初中数学专题复习---分式及分式方程
知识要点
一、认识分式
1、分式的定义：两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式. 定义：整式A 除以整式B ，可以表示成
B A 的形式，.如果除式B 中含有字母，那么称B
A 为分式，对于任意一个分式，分母都不能为零. ①分式
B
A 有意义的条件是：
B ≠0， ②分式B
A 无意义的条件是：B=0， ③分式
B A 的值为0的条件是：A=0，B ≠0， 2、整式和分式统称为有理式，即有：⎩⎨
⎧分式整式有理式 3、分数的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。 )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A
4、一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分。一个分式的分子、分母没有公因式时，分式叫最简分子，通常情况下，分子化简的结果为最简分子或整式。
二、分式的乘除法
1、分式乘以分式：用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即：BD AC D C B A =⋅, C
B D A
C
D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2、分式乘方 把分子、分母分别乘方，即：)(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当n 为整数时，仍然有n n n B A B A =⎪⎭
⎫ ⎝⎛成立. 3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
三. 分式的加减法
1、分式与分数类似，也可以通分，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
2、分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减
(1)、同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；上述法则用式子表示是：
C B A C B C A ±=± (2)、异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式,然后再加减
上述法则用式子表示是:
BD
BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3、概念内涵
通分的关键是确定最简分母，其方法如下：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解。
4、分工的混合运算：同分数一样。
四、分式方程
1、分式方程的定义：分母里含有未知数的有理方程叫做分式方程
2、解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。;
②解这个整式方程。
③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公母为零的根是原方程的增根，必须舍去.（分式方程必须验根）
3、列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意
②设未知数
③根据题意找相等关系,列出(分式)方程
④解方程,并验根
⑤写出答案.
五、典型例题 例1：（启航）已知：x2-5x-2010=0，则代数式
21)1()2(22-+---x x x 的值是多少？ 2014
例2：（启航）若m 等于它的倒数，则分式
224442
22-+÷-++m m m m m m 的结果为 ±1 。
例3：（启航）若
)
1)(1(311-+-=-++x x x x B x A ，求A 、B 的值。 例4：（启航）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x 千米，另一半时间每天维修公路y 千米．乙队维修前1千米公路每天维修x 千米；维修后1千米公路时，每天维修y 千米（x≠y）．
（1）求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含x 、y 的代数式表示）；
（2）问甲、乙两队哪队先完成任务？ （甲先）
例5：（启航）分式方程
)2)(1(11+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为多少？ （ 0、3）
例6：（启航）若分式方程
k x x +=-443有正根，求k 的取值范围 （k ＞-16/3且k ≠-4）
A ．-1.5
B ．1
C ．-1.5或2
D ．-0.5或-1.5
例9：（启航）如果关于x 的方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤---8
)3(2221x x x x 的一个解，求m 的取值范围。 （m ＞0）
例10：（启航）第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A 、B 两种山娃纪念品，其中A 种纪念品的利润率为10%，B 种纪念品的利润率为30%．当售出的A 种纪念品的数量比B 种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A 种纪念品的数量与B 种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率为 17.5% ．（利润率=利润÷成本）
例11：（启航）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ （②⎪⎩⎪⎨⎧=+≤+115
10141915b a b a ，求得：a ≤4，b ≥9，所以：4、9或2、12）
例12：：已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111
的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式=++++++++a ab a ab abc ab a abc abc abc ab
1 =
++++++++=++++=a ab a ab ab a abc a ab
a a
b ab a 11111
1 例13：： 已知a 、b 、c 为实数，且ab a b bc b c ca c a +=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca
++的值是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：
113114115a b b c c a +=+=+=，， 所以211112()a b c
++= 即1116a b c
++= 又因为ab bc ca abc c b a
++=++=1116 所以abc ab bc ca ++=16
初中数学专题复习---分式及分式方程 知识要点 一、认识分式 1、分式的定义：两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式. 定义：整式A 除以整式B ，可以表示成 B A 的形式，.如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，对于任意一个分式，分母都不能为零. ①分式 B A 有意义的条件是： B ≠0， ②分式B A 无意义的条件是：B=0， ③分式 B A 的值为0的条件是：A=0，B ≠0， 2、整式和分式统称为有理式，即有：⎩⎨ ⎧分式整式有理式 3、分数的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。 )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A 4、一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分。一个分式的分子、分母没有公因式时，分式叫最简分子，通常情况下，分子化简的结果为最简分子或整式。 二、分式的乘除法 1、分式乘以分式：用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即：BD AC D C B A =⋅, C B D A C D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2、分式乘方 把分子、分母分别乘方，即：)(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当n 为整数时，仍然有n n n B A B A =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛成立. 3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 三. 分式的加减法
