中考数学20大专题4——分式与分式方程
①=-22b a （a+b （a-b ）） ②()2222b a b ab a +=++ ③()2
222b a b ab a -=+-
1.引人新课：你认为
xy x x )2(+与y x 2+相等吗？ 2. 分式的概念：
如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B
A 叫做分式。其中A 称为分式的分子，
B 称为分式的分母，且对于任意一个分式，分母都不能为零。
对概念的详解：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；
（2）分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
（3）分式的定义方式是从式子的形式出发，判断一个式子是不是分式关键看形式而不是看式子变形后的结果。
【例1】 在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？
x 3-，y x ，π3y x +，y x 232，x 8
1-，y +53，5y x -，a a 1-，5-，x x 2，()1232+x ，y 1+，a b ⋅
（1）分式有意义的条件：分母不等于零
（2）分式无意义的条件：分母等于零
难点分析：
（1）在确定分式有无意义时，不能对分式进行约分（即化简），若约分，则会扩大字母的取值范围。
（2）果没有特殊说明，我们所遇到的分式都是有意义的，如x y 1=
中就隐含着x ≠0的条件存在。
【例2】当x 取什么值时，分式235+-=x x y 有意义？
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用字母表示为M
B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,（M 为不等于0的整式）. 重点分析：
（1）分式的基本性质与分数的基本性质类似.
（2）不要忽略M ≠0这个条件，如x x x 2
=，从左边到右边的变形的前提条件是x ≠0，故两边的x 取值范围是不同的，这种变形是错误的变形。
【例3】 填空。
（1）.)3(;)()2(;2
232222b a ab ab a y x y x y x x x x x -=-+=+-+=+
【例4】化简下列各式：
1）xy y x 2 （2）2
205b ab （3）12122+--x x x
1. 分式的乘除法
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 2.分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
【例5】计算
（1）
（2）
含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
（1）增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
①增根是最简公分母为0；②增根是分式方程化成的整式方程的根。
（2）分式方程的解法：
①能化简的先化简； ②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
③解整式方程； ④验根．
分式方程检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
3）列分式方程解实际问题
（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
（2）应用题基本类型；
a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
d. 顺水逆水问题 v
顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水．
A ．-1.5
B ．1
C ．-1.5或2
D ．-0.5或-1.5
【例7】解方程：
（1）730100-=x x
. （2）261339x x x x +=+--．
【例8】岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【例9】某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有AB 两个制衣间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍，A 、B 两车间共完成一半后，A 车间出现故障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成，求A 、B 两车间每天分别能加工多少件．
四、总结
1.如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B
A 叫做分式。其中A 称为分式的分子，
B 称为分式的分母，且对于任意一个分式，分母都不能为零。
2. 分式有意义的条件：分母不等于零；分式无意义的条件：分母等于零。
3. 分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
4. 约分：要求把分子分母的公因子去掉，所以首先要找出分子分母的公因式。
5.最简分式：当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
分式与分式方程 概念引入 回忆一元一次方程的解法，并且解方程1 63 242=--+x x 2．看下面的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分式概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． 注意：（1）分母中应含有字母； （2）分母的值不能为零．（分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时， 分式B A 才有意义；当B=0时，分式B A 无意义） 含分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。 1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 322x x =-，734=+y x ，x x 321=-，1)1(-=-x x x ，23x x =-π，1051 2=-+x x ， 21=-x x ，1 312=++x x x 分式方程解法 例1．解分式方程： 12 21242 +=+-++x x x x x 。 分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。 例2．解方程 3 2 215443++-++=++-++x x x x x x x x 。 解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母 解法2：方程两边分别通分，得 解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 例3.解方程：x x 3 32=- [ 例24.解方程： ) 2)(1(311+-=--x x x x 1．解分式方程的基本思想 ?? ??→?转化 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法
中考数学20大专题4——分式与分式方程 ①=-22b a （a+b （a-b ）） ②()2222b a b ab a +=++ ③()2 222b a b ab a -=+- 1.引人新课：你认为 xy x x )2(+与y x 2+相等吗？ 2. 分式的概念： 如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。其中A 称为分式的分子， B 称为分式的分母，且对于任意一个分式，分母都不能为零。 对概念的详解： （1）分式是两个整式相除的商，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用； （2）分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。 （3）分式的定义方式是从式子的形式出发，判断一个式子是不是分式关键看形式而不是看式子变形后的结果。 【例1】 在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？ x 3-，y x ，π3y x +，y x 232，x 8 1-，y +53，5y x -，a a 1-，5-，x x 2，()1232+x ，y 1+，a b ⋅ （1）分式有意义的条件：分母不等于零 （2）分式无意义的条件：分母等于零 难点分析： （1）在确定分式有无意义时，不能对分式进行约分（即化简），若约分，则会扩大字母的取值范围。 （2）果没有特殊说明，我们所遇到的分式都是有意义的，如x y 1= 中就隐含着x ≠0的条件存在。 【例2】当x 取什么值时，分式235+-=x x y 有意义？ 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用字母表示为M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,（M 为不等于0的整式）. 重点分析： （1）分式的基本性质与分数的基本性质类似. （2）不要忽略M ≠0这个条件，如x x x 2 =，从左边到右边的变形的前提条件是x ≠0，故两边的x 取值范围是不同的，这种变形是错误的变形。 【例3】 填空。 （1）.)3(;)()2(;2 232222b a ab ab a y x y x y x x x x x -=-+=+-+=+
