直线和圆的位置关系姓名
切线长定理和弦切角定理
学习目标：
1．了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系；
2．了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理；
本节重点切线长定理的应用和弦切角定理的应用．难点探索圆的切线长定理和弦切角定理。
知识储藏
1．切线定义
和圆公共点的直线是圆的切线；
过的直线是圆的切线。
2.切线的性质：圆的切线过的半径。3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于；
4.圆周角定理的推论：
推论1、或所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的相等；
推论2、或所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是。
教材学习
1.切线长：
过圆上一点可以做条切线，过圆外一点可以做
条切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如图，线段PA、PB的长。
2．切线长定理：
如下图，易证Rt△PAO≌Rt△
PBO，故有PA=PB，∠APO=∠BPO。
定理：从圆外一点引圆的两
条切线，他们的切线长相等，圆
心和这点的连线平分两条切线
的夹角。
3.弦切角是指顶点在圆上，一边与圆相交、另一边和圆相切的角；
4.弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
5.弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角也相等．
典型例题
例1．如图，P为⊙0外一点，PA切⊙0
于A，PB切⊙0于B，BC为直径，求证：
AC//0P. 变式．如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.(1〕探索OC 与ED的位里关系，并加以证明；
(2〕假设OD=4，CD=6，求tan∠ADE
的值．
例2．如图，PA、PB切⊙0于A、B，PA=PB=4，∠APB=40º，C 是弧AB 上任意一点，过C作⊙0的切线分别交PA、PB于D、E, 求：(1〕△PED的周长；(2〕∠DOE的度数。
例3．：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D，与圆相交于E，连接BC。求证：(1〕点C平分弧AE；(2)BC2
自主检测
1．如图。PA、PB切⊙0于A、B。直线PO交⊙0于点D、E，交AB 于点C。
〔1〕写出图中所有的垂直关系；
〔2〕写出图中所有的全等三角形；
〔3〕如果PA=4，PD=2，求半径0A的长。
2、：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B 是切点，BC是直径。
求证：AC//OP
3、如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点
D、E、F，且AB=9cm，
BC=14cm，CA=13cm，求AF、
BD、CE的长。
4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D。
求证：AC平分∠BAD
5、如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O点C，AD⊥OB，垂足为D。
求证：∠1=∠2
6、：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD 切⊙O于点C，BD⊥PD垂足为D，与圆相交于E，连接BC.
求证：〔1〕点C平分弧AE 〔2〕BC2=A B·B D
7、如图，AD是⊙O的切线，AC 是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长。
8、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线交于点C，你能得出哪些结论？为什么？
9、如图，过圆内△ABC的顶点A作该圆的切线与BC的延长线交于P，∠APB的平分线分别交AB、AC于D、E.
求证：AD=AE
拓展
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C 的切线与AB的延长线相交于点D，A E⊥DC交DC于点E。〔1〕求证：AC是∠EAB的平分线；
〔2〕假设BD=2，DC=4，求AE和BC的长。
直线和圆的位置关系〔四〕
M O C
B
A 学习目标：
1．了解相交弦定理及其推论，会用相交弦定理及推论解决相关问题； 2．了解切割线定理及其推论，会用切割线定理及推论解决相关问题。 本节重点 相交弦定理的应用和切割线定理的应用．
难点 将有关圆的比例线段问度转化成相交弦问题和切割线问题。 知识储藏
1．相似三角形的性质：
假设两个三角形相似，则对应角 ，对应边 ； 2．相似三角形的判断方法：1) 2〕 、3) ； 3．圆周角定理的推论
或 所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 相等；
4．垂径定理：垂直于弦的直径平分 ； 5．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 。
教材学习
1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线
段长的积相等．
证明：如图，弦AB 和CD 相交于点P,
由 = ； = ； 得：△ ∽△ ,
故： = ；即： = 。
如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。〔类似于射影定理〕，如图，即： = 。 2． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 3．如图，PT 切线，PAB 是割线
易证：△ ∽△ 故： =
即： = .
