中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用
复习目标
1、了解分式方程的概念。
2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。
考点梳理
一、分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．
注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.
二、分式方程的解法
去分母法，换元法．
例1、解分式方程：=﹣．
【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得
x+1=3(2x-1)-2(2x+1)
x+1=2x-5，
解得x=6．
检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤
(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程：
21
233
x x x -+=
--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =．
经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．
注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，
甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
【要点诠释】
方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 综合训练
1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（ ） A ．120120
32x x =+- B ．120120
32x x
=+- C ．
120120
32x x
=++ D ．
120120
32
x x =++ 【答案】B 【分析】
表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km ，列出
方程即可． 【详解】
解：原计划每天修建道路
120
x
m ，则实际用了（x ﹣2）天，每天修建道路为
1202x -m ，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km 得，120120
32x x
=+-． 故选：B ．
2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（ ） A ．
1.2 1.2
16x
+= B ．
1.2 1.2
13x
+= C ．
1.2 1.21
62
x += D ．
1.2 1.21
32
x += 【答案】C 【分析】
根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】
解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半， ∴甲队的工作效率为16
设乙队单独完成此项工程需要x 小时， ∴甲队的工作效率为1
x
由题意可得，1.2 1.21
62
x +=， 故选：C ．
3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1x x +1
2
x +-＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1
C ．x ＝3
D ．x ＝﹣3
【答案】A 【分析】
观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可． 【详解】 解：
11
2
x x x ++-＝1， 去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得： （x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2）， x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ， x ＝1，
经检验，x ＝1是原分式方程的解． 故选：A ．
4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50
s
s v x
x
++= 所表达的等量关系是（ ）
A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等
B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km
C ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v h
D ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B 【分析】
根据题意可以知道s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案， 【详解】
解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程， ∵某次列车平均提速v km/h ，路程=速度×时间 ∴方程50
s s v x
x
++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km ， 故选B.
5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m x
x
+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ≠﹣2 C ．m ＝2 D ．m ≠2
【答案】B 【分析】
解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠. 【详解】 解：
302m x
x
+-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，
∴46
x m
=-，
∵分式方程有解，
∴20
x
-≠，
∴2
x≠，
∴68
m
-≠，
∴2
m≠-，
故选B.
6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、
若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是
3
10
，袋中
白球共有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C
【分析】
设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是
3
10
，利用概率公式列出方程，解
之可得．
【详解】
设白球有x个，
由题意得：
33 3210
x
=
++
，
解得x=5．
经检验，x=5是方程的解，故答案为：C．
7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程21
52
x x =+-的解是______． 【答案】9x = 【分析】
方程两边都乘(5)(2)x x +-得出2(2)5x x -=+，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：
2152
x x =+-， 方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+， 去括号，得245x x -=+ 移项得：9x =，
经检验，9x =是原方程的解， 故答案为：9x =．
8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3
m
x -有增根，则m ＝___． 【答案】0 【分析】
