专题06 分式及分式方程
聚焦考点☆温习理解 一、分式
1、分式的概念
一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成
B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B
A
就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质 （1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则
;;bc ad
c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b
a b a n n
n = ;c b a c b c a ±=± bd
bc ad d c b a ±=± 二、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法 换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值
【例1】（2015·黑龙江绥化）若代数式6
26
5x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________.
【答案】x=2
考点：分式的值等于0.
【点睛】分式6
265x 2-+-x x 的值为零则有x 2
-5x+6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值.
【举一反三】 1.要使分式
x 1
x 2
+-有意义，则x 的取值应满足（ ） A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- 【答案】A.
【分析】根据分式分母不为0的条件，要使x 1
x 2
+-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠. 故选A.
2.（2015·湖南常德）若分式21
1
x x -+的值为0，则x ＝
【答案】1
考点：分式方程的解法 考点典例二、分式的化简
【例2】化简：2x x
x 1x 1
-
--=（ ） A 、0 B 、1 C 、x D 、1
x x - 【答案】C.
【解析】()22x x 1x x x x x x 1x 1x 1x 1
---===----. 故选C.
【点睛】观察所给式子，能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【举一反三】
1.化简22
a b ab b a
--结果正确的是【 】
A. ab
B. ab -
C. 2
2
a b - D. 2
2
b a - 【答案】B ．
【解析】
()22ab b a a b ab ab b a b a
---==---，故选B ． 2.若2
41(
)w 1a 42a
+⋅=--，则w=（ ） A.a 2(a 2)+≠- B. a 2(a 2)-+≠ C. a 2(a 2)-≠ D. a 2(a 2)--≠- 【答案】D. 【分析】∵
()()()()()2
414a 22a 1
a 42a a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2
+-+=-==---+--++-+， ∴w=a 2(a 2)--≠-. 故选D.
3.计算：
2111a a a -=-- 【答案】21
1
a -.
【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 试题解析：原式=
1(1)(1)(1)(1)
a a
a a a a +-+-+-
=
1
(1)(1)
a a +-
=
21
1
a - 考点典例三、分式方程
【例3】（2015自贡）方程
01
1
2=+-x x 的解是（ ） A ．1或﹣1 B ．﹣1 C ．0 D ．1 【答案】D ．
考点：解分式方程．
【点睛】先去掉分母，观察可得最简公分母是x+1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。 【举一反三】
1.（2015攀枝花）分式方程13
11
x x =-+的根为 ． 【答案】2． 【解析】
试题分析：去分母得：133x x +=-，解得：x =2，经检验x =2是分式方程的解．故答案为：2． 考点：解分式方程．
2.（2015绵阳）（8分）解方程：31
1221
x x =-++．
【答案】3
2
x =． 【解析】
试题分析：去分母得：3=2x+2﹣2，解得：
3
2
x=，经检验
3
2
x=是分式方程的解．
考点：解分式方程．
考点典例四、分式方程的应用
【例5】（（2015遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（）
A．36369
20
1.5
x x
+
-= B．
3636
20
1.5
x x
-= C．
36936
20
1.5x x
+
-= D．
36369
20
1.5
x x
+
+=
【答案】A．【解析】
试题分析：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：36369
20
1.5
x x
+
-=，故选A．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.
【举一反三】
1..甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（）
A．420420
2
1.5
x x
+= B．
420420
2
1.5
x x
-= C.
1.5
2
420420
x x
+=D．
1.5
2
420420
x x
-=
【答案】B．
【解析】设原来的平均速度为x千米/时，
由题意得，420420
2
1.5
x x
-=．
故选B．
2.甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（）
A．
2001801
452
x x
=⋅
+
B．
2002201
452
x x
=⋅
+
C．2001801
452
x x
=⋅
-
D．
2002201
452
x x
=⋅
-
【答案】B ． 【解析】
试题分析：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x 千米/时，根据题意得
2002201
452
x x =⋅+． 故选B ．
课时作业☆能力提升 一．选择题
1．（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）关于x 的分式方程52
a
x x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ）
A ．a =5或a =0
B ．a ≠0
C ．a ≠5
D ．a ≠5且a ≠0 【答案】D ．
考点：分式方程的解．
2.（2015·辽宁营口）若关于x 的分式方程
2233x m x x
++=--有增根，则m 的值是( ). A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m 【答案】A. 【解析】
试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去分母后化成的整式方程的解是3，所以先把原分式方程化成整式方程，再把3代入，求m 值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-（x+m)=2(x-3),将x=3代入得：m=-1,故选A.
