第3课时切线长定理
学习目标：
1. 理解切线长的定义；
2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。
学习重点：切线长定理的理解
学习难点：切线长定理的应用
学习过程：
一、知识准备：
1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？
2. 切线的判定和性质是什么？
3. 角的平分线的判定和性质是是什么？
二、引入新课：
过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：
（一）探究切线长的定义：
如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。
P
引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之
间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
跟踪训练：判断
1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（）
2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（）
（三）探究切线长定理：
https://www.doczj.com/doc/2819341628.html,
O B
A
P
如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。 该定理用数学符号语言叙述为：
∵ ∴
跟踪训练：
1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ， 与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则 图中相等的线段有__________________________ _____________________________。
2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。
3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。则∠P=________。
四、典例解析：
例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求： （1）△PDE 的周长； （2）∠DOE 的度数。
巩固训练：1.如图，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，PO 交⊙O 于点 A ，过点A 的切线交 PC 于点D ，CD ∶DP = 1∶2，AD=2cm ， 求⊙O 的半径。
A
E
D
F
C B O
2. 如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，BC 是直径。 （1）求证：AC ∥OP
︵
（2）如果∠APC=70°，求 AC 的度数
五、当堂检测：
1. 如图， P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，C 是AB 上任一点，过C 作⊙O 的切线分别交 PA 、PB 于点 D 、E 。若△PDE 的周长为12，求PA 的长。
2. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， ∠OAB=30°。
（1）求∠APB 的度数；
（2）当OA=3时，求AP 的长。
六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺 七、课后提升：
1．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，求证：∠ABO=2
1
∠APB 。
2．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点， A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，
https://www.doczj.com/doc/2819341628.html,
A P O
∠DCF=32°，求∠A 的度数。
3. 如图，以 Rt △ ABC 的直角边 AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ， DE 切⊙O 于点 D ，交 BC 于点 E 。若BC=10，求DE 的长。
4. 如图，直线1l 、2l 分别切圆O 于A 、B ，且1l ∥2l ，3l 切圆O 于E ，交1l 、2l 于点C 、D ，求证：∠COD=90°
变式：若OC=6，OD=8，则CD= 。
L3
L2
L1D E
C
O B
A
第3课时切线长定理 学习目标： 1. 理解切线长的定义； 2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。 学习重点：切线长定理的理解 学习难点：切线长定理的应用 学习过程： 一、知识准备： 1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？ 2. 切线的判定和性质是什么？ 3. 角的平分线的判定和性质是是什么？ 二、引入新课： 过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究： （一）探究切线长的定义： 如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。 P 引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 跟踪训练：判断 1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（） 2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（） （三）探究切线长定理：
https://www.doczj.com/doc/2819341628.html, O B A P 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。 切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。 该定理用数学符号语言叙述为： ∵ ∴ 跟踪训练： 1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ， 与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则 图中相等的线段有__________________________ _____________________________。 2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。 3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。则∠P=________。 四、典例解析： 例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求： （1）△PDE 的周长； （2）∠DOE 的度数。 巩固训练：1.如图，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，PO 交⊙O 于点 A ，过点A 的切线交 PC 于点D ，CD ∶DP = 1∶2，AD=2cm ， 求⊙O 的半径。 A E D F C B O
《切线长定理》教案 浠水县望城实验中学万春光 教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点 切线长定理及其运用. 教学难点 切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入 由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知 活动一：切线长定义
如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.） 活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三： 观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察： 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理
第3课时切线长定理和三角形的内切圆 一、教学目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. 3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 二、教学重难点 重点：理解切线长的定义及切线长定理. 难点：能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 三、教学过程 【新课导入】 [复习回顾]1.切线的判定定理是什么？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理是什么？ 圆的切线垂直于过切点的半径 【新知探究】 （一）切线长定理 [思考]问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. [归纳总结]注意：切线和切线长是两个不同的概念： 1. 切线是直线，不能度量； 2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. [思考]问题2 如图，P A,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的P A与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言表示: ∵P A、PB分别切☉O于A、B， ∴P A = PB，∠OP A=∠OPB.