4．切割线定理推论：
从圆外一点引圆的两条割线， 者点到每条割线与圆交点
的两条线段长的积相等。如图， PA.PB=PD.PC=PT 2
典型例题
例1. ，如图AB 、CD 相交于P,AB=12cm,P 将CD 分成4cm 和5cm 两局部．，求PA 、PB 的长。
例2．(1)如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，
P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果
713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．
(2)如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，32PA AB PC ===，，则
PD 的长是
O F
E
D
C B
A P
(3)如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，
5BF
FC
=．点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．
例3．：如图⊙0和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙0于P ，交⊙0′于Q 、M ，交AB 的延长线于N 。求证：NQ NM PN ⋅=2
自主检侧
1.AB 、AC 分别切⊙0于B 、C ，BC 交OA 于D ，连结0B 、OC ，则圆中的直角三角形共有〔 〕个. A .3 B 4 C 5 D 6 2．AB 切⊙O 于B ，ACD 是过O 点的割线，且∠A=50º，则BC 弧的度数为〔 ) A .50º B 140º C ．90º D.280º
3．过⊙0外一点P 引圆的两切线PA 、PB ，A 、B 是切点，∠P=9O º，OP=4，则⊙0半径的长为〔 〕
A .4 B. 8 C 22 D ．2
4．BC 是⊙0的直径，P 是BC 延长线上一点，且PC=OC ，PA 是⊙0的切线，且PA=3，则⊙0半径为〔 〕A .3 B .6 C 3 D 32 5.：⊙0的半径为3cm ，P 为⊙0外一点，且OP=6cm ，则两条切线所夹的∠CPD= 度和切线长 cm ．
6．：AB 为⊙0的弦，D 为AB 的中点，CD ⊥AB 于D ，AB=10cm ，CD=3cm ，则⊙O 的半径= cm ．
7．己知：PC 为⊙0的切线，C 为切点，PAB 为⊙0的割线，假设PA=4cm ，AB=5cm ，则PC= cm ． 图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，假设
1.54AM BM ==，，则OC 的长为
A B
C
D
E
F O O
D
C
B A
P
9．：如图，在△ABC 中，∠BAC=90º，以AB 为直径作⊙0的切线交BC 于E 点，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E 点，求证：AE=EC
作业
A 组
1．圆外切四边形ABCD 中，AB=2，BC=3,CD=4，则AD= 2．从圆外一点向圆所作两条切线的夹角为600，切线长是10
厘米，则圆的半径长为 厘米，
3．PA 、PB 分别切⊙0于A 、B ，DE 切⊙0于C 点，DE 分别交PA 、PB 于E 、D 点，假设⊙0半径长为6cm ，PO=10cm ，则△PED 的周长为 cm 。
4、如图1，AB 、AC 是⊙0的两条切线，切点为B 、C ，D 是优弧BC 上一点，己知∠BAC=80º，那么∠BDC= 度。
5、如图2，AB 和AC 分别切⊙0于B 、C ，AB=50，DE 是⊙O 的切线，与AB 、AC 分别交于D 、E ，则△ADE 的周长为〔 ) A .25 C 75 D 100 6．假设圆外切四边形ABCD 的面积为20平方厘米，AD 边与BC 边的和为10厘米，则该圆半径长为〔 〕 厘米 厘米 B 组
7、如图3，在圆的内接四边形ABCD ，AC 平分∠BAD,EF 切⊙0
于C 点，那么图中与∠DCF 相等的个数是〔 〕
8、在直径为8的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为4，经过点P 作圆的两条切线，则切线的长为 ，两切
线的夹角为 ；
9如图4，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，假设6PC =，则O ⊙半径为 ，:CD DP =__________．
O Q P D C
B
A
10如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连
结DP 交AC 于点Q ．假设QP QO =，则QC
QA
的值为_______.
