24.2.2 切线长定理
一、教学目标
知识与技能
1：了解切线长的概念，理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握并能应用。
2.应用特殊到一般的研究方法，发现切线长定理，然后根据所学三角形平分线的性质，给出三角形内切圆和三角形内心的概念，最后应用他们解决一些实际问题。
3.经历观察、实验、猜想，证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力。
过程与方法
通过生活中的实例迁移到切长线的概念和切线长定理，根据三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，并应用解决相关问题.
情感、态度与价值观
学生经历观察、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力。
学情分析：
学生已经了解并一定程度掌握了切线的判定与性质，为本节课打下了基础，另外，等腰三角形，直角三角形等知识，学生掌握得也还不错。对于把方程思想用于解决几何问题学生还是有一定难度的，另外，学生对综合运用数学知识解决问题能力较为欠缺。
二、教学重难点
重点：切线长定理及其运用
难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题
三、教学过程
一、探究切线长概念与性质
1、探究引入
任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线?
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?
(3)点P在什么位置时,能作两条切线?
(4)能作多于2条的切线吗?
2、合作探究
观察与思考:
PA、PB有怎样的数量关系？
PO与∠APB又有怎样的关系？
[设计意图]：让学生独立思考，然后再讨论交流，最后请一名学生代表回答，最后教师书写完善的证明过程并得出结论
师生共同总结切线长定理：
从圆外一点可以引入的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形
3、拓展：
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。应掌握并能灵活应用。
4、思考（课本）：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使可能大呢？
圆的面积
教师引导点拔，确定一个圆关键是确定这个圆心和半径，假设符合条件的圆已经作出，，那么它应与三角形的三边相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径，如何找到这个圆心呢？
圆心应当到三边的距离相等，故圆应在三个内角的平分线上，而我们已经知道三个内角的平分线交于一点，如图，分别作出∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA，的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC的距离IO为半径作圆，则⊙I与△ABC的三边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形平分线的交点，叫做三角形的内心。
这个三角形叫做圆的外切三角形
三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点
三角形的内心到三角形三边的距离相等
三、应用举例
例1：教材97例2如下图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D.E.F,
且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm，求AF，BD，CE的长。
解：设AF=x（cm），则AE=x（cm）
CD=CE=AC-AE=13-x
BD=BF=AB-AF=9-x
由BD+CD=BC可得（13-x）+（9-x）=14
解得x=4
因此AF=4cm
BD=5cm,CE=9cm
你还有其它的思路来解决这个问题吗？
[设计意图]活学活用，让学生体验的成功的喜悦，从而激发学习热情。
四、巩固练习
教材98页练习1.2
五、总结提高
师生共同总结：
（1）通过本节课的学习，你都有哪些收获？
（2）你对本节课的知识还有什么疑惑或者建议？
六、作业布置
教材103页习题24.2第12题
板书设计
24.2.2 切线长定理<3>
一、探究切线长概念与性质
1、探究引入
2、合作探究
3、拓展
4、思考
二，例题讲解
例1
二、课堂练习
三、总结提高
四、布置作业
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长． 【答案与解析】 连结OA ，则OA ⊥AP ． 在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ，
第3课时切线长定理和三角形的内切圆 一、教学目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. 3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 二、教学重难点 重点：理解切线长的定义及切线长定理. 难点：能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 三、教学过程 【新课导入】 [复习回顾]1.切线的判定定理是什么？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理是什么？ 圆的切线垂直于过切点的半径 【新知探究】 （一）切线长定理 [思考]问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. [归纳总结]注意：切线和切线长是两个不同的概念： 1. 切线是直线，不能度量； 2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. [思考]问题2 如图，P A,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的P A与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言表示: ∵P A、PB分别切☉O于A、B， ∴P A = PB，∠OP A=∠OPB.