[思考]已知，如图P A、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：P A=PB，∠APO=∠BPO. 证明：连接OA和OB， ∵P A是☉O的切线，∴OA⊥P A. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴P A=PB，∠APO=∠BPO. [归纳总结]我们学过的切线，常有以下性质： 1.切线和圆只有一个公共点； 2.切线和圆心的距离等于圆的半径； 3.切线垂直于过切点的半径； 4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 例1.P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系. 解：OA⊥P A，OB⊥PB，AB⊥OP . （2）写出图中与∠OAC相等的角. ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形. △AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP , △AOB . （5）若P A=4，PD=2，则半径OA为3. （二）三角形的内切圆 [思考]问题3 如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？ [交流讨论]如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ （1）如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
九年级上册24.2.3 切线长定理 一、教学目标 1、了解切线长的定义； 2、掌握切线长定理，并利用其进行有关计算； 3、在切线长定理的运用中，渗透方程的思想，熟悉用代数方法解几何题. 二、教学重点 切线长定理 教学难点 应用切线长定理解决问题 三、教学过程 1、新课导入 复习：上节课，我们学习了切线的性质和判定，什么是切线的判定和性质？ 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系. 2、切线长定义 如图，过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与⊙O相切.经过圆 外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切 线长. 如图，线段PA、PB为⊙O的切线长. 3、探究新知 问题：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 证明：如图，连接OA和OB. PA和PB是⊙O的两条切线. OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP ∴Rt∆AOP≌Rt∆BOP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 由此得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 追问：OP会不会平分AB所对的两条弧？线段AB与OP存在怎样的位置关系？ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦. 4、内切圆 问题：一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 分析：圆要与三角形的三条边都相切，说明这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.把该圆心找出，就可以以圆心到边的距离为半径把该圆形铁皮截下. 三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边 的距离相等.如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它 们相交于点I，则点I到AB，BC，CA的距离都相等.以I为圆心， 点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与∆ABC的三条边都相 切，圆I就是所作的圆. 内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 5、例题典析 例.如图, △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x (cm)，则AE=x， CD=CE=AC–AE = 13 –x BD=BF=AB–AF = 9 –x 由BD + CD = BC可得 (13 –x) + (9 –x) = 14
切线长定理及三角形的内切圆教学设计 一、内容分析 这节课是切线长定理的第2 课时，是在切线长概念和定理的学习基础上，进一步研究切线长的有关知识，本节课将在前基础上探究学习三角形内切圆的概念、画法及内心的性质，简单应用三角形内心性质。 二、学情分析 九年级的学生，其思维已经具备了明显的逻辑性，但还不是不够完整，如何分析问题、如何书写完整的推理过程等对学生而言问题较大。在本堂课上通过具体的问题的引导分析，学生自己观察、思考、动手操作、探究，分组讨论、合作交流等，引发学生的兴趣，达到教学目标。 三、三维目标 知识与技能： 1. 进一步了解切线长的概念，理解切线长定理，熟练应用。 2. 理解三角形内切圆和三角形内心的概念，掌握三角形内切圆的画法，性质并能熟练应用。 过程与方法： 1. 经历回顾切线长定理的过程，理解并进一步达到应用； 2. 体会三角形内切圆的作图，从而提炼相关的数学知识，渗透数形结合思想。情感态度与价值观：经过小组讨论、合作探究，观察、猜想、证明、应用等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程。 四、教学重点、难点及解决措施：教学重点：三角形内切圆、内心的性质及其应用。 教学难点：三角形内切圆、内心概念的理解及应用解决一些实际问题。 解决措施：利用多媒体教学直观演示，并创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。 五、教学方法：引导探究、分组讨论、合作交流。 六、教学工具：多媒体（课件）、圆规、三角尺 教学过程： 一、思考回顾：1.直线与圆的位置关系
2. 切线的判定定理是什么？切线的性质定理是什么？角平分 线的性质是什么？什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？ 【教师活动】教师提出问题，引起学生思考 【学生活动】学生积极回顾思考，踊跃发言。 二、探究与发现： 探究1：我们知道，过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆 的几条切线呢？ 切线长概念：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线和切线长区别和联系： 切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 探究2：从外的一点引两条切线PA PB,切点分别是A B,连结OA OB 0P你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3、思考： 如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形的用料，并且使得圆的面积尽可能大？ 4、三角形内切圆