丹桂分式方程 《分式方程》复习指导 一、课标要求 1、了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程. 2、了解产生增根的原因,会检验一个数是不是分式方程的增根。 3、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 4、通过实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的思想，培养我们努力寻找解决问题的方法的进取心，体会数学的应用价值。 二、知识要点回顾 1、分式方程的概念 分式方程是分母中含有未知数的方程. ①分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据，如 2 x 1 x =和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程)。 ②判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母。如方 程x 1 a =（a是常数，且a≠0，x是未知数)就不是分式方程。 2、分式方程的解的意义 使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。 注意：①由于分式方程都可以化为一元一次的整式方程，故它的解至多一个，也可能无解；②可用代入 法检验一个数是否是分式方程的解，或进一步确定待定常数。 3、如何解分式方程？ （1）解分式方程的基本思想—-—“转化"思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了. （2）解分式方程的步骤： 分式方程是转化为一元一次方程来求解,它是通过去分母实现转化的.主要步骤：去分母，去括号,移项，合并同类项,系数化为1，检验。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。 4、去分母的技巧 去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步,当分式方程中分式的分母是一次式时,可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母；当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解,再确定最简公分母，然后再去分母。
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略 考点01 一元一次方程相关概念 1．等式的性质： （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式． 2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0． 3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤： 步骤 解释 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为b x a =- 【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()23 16m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．任何数 【答案】B 【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B. 【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____． 【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．
初三数学专题复习 分式方程 【基础知识回顾】 一、分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】 二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即 分式方程 ﹥整式方程 2、解分式方程的一般步骤： ①、 ②、 ③、 3、增根： 在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程 的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。 【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原 方程去分母后的整式方程无解。如： 13 1=---x x a x 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】 三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。 【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】 【重点考点例析】 A ．a≤-1 B ．a≤-1且a≠-2 C ．a≤1且a≠-2 D ．a≤1 点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为转化 去分母
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对应训练 考点三：由实际问题抽象出分式方程 例3 （2013•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．14401440 10100x x -=- B ． 14401440 10100x x =++ C ．1440144010100 x x =+- D ．1440144010100x x -=+ 思路分析：首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间-10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可． 对应训练 4．（2013•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x 人，那么x 满足的方程是（ ） A ．48005000 20x x = - B ． 48005000 20x x = + C ．4800500020x x = - D ．4800500020x x = + 考点四：分式方程的应用 例4 （2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
第五章分式与分式方程单元复习-教案 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即 当B≠0时，分式A B 才有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的
分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac b d bd ⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad b d b c bc ÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】 类型一、分式及其基本性质 1、下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ） A. 1 21 x + B. 1 21 x - C. 213x x - D. 2 53 21 x x ++ 【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断.
