第三讲分式及分式方程
明确目标∙定位考点
分式，主要考查分式的概念及利用分式的基本性质进行分式的相关运算，灵活运用简单的分式的加、减、乘、除运算，正确的约分与通分，用适当的方法解决与分式有关的问题；分式方程，主要考查分式方程的性质和可化为一元一次方程的分式方程，能运用分式方程解决简单的实际问题。
归纳总结 思维升华
1、分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子
B
A 叫做分式，A 为分子，
B 为分母。 2、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠）
②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩
⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0
0B A ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩
⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ∙∙=A B A ，C
B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B
B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
4、分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
5、最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
6、分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分
式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
6、分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，式子表示为：d
b c a d c b a ∙∙=∙。 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，式子表示为c
c ∙∙=∙=÷b
d a d b a d c b a 。 ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方，式子表示为n n n b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛。 ③ 分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为c
b a
c b ±=±c a 。 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为bd
bc ad d c ±=±b a 。 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以
便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
7、分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知
数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
【产生增根的条件】①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
8、 列分式方程解应用题的基本步骤
①审—仔细审题，找出等量关系。②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程（组）。④解—解出方程（组），注意检验。
⑤ 答—答题。
热点聚焦﹒考点突破
热点一 分式的概念及有无意义的条件
【例1】要使分式2
1+x 无意义，则x 的取值应满足。 【变式训练1】代数式1
-1x 有意义时，x 应满足的条件为 。 规律方法 考查分式的概念及有无意义的条件：
(1)当分母值不为0时，分式有意义；（2）但分母值为0时，分式有意义。
热点二 分式的值为0的条件
【例2】当x =，分式2
1-+x x 的值为0。 【变式训练2】分式3
3
+-x x 的值为0，则x 的值为 。 规律方法 当分母值不为0，分子值为0时，分式值为0。
热点三 分式的基本性质
【例3】计算2
42--x x ，结果是。 【变式训练3】 若分式b
a a +2中的、的值同时扩大到原来的10倍，由此分式的值（ ）。
A.是原来的20倍
B.是原来的20倍
C.是原来的10
1 D.不变 规律方法 分式的分子和分母都乘（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
热点四 分式的运算
【例4】化简x
x x -+-1112的结果是。 【变式训练4】计算)1(22b a a b
a b +-÷-的结果是。 规律方法 分式的四则运算
热点五 分式的化简求值
【例5】先化简：a
a a a 21)11(2-+÷+，若41<<-a 时， 请代入你认为合适的一个值，并求出这个代数式的值.
【变式训练5】
1、先化简，再求值：231(1)24
a a a ++÷--，其中是小于3的正整数. 2、先化简)112(1222x
x x x x x --÷+-+，再从-2<<3的范围内选取一个你喜欢的值代入 求值。
规律方法 在进行分式的约分或通分运算时，要注意因式分解的应用。化简求值时，一要注意整体思
想，二要注意代入的数值要使分式有意义。
热点六 分式方程的定义及解
【例6】若关于的分式方程21
1=--x m 的解为非负数，则的取值范围是（ ）。 A.1- m B.1-≥m
C.1- m 且1≠m
D.1-≥m 且1≠m
【变式训练6】关于的方程12
1-=-+x ax 的解是正数，则的取值范围是 。 规律方法 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m 的范围即可。
热点七 分式方程的增根问题
【例7】若关于的方程x
m x x 21051-=--无解，则=。 规律方法 由增根求参数的值：（1）将原方程化为整式方程（2）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
【变式训练7】若分式方程211=---x
m x x 有增根，则这个增根是 。
热点八 分式方程的解法
【例8】分式方程01
73=+-x x 的解是。 【变式训练8】1.解分式方程：211x x x
-=-； 2.解方程：
2
13-=x x 3.解方程：11322x x x -+=-- 规律方法 去分母时要准确找出分式方程中各分式的最简公分母，求出整式方程的根后，要注意验根。 热点九 分式方程的应用
【例9】某工厂原计划生产24000台空气净化器，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了1台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产100台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器？
规律方法 用分式方程解决实际问题时，要认真审题，恰当设未知数，准确找出题意中所涉及的等量关系。在解题过程中，要注意检验，所求根既要满足方程，又要满足题意。
【变式训练9】有几位同学计划租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前又增加了两位同学，租车价格不变，结果每人比原来少分摊了3元车费，求原计划有多少位同学参加旅游？ 专题训练，对接中考
一、选择题
1、若分式x
x x --2632的值为0，则的值为（ ）。 A.0 B.2 C.-2 D.0或2
2、化简mn
m n m +-22
2的结果是（ ）。 A.m n m 2- B.m n m - C.m n m + D.n
m n m +- 3、下面各式中，正确的是（ ）。 A.