24.2.2 切线长定理 一、教学目标 知识与技能 1：了解切线长的概念，理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握并能应用。 2.应用特殊到一般的研究方法，发现切线长定理，然后根据所学三角形平分线的性质，给出三角形内切圆和三角形内心的概念，最后应用他们解决一些实际问题。 3.经历观察、实验、猜想，证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力。 过程与方法 通过生活中的实例迁移到切长线的概念和切线长定理，根据三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，并应用解决相关问题. 情感、态度与价值观 学生经历观察、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力。 学情分析： 学生已经了解并一定程度掌握了切线的判定与性质，为本节课打下了基础，另外，等腰三角形，直角三角形等知识，学生掌握得也还不错。对于把方程思想用于解决几何问题学生还是有一定难度的，另外，学生对综合运用数学知识解决问题能力较为欠缺。 二、教学重难点 重点：切线长定理及其运用 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题 三、教学过程 一、探究切线长概念与性质 1、探究引入 任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P. (1)过点P是否都能作这个圆的切线? (2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线? (3)点P在什么位置时,能作两条切线? (4)能作多于2条的切线吗? 2、合作探究 观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？ [设计意图]：让学生独立思考，然后再讨论交流，最后请一名学生代表回答，最后教师书写完善的证明过程并得出结论 师生共同总结切线长定理： 从圆外一点可以引入的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
九年级数学《切线长定理》教学案例分析 一、教材分析 （一）教材地位、作用 《切线长定理》这节课是人教版九年级上册第二十四章 第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆 心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广 泛通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十 分重要的作用。 .所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带. 教材把《切线长定理》这节分为两个课时进行教学，第一课时是探索圆周角与圆心角的关系，第二课时 是探索直径所对圆周角的特殊性.我今天说的是第一课时. （二）教学重点、难点 1.教学重点： 圆周角定理的证明需要分三种情况一一证明，培养 了学生的逻辑思维的严密性，因此圆周角定理的发现与 论证是本课的重点。 2.教学难点： 学生第一次接触分类证明，而证明又要添加适当的
辅助线。因此圆周角定理的证明是本课的难点。 二、教学目标分析 1.知识与技能目标： ⑴通过观察，使学生了解圆周角的概念。 ⑵理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 2.过程与方法目标： 运用分类思想给予逻辑证明定理，让学生能够证明定理的正确性，最后运用定理解决一些实际问题。 3.情感态度与价值观 ⑴经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。 ⑵通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。 三、教法与学法分析 (一)学情分析： 1.学生的认知基础 学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理。 2.学生的年龄心理特点 初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能
初中数学集体备课活页纸 学科初中数学主备人节次 第周 第节课题24.2.2切线长定理课时 1 课型新授课 教学目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明。 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念。 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合的思想。 教学重点理解切线长定理 教学难点灵活应用切线长定理解决问题 课堂教学设计 教学环节教学过程二次备课 第一步：交流预习环节1：教师提问 【问题1】上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 【问题2】过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 环节2:师友释疑 1.切线长的定义： 2.切线长与切线有什么不同？ 第二步：互助探究环节1:师友探究 1.若P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP 对折图形，你能猜想一下P A与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？ 2.你能用学过的知识证明这两个结论吗？ 3.已知：线段P A，PB切⨀O于点A，B，连接OP 求证：（1）P A=PB（2）∠APO =∠BPO
4.如何用符号语言表示切线长定理？ 环节2：教师讲解 1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2.符号语言： ∵ P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点 ∴P A＝PB，∠APO＝∠BPO 第三步：分层提高环节1 师友训练 1.如图，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于点D，E．若△PDE的周长为12，则P A 的长为（） A. 12 B. 6 C. 8 D. 4 2.如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . 变式: 如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠APB= 40 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 环节2 教师提升 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 常见辅助线： （1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点 走进生活：想一想：如图是一块三角形铁皮，工人师傅要从中 裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 第四步：总结归纳环节1：师友归纳 •这节课我学会（懂得）了…… •这节课我想对师傅（学友）说…… 环节2：教师归纳 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
https://www.doczj.com/doc/2819341628.html, 切线长定理教案 执教人：严利容 教学目标 1、了解切线长的概念． 2、理解切线长定理，熟练掌握它的应用． 3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切线长的概念和切线长定理，最后应用它们解决一些实际问题． 重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．． 教学过程 一、复习引入 1、回顾切线的判定方法及切线的性质定理？ 2、如图1、经过⊙O 上一个已知点A ，作已知圆的切线怎样作？能作几条？ 3、如图2、经过圆外一点P ，画出⊙O 的切线，能作几条？ 二、探索新知: 观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，我们把线段PA ，PB 叫做点P 到⊙O 的切线长． 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量