考点：1.解分式方程；2.增根的意义.
3.（2015·湖南常德）分式方程
23
1
22
x
x x
+=
--
的解为：（）
A、1
B、2
C、1
3
D、0
【答案】A
【解析】
试题分析：根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根. 答案为A
考点：分式方程的解法
4.（2015·山东济宁）解分式方程
22
3
11
x
x x
+
+=
--
时，去分母后变形正确的为（）
A．2+（x+2）=3（x-1） B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3 D． 2-（x+2）=3（x-1）【答案】D
考点：分式方程的去分母
二．填空题
5. (2015·湖北衡阳，16题，3分)方程13
2
x x
=
-
的解为．
【答案】1
x=-
【解析】
试题分析：此题考查解分式方程，
首先去分母将分式方程转化为整式方程：原方程两边同时乘以x(x-2)，得x-2=3x，移项得，x－3x=2，
合并同类项得，﹣2x=2，
系数化为1，得x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，x(x-2)≠0，所以x=﹣1是原方程的根.
注意解分式方程必须要检验根的合理性. 考点： 解分式方程
6.(2015·湖北襄阳,14题)分式方程2110
051025
x x x -=--+的解是 ． 【答案】15x =． 【解析】
试题分析：去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的解．故答案为：15x =． 考点：解分式方程． 7.分式方程
212011
x x +=--的解是__________． 【答案】x = -3
考点：解分式方程. 8.若分式方程
1x x -﹣1m x
-=2有增根，则这个增根是 ． 【答案】x =1． 【解析】
试题分析：因为分式方程有增根，所以x ﹣1=0，即x =1，故方程的增根为x =1． 故答案是x =1．
考点：分式方程的增根．
9.（山东威海，第16题，4分）分式方程的解为 ．
【答案】x=4 【解析】
试题分析：解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解．另外，由于本题是选择题，除了上面的解法外，还可以将四个选择支中的数分别代入验证得以求解．本题作为解答题时，易漏掉验根过程.在方程两边同乘以(x －3)，解得x ＝4．检验：当x ＝4时，(x －3)≠0．所以，原方程的解是x=4 考点：分式方程的解法． 三、解答题
10.计算：22a 1a 1
a 2a a --÷
+． 【答案】a 1
a 2
++.
【解析】
试题分析：利用除法法则变形，约分即可得到结果：
()()()22a 1a 1a 1a 1a a 1
a 2a a a a 2a 1a 2
+---+÷=⋅=++-+.
考点：分式的乘除法.
11.先化简，再求值：222
1a a a 1a a 2a 1
+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2a a 20+-=． 【答案】3
4
-.
考点：1.分式的化简求值；2.因式分解法解一元二次方程 ；3.分式有意义的条件.
12.先化简，再求值：22x 9x 3x
x 8x 16x 4x 4
--÷-
++++，其中x 74=-． 【答案】3
77
.
【解析】
试题分析：原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x 的值代入进行二次根式化简即可求出值．
试题解析：()()()
22
2x 3x 3x 9x 3x
x 4x x 3x 3x 8x 16x 4x 4x 3x 4x 4x 4x 4x 4+---++÷-=⋅-=-=++++-+++++. 当x 74=-时，原式=
333
77
7447==-+.
考点：1.分式的化简求值；2.二次根式化简.
13.先化简，再求值：222x 1x 12x x x ⎛⎫
-+÷+ ⎪-⎝⎭
，其中x 21=-
【答案】
2
2
. 考点：1.分式的化简求值；2.二次根式化简.