第五章：分式与分式方程 5.1分式概念 一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成 A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零. 例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？ 211(1);;(3);(4);2242 b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m ⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 例2， 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab ++ (2) 【在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.】 5.2分式的乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad ⋅=÷=⋅= . 例3， 计算 222 2244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y +-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a ±±=. 例4，计算 222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m ++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，
因式分解、分式复习 一、知识梳理 知识点一 因式分解 1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因 式． 2．分解困式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出 来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ； 3．分解因式的步骤： （1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． （2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区： 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 【课前练习】 1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ） A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3 C ．mx —my 与 ny —nx D ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（） 2222 2222 .949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+ 4. 分解因式：x 2+2xy+y 2 －4 =_____ 5. 分解因式：（1）( )22 9=n ；( )222=a （2）2 2 x y -= ；（3）2 2 259x y -= ； （4）2 2 ()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式 222222 .1(1)(1) ;.14(12)(12) .8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程
的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】（2015·黑龙江绥化）若代数式6 265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有x 2-5x+6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式x 1x 2 +-有意义，则x 的取值应满足（ ） A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- 2.（2015·湖南常德）若分式211 x x -+的值为0，则x ＝ 考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1 ---=（ ） A 、0 B 、1 C 、x D 、 1 x x - 【点睛】观察所给式子，能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【举一反三】 1.化简22 a b ab b a --结果正确的是【 】
分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，B≠0那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。分式是不同于整式的另一类式子。 定义：形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如是分式，还有也是分式例如； ：要使分式有意义，则y不等于0。 （注意） 掌握分式的概念应注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足： （1）分式的分母中必须含有字母。 （2）分母的值不能为零。若分母的值为零，则分式无意义。 （由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。） 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式 无理式和有理式统称代数式。 常见题型： （1）分式有意义条件：分母不为0； （2）分式无意义条件：分母为0； （3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0； （4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
基本性质： 1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（A,B,C为整式，且B、C≠0）。 2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 3.分式的约分步骤： （1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 （2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 5.根据分式的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。 6.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 7.分式的通分步骤： 先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。 注：最简公分母的确定方法： 系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。 注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质 （2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
第五章分式与分式方程知识总结 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
分式性质及运算 【基础精讲】 一、分式运算的几种技巧 分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。 1、先约分后通分技巧 例1 计算2312+++x x x +4222--x x x 分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 2、分离整数技巧 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -341 2+-x x 分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。 解：原式= 231 )23(22+-++-x x x x - 6 51 )65(22+-++-x x x x -341 2+-x x =1+2312+-x x -1-651 2+-x x -3412+-x x =)2)(1(1 --x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x 3、裂项相消技巧 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2 ++x x +)6)(3(3++x x 分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1 -m 1）裂项相消计算。 解：原式=（x 1-11+x ）+22 （11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）
分式和分式方程知识点总结 1、分式 一般地，我们把形如B A 的代数式叫做分式，其中 A ， B 都是整式，且B 含有字母。A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。分式的分母必须含有字母。分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。 在分数中，分母不能等于0.同样，在分式中，分母也不能等于0，即当分式的分母等于0时，分式没有意义。 分数的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的数，其值不变。 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。其中，M 是不等于0的整式。 利用分式的基本性质可以对分式进行化简 把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。 2、分式的乘除 分式的乘法法则 分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 D B C A D C B A ••=• 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。 C B D A C D B A D C B A ••=•=÷