11、如图，AB 是圆的直径，C 是圆上一点，CD ⊥AB ，过C 、B 作圆的切线，它们相交于点E,连接AE ，交CD 于P 。求证：(1)AB AD BE PD =
(2)PC=PD
12.如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ⋅=⋅．
13.：AD 切△ABC 的外接圆于A ，交
BC 的延长线于D ，DF 平分∠ADB ，分 别交AC 、AB 于E 、F 。 求证：〔1〕DC ︰DB = AC 2︰AB 2 〔2〕AE = AF 〔3〕AE 2 = CE ·BE
14.如图4，AD 为⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，过B 的割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，假设AB
，求⊙O 的半径。
P
D C
O
B
A
O F E
D C B A
D A B
C E F
苏科版九年级数学上册《切线长定理》教案及 教学反思 一、教学目标 知识目标 1.了解切线的概念和性质 2.掌握切线长定理的公式及其推导方法 3.了解切线长定理在实际中的应用 能力目标 1.能够运用切线长定理解决实际问题 2.能够运用数学知识思考并解决问题 二、教学重点 1.切线的概念和性质 2.切线长定理的公式及其推导方法 3.切线长定理在实际中的应用 三、教学难点 1.切线长定理的公式推导方法 2.切线长定理的应用 四、教学内容及方法 1. 切线的概念和性质 教学内容： 1.切线和圆的概念 2.切线与半径的关系 3.切线垂直于半径定理 4.与圆相交线段的长度性质
教学方法： 1.板书呈现切线和圆的图形，引导学生发现切线和圆的性质 2.利用图形演示板进行展示 3.通过数学作图软件比如 Geogebra 进行实时演示2. 切线长定理的公式及其推导方法 教学内容： 1.切线长定理的公式 2.切线长定理的推导 3.切线长定理的运用 教学方法： 1.讲解切线长定理的公式推导，演示利用相似三角形原理进行公式的推导过程 2.小组合作演练，将切线长定理应用到不同的题目中去 3.教师分组进行讲解，让部分学生发言与讲解 3. 切线长定理在实际中的应用 教学内容： 1.切线长定理在实际中的应用 2.利用切线长定理解决实际问题 教学方法： 1.教师通过具体问题将切线长定理与实际紧密结合，让学生感受到其重要性并懂得如何运用 2.学生们自主寻找小组或个人实际问题，探讨如何运用切线长定理解决，并且进行报告
五、教学反思 本次教学反思主要分为以下几个方面： 1. 教学内容的选择 本节课教学内容紧密与圆相关，将活字美化在图形中，让学生获得了较好的视觉体验。通过图形发现圆的性质以及切线的概念和性质，教师把握了学生的心理感受，在这部分内容中深化学生对切线和圆的认识与理解，高效率地达到了本次教学目标。 2. 教学方法的选择 本次教学活动采用了多种教学方法，如板书、演示讲解、DIY 活动、小组合作等，这不仅可以在一定程度上增强了学生的兴趣爱好，还拓展了他们的思维方式，促进了交流合作和自主学习能力的提高。 3. 反思与下一步的改进 本次教学活动，教师从多个角度出发，设计了许多不同形式的教学环节，使得学生们具有了更多的参与性，这取得了良好的教学效果。下一步，我会更加关注学生的学习特点，尝试应用更加多样化的教学方法增加学生的参与度。同时，也要关注学生的感受，调整教学节奏和形式，达到最优的教学效果。 六、参考资料 1.程华.数学.九年级上册.苏科版. 2.薛定谔.数学的精神.北京大学出版社. 以上为本次《苏科版九年级数学上册《切线长定理》教案及教学反思》的全部内容，谢谢阅读！
29.4 切线长定理 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、
二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、 B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点 C 在AB ︵ 上．若PA 长为2，则△PEF 的周长 是________．
解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝1 2∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB . 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学 采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺， 按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
《3.7切线长定理》教案 教学目标： 1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系. 2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力. 3．应用切线长定理进行相关的计算和证明. 教学重、难点： 重点：切线长定理及推论. 难点：应用切线长定理解决问题 教学过程： 一、知识回顾，引入新课 活动内容： 前面认识了圆的切线的性质和判定定理，并知道过⊙O上任一点A只能作一条切线,那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进入今天的课堂学习. 1.根据条件画出图形 已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法? P 处理方式：
学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法. 最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线. 设计意图： 在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的性质和判定，为下面的学习做好经验和事实铺垫. 二、合作探究，感悟新知 活动内容：认识切线长 如图1，是我们所画的图形，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B 是切点，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 图1 问题1：切线长是如何定义的？ 问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别
和联系？ 处理方式： 问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示) 问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示) 设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系. 活动内容：探索切线长定理 问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？ 问题3：如何证明你的猜想？ 处理方式： 问题1学生直接判断. 问题2当学生回答PA=PB、∠POA=∠POB时，师关注学生是