14. （2015·山东枣庄，第19题，8分）(本题满分8分)
先化简，再求值：x x x x x x x -++÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-14
4214222，其中x 满足x ²－4x+3=0 【答案】 【解析】
试题分析：本题考查分式的化简，针对本题，应先从运算顺序上入手，即先计算括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，最后约分化简。解一元二次方程得出答案后，要考虑是否取值使分式有意义. 试题解析：原式=
÷
=•
=﹣，
解方程x2﹣4x+3=0得，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
x1=1，x2=3．
当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=﹣=﹣．
考点：分式的混合运算；因式分解；；一元二次方程的解法．求代数式的求值．
15.（2015·山东泰安，第25题）（8分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）5960元．
考点：分式方程的应用．
16.（2015·山东济南，第24题,8分）（8分）济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．
【答案】240km/时．
考点：分式方程的应用．
17.（2015·辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？
【答案】24和21个
【解析】
试题分析：设乙每小时做x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；
试题解析：设乙每小时做x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：
x
843x 96=+解得x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24. 答：甲乙两人每小时各做24和21个零件.
考点：分式方程的应用.
18.(2015.宁夏，第17题，6分)解方程：
221111
x x x x --=-- 【答案】2x =.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以2(1)x -，化分式方程为整式方程，解这个整式方程即可.(注：解分式方程一定
验根).
试题解析：解：方程两边同乘以2
(1)x -，得 2(1)(21)1x x x x +--=-
解得 2x =
经检验2x =是原方程的根.
考点：分式方程的解法.
19. (2015.北京市，第21题，5分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行
车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计2015年底，全市将租赁点多少个?
【答案】1000
考点：分式方程的应用
丹桂分式方程 《分式方程》复习指导 一、课标要求 1、了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程. 2、了解产生增根的原因,会检验一个数是不是分式方程的增根。 3、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 4、通过实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的思想，培养我们努力寻找解决问题的方法的进取心，体会数学的应用价值。 二、知识要点回顾 1、分式方程的概念 分式方程是分母中含有未知数的方程. ①分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据，如 2 x 1 x =和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程)。 ②判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母。如方 程x 1 a =（a是常数，且a≠0，x是未知数)就不是分式方程。 2、分式方程的解的意义 使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。 注意：①由于分式方程都可以化为一元一次的整式方程，故它的解至多一个，也可能无解；②可用代入 法检验一个数是否是分式方程的解，或进一步确定待定常数。 3、如何解分式方程？ （1）解分式方程的基本思想—-—“转化"思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了. （2）解分式方程的步骤： 分式方程是转化为一元一次方程来求解,它是通过去分母实现转化的.主要步骤：去分母，去括号,移项，合并同类项,系数化为1，检验。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。 4、去分母的技巧 去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步,当分式方程中分式的分母是一次式时,可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母；当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解,再确定最简公分母，然后再去分母。
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略 考点01 一元一次方程相关概念 1．等式的性质： （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式． 2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0． 3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤： 步骤 解释 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为b x a =- 【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()23 16m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．任何数 【答案】B 【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B. 【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____． 【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．
2020年数学中考复习每日一练 第六讲《分式》 一．选择题 1．下列各式：，其中分式的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（） A．B．C．D． 3．中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从甲地到乙地节约的时间表示为（） A．B． C．D． 4．若分式有意义，则a满足的条件是（） A．a≠2或﹣2 B．a≠2 C．a≠﹣2 D．a＝2 5．下列各式不正确的是（） A． B． C． D． 6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（） A．扩大3倍B．不变 C．缩小到原来的D．扩大9倍