[思考]已知，如图P A、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：P A=PB，∠APO=∠BPO. 证明：连接OA和OB， ∵P A是☉O的切线，∴OA⊥P A. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴P A=PB，∠APO=∠BPO. [归纳总结]我们学过的切线，常有以下性质： 1.切线和圆只有一个公共点； 2.切线和圆心的距离等于圆的半径； 3.切线垂直于过切点的半径； 4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 例1.P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系. 解：OA⊥P A，OB⊥PB，AB⊥OP . （2）写出图中与∠OAC相等的角. ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形. △AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP , △AOB . （5）若P A=4，PD=2，则半径OA为3. （二）三角形的内切圆 [思考]问题3 如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？ [交流讨论]如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ （1）如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
切线长定理教学设计 一、内容和内容解析 内容：本课是人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十四章第二节第五课时，其主要内容是切线长的定义、切线长定理、三角形的内切圆及相关概念. 内容解析：在直线和圆的三种位置关系中，相切是最重要的，而“切线的判定和性质”是研究一条直线和圆的问题，两条直线和圆相切，三条直线和圆相切会是怎样的？本节内容是在学习了“圆的基本性质”、“切线的判定和性质”等知识基础上，通过“引导发现法”得到. 切线长定理再次体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等，提供了理论依据，它是沟通勾股定理、垂径定理以及三角函数关系等之间的桥梁；三角形的内切圆是借助切线长定理的知识从另一个角度进一步揭示三角形和圆的关系. 在教材的编写上，本课还注意了使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图形处理能力、探索及解决问题的能力等方面，都起着较为重要的作用. 基于此，本节课的教学重点是：发现并证明切线长定理，运用切线长定理解决问题.
二、目标和目标解析 目标： 1.理解并掌握切线长，能运用切线长定理解决相关问题. 2.了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆. 目标解析： 1.经历观察、实验、猜想、验证、推理、应用等数学活动，培养学生的观察能力、概括能力和演绎推理能力，渗透转化思想. 2.通过切线长定理的应用，培养学生独立思考的习惯，发展合作交流与应用意识，感悟数学与实际生活的密切联系. 3.通过一系列探究活动的开展，使学生从中体验数学活动的探索性和创造性，感受探究成功的乐趣，从而激发学习兴趣. 三、教学问题诊断分析 学生刚学完切线的性质，对其应用掌握不很牢固，有多条直线与圆相切时转化到每一条直线和圆相切、三角形的内切圆实际上可以转化“三组切线长”思维有一定的障碍。在教学中应精心设计教学活动，使学生在原有知识的基础上，引导学生观察发现，细致剖析，使他们理解、让他们会用。 四、教学支持条件分析 1.借助切线的性质，明晰切线与切线长的区别与联系，为发现、证明切线长定理服务.建立切线长定理与三角形内切圆的联系，寻找三角形的内心.
九年级数学《切线长定理》教学案例分析 一、教材分析 （一）教材地位、作用 《切线长定理》这节课是人教版九年级上册第二十四章 第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆 心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广 泛通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十 分重要的作用。 .所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带. 教材把《切线长定理》这节分为两个课时进行教学，第一课时是探索圆周角与圆心角的关系，第二课时 是探索直径所对圆周角的特殊性.我今天说的是第一课时. （二）教学重点、难点 1.教学重点： 圆周角定理的证明需要分三种情况一一证明，培养 了学生的逻辑思维的严密性，因此圆周角定理的发现与 论证是本课的重点。 2.教学难点： 学生第一次接触分类证明，而证明又要添加适当的
辅助线。因此圆周角定理的证明是本课的难点。 二、教学目标分析 1.知识与技能目标： ⑴通过观察，使学生了解圆周角的概念。 ⑵理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 2.过程与方法目标： 运用分类思想给予逻辑证明定理，让学生能够证明定理的正确性，最后运用定理解决一些实际问题。 3.情感态度与价值观 ⑴经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。 ⑵通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。 三、教法与学法分析 (一)学情分析： 1.学生的认知基础 学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理。 2.学生的年龄心理特点 初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能
第3课时切线长定理 一、教学内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“24.2直线和圆的位置关系”（第三课时） 二：教学内容解析 本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。 三：教学流程安排
四：教学目标与重难点： 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？
切线长定理和三角形的内切圆 教学目标 (一)知识与技能 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． (二)过程与方法 1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力． 2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力． (三)情感态度与价值观 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题． 教学重点 探索圆的切线的判定方法，并能运用． 作三角形内切圆的方法． 教学难点 探索圆的切线的判定方法． 教学方法 师生共同探索法． 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径． 由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．
Ⅱ．新课讲解 1．探索切线的判定条件 如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时， (1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？ (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见． (1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O 的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离． 回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了． (2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切． 从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流． 直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点． 很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． 2．做一做 已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