先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x ，代入求值即可； 【详解】
2x x -﹣2＝3
m
x -， ()()()()32232x x x x m x ----=-， 223210122x x x x mx m --+-=-，
∴()271220x m x m -+--+=， ∵方程有增根， ∴()()230x x --=， ∴2x =或3x =，
当2x =时，41421220m m -+--+=，不存在； 当3x =时，92131220m m -+--+=，解得0m =； 故答案是0．
9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元． （1）求一件A 、B 型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A 、B 型商品共160件进行试销，其中A 型商品的件数不小于B 型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？
（3）已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元 【分析】
（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x +10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；
（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，
依题意得：160007500
2
10
x x
=⨯
+
，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=160．
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，
依题意得：
160
160150(160)24840
m m
m m
≥-
⎧
⎨
+-≤
⎩
，
解得：80≤m≤84，
又∵m为整数，
∴m可以为80，81，82，83，84，
∴共有5种进货方案，
方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；
方案4：购进83件A 型商品，77件B 型商品；
方案5：购进84件A 型商品，76件B 型商品．
（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；
方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；
方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；
方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；
方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．
∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，
∴购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．
10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程： （1）225x x +=；
（2）14733x x x
-+=--．
【答案】（1）11x =-21x =-（2）无解．
【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．
【详解】
解：（1）225x x +=，
2(1)6x ∴+=，
1∴+=x
∴11x =-21x =-
（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--， 解得3x =，
检验：当3x =时，30x -=， ∴3x =是方程的增根，
所以，原分式方程无解．
2020中考数学专题《分式方程及其应用》含解答 第一批 一、选择题 6．（2019·苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（） A．1524 3 x x = +B． 1524 3 x x = -C． 1524 3 x x = +D． 1524 3 x x = - 【答案】A【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．直接利用“小 明和小丽买到相同数量的笔记本”，得1524 3 x x = +，故选A． 5．（2019·株洲）关于x的分式方程25 3 x x -= -的解为（） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得，2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B。 4．（2019·益阳）解分式方程 3 2 1 2 1 2 = - + -x x x 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（） A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 【答案】C 【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C. 1. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（） A．500500 45 10 x x -= B． 500500 45 10x x -= C． 5000500 45 x x -= D． 5005000 45 x x -= 【答案】A【解析】由题意知：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒 传输10x兆数据，4G传输500兆数据用的时间是500 x，5G传输500兆数据用的时间是 500 10x，5G网络 比4G网络快45秒，所以500500 45 10 x x -= ． 2. （2019·淄博）解分式方程11 2 22 x x x - =- --时，去分母变形正确的是（） A. 112(2) x x -+=--- B.112(2) x x -=-- C. 112(2) x x -+=+- D.112(2) x x -=--- 【答案】D.【解析】方程两边同乘以x－2，得112(2) x x -=---，故选D.
注意： 1）增根：使分式方程中的分母为0的根即为增根. 2）在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 3）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母 中考数学复习《分式方程及其应用》经典题型（含答案） 知识点一：分式方程及其解法 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 变式练习：在下列方程中，①3210x +=；②24x y +=-；③4 11x x =-，其中是分式方程的是③. 2.解分式方程 基本思路：分式方程 整式方程 变式练习：将方程12211x x +=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1). 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； 分两步，第一步将各个分母因式分解，第二步方程两边都乘以最简公分母（最简公分母是指各个分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积），得整式方程。 (2)解所得的整式方程； 移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值; (3) 检验： 求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。 方程两边同乘以 最简公分母 约去分母 注意：若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号