期末专题复习 分式 知识点1 分式的定义 我们将 的式子叫做分式。 练习 下列各式是分式的打√，不是分式的打╳. ①23-x ② a 21 ③222n m - ④x 1 ⑤π1 ⑥2 22y x x - ⑦)(1y x x + ⑧1-xy 知识点2 分式有意义的条件 当分式的 时，分式有意义。 练习 x 取何值时，下列分式有意义？ ① 21+x ②x y x 3- ③)3)(1(2 -+-x x x ④422-+x x ⑤x x x 312+- ⑥112+x ⑦y x y x +- 知识点3 分式的值为零的条件 当分式的分子 ，分母 时，分式的值为零。 练习 x 取何值时，下列分式的值为零？ ① 31-+a a ②3)2)(1(+++a a a ③112--a a ④x x x 39 22 -- 知识点4 分式的基本性质 分式的分子、分母同时 ，分式的值不变。 练习 1. 利用分式的基本性质填空： ①x x x x 3322+=+ ②123692-=-x x x xy ③2)(b a b a b a -=+- ④2 4 4422+=+--x x x x 2. 约分： （1）ac ab 1510- （2）y x y x 322.36.1- （3）1 1 2--m m （4） y x x xy y -+-2442 2 （5） 3 2 2 )(27) (12b a a b a -- （7）2 2164m m m -- （8）2 4 42-+-x x x 知识点5 分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，把它们的分子、分母 . 除法法则：分式除以分式，将除式中的分子、分母 . 用符号表示为：bd ac d c b a =? bc ad c d b a d c b a =?=÷ 练习 1.填空： ①=-?)29(283x y y x __ ____． ②=+-÷-x y x x xy x 33322 __ ____． ③=+÷+)(1b a b a ___ ___． ④=--?++?+ab a b a b ab a b ab 2222222 . 2. 计算： ①2 32285xy y x y ? ② n m m n m m n m n m --÷--242222 ③11 .11)1(12 2+-÷--x x x x ④ 2 2 29425523a b a b a a --?++ ⑤a b b ab a b ab a b a a 2 22222242?+÷+-- ⑥x x x x x x --?-÷+--32)3(44622
注意： 1）增根：使分式方程中的分母为0的根即为增根. 2）在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 3）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母 中考数学复习《分式方程及其应用》经典题型（含答案） 知识点一：分式方程及其解法 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 变式练习：在下列方程中，①3210x +=；②24x y +=-；③4 11x x =-，其中是分式方程的是③. 2.解分式方程 基本思路：分式方程 整式方程 变式练习：将方程12211x x +=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1). 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； 分两步，第一步将各个分母因式分解，第二步方程两边都乘以最简公分母（最简公分母是指各个分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积），得整式方程。 (2)解所得的整式方程； 移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值; (3) 检验： 求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。 方程两边同乘以 最简公分母 约去分母 注意：若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号
变式练习1：分式方程3x ＋1＝2x 的解是________． 【解析】方程两边同乘x (x ＋1)，得3x ＝2(x ＋1)， 去括号得，3x ＝2x ＋2， 移项得，3x －2x ＝2， 合并同类项得，x ＝2， 经检验， x ＝2是原分式方程的解． 变式练习2：若分式方程101 x =-有增根，则增根为1. 变式练习3：2＋x 2－x ＋16x 2－4 ＝－1. 【解析】去分母得：－(x ＋2)2＋16＝4－x 2， 去括号得：－x 2－4x －4＋16＝4－x 2， 解得：x ＝2， 经检验x ＝2是增根， 分式方程无解 变式练习3：小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘x 得1－(x －2)＝1 ……① 去括号得1－x －2＝1 ……② 合并同类项得－x －1＝1 ……③ 移项得－x ＝2 ……④ 解得x ＝－2 ……⑤ ∴原方程的解为：x ＝－2 ……⑥ 【解析】：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边同乘以x ，得：1－(x －2)＝x ，去括号得：1－x ＋2＝x ，移项得：－x －x ＝－1－2，合并同类项得：－2x ＝－3，解得：x ＝32，经检验x ＝32是分式方程的解，则方程的解为x ＝32 知识点二 ：分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用 复习目标 1、了解分式方程的概念。 2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。 考点梳理 一、分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 二、分式方程的解法 去分母法，换元法． 例1、解分式方程：=﹣． 【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5，
解得x=6． 检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程： 21 233 x x x -+= --． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =． 经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =． 注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，
