、知识链接 1.切线的判定定理和性质定理是什么？ 2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？
二、要点探究 探究点1：切线长定理及应用 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 知识要点： 1.切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 问题2 PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 对折，设圆上与点A 重合的
点为B．图中OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？ 要点归纳： 切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 推理验证已知：如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC. 变式训练 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD 的周长为______． 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择
九年级数学圆的切线解答题专项练习 一，切线的判定：有切点，证垂直 1、如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°。BD 是角平分线点，O 在AB 上。以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D,交BC 于点E 求证，AC 是圆O 的切线。 2、如图AB 为圆O 的直径。CE ⊥AD 于E ，连接B ，弧CD=弧CB （1）求证，CE 为圆O 的切线。 （2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan ∠BEC 的值． 3、如图，D 为圆O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD （1）图中∠ADB=___°，理由是___； （2）判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明； （3）过点B 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=6，tan ∠CDA=3 2,求线段BE 的长．
4、如图，已知圆O的半径为1,AC是圆O的直径。过点C作圆O的切线BC。E为BC的中点，AB交圆O于点D。 （1）直接写出ED和EC的数量关系______________ （2）DE是圆O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由 （3）填空：当BC=_________时，四边形AOED是平行四边形，同时，以O,D,E,C 为顶点的四边形是__________ 4-1:如图，在三角形ABC中,∠ABC=90度，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D。E是BC的中点。连接DE，OE判断DE和圆O的位置关系，并说明理由。
4-2:如图，已知⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AC交⊙O于D点，四边形AOED是平行四边形． （1）求BC的长； （2）ED是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由． 4-3:如图，在直角三角形ABC中,∠ABC=90度。以AB为直径作半圆O。交AC 于点D。E是BC中点,连接ED,求证，ED是半圆O的切线。
2020年人教版九年级数学上册 24. 2. 2《切线长定理和三角形的内切圆》随堂练习 知识点1切线长立理 1. 如图，PA 切00于点A, PB 切OO 于点B ∙ OP 交C)O 于点C,下列结论中.错误的是() 2. 如图所示，从。0外一点P 引C)O 的两条切线PA, PB,切点分别为A, B •如果ZAPB 二60° , PA 二8,那么弦AB 的长是( 3. 如图.PA, PB 分別与G)O 相切于A, B 两点，若ZC 二65° ,则ZP 的度数为( 4. 如图，PA, PB 是C)O 的两条切线，A, B 是切点，若ZAPB=60o , Po 二2,则G)O 的半径等 B ・ PA=PB C. AB 丄OP D ・ ZPAB=2Z1 C. 4 √3 D. 8 √3 D. 130° A. Z1=Z2 100
知识点2三角形的内切圆 5.如图.00是AABC的内切圆，则点0是ZkABC的（） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条髙的交点 6.如图，点0是Z∖ABC的内切圆的圆心，若ZBAC=80° ,则ZBoC的度数为（） 7.如图，ΔABC的内切圆00与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F,且AB=18 cm, BC二28 cm, CA=26 Cnh 求AF, BD, CE 的长. 8.如图所示，0是AABC的内心，过点0作EF√AB,与AC, BC分别交于点E, F,则（）
A. EF>AE+BF B・EF 专题09 切线长定理 1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． 2.切线长与切线的区别 ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA = PB，∠OPA=∠OPB 注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 4.三角形的内切圆及作法 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 概念规律重在理解 （1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. （2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. （3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 5.三角形的内心的性质 （1）三角形的内心在三角形的角平分线上. （2）三角形的内心到三角形的三边距离相等. 6.解决本专题问题辅助线连接技巧 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. 注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 典例解析掌握方法 【例题1】（2021四川凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q．则PQ的最小值为______. 【例题2】已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 【例题3】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. 【例题4】如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 【例题5】如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交 切线长定理和三角形的内切圆 类型一切线长定理 例1 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠ 【变式题组】 1.如图,圆周角∠BAC=55,分别过B,C两点作⊙O的切线,两切线相交于点P,则∠BPC=______. 2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E. F. G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( ) 类型二三角形内切圆 例2 两根，则△ABC的面积为______. 【变式题组】 3.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( ) 圆形材料，则该圆的最大面积是（） A. B. C. D. 类型三四边形内切圆问题 例3 如图，AB是O的直径，AM，BN分别切O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO 平分∠ADC. (1)求证：CD是O的切线； (2)若AD=4，BC=9，求OD的长。 【变式题组】 5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE. (1)求证：OD∥BE； (2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长。 类型四切线长定理的综合应用 例4 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t，求： (1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形? (2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交? 【变式题组】 6.如图，⊙O的直径AB=12，AM和BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM与点D，交BN于点C，设AD=x，BC=y（x＜y）. （1）求y与x的函数关系式； （2）若x，y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x、y的值； 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 P B O 《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案） 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB， PO平分∠BPA 例题精选： 例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长． 例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。 