3、分式的加减 同分母的分式加减法法则 同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。 B C A B C B A ±=± 把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。 几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母 异分母的分式加减法法则 异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。 BD BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算，与数的混合运算类似。先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。 4、分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。 在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。当分母的值不等于0时，这个整式方程的根就是分式方程的根；当分母的值为0时，分式方程无解，我们把这样的根叫做分式方程的增根。
知识点1、分式概念 重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件 难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义. (2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可. (3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零. 易错易混点 (1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件； 知识点2、分式的基本性质 重点：正确理解分式的基本性质. 难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变， 用式子表示是：AB=M B M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义. 分式的约分和通分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 求几个分式的最简公分母的步骤： 1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。 各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。 易错易混点 分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．(3) 约分时，分式的分子或分母中因式符号的变化容易出错。 知识点3、分式的运算 重点：掌握分式的运算法则 难点：熟练进行分式的运算 1.分式加减法法则 （1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分 （2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减． （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减． 2．分式的化简 分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式．
分式方程及其应 用 白娘子：“菩萨，我要怎么找到恩人。”菩萨：“只记住他憨厚 老实，热心善良，姓许就可以了。”数天, 白娘子终于发现了一位善良的许姓公子，上 温故而知新 考点•方法•破译 1 .分式方程（组）的解法 解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式 方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子（整式）的次数高于等于分母（整式）的次数时，可利用 分拆思想，把分式化为“整式十分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子（或分母） 相等的分式，再利用分母（或分子）相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或 利用倒数法使方程更简便. 2 .分式方程增根 在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母（化为整式方程），这就扩大了未知数 的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围（解是正 数，或解是负数）时，要注意剔除正数解或负数解中的增根（因为增根不是分式方程的根）. 3 .列分式方程解应用题 列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的 未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义. 练习：1.若分式3X - 6 的值为0,则（ ） 2 x +1 ■ ■ : A ・ x^ 2 B ・ x^ - C ・ x 一 2 2 ■ ■ . x . .................... 2.使分式口 -―-有意义，则上的取值范围是（ ） 2 x — 1 ■ 1 1 1 ; A. x 2 B. x V C. x > 开篇 前激动的问：“相公可是许仙么？”那人: “大姐你认错人了，俺是许三多。 白娘子经观音指点下凡， D. x =2
. .; 分式的运算与分式方程 一、分式的运算 1、分式的乘除 分式乘法法则：分式乘分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 D B C A D C B A ⋅⋅=⋅ 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 C B D A C D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 分式的乘方：b a b a n n n =）（ ，此公式不仅要会正用，有时根据题目需要还要会逆用。 2、分式的加减 运算的次序：（1）同级运算，应从左到右按顺序算。 （2）进行乘除与乘方的混合运算时，应先乘方后乘除。 （3）分式混合运算，先算乘除，再算加减。 例1、（1）化简： 1 112421222 -÷+--⋅--a a a a a a （2）化简： 23 24324422 2 22+⋅--+÷++-+x x x x x x x x （3）化简：()a b b b a a b a -÷-⋅ +2 22 （4）化简： ()）（）（ y x x y x xy y x -⋅+÷-2 2 2 3 例2、计算：（1）81385---+m m m （2）s s -++1312 （3）1 1122---x x x （4）969392 2 22++-+++x x x x x x x （5）111+-+x x （6）242++-a a 例3、（1）2121442-÷++-x x x ）（（2）x x x x x x x x 44412222-÷+----+）（（3）1211122 2+-÷--+x x x x x 例4、有这样一道题：“计算：x x x x x x x -+-÷-+-2 22 1112的值，其中2007=x ”，某同学把2007=x 错抄成2008=x ，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？ 例5、已知ab a ab b b a ab b ab a --⋅+÷-+2 2 22的值为正整数，试求所有符合条件的a 的整数值. 例6、已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22 a a a a --的值. 例7、求待定字母的值 （1）若 1 11312 -++=--x N x M x x ，试求N M ,的值. （2）已知：1 21)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 例8、若.1 111 的值，求++++++++=c ca c b b c b a ab a abc
分式及分式方程 一、知识讲解 1．分式 用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A B 就叫做分式． 2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0. 3．分式的基本性质 A B =,A M A A M B M B B M ⨯÷= ⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 4．分式的符号法则 a b =a a a b b b --=-=---． 5．分式的运算 （1）加减法： ,a b a b a c ad bc c c c b d bd ±±±=±= ． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad d bd b d b c bc =÷== （3）乘方（a b ）n =n n a b （n 为正整数） 6．约分 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 7．通分 根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分． 易混,易错点分析: 1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式. 3,分式计算的最后结果必须是最简形式.