优质课教案 切线长定理 西平县权寨中学 2018年3月1日
切线长定理 一、教学设计 教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习稳固切线长定理。 学情分析 我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。 教学目标 一、知识与技能： 1.了解切线长的概念． 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形
角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题． 二、数学思考： 1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。 三、解决问题 1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。 2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。 四.情感、态度与价值观 培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。 二、教学过程 复习稳固：〔放投影，提问〕 1．如图，PA与⊙O相切于点A，则PA_________OA。 2．如图，四边形ABCD的各边均与⊙O相切，则这个四边形叫圆的_________四边形。
24.4 直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点，难点)； 2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点：切线长定理及应用 【类型一】 利用切线长定理求线段的长 如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若P A 长为2，则△PEF
的周长是________． 解析：因为P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以P A＝PB.因为⊙O的切线EF分别交P A、PB于点E、F，切点为C，所以EA ＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF ＋PF＝P A＋PB＝2＋2＝4. 方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O 上，如果∠ACB＝70°，那么∠OP A的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OP A＝ 1 2∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
3.7切线长定理 【教学内容】切线长定理 【教学目标】 知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题； 过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。从而发现事物之间的相互联系。 【教学重难点】 重点：切线长定理及其应用。 难点：切线长定理及其应用 【导学过程】 【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？ 2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】 过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、 经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。 注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量， 而切线长是线段， 度量. 探究二： 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言： PA PB 、是⊙O 的两条切线 _____________,________________ . （2）如何证明切线长定理呢？ 已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明： （3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形. （图2） A B O A B O
直线和圆的位置关系姓名 切线长定理和弦切角定理 学习目标： 1．了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系； 2．了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理； 本节重点切线长定理的应用和弦切角定理的应用．难点探索圆的切线长定理和弦切角定理。 知识储藏 1．切线定义 和圆公共点的直线是圆的切线； 过的直线是圆的切线。 2.切线的性质：圆的切线过的半径。3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于； 4.圆周角定理的推论： 推论1、或所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的相等； 推论2、或所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是。 教材学习 1.切线长： 过圆上一点可以做条切线，过圆外一点可以做 条切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如图，线段PA、PB的长。 2．切线长定理： 如下图，易证Rt△PAO≌Rt△ PBO，故有PA=PB，∠APO=∠BPO。 定理：从圆外一点引圆的两 条切线，他们的切线长相等，圆 心和这点的连线平分两条切线 的夹角。 3.弦切角是指顶点在圆上，一边与圆相交、另一边和圆相切的角； 4.弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 5.弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角也相等． 典型例题 例1．如图，P为⊙0外一点，PA切⊙0 于A，PB切⊙0于B，BC为直径，求证： AC//0P. 变式．如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.(1〕探索OC 与ED的位里关系，并加以证明； (2〕假设OD=4，CD=6，求tan∠ADE 的值． 例2．如图，PA、PB切⊙0于A、B，PA=PB=4，∠APB=40º，C 是弧AB 上任意一点，过C作⊙0的切线分别交PA、PB于D、E, 求：(1〕△PED的周长；(2〕∠DOE的度数。 例3．：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D，与圆相交于E，连接BC。求证：(1〕点C平分弧AE；(2)BC2 自主检测 1．如图。PA、PB切⊙0于A、B。直线PO交⊙0于点D、E，交AB 于点C。 〔1〕写出图中所有的垂直关系； 〔2〕写出图中所有的全等三角形； 〔3〕如果PA=4，PD=2，求半径0A的长。 2、：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B 是切点，BC是直径。 求证：AC//OP