7．已知a2+b2＝6a b，且ab≠0，则的值为（） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若，则的值为（） A．4 B．5 C．6 D．7 9．一列火车长m米，以每秒v米的速度通过一个长为n米的隧道，用式子表示它刚好从开始进隧道口到全部通过隧道所需的时间为（）秒． A．B．C．D． 10．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（） A．12 B．14 C．D．9 二．填空题 11．若分式的值为0，则x的值为． 12．已知x2+5x+1＝0，那么x2+＝． 13．如果分式的值大于0，那么m的取值范围是． 14．若，且，则的值是． 15．化简：＝． 16．若x2﹣3x+1＝0，则的值为． 17．观察以下等式： （﹣1）×＝（﹣1）+， （﹣2）×＝（﹣2）+， （﹣3）×＝（﹣3）+， （﹣4）×＝（﹣4）+， （1）依此规律进行下去，第5个等式为，猜想第n个等式为（n为正整数）； （2）请利用分式的运算证明你的猜想．
专题04分式、分式方程及一元二次方程 复习考点攻略 考点01 分式相关概念 1、分式的定义 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。 【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 A A C B B C ⋅= ⋅；A A C B B C ÷=÷（C≠0）。 3、分式的约分和通分 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。 （2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分 母的分式叫做分式的通分。 （3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 （4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。 【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。 4、分式的乘除 ①乘法法则：d b c a d c b a ⋅⋅=⋅。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：c b d a c d b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：n n n a a b b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：1n n a a -= 。
5、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：a b a b c c c ± ±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bc b d bd bd bd ± ±=±=。 【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 6、分式的混合运算 （1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． （2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 【例1】若分式 2 1 x x - 在实数范围内无意义，则x的取值范围是（） A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1 【例2】若分式 1 1 x+ 的值不存在，则x=__________． 【例3】分式 5 2 x x + - 的值是零，则x的值为（） A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（） A．a b = 2 2 a b + + B． 0.22 0.1 a b a b b b ++ = C．a b –1= 1 a b - D． a b = 2 2 (1) (1) a m b m + + 考点02 分式方程相关概念 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。 （2）解分式方程的步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程；
专题06 分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成 B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】（2015·黑龙江绥化）若代数式6 26 5x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________. 【答案】x=2 考点：分式的值等于0. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有x 2 -5x+6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式 x 1 x 2 +-有意义，则x 的取值应满足（ ） A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- 【答案】A. 【分析】根据分式分母不为0的条件，要使x 1 x 2 +-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠. 故选A. 2.（2015·湖南常德）若分式21 1 x x -+的值为0，则x ＝ 【答案】1
《分式方程》的“非常”解法 解分式方程的一般思路通常是方程两边同乘以最简公分母，转化为整式方程解决.但是对于某些分式方程，用常规解法很麻烦或无法求解;此时必须认真观察、仔细分析方程特点，运用数学方法加以探索创新，找到最简方法.达到发展思维，开拓创新，灵活求解的目的. 一、换元法 例1 解方程12200933x x x -=+--. 分析 方程中所有未知数的系数相同，并且分母互为相反数，故可考虑单参换元. 解 设3x y -=，则21x y -=+，则原方程可变为112009y y y +=+,即112010,02010y y =+=，结论显然是矛盾的，所以原方程无解. 例2 解方程2222383389411413 x x x x x x x x ++++=++++. 分析 方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同，故可考虑运用双参换元法. 解 设2383x x y ++=，2411x x z ++=,则原方程变形为62 y y z z +=+，即26yz y yz z +=+，所以3y z =，即223853(411)x x x x ++=++,解得7x =-. 经检验，7x =-是原方程的解. 二、特殊套用法 例3 解方程 3112132 x x x x -+=-. 分析 若分式方程为11x a x a +=+，则其解为121,x a x a ==.本题中31x x -与13x x -,2与12分别互为倒数，符合方程11x a x a +=+的特点，故可用此结论解答. 解 原方程变形为3112132x x x x -+=+-,设31x y x =-，此时原方程变形为:112,22y y y +=+∴=或12y =.即321x x =-或3112x x =-，解得:1212,5x x =-=-.经检验得: 1212,5x x =-=- 都是原方程的解.∴原方程的解为1212,5x x =-=-. 例4 解方程11111010(1)(2)(2)(3)(9)(10) x x x x x x x +++?+=+++++++.