变式练习1：分式方程3x ＋1＝2x 的解是________． 【解析】方程两边同乘x (x ＋1)，得3x ＝2(x ＋1)， 去括号得，3x ＝2x ＋2， 移项得，3x －2x ＝2， 合并同类项得，x ＝2， 经检验， x ＝2是原分式方程的解． 变式练习2：若分式方程101 x =-有增根，则增根为1. 变式练习3：2＋x 2－x ＋16x 2－4 ＝－1. 【解析】去分母得：－(x ＋2)2＋16＝4－x 2， 去括号得：－x 2－4x －4＋16＝4－x 2， 解得：x ＝2， 经检验x ＝2是增根， 分式方程无解 变式练习3：小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘x 得1－(x －2)＝1 ……① 去括号得1－x －2＝1 ……② 合并同类项得－x －1＝1 ……③ 移项得－x ＝2 ……④ 解得x ＝－2 ……⑤ ∴原方程的解为：x ＝－2 ……⑥ 【解析】：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边同乘以x ，得：1－(x －2)＝x ，去括号得：1－x ＋2＝x ，移项得：－x －x ＝－1－2，合并同类项得：－2x ＝－3，解得：x ＝32，经检验x ＝32是分式方程的解，则方程的解为x ＝32 知识点二 ：分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用 复习目标 1、了解分式方程的概念。 2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。 考点梳理 一、分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 二、分式方程的解法 去分母法，换元法． 例1、解分式方程：=﹣． 【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5，
解得x=6． 检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程： 21 233 x x x -+= --． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =． 经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =． 注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：分式方程的应用（附答案）1．一个化学实验小组人员分别做测量锌跟盐酸反应生成氢气的实验：5人分别称取锌块6.51克，6.52克，6.49克，6.50克，6.48克，生成的氢气用排水法收集，测得分别为：2.25升，2.26升，2.23升，2.24升，2.22升，则由此实验得出的氢气的密度为（）A．8.9×10﹣5克/厘米3B．8.9×10﹣4克/厘米3 C．8.9×10﹣3克/厘米3D．8.9×10﹣2克/厘米3 2．一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（）A．9：1B．5：4C．4：1D．5：1 3．一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（） A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1 4．小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（）分钟． A．45B．48C．56D．60 5．两块含铜百分比不同的合金重量之比为2：3，分别从两块合金上切下重量为3千克的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则原来两块合金的重量分别是（） A．4千克，6千克B．5千克，7.5千克C．6千克，9千克D．8千克，12千克 6．有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同．A 工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成如果三组共同完成，需要整7天．B工程如由丙组单独完成正好需要10天，问：如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（）
备考2023年中考数学一轮复习-方程与不等式_分式方程_分式方程的实际应用-综合题专训及答案 分式方程的实际应用综合题专训 1、 (2016哈尔滨.中考真卷) 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍． （1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少； （2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 2、 (2016山西.中考模拟) 农业现代化是我国“十三五”的重要规划之一，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年，合作社600亩玉米喜获丰收．合作社打算雇佣玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，且每台B种型号收割机每天的收个亩数是A种型号的1.5倍，如果单独使用一台收割机将600亩玉米全部收割完，A种型号收割机比B种型号收割机多用10天． （1）求A，B两种型号收割机每台每天收个玉米的亩数； （2）已知A种型号收割机收费是45元/亩，B种型号收割机收费是50元/亩，经过研究，合作社计划同时雇佣A，B两种型号收割机各一台合作完成600亩玉米的收割任务，则合作社需要支付的玉米收割总费用为多少元？ 3、 (2019宁波.中考模拟) 从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍. （1）求普通列车的行驶路程； （2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车的平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度. 4、
专题09 分式方程 【专题目录】 技巧1：分式的意义及性质的四种题型 技巧2：分式运算的八种技巧 技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4：分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】 1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分． 2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件． 3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。 4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论． 【考点总结】一、分式 分式的相关概念 分式概念形如 A B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． 有意义的 条件 因为0不能做除数，所以在分式 A B中，若B≠0，则分式 A B有意义；若B＝0，那么分式 A B没有意义． 值为0在分式 A B中，当A＝0且B≠0时，分式 A B的值为0 分式的基本 性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表 示是： A B＝ A×M B×M， A B＝ A÷M B÷M(其中M是不等于0的整式)