重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简. 二、例题解析 例1 填空题： （1）若分式224 2 x x x ---的值为零，则x 的值为________； （2）若a ，b 都是正数，且 1a －1b =222,ab a b a b +-则，则=______． 【解答】解题要点:分式的分子为零,且分母不为0.（1）由x 2 =4，得x=±2，把x=2代入分母，得x 2 －x －2=4－2－2=0， 把x=－2•代入分母，得x 2 －x －2=4+2－2=4≠0，故答案为－2． （2）由整体代换法：把 1a －1b =22b a a b ab a b -=++化为，b 2－a 2=2ab ， 即a 2－b 2 =－2ab ，代入22 22 2ab ab ab a b a b ab = ---中得= 12 ，故答案为1 2． 例2 选择题： （1）已知两个分式：A= 2 411 ,422B x x x =+-+-，其中x ≠±2， 那么A 与B 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．A 大于B （2）已知23,2 3 4 3a b c a b c a b c +-= = -+则 的值为（ ） A ．－ 57 B ．57 C ．97 D ．－9 7 【解答】（1）B=22 112(2)4 2244 x x x x x x --+-==-+---， ∴A+B=0，A ，B 互为相反数，选C ． （2）设234 a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 代入 232399,3377 a b c a b c k a b c a b c k +-+-==-+-+中可得 ，选C ． 例3先化简再求值：222 1412211 a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足a 2 －a=0． 【解答】原式= 2 1(2)(2)(1)(1)2(1)1 a a a a a a a -+--++-=（a －2）（a+1）=a 2 －a －2
专题：分式与分式方程重难点题型 考点一 分式的概念及性质 1．分式的有关概念 ：分母中含有 的式子叫分式． 注意：(1)分式a b 有意义的条件： ，无意义的条件： ． (2) 分式a b ＝0的条件是： ． 2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等 于0的整式，分式的值 ．即：A B ＝ ，A B ＝ (C ≠0)． 3．约分的概念：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的 约去，约分后的分式叫 ； 注意：找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的 ，再找相同字母的 ，它们的 就是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式 ． 【例1】1．在4a 2π，2x 2x ，34a ＋b ，x ＋3x －1 ，－m 2，a m 中分式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．根据分式的基本性质，分式－a a －b 可变形为( ) A ．a －a －b B ．a a ＋b C ．－a a －b D ．－a a ＋b 3．如果把5x x ＋y 的x 与y 都扩大为原来的10倍，那么这个代数 式的值( ) A ．不变 B ．扩大50倍 C ．扩大10倍 D ．缩小1 10 4．若分式|x |－3 x ＋3 的值为零，则x 的值为 ． 5．化简： x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2 ＝ ． 变式训练1： 1．化简a 2b －ab 2 b －a 结果正确的是( ) A ．ab B ．－ab C ．a 2－b 2 D ．b 2－a 2 2．若将a ＋b ab 中的a ，b 分别扩大3倍，则分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．缩小19 C ．不变 D ．缩小1 3 3．下列各分式中，最简分式是( ) A ．a 2－b 2a 2＋b 2 B ．m 2－n 2m ＋n C ．a 2－b 2a 2b ＋ab 2 D ．x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2 4．若1m ＋1 n ＝2，则分式5m ＋5n －2mn －m －n 的值为________． 5．若x ＝12，y ＝－2 3，则3x 2－xy 9x 2－6xy ＋y 2 ＝ ． 考点二 分式的四则运算 1．分式的乘除运算 (1)乘法：a b ·c d ＝ (2)除法：a b ÷c d ＝ (3)乘方：(a b )n ＝ 2．分式加减运算 (1)同分母分式相加减： 不变， 相加减． (2)异分母分式相加减：先 ，变为 的分式后再加减． 注意：最简公分母确定方法： ①先将是多项式分母进行 ； ②取各分母系数的 作为最简公分母的系数； ③取分母中出现的 字母，相同字母要取 ； 【例2】1．化简a ＋1a 2－a ÷a ＋1 a 2－2a ＋1 的结果是( ) A ．a ＋1a B ．a a －1 C ．1a －1 D ．a －1a 2．计算a 2 a －1 －a －1的正确结果是( ) A ．－1a －1 B ．1 a －1 C ．－2a －1a －1 D ．2a －1a －1 3．使x －1x ＋2 ÷x －1x 有意义的条件是 ． 4．化简求值：m 2－1m 2＋4m ＋4÷(m ＋1)·m 2＋2m m －1 ，其中m ＝6． 变式训练2： 1．计算1÷1＋m 1－m ·(m 2 －1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 2．化简代数式⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1÷ x 2x ＋2= ． 3．若m ＋n ＝1，则代数式⎝⎛⎭⎫2m ＋n m 2－mn ＋1m · (m 2 －n 2)= ． 考点三 分式方程的解法 1．