分式方程精讲精练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点精讲 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 4.分式方程的应用 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位； ③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．
2013年中考数学专题复习第五讲：分式 【基础知识回顾】 一、分式的概念 若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式 【赵老师提醒：①：若则分式A B 无意义 ②：若分式A B =0，则应且】 二、分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。 1、a m a m ⋅ ⋅ = a m b m ÷ ÷ = （m≠0） 2、分式的变号法则 b a - = b 3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。 约分的关键是确保分式的分子和分母中的 约分的结果必须是分式 4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分 通分的关键是确定各分母的 【赵老师提醒：①最简分式是指 ②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分 ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】 三、分式的运算： 1、分式的乘除 ①分式的乘法：b a . d c = ②分式的除法：b a ÷ d c = = 2、分式的加减 ①用分母分式相加减：b a ± c a = ②异分母分式相加减：b a ± d c = = 【赵老师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是
的过程 ②异分母分式加减过程的关键是】 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a )m = 1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算 括号里面的。 2、分式求值：①先化简，再求值。 ②由值的形式直接化成所求整式的值 ③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中 【赵老师提醒：①实数的各种运算律也符合公式 ②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】 【重点考点例析】 考点一：分式有意义的条件 例1 （2012•宜昌）若分式 2 1 a+ 有意义，则a的取值范围是（） A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0 思路分析：根据分母不等于0列式即可得解． 解：∵分式有意义， ∴a+1≠0， ∴a≠-1． 故选C． 点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 对应训练 1．（2012•湖州）要使分式1 x 有意义，x的取值范围满足（） A．x=0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0 1．B 考点二：分式的基本性质运用 例2 （2012•杭州）化简 216 312 m m - - 得；当m=-1时，原式的值为． 思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出(4)(4) 3(4) m m m +- - ，约分后得出 4 3 m+ ，把 m=-1代入上式即可求出答案． 解： 216 312 m m - -
中考数学复习分式方程专题练习50题 分式在中考中必考，一般会考查到分式化简求值和解分式方程，都以基本的运算为主，有时会考查到根据分式方程解的情况求字母参数的值，以及分式方程的应用。 在分式方程的考查中以分式方程的解法为基础，解分式方程的基本思路是化分式分式方程为整式方程，在解完分式方程之后别忘记验根这一步。 除了考查基本分式基本解法之外，还会涉及到分式方程的增根或无解的情况，以及根据分式方程解的情况求字母参数的值或取值范围。 此外，还会考查到分式方程的应用，读题，理解题意找准等量关系是列方程解应用题的关键。在中考中，分式方程的应用一般会与不等式和一次函数的应用综合考查。 01 分式方程基础知识点梳理 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
2．可化为一元一次方程的分式方程的解法 ⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：⑴增根能使最简公分母等于0． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解．
中考数学复习 分式方程 一、选择题 1．把分式方程1x －2－1－x 2－x ＝1的两边同时乘以(x －2)，约去分母，得( D ) A ．1－(1－x )＝1 B ．1＋(1－x )＝1 C ．1－(1－x )＝x －2 D ．1＋(1－x )＝x －2 【解析】利用分式的基本性质，去分母时注意符号的变化． 2．分式方程1x ＝2x ＋1 的解为( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 【解析】分式方程两边同时乘以x (x ＋1)得：x ＋1＝2x ，x ＝1. 3．方程2x ＋1x －1 ＝3的解为( D ) A ．－45 B.45 C ．－4 D ．4 【解析】分式方程两边同时乘以x －1得2x ＋1＝3(x －1)，得x ＝4. 4．已知a 与2a －2 互为倒数，则满足条件的实数a 的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】倒数的定义，由a ·2a －2 ＝1，2a ＝a －2得a ＝－2只有一个值． 5．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x 个，那么所列方程是( B ) A.90x ＝60x ＋6 B.90x ＋6＝60x C.90x －6＝60x D.90x ＝60x －6 6．关于x 的分式方程5x ＝a x －2 有解，则字母a 的取值范围是( D ) A ．a ＝5或a ＝0 B ．a ＝0 C ．a ≠5 D ．a ≠5且a ≠0 二、填空题