【考点总结】二、分式方程 【注意】 1.约分前后分式的值要相等. 2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. 3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算 运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算； 约分 将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分 通分 将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分 分 式 运 算 分式加 减 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a c ±b c ＝a ±b c .异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a b ±c d ＝ad ±bc bd . 分式乘除 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝ac bd .分式除以分 式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc 分式的混合运 算 在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇 到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式． 分 式 方 程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 解法 （1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. （2）常用方法：①去分母;①换元法. （3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;①解所得的整式方程;①验根作答. （4）换元法的步骤：①设辅助未知数;①得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;①把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;①检验作答. （5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们 把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根. 运用 解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题 1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1 f= 1 μ+ 1 ν(v≠f)表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=() A． fv f−v B． f−v fv C． fv v−f D． v−f fv 2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（） A．1500 x+0.2−1500 x=5B． 1500 x= 1500 x+2000+5 C．1500 x+2000=1500 x+5D． 1500 x− 1500 x+0.2=5 3．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方 程5000 2x= 4000 x﹣ 30，则方程中x表示（） A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的 数量 4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（） A．120x=160 35−x B． 120 35−x= 160 x C．120x=160 35+x D． 120 35+x= 160 x 5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（） A．60 x−60×(1+25%) x=10B． 60 (1+25%)x− 60 x=10 C．60×(1+25%) x−60 x=10D． 60 x− 60 (1+25%)x=10 6．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊
方程与不等式专题-分式方程专项训练之分式方程行程问题 一．选择题（共12小题） 1．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度比第二组快1米/分，他们比第二组早15分到达顶峰，则第一组的攀登速度是( ) A ．6米/分 B ．5.5米/分 C ．5米/分 D ．4米/分 2．甲、乙两列火车长分别是150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某位乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口经过的时间是( ) A ．5秒 B ．7.5秒 C ．8.5秒 D ．10秒 3．某人从A 地步行到B 地，当走到预定时间时，离B 地还有0.5千米；若把步行速度提高 25%，则可比预定时间早半小时到达B 地．已知AB 两地相距12.5千米，则某人原来 步行的速度是( ) A ．2千米/时 B ．4千米/时 C ．5千米/时 D ．6千米/时 4．A 、B 两地相距340千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，匀速行驶．在距离A 、B 两地的中点10千米处两车相遇，设甲车速度为1V 千米/时，乙车的速度为2V 千米/时，则12:V V 等于( ) A ．8:7 B ．8:9 C ．8:7或7:8 D ．8:9或9:8 5．“512”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x 米，所列方程正确的是( ) A ．120120 42x x += B ．120120 42x x =- C ． 12012041 x x =-+ D ． 120120 41 x x -= + 6．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的( ) A ． a b b +倍 B ． b a b +倍 C ． b a b a +-倍 D ． b a b a -+倍 7．小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交车方
2020北京中考一轮复习数学专题09—分式与分式方程 专题总结 【思维导图】 【知识要点】
知识点一：分式的基础 概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式，A为分子，B为分母。【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。 与分式有关的条件： 1．无论a A．a2+1 a2B．a+1 a2 C．a2−1 a+1 D．a−1 a2+1 2．若代数式x+1 x−3 有意义，则实数x的取值范围是（） A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3 3．在1 x ,1 2 ,x2+1 2 ,3xy π , 3 x+y ,a+1 m 中分式的个数有（） A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个考查题型一分式值为0的判断方法 1．分式x 2+2x−3 |x|−1 的值为0,则x的取值为( ) A．x=-3 B．x=3 C．x=-3或x=1 D．x=3或x=-1 2．当式子|x|−5 x2−4x−5 的值为零时，x的值是（） A．±5B．5C．−5D．5或1