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2 【知识梳理】 1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式B A 叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算 4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程． 5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】 1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式） 2.检验 知识网络结构图 分式的概念 分式的概念 分式的意义、无意义的条件 分式的值为0的条件 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则 分式的除法规则 分式 同分母分式的加减法法则 分式的运算 分式的加减法法则 异分母分式的加减法法则 运算性质 负正数指数幂 科学记数法 公式方程的概念 解分式方程的步骤 分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解 列分式方程应用题的步骤 专题总结及应用 一、识性专题 专题1 分式基本性质的应用 【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题. 例1 化简 (1) 2610xy x ; (2) 21 xy y x --； 例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫ +÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝ ⎝ 例3 已知13x x +=,求2 421 x x x -+的值. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求 2 x x y x y - -的值. 例5 已知 345,x y y z z x ==+++求()()()xyz x y y z x z +++的值. 例6 已知 ,,x z a c y z x y ==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 例7 已知1,x y z y z z x x y ++=+++且0x y z ++≠,求222 x y z y z x z x y +++++的值. 例8 已知 ,345x y z ==求23x y x y z +-+的值. 例9 已知 ,a b b c a c k c a b +++===求21 k k +的值. 例10 已知111 ,a b a b += +求b a a b +的值. 例11 已知1 4x x +=,求下列各式的值. (1)2 21x x +; (2)2 42 1 x x x ++. 例12 如果方程 11322x x x -+=--有增根, 那么增根是 . 例13 若关于x 的方程 2403 x x a x -+=-有增根, 则a 的值为 ( ) B. –11 C. 9
专题04 分式与分式方程 一．选择题 1．（2022·广西玉林）若x 是非负整数，则表示22 24 2(2)x x x x --++的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①或② 2．（2022·黑龙江绥化）有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ） A ． 1212 304x x += B ． 1515244x x += C ． 3030242x x += D ． 1212302x x += 3．（2022·山东威海）试卷上一个正确的式子（11a b a b ++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被 墨汁遮住部分的代数式为( ) A ． a a b - B ． a b a - C ． a a b + D ． 22 4a a b - 4．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程23 111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m > B ．4m < C ．4m >且5m ≠ D ．4m <且1m ≠ 5．（2022·广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ） A ． 1.48 2.413 x x -=- B ． 1.48 2.413 x x +=+ C ． 1.428 2.4213 x x -=- D ． 1.428 2.4213 x x +=+ 6．（2022·海南）分式方程 2 101 x -=-的解是（ ）
2013年中考数学专题复习第五讲：分式 【基础知识回顾】 一、分式的概念 若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式 【赵老师提醒：①：若则分式A B 无意义 ②：若分式A B =0，则应且】 二、分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。 1、a m a m ⋅ ⋅ = a m b m ÷ ÷ = （m≠0） 2、分式的变号法则 b a - = b 3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。 约分的关键是确保分式的分子和分母中的 约分的结果必须是分式 4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分 通分的关键是确定各分母的 【赵老师提醒：①最简分式是指 ②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分 ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】 三、分式的运算： 1、分式的乘除 ①分式的乘法：b a . d c = ②分式的除法：b a ÷ d c = = 2、分式的加减 ①用分母分式相加减：b a ± c a = ②异分母分式相加减：b a ± d c = = 【赵老师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是
的过程 ②异分母分式加减过程的关键是】 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a )m = 1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算 括号里面的。 2、分式求值：①先化简，再求值。 ②由值的形式直接化成所求整式的值 ③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中 【赵老师提醒：①实数的各种运算律也符合公式 ②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】 【重点考点例析】 考点一：分式有意义的条件 例1 （2012•宜昌）若分式 2 1 a+ 有意义，则a的取值范围是（） A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0 思路分析：根据分母不等于0列式即可得解． 解：∵分式有意义， ∴a+1≠0， ∴a≠-1． 故选C． 点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 对应训练 1．（2012•湖州）要使分式1 x 有意义，x的取值范围满足（） A．x=0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0 1．B 考点二：分式的基本性质运用 例2 （2012•杭州）化简 216 312 m m - - 得；当m=-1时，原式的值为． 思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出(4)(4) 3(4) m m m +- - ，约分后得出 4 3 m+ ，把 m=-1代入上式即可求出答案． 解： 216 312 m m - -