7．如果1m －1＝1，那么m ＝__2__． 8．写出一个解为x ＝－1的分式方程__如1x ＝－1__． 【解析】答案不唯一. 9．若代数式1x －2和32x ＋1 的值相等，则x ＝__7__． 【解析】1x －2＝32x ＋1 ，解分式方程得x ＝7. 10．当m ＝__－6__时，关于x 的分式方程2x ＋m x －3 ＝－1无解. 11．关于x 的分式方程2x －m x ＋1 ＝3的解是正数，则字母m 的取值范围是__m ＜－3__． 【解析】去分母得2x －m ＝3x ＋3，解得x ＝－m －3， 由分式方程的解为正数，得到－m －3＞0，且－m －3≠－1，解得m ＜－3. 12．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13 .小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm 3.求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/cm 3，根据题 意列方程是__30（1＋13 ）x －15x ＝5__． 三、解答题 13．解方程：2x x －2＝1－12－x . 解：去分母得：2x ＝x －2＋1，移项合并得：x ＝－1，经检验x ＝－1是分式方程的解． 14．已知关于x 的分式方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，求k 的取值范围． 解：去分母得k (x －1)＋(x ＋k )(x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)，整理得(2k ＋1)x ＝－1，因为方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，所以2k ＋1＞0且x ≠±1，即2k ＋1≠1且2k ＋1≠－1，解得k ＞－12且k ≠0，即k 的取值范围为k ＞－12 且k ≠0 15．“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花的束数的1.5倍，且每束花的进
专题06 分式方程 一、单选题 1．（2022·江苏无锡）方程21 3x x =-的解是（ ） A ．3x =- B ．1x =- C ．3x = D ．1x = 2．（2022·内蒙古通辽）若关于x 的分式方程：121 222k x x --=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k < B ．2k <且0k ≠ C ．1k >- D ．1k >-且0k ≠ 3．（2022·辽宁营口）分式方程322 x x =-的解是（ ） A ．2x = B ．6x =- C ．6x = D ．2x =- 4．（2022·湖北恩施）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（ ） A ．14496 3030v v =+- B ．14496 30v v =- C ． 14496 3030v v =-+ D ． 14496 30v v =+ 5．（2022·海南）分式方程2 101 x -=-的解是（ ） A ．1x = B ．2x =- C ．3x = D ．3x =- 6．（2022·黑龙江哈尔滨）方程23 3x x =-的解为（ ） A ．3x = B ．9x =- C ．9x = D ．3x =- 7．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程23 111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m > B ．4m < C ．4m >且5m ≠ D ．4m <且1m ≠ 8．（2022·山东潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法： 267 100% 6.6%4036 ⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（ ）
中考复习专题 分式方程 复习目标： 1、了解分式方程的概念； 2、掌握分式方程的解法； 3、应用分式方程解决实际问题。 复习流程： 一、学生展示分享知识点 1、分式方程的概念 ___________________________的方程叫分式方程。 2、分式方程的一般方法 （1）解分式方程的思想是将“分式方程”转化为_________。 （2）它的一般解法是： 去分母化分式方程为整式方程； 解整式方程； 检验。 3、列分式方程解应用题的一般步骤 二、展示分享完毕学生进行质疑、纠错和补充。 三、教师点评与强调。 四、例题解析 例1、（2022广州第14题）方程的解是 例2、（2022贵州铜仁第13题）方程的解为 ． 12＝2x x －35302x x -=-
例3、（2022青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480m ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160m/h ，设普通列车的平均行驶速度为m/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A B C D 学生自主完成例题，教师通过展示检查进行补充强调。 五、课时作业 1、（2022内蒙古呼伦贝尔兴安盟第19题）解方程：． 2、（2022广西来宾第24题）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进机器人多少个？ （2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？ 学生完成后分组谈论，然后黑板展示。 教师点评。 六、总结反思。 4804804160x x -=+4804804160x x -=+4804804160x x -=-4804804160x x -=-233011 x x x +-=--
专题06 分式方程及应用综合过关检测 （考试时间：90分钟，试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。 1．（2023•天涯区一模）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（） A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2 2．（宝应县二模）初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（） A．9B．10C．12D．14 3．（2023•邵阳县一模）分式方程＝的解是（） A．x＝3B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝﹣3 4．（2023•武威三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（） A．B． C．D． 5．（2023•龙江县校级三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1 6．（2023•环翠区一模）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则a的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣ 7．（2023•东港区校级三模）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x包，则依题意列方程为（） A．B．C．D． 8．（2023•吴桥县校级模拟）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同类项得： （a﹣3）x＝3， ∵原方程无解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3．丹丹： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项，合并同类项得： （a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程无解， ∴x为增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴＝3，解得a＝4． 下列说法正确的是（） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对 9．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（） A．5B．4C．3D．1 10．（2023•黄埔区校级二模）在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝，如2※4＝，根据这个规则，则方程3※（x+1）＝1的解为（） A．B．1C．﹣1D．﹣ 二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分） 11．（2023•柳州三模）分式方程的解是． 12．（2023•梁山县模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为． 13．（2023•建湖县一模）关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是．14．（2023•盐田区二模）当x＝时，分式的值为2．