切线长定理
主要参考资料九年级教学参考资料和创优教案 自信课堂教学进程 一、激趣导入生发自信 这节课我们继续来研究切线. △ABC的三条角平分线，有什么结论？ 2.回忆切线的判定定理和性质定理？ 二、自主合作彰显自信 探究（一）： （一）切线长定理 1.操作探究：从上面的复习，可知，过⊙O上任一点A都可以作圆的一条切线，且只能作一条，根据下面提出的问题，操作、思考、并解决问题：在纸上画⊙O，并画出过圆上点A的切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用圆的轴对称性，思考图中的线段PA与线段PB，∠APO与∠BPO有什么数量关系？ 分析：对折之后，OB与OA重合，OA是半径，OB也是半径. B为OB•的外端， 根据对折后角的度数不变，所以PB是⊙O的又一条切线，且PA=PB，∠APO= ∠BPO． 我们把线段PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长． 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2.几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 分析：据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件，易得只要证明两个对应的三角形全等即可. 得到 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
B A C E D O F 切线的夹角． 探究（二）： （二）三角形的内切圆 如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 三、展示提升 赏识自信 1：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB.分别相切于点D ，E ，F 且AB ＝9cm ，BC ＝14cm ，CA=13cm ，求AF ，BD ，CE 的长 2.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，CD=1，AE=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ． 分析：可知OD 、OE 、OE 分别垂直于BC 、AC 、AB ，由于面积是已知的，•因此转化为面积法来求．连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•问题迎刃而解． 四、拓展延伸 完善自信 1.如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ． （1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x 、y 是方程2t 2 -30t+m=0的两根，求x ，y 的值． （3）求△COD 的面积． 分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系，根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ，又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 于 F ，根据勾股定理，便可求得． （2）∵x ，y 是2t 2 -30t+m=0的两根，那么x 1+x 2=2 30=15，x 1x 2=2 m ，结合（1）的结论便可求得x 、y 的值． 巩固练习、考点早实践
第3课时 切线长定理 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分 别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周 长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，
CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360° －90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12 ∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB . 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将 铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得
24.2.2 第3课时切线长定理 教学目标 一、根本目标 【知识与技能】 1．了解切线长的概念，并理解切线长定理． 2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆． 3．理解和灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识开展解决实际问题的能力． 【过程与方法】 经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想． 【情感态度与价值观】 了解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 二、重难点目标 【教学重点】：切线长定理． 【教学难点】：应用切线长定理解决问题． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习． 【3 min反应】 1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间线段的长叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角． 3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，假设P A＝4，则PB＝__4__. 4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆． 5．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__， 它到三边的距离__相等__. 环节2合作探究，解决问题 【活动1】小组讨论(师生对学) 【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________. 【互动探索】(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些线段相等？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？ 【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.