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 ，其中 = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算： 4 421642++-÷-x x x x x 2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭
5.化简: 6.化简，： ， 7.先化简，再求值：，其中． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 35(2)482y y y y -÷+---2211()22x y x y x x y x +--++211122 x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭2x =
2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程：2 1 31x x =--． 2、解方程22 3-=x x 3、解分式方程：313 1=---x x x 4、解方程：22 333x x x -+=--
2021中考数学复习考点专题训练一一分式与分式方程 23 a+b2 1 丫 1.卜列各式：（一林）'a ' 7 '' x2 + —y 2 ,5, , 中'刀式有( x - 1 8?r A. 1个 B. 2个 C . 3个 D. 4个 2-若分式上有意义，贩的取值范围是（) A. x。3 B. % = 3 C. x < 3 D. % > 3 3.如果把分式_ 中的X和》都扩大为原来的2倍，那么分式的值（x+ y A.不变 B. 缩小为原来的— 2 C.扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 4.化简工-+二的结果是（) 矛一1 1- x A. x+1 B. x-1 C . —x D. x 5.若相整数，则能使七也为整数际有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.若分式方程当 x - 2=三—3有增根, x-2 则m等 于 () A. 2 B. -3 C. 1 D. -1 7.分式方程三- # = 10的解是（) x-33-x A. x = 3 B. x = 2 C. % = D. % = 4 8,已知上+ ； = 上，a b a+b 则并;的值是（) A. 1 B. -1 C . -2 D. 2 9-若方程岂=捋有增根，则m的值为（）一、选择题 A. 7 B. 8 C. 15 D.无解
10. 一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做, 期完成，则规定日期为（） A. 6天 B. 8天 C. 10天 D. 7.5天 11.已知一岂） = 5+1，则M 等于（ ) A CL ~1 D a —2 八 a —1 A. ---- D . ----- C. ---- a —3 a —3 a —2 D.— a —2 12,遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场 需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加 了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计 划每亩平均产量X 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为（） A.-- —= 20 x 1.5% 剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日 A, 第503个正方形的左下角 B. 第503个正方形的右下角 C. 第504个正方形的右下角 D. 第504个正方形的右上角 2 1 14.若 ----------- =—,贝 IJ ? 2y 2 +3y+ 7 4 4y 2 +6y-l 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1 7 15.迅速发展的5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数 据,5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 第2个 曲形 第4个 血形 第3个 血形 r 36+9 36 C. ------------- = ZO D.- + —= 20 第1个 皿形 B.-- —= 20 x 1.5x 要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天,
中考数学复习 分式方程 一、选择题 1．把分式方程1x －2－1－x 2－x ＝1的两边同时乘以(x －2)，约去分母，得( D ) A ．1－(1－x )＝1 B ．1＋(1－x )＝1 C ．1－(1－x )＝x －2 D ．1＋(1－x )＝x －2 【解析】利用分式的基本性质，去分母时注意符号的变化． 2．分式方程1x ＝2x ＋1 的解为( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 【解析】分式方程两边同时乘以x (x ＋1)得：x ＋1＝2x ，x ＝1. 3．方程2x ＋1x －1 ＝3的解为( D ) A ．－45 B.45 C ．－4 D ．4 【解析】分式方程两边同时乘以x －1得2x ＋1＝3(x －1)，得x ＝4. 4．已知a 与2a －2 互为倒数，则满足条件的实数a 的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】倒数的定义，由a ·2a －2 ＝1，2a ＝a －2得a ＝－2只有一个值． 5．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x 个，那么所列方程是( B ) A.90x ＝60x ＋6 B.90x ＋6＝60x C.90x －6＝60x D.90x ＝60x －6 6．关于x 的分式方程5x ＝a x －2 有解，则字母a 的取值范围是( D ) A ．a ＝5或a ＝0 B ．a ＝0 C ．a ≠5 D ．a ≠5且a ≠0 二、填空题