中考数学复习《分式方程》测试题（含答案） 一、选择题(每题4分，共20分) 1．解分式方程2 x －1＋x ＋2 1－x ＝3时，去分母后变形为 (D) A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x ) D ．2－(x ＋2)＝3(x －1) 2．[2015·天津]分式方程2x －3＝3x 的解为 (D) A ．x ＝0 B ．x ＝5 C ．x ＝3 D ．x ＝9 【解析】 去分母得2x ＝3x －9，解得x ＝9， 经检验x ＝9是分式方程的解． 3．[2015·常德]分式方程2 x －2＋3x 2－x ＝1的解为 (A) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝13 D ．x ＝0 【解析】 去分母得2－3x ＝x －2，解得x ＝1， 经检验x ＝1是分式方程的解． 4．[2015·遵义]若x ＝3是分式方程a －2x －1 x －2＝0的根，则a 的值是 (A) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－3 【解析】 ∵x ＝3是分式方程a －2x －1 x －2＝0的根， ∴a －23－1 3－2＝0，
∴a －23＝1，∴a －2＝3，∴a ＝5. 5．[2014·福州]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是 (A) A.600x ＋50 ＝450x B.600x －50＝450x C.600x ＝450x ＋50 D.600x ＝450x －50 【解析】 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器所需时间＝原计划生产450台所需时间． 二、填空题(每题4分，共20分) 6．[2015·淮安]方程1x －3＝0的解是__x ＝13__. 7．[2015·巴中]分式方程3x ＋2＝2x 的解x ＝__4__． 8．[2015·江西样卷]小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x 袋牛 奶，则根据题意列得方程为__10x ＝12x ＋2 ＋0.5__. 9．[2015·河南模拟]若关于未知数x 的分式方程 a x －2＋3＝x ＋12－x 有增根，则a 的值为__－3__. 【解析】 分式方程去分母，得a ＋3x －6＝－x －1， 解得x ＝－a ＋54， ∵分式方程有增根，∴x ＝2，
分式方程 一、单选题 1．关于x 的分式方程 52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ） A ．5a =或0a = B ．0a ≠ C ．5a ≠ D ．5a ≠且0a ≠ 2．解分式方程2x 23x 11x ++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=- B ．()2x 23x 1-+=- C ．()()2x 231? x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=- 3．从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的不等 式组()2243312 2x x x a x ⎧+≤+⎪⎨++-⎪⎩＜ 无解，且使关于x 的分式方程11ax x ---121x =-有整数解，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2 4．元旦期间，某水果店第一天用320元钱购进苹果销售，第二天又用800元钱购进这种苹果，所购数量是第一天购进数量的2倍，但每千克苹果的价格比第一天购进价多1元，若设水果店第一天购进水果x 千克苹果，则可列方程为（ ）． A ．32080012x x -= B ．32080012x x =- C ．32080012x x -= D ．80032012x x -= 5．轮船在顺水航行90千米比逆水航行90千米少花了3小时，已知水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度．设轮船在静水中的速度为x 千米/时，依据题意列方程得（ ） A ．902 x ++3902x =- B ．902x +-3902x =+ C ．903x ++2903x =- D ．903x -+2903 x =- 6．为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意列出的方程是（ ） A ．111x 10x 40x 14+=--+ B ．111x 10x 40x 14 +=++-
2024年中考数学复习综合练习专题：分式 一、选择题 1． 下列各式不是分式的是（ ） A ．x y B ．3x x+1 C ．x π D ． x−1x 2．下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A ．a b =a⋅a b⋅b B ．a b =a+c b+c C ．−a b =−a b D ．−a −b =−a b 3．若分式 2 x−5 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠5 B ．x ≠0 C ．x =0 D ．x =5 4．分式x+1 x 2−x ，2 x 2−1，−x x 2+2x+1的最简公分母是（ ） A ．(x 2−x)(x +1) B ．(x 2−1)(x +1)2 C ．x(x −1)(x +1)2 D ．x(x +1)2 5．已知1 a +1 2b =3，则代数式2a−5ab+4b 4ab−3a−6b 的值为（ ） A ．3 B ．﹣2 C ．﹣1 3 D ．﹣1 2 6．解分式方程2x x−2=1−1 2−x ，去分母后得到的方程正确的是（ ） A ．−2x =1−(2−x) B ．−2x =(2−x)+1 C ．2x =(x −2)−1 D ．2x =(x −2)+1 7．有一段全长为800米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10%， 结果提前3天完成这一任务，设原计划每天整改x 米，则下列方程正确的是（ ） A ．800 (1+10%)x −800x =3 B ．800(1−10%)x −800x =3 C ． 800x −800 (1+10%)x =3 D ． 800x −800 (1−10%)x =3 8．已知关于x 的分式方程3x+n 2x+1＝2的解是负数，则n 的取值范围为（ ） A ．n ＞1且n ≠1 2 B ．n ＞1 C ．n ＜2且n ≠3 2 D ．n ＜2 二、填空题 9．若分式x x−1有意义，则x 的值为 . 10．如果分式x+3x−2的值为0，那么x 的取值为 .