3．若分式x 2−1x+1 的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．±1 知识点二：分式的运算（重点） 基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A B = A•C B•C ，A B = A÷C B÷C ， 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 A B =−A −B =−−A B =−A −B 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 1．若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A ．2+x x−y B ．2y x 2 C ． 2y 33x 2 D ．2y 2 (x−y)2 2．若把分式x+3y 2xy 的x 、y 同时扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的10倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 3．若分式2ab a+b 中的a 、b 的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．是原来的3倍 C ．是原来的6倍 D ．是原来的9倍 分式的约分 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。 分式约分步骤： 1）提分子、分母公因式 2）约去公因式
2023年九年级中考数学(人教版)第一轮复习：分式方程及其应用 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. (2021·宁波)要使分式1 x ＋2有意义,x 的取值应满足( ) A.x ≠0 B.x ≠－2 C.x ≥－2 D.x>－2 2. (2021·宿迁模拟)若分式x 2 －16 x －4 的值为0,则x 的值是( ) A.－4 B.4 C.±4 D.0 3. (2021·宁波模拟)若a ＝1b ＋1 c ,其中a,b,c 是实数,则( ) A.b ＋c ＝a B.b ＋c ＝1a C.b ＋c ＝a bc D.b ＋c ＝abc 4. (2021·金华)1a ＋2 a ＝( ) A.3 B.32a C.2a 2 D.3a 5. (2020·金华、丽水)分式x ＋5 x －2 的值是零,则x 的值为( ) A.5 B.2 C.－2 D.－5 6. (2020•泸州)已知关于x 的分式方程2 的解为非负数,则正整数m 的所有个数 为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7. (2021·株洲)《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十……”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为:“50单位的粟,可换得30单位的粝米……”.问题:有3斗的粟(1斗＝10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为( ) A.1.8升 B.16升 C.18升 D.50升 8. (2021·临沂中考)某工厂生产A,B 两种型号的扫地机器人.B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m 2 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积?若设A 型扫地机器人每小时清扫xm 2 ,根据题意可列方程为( ) A. 1000.5x ＝100x ＋23 B.1000.5x ＋23 ＝100x C.100x ＋23 ＝1001.5x D.100x ＝1001.5x ＋2 3 9. (2021·鸡西模拟)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋14＞x －1x －a ≤0 的解集为x ≤a,且关于y
第6讲分式方程 表头加底纹考前须知：只是章首页下的表格加底纹，其他不加 考纲要求命题趋势 1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的根本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．3．会列分式方程解决实际问题. 中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点. 知识梳理 一、分式方程 1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程． 2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征： (1)增根使__________为零； (2)增根是分式方程化成的__________方程的根． 二、分式方程的根本解法 解分式方程的一般步骤： (1)去分母，把分式方程转化为__________方程． (2)解这个整式方程，求得方程的根． (3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，那么它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，那么它是原分式方程的根． 三、分式方程的实际应用 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解是否符合实际． 自主测试 1．分式方程 3 2x－4 － x x－2 ＝ 1 2的解为() A．x＝5 2B．x＝ 5 3C．x＝5 D．无解 2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的选项是() A．25 x＝ 35 x－20 B． 25 x－20 ＝ 35 x C．25 x＝ 35 x＋20 D． 25 x＋20 ＝ 35 x 3．关于x的分式方程a＋2 x＋1 ＝1的解是非正数，那么a的取值范围是__________． 考点一、分式方程的解法 【例1】解方程：x＋1 2x＝ x＋1 3. 分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解． 解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝
备考2022年中考数学一轮复习-方程与不等式_分式方程_分式方程的实际应用-综合题专训及答案 分式方程的实际应用综合题专训 1、 (2016鸡西.中考模拟) 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书单价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买这两种图书共100本，请求出所需经费W（单位：元）与购买甲种图书m（单位：本）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，要使投入的经费不超过1820元，且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量，则共有几种购买方案？ 2、 (2019海州.中考模拟) 深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台. （1）求甲、乙两种书柜的进价； （2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少. 3、 (2019澄海.中考模拟) 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书． （1）第一次购书的进价是多少元？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？ 4、 (2017连云港.中考模拟) 大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元． （1）求面料和里料的单价； （2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