*3.7 切线长定理 1．理解切线长的定义；(重点) 2．掌握切线长定理并能运用切线长定 理解决问题．(难点) 一、情境导入 如图①，P A为⊙O的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对 折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是 圆的一条对称轴， 两半圆重合．设与点A重 合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半 径，PB是⊙O的一条切线．图中P A与PB、 ∠APO与∠BPO有什么关系？ 二、合作探究 探究点：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求线段的 长 如图，从⊙O外一点P引圆的两 条切线P A、PB，切点分别是点A和点B， 如果∠APB＝60°，线段P A＝10，那么弦 AB的长是() A．10 B．12 C．5 3 D．10 3 解析：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A ＝PB.∵∠APB＝60°，∴△P AB是等边三角 形，∴AB＝P A＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是在圆中判断线天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力
段相等的主要依据，经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】利用切线长定理求角的度数 如图，P A、PB是⊙O的切线，切 点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、 PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA ⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又 ∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360° －∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－ 140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠ OP A＝ 1 2 ∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线， 可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外 根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第3题 【类型三】利用切线长定理求三角形 的周长 如图，P A、PB、DE是⊙O的切 线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm， ⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长． 解析：连接OA，根据切线的性质定理， 得OA⊥P A.根据勾股定理，得P A＝12，再根 据切线长定理即可求得△PDE的周长． 解：连接OA，则OA⊥P A.在Rt△APO 中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理， 得AP＝12cm.∵P A、PB、DE是⊙O的切线， ∴P A＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE 的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE ＝PD＋DA＋EB＋PE＝P A＋PB＝2P A＝ 24cm. 方法总结：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连 线，平分两条切线的夹角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第4题 【类型四】利用切线长定理解决圆外 切四边形的问题 如图，四边形ABCD的边与圆O 分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、 CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理 由． 解析：直接利用切线长定理解答即可． 解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵ 四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、 F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF， AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC
切线长定理 教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想， 熟悉用代数的方法解几何题。 教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程： 一、复习引入： 1．切线的判定定理和性质定理． 2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 （1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。 OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？ 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆
心的连线平分两条切线的夹角． （2）几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO． 证明： 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3、三角形的内切圆 思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段 （2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____ 例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且 AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S△ABC=1810,求⊙O的半径。 三、巩固练习 1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6，则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
“切线长定理”教学设计 一、教材分析 本节课是九年级下册第三章第7节的内容，是选学内容，本节课之前已经学习如何过圆上一点画圆的切线，三角形的内切圆，本节课主要学习如何过圆外一点画圆的两条切线，了解切线长的定义，理解切线长定理，该定理是一组线段的相等，为数学问题的解决提供相应的思考思路. 二、学生知识状况分析 学生已学习了直线和圆的位置关系，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆，在这些知识的基础上，学生具备学习本节课的基础. 三、教学目标 1.学生会过圆外一点画圆的两条切线，了解切线长定义理解并掌握切线长定理. 2.会利用切线长定理解决问题. 四、教学重难点 1．教学重点：掌握切线长定理. 2．教学难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 五、教学方法问题探究式教学法 六、教学准备多媒体课件、预习提纲 七、教学过程设计分析 一、新课引入-画一画 问题1：如图1，如果点P是圆外一点，如何过点P作该圆的切线呢？ 图1 问题2：如图2,过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？
图2 活动目的：学生回顾过圆上一点画圆的切线，延伸到过圆外一点画圆的切线，在这过程中，学生会发现过圆外一点可以画圆的两条切线，这个结论的获得，可以借助三角板，可以建立在自己已有的认知上. 二、新知探究—切线长定义 1.切线长的定义： 板书：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．如图：即线段AP，BP的长就是切线长. 2.切线长与切线的区别在哪里？ 图3 3.折一折 如图4,P A,PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 图4
第3课时切线长定理 一、教学内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“直线和圆的位置关系”（第三课时） 二：教学内容解析 本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。 三：教学流程安排 四：教学目标与重难点： 【知识与技能】
理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力 【教学重点】 切线长定理及其应用 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O， 和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切 内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较“接”
* 切线长定理 1．理解和掌握切线长定理；(重点) 2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点) 一、情境导入 有一天, 同学们去王老师家做客, 王老师正在洗锅, 就问：谁能测出这个锅盖的半径, 就可以得到一根雪糕, 同学们都跃跃欲试, 但老师家里只有一个曲尺, 到底谁能得到这根雪糕呢？ 教师引导学生发现A 、B 分别为⊙O 与P A 、PB 的切点, 连接OB , OA , 那么四边形OAPB 是正方形, 所以, 圆的半径为A 点或B 点的刻度, P A ＝PB . 如果这根尺子的夹角不是90°, 是否还能得到P A ＝PB? 二、合作探究 探究点：切线长定理及应用 【类型一】 利用切线长定理求线段的长 如图, 从⊙O 外一点P 引圆的两条切线P A 、PB , 切点分别是A 、B , 如果∠APB ＝60°, 线段P A ＝10, 那么弦AB 的长是( ) A ．10 B ．12 C ．5 3 D ．10 3 解析：∵P A 、PB 都是⊙O 的切线, ∴P A ＝PB .∵∠APB ＝60°, ∴△P AB 是等边三角形, ∴AB ＝P A A. 方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据, 在圆中经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第1题 【类型二】 利用切线长定理求三角形的周长 如图, P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B , ⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F , 切点C 在AB ︵上．假设P A 长为2, 那么△PEF 的周长是________． 解析：因为P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B , 所以P A ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F , 切点为C , 所以EA ＝EC , CF ＝BF , 所以△PEF 的周长＝PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝P A ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4.