https://www.doczj.com/doc/2819341628.html, 2、切线长定理 观察，学生直观判断，猜想图中PA ＝PB 吗？证明猜想，形成定理． 请学生给予逻辑证明． 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：连接OA ，OB ∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线． ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP 又OA=OB ，OP=OP ， ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ，∠OPA=∠OPB 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 符号语言：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，则PA=PB ，OP 平分∠APB 思考：我们知道切线的性质有哪些？学生回答，教师总结。 小结：切线常用的6条性质（口述） 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 三、应用 1.试做《学案》课堂检测1，2题 （1）点A 是半径为5的圆外一点，它到圆心的距离为13，则过点A 的切线长是________ （2）一个钢管放在V 形架内，其截面如下图，O 是钢管的圆心，如果钢管的半径是25cm,=∠MPN 60°，则OP=________ A 50cm B 325cm C 3 350cm D 350cm 2.经典例题 例1、如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点Ａ，Ｂ是切点．EF 切⊙O 于Ｃ，交PA 于点Ｅ，交PB 于点Ｆ，若8=PA ，求PEF ∆的周长． 学生分析，老师板书 归纳本题思想方法：反复使用切线长定理，结合等量代换,体现现数学整体思想。 P
切线长定理和三角形的内切圆 教学目标 (一)知识与技能 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． (二)过程与方法 1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力． 2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力． (三)情感态度与价值观 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题． 教学重点 探索圆的切线的判定方法，并能运用． 作三角形内切圆的方法． 教学难点 探索圆的切线的判定方法． 教学方法 师生共同探索法． 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径． 由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．
Ⅱ．新课讲解 1．探索切线的判定条件 如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时， (1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？ (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见． (1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O 的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离． 回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了． (2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切． 从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流． 直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点． 很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． 2．做一做 已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
新人教版九年级数学上册 P96页《切线长定理及三角形的内切圆》教学设计 和课后反思 教材分析 本节课是直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。 切线长定理的探究，通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据。 学情分析 本班的学生数学基础蛮好。对前面学圆的相关知识都
有一定的把握程度。学生对圆的图形的认知水平也蛮高。这对本节课的学习有一定的帮助。学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度。部分学生计算很粗心，还有几个学困生非常不认真。因此，课上需要充分调动学困生的积极性，只有小组长和老师合作，才能带动所有学生都融入到课堂中来。 教学目标 学习目标： 1、了解切线长，三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 能力目标： 1、有合作，有表达，有思想，有解决问题的能力。 2、学会利用方程思想解决几何问题，掌握数形结合思想的能力。 情感目标： 1、通过小组合作学习的形式，让学生有团队精神。 2、在交流学习中激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。 教学重点和难点 重点：切线长定理及其运用
新人教版九年级数学上册第24.2.3节切线长定理优秀教学设计和反思 教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。 学情分析 我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。 教学目标 一、知识与技能： 1.了解切线长的概念． 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内
心的概念，熟练掌握它的应用． 3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题． 二、数学思考： 1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。 三、解决问题 1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。 2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。 四.情感、态度与价值观 培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。 教学重点和难点 1．重点：切线长定理及其运用． 2.•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切
第3课时切线长定理 一、教学内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“24.2直线和圆的位置关系”（第三课时） 二：教学内容解析 本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。 三：教学流程安排
四：教学目标与重难点： 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？