新人教版九年级数学上册 P96页《切线长定理及三角形的内切圆》教学设计 和课后反思 教材分析 本节课是直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。 切线长定理的探究，通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据。 学情分析 本班的学生数学基础蛮好。对前面学圆的相关知识都
有一定的把握程度。学生对圆的图形的认知水平也蛮高。这对本节课的学习有一定的帮助。学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度。部分学生计算很粗心，还有几个学困生非常不认真。因此，课上需要充分调动学困生的积极性，只有小组长和老师合作，才能带动所有学生都融入到课堂中来。 教学目标 学习目标： 1、了解切线长，三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 能力目标： 1、有合作，有表达，有思想，有解决问题的能力。 2、学会利用方程思想解决几何问题，掌握数形结合思想的能力。 情感目标： 1、通过小组合作学习的形式，让学生有团队精神。 2、在交流学习中激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。 教学重点和难点 重点：切线长定理及其运用
一. 教学内容： 切线长定理及其应用 二. 重点、难点： 重点：切线长定理以及应用 难点：切线长定理的题设、结论 三. 具体内容： 1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。 【典型例题】 [例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。 解：（1）∵⊙O切△ABC三边AB、BC、CA于D、E、F ∴AD=AF，BD=BE，CE=CF ∴2 CF BD AC AB AF AD -- + = = 2 CE BE AC AB- - + = 2BC AC AB- + = ∵BC=a，CA=b，AB=c ∴2a c b AD - + =
同理2b c a BE - + = 2c b a CF - + = （2）连结OE、OF ∵⊙O与AB、BC切于D、E ∴OE⊥BC，OF⊥AC ∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形 又∵OE=OF ∴四边形OECF为正方形 ∴OE=OF=CE=CF 由（1）知2c b a CF CE - + = = ∴内切圆半径2c b a r - + = [例2] 如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、F，△ABC的周长为18，求AE。 解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF ∴AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD =AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE ∵△ABC周长为18 ∴ 9 2 = + + = BC AC AB AE [例3] 如图，在ABC Rt∆中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。 证明：（1）作DF⊥AC于F ∵AD平分∠BAC ∴DB=DF ∴AC切⊙D于F
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷 并且可以用于解决一些圆的问题。 在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和 DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。 七、切线与切点 1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线； 2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点； 3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆 心的距离等于半径长。 在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的 距离等于半径OA的长度。 参考答案：
一、圆的概念 集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。 三、直线与圆的位置关系 直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。 四、圆与圆的位置关系
圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。 五、垂径定理 垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 六、圆心角定理 圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理。 七、切线与切点 切线是过圆上一点的直线，切点是圆上与切线相切的点。切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。
切线长定理
主要参考资料九年级教学参考资料和创优教案 自信课堂教学进程 一、激趣导入生发自信 这节课我们继续来研究切线. △ABC的三条角平分线，有什么结论？ 2.回忆切线的判定定理和性质定理？ 二、自主合作彰显自信 探究（一）： （一）切线长定理 1.操作探究：从上面的复习，可知，过⊙O上任一点A都可以作圆的一条切线，且只能作一条，根据下面提出的问题，操作、思考、并解决问题：在纸上画⊙O，并画出过圆上点A的切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用圆的轴对称性，思考图中的线段PA与线段PB，∠APO与∠BPO有什么数量关系？ 分析：对折之后，OB与OA重合，OA是半径，OB也是半径. B为OB•的外端， 根据对折后角的度数不变，所以PB是⊙O的又一条切线，且PA=PB，∠APO= ∠BPO． 我们把线段PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长． 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2.几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 分析：据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件，易得只要证明两个对应的三角形全等即可. 得到 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
B A C E D O F 切线的夹角． 探究（二）： （二）三角形的内切圆 如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 三、展示提升 赏识自信 1：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB.分别相切于点D ，E ，F 且AB ＝9cm ，BC ＝14cm ，CA=13cm ，求AF ，BD ，CE 的长 2.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，CD=1，AE=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ． 分析：可知OD 、OE 、OE 分别垂直于BC 、AC 、AB ，由于面积是已知的，•因此转化为面积法来求．连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•问题迎刃而解． 四、拓展延伸 完善自信 1.如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ． （1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x 、y 是方程2t 2 -30t+m=0的两根，求x ，y 的值． （3）求△COD 的面积． 分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系，根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ，又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 于 F ，根据勾股定理，便可求得． （2）∵x ，y 是2t 2 -30t+m=0的两根，那么x 1+x 2=2 30=15，x 1x 2=2 m ，结合（1）的结论便可求得x 、y 的值． 巩固练习、考点早实践