例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C 是 »AB 上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？ （例3图）（例4图）例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6． （1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 习题巩固： 1．如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为何？（ ） A ．5 B ．6 C ．30 D ．2 11 （第1题） （第2题） （第3题） 2．如图，AB 、CD 分别为两圆的弦，AC 、BD 为两圆的公切线且相交于P 点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB 的周长为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．14 3．如图，圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长等于（ ） A ．15cm B ．20cm C ．30cm D ．60cm 4．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ） A ．70° B ．90° C ．60° D ．45° （第4题） （第5题） （第6题） 5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于点A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ） A ．50° B ．62° C ．66° D ．70° 6．已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =2 1AB•CD；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7．以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ） A 12 B 13 C 14 D 15 8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=5 9，AC=3．则DE 长为（ ） A 23 B 2 C 2 5 D 5 《圆》章节知识点复习和练习附参考答案 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内； 2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上； 3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； A 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 图1 图2 图4 图5 B 直线和圆的位置关系切线长定理 一．选择题 1．关于下列四种说法中，你认为正确的有（） ①垂直于弦的直线一定经过圆心； ②经过直径外端的直线是圆的切线； ③对角互补的四边形四个顶点共圆； ④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（） A．40°B．50°C．60°D．70° 3．已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对4．如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（） A．2.5B．C．2D．3 5．如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（） A．25°B．28°C．30°D．35° 6．如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（） A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣2αD．45°+2α 7．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（） A．40°B．80°C．20°D．10° 8．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（） A．18°B．27°C．36°D．54° 9．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P＝40°，那么∠B的度数为（） 三角形内切圆 一．选择题 1．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（） A．100°B．160°C．80°D．130° 2．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（） A．119°B．120°C．121°D．122° 3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（） A．B．2C．D． 4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 5．如图，在平整的桌面上面一条直线l，将三边都不相等的三角形纸片ABC平放在桌面上，使AC与边l对齐，此时△ABC的内心是点P；将纸片绕点C顺时针旋转，使点B落在l 上的点B'处，点A落在A'处，得到△A'B'C'的内心点P'．下列结论正确的是（） A．PP'与l平行，PC与P'B'平行 B．PP'与l平行，PC与P'B'不平行 C．PP'与l不平行，PC与P'B'平行 D．PP'与l不平行，PC与P'B'不平行 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则点F为（） A．△ABC的外心B．△ABC的内心C．△BCE的外心D．△ABE的内心7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（） A．60°B．130°C．50°D．65° 8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（） 人教版数学第二十四章圆之切线长定理（附答案） 一、选择题 1.已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，那么△ABC的内切圆的半径为() A．10 3 B．12 5 C． 2 D． 3 2.如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与1 ∠A的关系 2 是() A．∠FDE＋1 ∠A＝90° 2 ∠A B．∠FDE＝1 2 ∠A＝180° C．∠FDE＋1 2 D．无法确定 3.如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是() A． 15° B． 30° C． 60° D． 75° 4.如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，OP相交于点C，OP与⊙O相交于点D，则下列结论不正确的是() A．PA＝PB B．∠APO＝∠BPO C．OC＝CD D．∠OAP＝90° 二、填空题 5.O是△ABC的内切圆圆心，∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20 cm，则AC长为________． 6.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若⊙O和三角形三边所在直线都相切，则符合条件的⊙O的半径为________． 7.如图示PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，交PA、PB于E、F点．若PA＝10 cm，则△PEF的周长为________ cm；若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为________． 三、解答题 8.尺规作图：已知△ABC，如图． (1)求作：△ABC的内切圆⊙O；(保留作图痕迹，不写作法) (2)若∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，则△ABC的内切圆⊙O的半径为________． 9.已知，如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交三角形的外接圆于点D，连接BD、DC.求证：DB＝DC＝DE. 10.如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD、CD、CE，且∠BDA＝60°. 切线长定理 一．选择题 1．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B，P A＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交P A、PB于点E、F．则△PEF的周长为（） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 2．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD ＝6，则CB长（） A．4B．5C．6D．无法确定3．图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（） A．B．C．D． 4．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80° 5．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（） A．3B．4C．D． 6．如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（） A．50°B．62°C．66°D．70° 7．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（） A．B．C．D．1 8．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）专题09 切线长定理(原卷版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)
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