7．如果1m －1＝1，那么m ＝__2__． 8．写出一个解为x ＝－1的分式方程__如1x ＝－1__． 【解析】答案不唯一. 9．若代数式1x －2和32x ＋1 的值相等，则x ＝__7__． 【解析】1x －2＝32x ＋1 ，解分式方程得x ＝7. 10．当m ＝__－6__时，关于x 的分式方程2x ＋m x －3 ＝－1无解. 11．关于x 的分式方程2x －m x ＋1 ＝3的解是正数，则字母m 的取值范围是__m ＜－3__． 【解析】去分母得2x －m ＝3x ＋3，解得x ＝－m －3， 由分式方程的解为正数，得到－m －3＞0，且－m －3≠－1，解得m ＜－3. 12．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13 .小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm 3.求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/cm 3，根据题 意列方程是__30（1＋13 ）x －15x ＝5__． 三、解答题 13．解方程：2x x －2＝1－12－x . 解：去分母得：2x ＝x －2＋1，移项合并得：x ＝－1，经检验x ＝－1是分式方程的解． 14．已知关于x 的分式方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，求k 的取值范围． 解：去分母得k (x －1)＋(x ＋k )(x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)，整理得(2k ＋1)x ＝－1，因为方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，所以2k ＋1＞0且x ≠±1，即2k ＋1≠1且2k ＋1≠－1，解得k ＞－12且k ≠0，即k 的取值范围为k ＞－12 且k ≠0 15．“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花的束数的1.5倍，且每束花的进
《分式方程》复习卷 一、循环训练： 1、下列事件中，必然事件是（ ） A 、掷一枚硬币，着地时反面向上 B 、星期天一定是晴天 C 、在标准大气压下，水加热到100°会沸腾 D 、打开电视机，正在播放动画片 2、4的平方根是（ ） A 、2 B 、 ± 2 C 、16 D 、±16 3、下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（ ） 4、下列运算正确的是（ ） A 、22x x x =⋅ B 、22)(xy xy = C 、632)(x x = D 、422x x x =+ 5、计算 11 1 x x x - --结果是（ ） A 、0 B 、1 C 、－1 D 、x 6、如图1，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ） A 、70° B 、100° C 、110° D 、120° 7、若反比例函数k y x = 的图象经过点（－3，2），则k 的值为 （ ） A ．－6 B ．6 C ．-5 D ．5 8、如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．15 9、－3的相反数是 ． 10、某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其 中有5件不合格，那么估计该厂这20万件产品中合格品．．．约为 万件． 11、分解因式 m 3 – 4m = ． 12、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥>+32 1 32x x x x 的解集是 ． 图3 13、如图3，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB = 50°. 则∠OAC 的度数是 度． 140 |2|(2π)+- 15、解方程：01622 =-+x x 图1 O C B A
中考数学复习分式方程专题练习50题 分式方程在中考中的考法 分式在中考中必考，一般会考查到分式化简求值和解分式方程，都以基本的运算为主，有时会考查到根据分式方程解的情况求字母参数的值，以及分式方程的应用。 在分式方程的考查中以分式方程的解法为基础，解分式方程的基本思路是化分式分式方程为整式方程，在解完分式方程之后别忘记验根这一步。 除了考查基本分式基本解法之外，还会涉及到分式方程的增根或无解的情况，以及根据分式方程解的情况求字母参数的值或取值范围。 此外，还会考查到分式方程的应用，读题，理解题意找准等量关系是列方程解应用题的关键。在中考中，分式方程的应用一般会与不等式和一次函数的应用综合考查。 分式方程基础知识点梳理： 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．可化为一元一次方程的分式方程的解法 ⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：⑴增根能使最简公分母等于0． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，
所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解． 必备50道练习题
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程专题训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、化简11 m n +的结果是（） A． 1 nm B． 2 m n + C． mn m n + D． m n n m + 2、中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为km/h x，则下面所列方程中正确（） A．700700 3.6 2.8 x x -=B． 700700 3.6 2.8x x -= C．700 2.8700 3.6 x x ⨯ -=D． 700700 3.6 2.8x x =- 3、分式方程 21 1 x x - - ＝0的解是（） A．1 B．﹣1 C．±1D．无解 4、若分式 3 2 a a- 有意义，则a的取值范围是（） A．a≠2B．a≠0C．a＜2 D．a≥2
5、下列分式的变形正确的是（ ） A ．21=21a a b b ++ B ．22x y x y ++＝x +y C ．55a a b b = D ．22a a b b =（a ≠b ） 6、某种微粒的直径为0.0000058米，那么该微粒的直径用科学记数法可以表示为（ ） A ．0.58×10－6 B ．5.8×10－6 C ．58×10－5 D ．5.8×10－5 7、如果关于x 的方程 3111a x x =---无解，则a ＝（ ） A ．1 B ．3 C ．－1 D ．1或3 8、下列计算正确的是（ ） A ．222248x y x y x y -=- B ．()()432268234m m m m m -÷-=-- C ．2-11•-11a a a =+ D ．-1--b a a b b a += 9、若关于x 的方程 2222x m x x ++=--有增根，则m 的取值是（ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．1 10、若分式2a a b +中的a ，b 的值同时扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A ．是原来的8倍 B ．是原来的4倍 C ．是原来的14 D ．不变 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、当x _________时，分式12x -有意义；当x =_________时，分式211 x x --值为0． 2、对于分式2x y x y +-，如果1y =，那么x 的取值范围是________．