《切线长定理》教学设计 一、教学内容分析 圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质定理以及判定定理的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性进一步的认识，为证明线段、角、弧相等提供了依据. 会从圆上任意不同的两点出发作出两条切线，这两条切线有两种位置关系，平行和相交.在相交的情况下，可以看成由圆外一点引出的两条切线，如图（1）（见下页），已知点P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为AB两点.我们把线段PA，PB的长叫做点P到⊙O的切线长.学生利用切线性质定理、角平分线判定定理等知识比较容易证明OP平分∠APB.如图（2）（见下页），连接OA，OB，根据切线的性质，则OA⊥PA，OB⊥PB，垂足分别为点A、点B.又因为OA=OB，即点O到∠APB两边的距离相等，根据角平分线判定定理，则点O在∠APB的平分线上.如图（3），连接OP，由于∠AOP=∠BOP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到PA=PB，当然此处也可以通过证明三角形全等得出结论，方法不唯一. 这样，我们就得到了切线长定理. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 经过圆外一点引圆的两条切线，连接该点与两个切点，根据切线长定理，会形成一个等腰三角形，结合等腰三角形的性质和垂径定理等，可以得到一些常用结论该基本图形在圆的学习中十分重要，需要学生深入理解.如图（4）所示，连接PO AB，进一步能得到以下结论：线段相等，AP=BP，AD=BD；角相等，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP，∠PAB=∠PBA，∠PAO=∠PBO；弧AC BC；位置关系，AB⊥OP. 相等，=
切线长定理
主要参考资料九年级教学参考资料和创优教案 自信课堂教学进程 一、激趣导入生发自信 这节课我们继续来研究切线. △ABC的三条角平分线，有什么结论？ 2.回忆切线的判定定理和性质定理？ 二、自主合作彰显自信 探究（一）： （一）切线长定理 1.操作探究：从上面的复习，可知，过⊙O上任一点A都可以作圆的一条切线，且只能作一条，根据下面提出的问题，操作、思考、并解决问题：在纸上画⊙O，并画出过圆上点A的切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用圆的轴对称性，思考图中的线段PA与线段PB，∠APO与∠BPO有什么数量关系？ 分析：对折之后，OB与OA重合，OA是半径，OB也是半径. B为OB•的外端， 根据对折后角的度数不变，所以PB是⊙O的又一条切线，且PA=PB，∠APO= ∠BPO． 我们把线段PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长． 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2.几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 分析：据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件，易得只要证明两个对应的三角形全等即可. 得到 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
B A C E D O F 切线的夹角． 探究（二）： （二）三角形的内切圆 如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 三、展示提升 赏识自信 1：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB.分别相切于点D ，E ，F 且AB ＝9cm ，BC ＝14cm ，CA=13cm ，求AF ，BD ，CE 的长 2.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，CD=1，AE=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ． 分析：可知OD 、OE 、OE 分别垂直于BC 、AC 、AB ，由于面积是已知的，•因此转化为面积法来求．连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•问题迎刃而解． 四、拓展延伸 完善自信 1.如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ． （1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x 、y 是方程2t 2 -30t+m=0的两根，求x ，y 的值． （3）求△COD 的面积． 分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系，根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ，又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 于 F ，根据勾股定理，便可求得． （2）∵x ，y 是2t 2 -30t+m=0的两根，那么x 1+x 2=2 30=15，x 1x 2=2 m ，结合（1）的结论便可求得x 、y 的值． 巩固练习、考点早实践
第3课时 切线长定理 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分 别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周 长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，
CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360° －90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12 ∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB . 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将 铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得
第3课时 切线长定理 1．理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题． 2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆． 阅读教材第99至100页，完成下列知识探究． 知识探究 1．经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间线段的长叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角． 3．与三角形各边都________的圆叫做三角形的内切圆． 4．三角形内切圆的圆心是三角形________________的交点，叫做三角形的________，它到三边的距离________． 自学反馈 1．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，若PA ＝4，则PB ＝________. 2．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝________度． 3．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵ 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是________． 4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF ＝________，∠C ＝________，∠A ＝________.