中考数学一轮复习《分式方程及其应用》练习题（含答案） (建议答题时间：45分钟) 基础过关 1. (2017河南)解分式方程 1 x－1 －2＝ 3 1－x ，去分母得() A. 1－2(x－1)＝－3 B. 1－2(x－1)＝3 C. 1－2x－2＝－3 D. 1－2x＋2＝3 2. (2017哈尔滨)方程 2 x＋3 ＝ 1 x－1 的解为() A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝－5 3. (2017黔东南州)分式方程 3 x（x＋1） ＝1－ 3 x＋1 的根为() A. －1或3 B. －1 C. 3 D. 1或－3 4. (2017成都)已知x＝3是分式方程 kx x－1 － 2k－1 x＝2的解，那么实数k的值为() A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 5. (2017龙东)已知关于x的分式方程3x－a x－3 ＝ 1 3的解是非负数，那么a的取值范围 是() A. a＞1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1 6. (2017聊城)如果解关于x的分式方程m x－2－ 2x 2－x ＝1时出现增根，那么m的值 为() A. －2 B. 2 C. 4 D. －4 7. (2017广西四市联考)一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行90 km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则可列方程为() A. 120 v＋35＝ 90 v－35 B. 120 35－v ＝ 90 35＋v C. 120 v－35＝ 90 v＋35 D. 120 35＋v ＝ 90 35－v 8. (2017重庆八中一模)从－4，－3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记
宁夏中考数学一轮复习专题9——分式方程及其应用 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共7题；共35分) 1. （5分）(2020·海南模拟) 分式方程的解是（） A . B . C . D . 2. （5分）下列关于x的方程中,不是分式方程的是（） A . - = + B . = C . -2= D . - =0 3. （5分）(2018·来宾模拟) 方程的解是（） A . x﹣9 B . x=3 C . x=9 D . x=﹣6 4. （5分） (2015九上·淄博期中) 解方程﹣3去分母得（） A . 1=1﹣x﹣3（x﹣2） B . 1=x﹣1﹣3（2﹣x） C . 1=x﹣1﹣3（x﹣2） D . ﹣1=1﹣x﹣3（x﹣2） 5. （5分） (2019八上·信阳期末) 若分式方程有增根，则m的值为（） A . 0或3 B . 1 C . 1或－2 D . 3 6. （5分） (2016八上·宁阳期中) 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后
因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（） A . B . = C . D . 7. （5分）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（） A . y2-3y+2=0 B . 2y2 +y-1=0 C . y2 –y+2=0 D . y2 +y-2=0 二、填空题 (共7题；共35分) 8. （5分） (2017八下·江苏期中) 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是________． 9. （5分）分式方程的解是________. 10. （5分） (2020八下·眉山期末) 某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x km/h，则列方程为________. 11. （5分）(2016·崂山模拟) 汛期来临前，某地要对辖区内的4800米河堤进行加固，施工单位在加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固的长度是原来的2倍，结果仅用9天便出色完成了全部任务．请求出施工单位原来每天加固河堤多少米？设原来每天加固河堤x米，根据题意得________ 12. （5分）(2020·昌吉模拟) A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程 ________. 13. （5分） (2018九上·深圳期末) 已知关于x的方程有增根，则k的值为________． 14. （5分） (2017九上·沂源期末) 已知关于x的方程 =3的解是正数，则m的取值范围是________． 三、综合题 (共8题；共80分) 15. （10分） (2020八上·石景山期末) 解方程： 16. （8分） (2021八上·泸县期末) 在新冠疫情期间，某厂家接到在规定时间内加工15000个口罩的任务，在加工了3000个口罩后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4个小时完成了任务.该厂家原来每小时加工多少个口罩？
分式方程及其应用 【命题趋势】 在中考中.解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程.解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。 【中考考查重点】 一、能解可化一元一次方程的分式方程 二、能根据具体问题的实际意义.检验方程的解是合理 考点一：解分式方程 1．（2021•广州）方程＝的解为（） A．x＝﹣6B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝6 【答案】D 【解答】解：去分母.得x＝2x﹣6. ∴x＝6．
经检验.x＝6是原方程的解． 故选：D． 2．（2021•贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（）A．1B．0C．﹣1D．无解【答案】D 【解答】解：去分母.得1+2x﹣2＝2﹣x. 整理.得3x＝3. 解.得x＝1． 经检验.x＝1不是原方程的解． 所以原方程无解． 故选：D． 3．（2021•饶平县校级模拟）在下列方程中.（）是分式方程．A．＝1B． C．D． 【答案】A 【解答】解：A、是分式方程.故此选项符合题意； B、不是分式方程.是整式方程.故此选项不符合题意； C、不是分式方程.故此选项不符合题意； D、不是分式方程.是整式方程.故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（2020•郴州）解方程：＝+1． 【答案】x＝3. 【解答】解：＝+1. 方程两边都乘（x﹣1）（x+1）.得 x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1）. 解得x＝3. 检验：当x＝3时.（x﹣1）（x+1）＝8≠0． 故x＝3是原方程的解．