29.4切线长定理 人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。《左传》 原创不容易，【关注】，不迷路！ 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易 证△POA≌△POB，∴∠OPA＝1 2 ∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分APB. 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm. 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切，则⊙O的半径为________．
《切线长定理》教案 课题：§6.10切线长定理 1、教学目标： （1）、知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。 （2）、能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 （3）、素质目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 （4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2、教学重点：理解切线长定理 3、教学难点：应用切线长定理解决问题 4、教学方法： 教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成本节课的教学。 5、课型：综合课 6、教具： 多媒体计算机、自制圆半径测量仪、悠悠球 7、学具： 刻度尺2把、量角器、圆规、水杯、强力胶 8、教学实施过程：
教学 过程 教学内容师生相互交往设计意图 一、 激发情趣导入新课 同学们，请看这是什么玩具？（悠悠球）对，这 是大家非常喜爱的一种玩具。（教师演示一次）可是， 大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包含 着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下它的构 造。（拆开球，出示球的剖面）这是悠悠球在转动的一 瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（球 的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可 抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？ （两圆为同心圆，线段所在直线和小圆相切）[在 这两问中，如果学生想不到球的整体时，这个圆可以 不提] 线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？（一个 是切点在小圆上，一个在小圆外） 我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段 的长度。在几何中，我们把满足上述特征的线段的长 叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的 有关知识。 教师出示同学们熟 悉并且喜爱的玩具之后 连续几问转入正题。 学生看到玩具眼睛 一亮，注意力被吸引， 想到老师为什么会在课 堂上拿出悠悠球，一时 兴致勃勃。当老师话锋 一转，步入正题时，他 们的兴致也随之而来， 带着强烈的好奇心思考 老师提出的问题。 此时教师又引导学 生说出线段的特征，不 失时机地引入新课，板 书课题。 吸引学 生的注意 力，激发学 生的求知 欲，同时也 使学生意识 到数学知识 广泛存在于 日常生活之 中。 二、合乎情理探索发现 （一）、切线长定义 1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点 和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。 （线段的长叫做切线长） （2）定义中的“线段”具有什么特征？ ①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个 是圆外已知点。 3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O 相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段 的长来表示？（线段PA） C 图1 图2 （2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点 A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来 表示？（线段PA或线段PB） （3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三 条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段 最多可以有几条？为什么？ （4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的 线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某 种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索 问题1，从而进入定理教学。 教师在板书定义 之后，通过对话交往， 引导学生把对概念的感 性认识上升到理性认 识，然后在图形中进行 识别，从而认识概念的 本质特征，理解概念的 外延。在对话中，教师 以民主的精神、平等的 作风、宽容的态度、真 挚的爱心和悦纳的情怀 对待学生，在相互倾听、 接受和共享中获得知 识，使教学相长。 此处通过学生思 考得出结论，再次加深 学生对概念的理解，也 使学生了解切线长与切 线的关系，同时由这个 结论教师适时引出探索 问题1 使学生 了解切线长 的定义，并 能在具体的 图形中把它 们识别出 来。 培养学 生合情推理 能力、语言 表达能力。 P O A B A P O
切线长定理 九年级数学教案 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的 学习 兴趣，调动学生的 学习 积极性，树立科学的 学习 态度． 教学重点 : 切线长定理是 教学重点 教学难点
: 切线长定理的灵活运用是 教学难点 教学过程 设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、 切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的 切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．