活动1 小组讨论 例1 如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长． 解：20 cm . 这里CD ＝AD ＋BC. 例2 如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D 、E 、F. (1)求证：四边形ODCE 是正方形； (2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r. 解：(1)证明略．(2)a ＋b －c 2 . 这里(2)的结论可记住作为公式来用． 例3 如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数． 解：125°. 若I 为内心，∠BIC ＝90°＋1 2 ∠A ；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A. 活动2 跟踪训练 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝________.
杭后六中九年级数学科目课堂教学设计
学生展讲：①利用图形的轴对称进行解释。②利用HL 证明两个三角形全等， 写出切线长定理：〔要求学生当堂记忆〕 5分钟 教师引导：如图，连接AB ①写出图中所有的垂直关系；②写出图中所有的全等三角形；③写出图中所有的等腰三角形。〔3分钟〕 学生展讲 探究〔2〕掌握三角形的内切圆及内心的概念，会做三角形的内切圆 〔5分钟〕如图，是一块三角形的铁皮，如何在它 上面截下一块圆形的用料，并且使截下 来的圆与三角形的三条边都相切？ 〔提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？〕 并得出结论： 与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。 学生活动 请同学们先在草稿本中作出三角形的内切圆，并总结做法 活动目的：在教学中充分发挥学生的主体地位，老师在整个过程 中起到主导的作用，发扬民主教学，表达了数学活动是师生共同参与，共同学习的过程。 三稳固练习 例1、如图：△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm,求AF,BD,CE 的长. 〔5分钟〕 【教学策略】学生自己独立完成. 我们可以先尝试让学生小组交流，寻找解题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示过程，最后全班进行点评， 在习题和内切圆的计算中表达了把复杂问题转化为简单问题后解决问 E D F O A C B
题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识 四达标检测(10分钟) 学案上1到7题 【教学策略】教师出示题目，学生独立思考、解答 学生解答完小组交流后以小组为单位展示小组的成 果， . 教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结学生交流，师生互动， 四拓展训练 例2．［教材例2变式题］：如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A ，B ，Q 为AB ︵上一点，过Q 作⊙O 的切线，交 PA ，PB 于点E ，F ，PA ＝12 cm ，∠P ＝70° 求：〔1〕△PEF 的周长； 〔2〕∠EOF 的 度数. 【教学策略】供学生课后探讨、研究 板书设计及课堂小结： 〔1〕本节课知识点是什么？ 〔2〕你还有哪些疑惑？ 活动目的：为让学生形成知识网络，完善认知结构，小结时让学生参与总结，反思自己学习过程. 作业布置：补充完整学案 书 100页1，2题(1,2号)101页3题〔3，4号〕 【教学策略】教师布置作业，发动分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业稳固本节知识.