分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想方法是：分式方程转化为 方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤： ① ； ②解方程； ③ ：把解代入 ． 2．分式方程的增根与无解 (1)分式方程的增根需满足两个条件： ①满足去分母后的 方程； ②使最简公分母等于 ． (2)分式方程无解有以下两种情况： ①去分母后的整式方程 ； ②整式方程有解，但均为 ． 【例3】1．解方程2 x －1＋x ＋21－x ＝3时，去分母后变形为( ) A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x ) D ．2－(x ＋2)＝3(x －1) 2．已知方程3x －2x ＋1＝2＋m x ＋1 无解，则m 的值为( ) A ．－5 B ．－8 C ．－2 D ．5 3．若分式方程3x x －2－1＝m ＋3x －2有增根，则m 的值为______． 4．若方程x x －3＝2－m 3－x 有正数解，则m 取值范围为 ． 变式训练3： 1．方程3x －2＝a x ＋4 x (x －2) 有增根，则增根可能为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1 2．已知分式方程m x 2－4－1 x ＋2＝0无解，则m ＝ ． 3．若方程2x －a x －2＝1 2 有非负数解，则a 取值范围是 ． 考点四 分式方程的应用
第4讲 分式及分式方程 复习目标：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通会进行简单的分式加、减、乘、除运算分；会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) 考查的知识点一是分式化简；二是分式化简求值；三是解分式方程，近几年呼伦贝尔市这部分考查的题型主要为解答题，一般分式化简题会与分式化简求值题或解分式方程题轮换考查，试题也较为简单，难度不大，切记解分式方程后要验根． 复习重点：会利用分式的基本性质进行约分和通会进行简单的分式加、减、乘、除运算分；会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) 复习方法：自主学习与归类探究相结合的方法 1．分式的基本概念 (1)形如__A B (A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式； (2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式A B 无意义；当__A ＝0且B ≠0__时， 分式A B 的值为零． 2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷M B÷M (M 是不等于零的整式)__． 3．分式的运算法则 (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ；－a b ＝a －b ＝－a b . (2)分式的加减法： 同分母加减法：__a c ±b c ＝a±b c __； 异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±ad ac __． (3)分式的乘除法： a b ·c d ＝__ac bd __； a b ÷c d ＝__ad bc __． (4)分式的乘方： (a b )n ＝__a n b n (n 为正整数)__． 4．最简分式 (1)概念：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． (2)寻找最简公分母的方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
分式方程及其应用 一、基本概念 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程。 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程； （3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3。 用换元法解分式方程的一般步骤: ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用: 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2)检验所求的解是否 。 二、题型分类 考点一:分式方程 题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程 2 2311x x x 时,去分母后变形为（ ）。 A ．()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ） A ．0322=--x x B ． 13-=x x C ．x x =1 D ．12=-π x
题型（二)解分式方程 用常规方法解下列分式方程：25211 111 332552323 x x x x x x x x x -+ =+==+---++（）；（2）；（）； 题型（三）分式方程的解 1。已知方程 26 1=311x ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－2 2。方程134 622 32622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ） A 。 无解 B. 0 ， 3 C 。 —3 D 。 0, ±3 3。 如果 ) 2)(1(3 221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ． 34 B 。 3 5 C. 41 D 。 2 4（C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1 2 12-+=-+a a x x 的两个解是( ） A ．a a 2 , B ．12,1--a a C ．12,-a a D ． 11,-+a a a 题型（四）用换元法解分式方程 1.用换元法解分式方程152--x x +510102--x x =7时，如果设1 5 2--x x =y ，那么原方程可化为( )