考点二：分式方程的实际应用 行程问题 时间速度 路程 = 工程问题 工作完成时间 工作效率 工作总量 = （当题干中没有给出具体工作总量时.默认工作总量为1） 购买问题 总量单价 总价 = 航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度 【提分要点】 双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题 5．（2021•黔西南州）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为xkm /h .依题意.下面所列方程正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． ＝3 【答案】B 【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm /h .则高铁的平均速度是3xkm /h . 根据题意得：﹣ ＝3． 故选：B ． 6．（2021•黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间.甲、乙两人准备帮助
甘肃省中考数学一轮复习专题 9——分式方程及其应用
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 7 题；共 35 分)
1. （5 分） (2019 八下·绿园期末) 如图，在框中解分式方程的 4 个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）
A . ①③ B . ①② C . ②④ D . ③④
2. （5 分） 下列方程:① 的是（ ）
A . ①② B . ②③ C . ③④ D . ②③④
=1;② =2;③
④+
=5;⑤ + =4.其中是分式方程
3. （5 分） 解分式方程 A . 5﹣x=4（x﹣3） B . 5+x=4（x﹣3） C . 5（3﹣x）+x（x﹣3）=4 D . 5﹣x=4
时，去分母后，得（ ）
4. （5 分） 使关于 x 的分式方程 足条件的所有整数 k 的和为（ ）
A . ﹣1 B.0 C.1 D.2
=3 的解为非负数，且使反比例函数 y=
图象过第一、三象限时满
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5. （5 分） (2017 八下·灌云期末) 若关于 x 的方程
+
=0 有增根，则 m 的值是（ ）
A . ﹣2
B . ﹣3
C.5
D.3
6. （5 分） A、B 两地相距 10 千米，甲、乙二人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是乙的速度的 2 倍，结果
甲比乙早到 小时．设乙的速度为 x 千米/时，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. （5 分） 用换元法解方程
﹣
=3 时，设
=y，则原方程可化为（ ）
A . y= ﹣3=0
B . y﹣ ﹣3=0
C . y﹣ +3=0
D . y﹣ +3=0
二、 填空题 (共 7 题；共 35 分)
8. （5 分） (2020·铜仁模拟) 分式方程
+1＝0 的解是________.
9.（5 分）(2020 八上·椒江期末) 对于两个非零代数式，定义一种新的运算：
.若
，
则 x=________.
10. （5 分） 列分式方程的步骤:(1)审清题意,明确题目中的未知数;(2)根据题意找________,列出分式方程.
11. （5 分） (2020 八上·永年期末) 某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器
人比乙型机器人每小时多搬运
，甲型机器人搬运
所用时间与乙型机器人搬运
所用时间相
等．问乙型机器人每小时搬运多少 产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1） 小华同学设乙型机器人每小时搬运
产品，可列方程为________小惠同学设甲型机器人搬运
所用时间为 小时，可列方程为________．
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专题10分式方程 【考查题型】 【知识要点】 解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。 2）解整式方程。 3）验根(把整式方程的解代入最简公分母， 情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根； 情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。 分式的化简求值： 1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0； 2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式； 3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。 分式方程解决实际问题的步骤： 1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案 考查题型一 解分式方程 题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程32 2 x x =-的解是（ ） A ．2x = B ．6x =- C ．6x = D ．2x =- 题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程 2 101 x -=-的解是（ ）
A ．1x = B ．2x =- C ．3x = D ．3x =- 题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式 32x +与代数式2 1 x -的值相等，则x ＝______． 题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11 a b -，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____． 题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程21 01 x x - =+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程() 2 1 5 22x x x x +=-的解为________． 题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____． 先化简，再求值：314x x -+-，其中x = 解：原式 3(4)(4)4x x x x -= ⋅-+-- 34x x =-+- 1=- 题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33 122x x x -+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________． 题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11 b a b a ⊗=+．若21 (1)++⊗= x x x x ，则x 的值为___________． 题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：2 243 0x x x x -=+-． 题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24 133 x x -=-- 题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程： 241244 x x x x -=--+．