人教版九年级数学上册讲义 第二十四章圆 第8课时切线长定理和三角形的内切圆 教学目的1．掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算； 2．了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆． 教学重点掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算 教学内容 知识要点 1．切线长 定义：经过圆外的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 2．三角形的内切圆、内心的概念 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点． 对应练习 1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有( ) A．1个B．2个[ C．3个D．4个 3．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D.E.F，若∠DEF=52o， 则∠A的度为________．
4．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________． 5．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度． 6. 如图，已知AB为⊙O的直径，AD.BC.CD为⊙O的切线，切点分别是A.B.E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形. 试说明理由 G F E C B O A D 课堂总结 当从圆外一点可以引圆的两条切线，想到切线长定理 课后练习 1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠OBC＝50°，则∠A的度数是() A．40°B．50°C．80°D．100°
24.2.1 切线长定理导学稿 科目数学课题24.2.1 切线长定理讲课时间10.28设计人课型新授班级九年级姓名 1．认识切线长的观点 学习 2．理解切线长定理 目标 3．认识三角形的内切圆和三角形的心里的观点，娴熟掌握它的应用 学法指导自主、合作、研究 一、自主先学 阅读教材 P96 — 98 ,达成课前预习 知识准备 三角形的外心： 角均分线的性质定理： 角均分线的判断定理： 切线的性质定理： 切线的判断定理： 二、自学新知 问题 1：如图，纸上有一⊙ O， PA为⊙ O的一条切线，沿着直线po 将纸对折，设圆上与点A C 重合的点为 B，这时， OB是⊙ O的一条半径吗？ PB是⊙ O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的 PA与 PB，∠ APO与∠ BPO有说明关系？ A P A P O O B 由研究得出结论： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 如上图， PA、PB是⊙ O的两条切线， ∴OA⊥AP, OB⊥BP. 又 OA=OB, OP=OP, 在 Rt△ AOP和 Rt △BOP中 ∴ Rt△AOP≌Rt △BOP（）
∴ PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（） 由此获得切线长定理： 从圆外一点能够引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的. 思虑 2： 如图，是一张三角形的铁皮，怎样在它上边截下一块圆形的用料，而且使圆的面积尽可 能大呢？ （提示：假定切合条件的圆已经做出，那么它应该与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心 到三角形的三条边的距离都等于半径。怎样找到这个圆心呢？）． 并得出结论： 与三角形各边都是三角形三条 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心的交点，叫做三角形的心里。 三、讲堂练习： 例 1：如图△ ABC的内切圆⊙ O与 BC、CA、AB分别相切于点 D,E,F, 且 AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm, A 求 AF,BD,CE的长 .E F O B D C 例 2．如图，已知⊙ O是△ ABC的内切圆，切点为D、E、F，假如 AE=1，CD=2， BF=3，且△ ABC A 的面积为 6．求内切圆的半径r ． F E O B D C 四、小结 1、你还需要老师为你解决那些问题？ ________________________________________________________ 2、你对同学还有那些温馨的提示？ _________________________________________________
第二十四章圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时切线长定理及三角形的内切圆 学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心 的性质. 重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质. 难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 一、知识链接 1.切线的判定定理和性质定理是什么？ 2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？
二、要点探究 探究点1：切线长定理及应用 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 知识要点： 1.切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 问题2 PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 对折，设圆上与点A 重合的
点为B．图中OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？ 要点归纳： 切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 推理验证已知：如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC. 变式训练 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD 的周长为______． 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择
第16讲点、线与圆的位置关系 1、点在圆内⇒d r <⇒点C在圆内； 2、点在圆上⇒d r =⇒点B在圆上； 3、点在圆外⇒d r >⇒点A在圆外； A 1、直线与圆相离⇒d r >⇒无交点； 2、直线与圆相切⇒d r =⇒有一个交点； 3、直线与圆相交⇒d r <⇒有两个交点； （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 作辅助线： （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径。 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线∴PA PB ∠ =PO平分BPA P 1、三角形的外接圆与外心 2、三角形的内切圆与内心 考点1、点与圆的位置关系 例1、一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm 例2、⊙O的半径为10cm，A是⊙O上一点，B是OA中点，点B和点C的距离等于5cm，则点C和⊙O的位置关系是（） A．点C在⊙O内B．点C在⊙O上 C．点C在⊙O外D．点C在⊙O上或⊙O内 例3、一个点到一个圆的最短距离为4cm，最长距离为8cm，则这个圆的半径为．例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E为AB的中点，以B为圆心，BC为半径作圆，则点E在⊙O ． 例5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以点C为圆心的圆与AB相切．