专题04 分式与分式方程 一、单选题 1．（2021·河北）由1122c c +⎛⎫ - ⎪+⎝⎭ 值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ） A ．当2c =-时，1 2 A = B ．当0c 时，12 A ≠ C ．当2c <-时，1 2A > D ．当0c <时，12A < 【答案】C 【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫ - ⎪+⎝⎭ 的正负，再判断A 与12的大小即可． 【详解】解： 11=224+2c c c c +-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意； 当0c 时， 04+2c c =，1 2A =，故B 选项错误，不符合题意； 当2c <-时， 04+2c c >，1 2A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时， 04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c >，1 2A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 2．（2021贺州）若关于x 的分式方程43233 m x x x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程43233 m x x x +=+--有增根， ∴3x =， 去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
中考数学真题专项汇编解析—分式与分式方程 一．选择题 1．（2022·天津）计算11 22a a a ++++的结果是（ ） A ．1 B ．22 a + C ．2a + D ． 2 a a + 【答案】A 【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可． 【详解】解： 112 1222 a a a a a +++==+++．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则． 2．（2022·浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 ()111 v f f u v =+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fv f v - B ．f v fv - C ． fv v f - D ．v f fv - 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式()111 v f f u v =+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ． 【详解】解：∵()111v f f u v =+≠，∵111f u ν=+，即111 u f ν=-， ∵1 f u f νν-= ，∵f u f ν ν=-，故选：C ． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 3．（2022·四川眉山）化简4 22 a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．2 2a a + C ．2 24 a a - D ． 2 a a + 【答案】B 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：422a a +-+244=22-+++a a a 2 =2 +a a ．故选：B
分式 题型一 分式的概念 1．（2021·浙江平阳·九年级期中）已知要使分式3 2 x x +-有意义.则x 的取值应满足（ ） A ．2x ≠ B ．3x ≠- C ．3x =- D ．2x = 【答案】A 【分析】要使分式 3 2 x x +-有意义.则20x -≠.所以2x ≠．故选：A ． 2．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题.其中答对的是（ ） A ．若x 2＝4.则x ＝2 B ．若分式 2 2 32 x x x --+的值为零.则x ＝2 C ．x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则k ＝2 D ．若3x 2＝6x .则x ＝2 【答案】C 【分析】解：A 、x 2＝4.则2x =±.选项错误.不符合题意；B 、分式 2 2 32 x x x --+的值为零.则 2 20 320x x x -=⎧⎨-+≠⎩.21,2 x x x =⎧⎨≠≠⎩.无解.选项错误.不符合题意；C 、x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则110k +-=.解得2k =.选项正确.符合题意；D 、3x 2＝6x .解得0x =或2x =.选项错误.不符 合题意；故选C 3．（2021·陕西·西安高新一中实验中学九年级开学考试）如果分式||1 1 x x -+的值为0.那么x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 【答案】B 【分析】分式||1 1 x x -+的值为0.10x ∴-=.1x =.解得1x =±.又10x +≠.1x ∴≠-.1x ∴=. 故选：B ． 4．若代数式 (2)(1) ||1 x x x ---的值为零.则x 的取值是（ ） A ．2x =或1x = B ．2x =且1x = C ．2x = D ．1x =- 【答案】C