b a m b m a =++ B.0=++b a b a C.1
111--=--c b ac ab D.y x y x y x +=--122 4、化简x y x x y y x -÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-的结果是（ ）。
A.y 1
B.y y x +
C.y y
x - D.
5、将分式方程2
1
2x x =-去分母后得到正确的整式方程是（）．
A.2x x -=
B.222x x x -=
C.22x x -=
D.24x x =-
6、若分式方程021
2
=-+-ax x a 的解为3=x ，则的值是（ ）。
A.1
B.2
C.3
D.4
7、对于公式212
1
1
1(2)f F F f f =+≠，已知F ，，求。则公式变形的结果为（ ） A.2122f F f F f =- B.2122
f F
f f F
-= C.21222f F
f f F += D.212f F
f f F
=-
8、一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x ，列方程得 （
） A.116x x =+ B.1
6x x =-+ C.1
1
06x x ++= D.11
06x x +=+
9、甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若
设甲每天做x 个零件，列方程得（ ） A.360480140x x =- B.360480
140x x =- C.360480140x x += D.360
480
140x x -=
10、某面粉厂现在平均每小时比原计划多生产面粉330kg ，已知现在生产面粉33000kg 所需
的时间和原计划生产23100kg 面粉的时间相同，若设现在平均每小时生产面粉xkg ，则
根据题意，可以列出分式方程为（ ） A.3300
23100
330x x -= B.3300023100
330x x =- C.3300023100330x x =- D.33000
23100
330x x =+
二、填空题
1、计算b a b b a ++-2
2=。
2、计算x y y x 323-2
2
2÷=。 3、化简11
112++-+x x x =。 4、使分式
3
1-+x x 有意义的的取值范围是。 5、若代数式112--x 的值为0，则=。 6、为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召老师和学生自愿捐款，第一次捐款总额为0元， 第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多 20元，求第一次捐款的人数是多少。若设第一次捐款的人数为，则根据题意可列方程为
三、解答题
1、计算a b b b a b a a -÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--122。 2、先化简，再求值：222
2()a b ab b a a a --÷-，其中，a=1+，b=1—．
3、已知094=-+-b a ，求2
2222b a ab a b ab a --⋅+的值。 4、设1
,122-=-=x x B x A ， (1) 求与的差；
(2)若与的值相等，求的值。
5、某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，12天 恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队 中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？
6、在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价 80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元。
（1）求每张门票原定的票价；
（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价
后降为324元，求平均每次降价的百分率。
作业：
一、选择题
1、分式方程11128
x -=-的解为（ ） A ．83x = B ．83
x =- C ．8x = D ．8x =- 2、对于分式方程
3233x x x =+--,有以下说法: ①最简公分母为(x －3)2；②转化为整式方程x ＝2＋3，解得x ＝5；③原方程的解为x ＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3、若1
4+n 表示一个整数，则整数可取值的个数是（ ）。 A ．6 B.5 C.4 D.3
4、已知
411=-b a ，则ab
b a b ab a 7222+---的值等于（ ）。 A.6 B.-6 C.152 D.7
2- 5、关于的方程112=++x a 的解是非正数，则的取值范围是（ ）。 A.1-≤a B.2-≤a C.1≤a 且2-≠x D.1-≤a 且2-≠x
3、若为正实数，且3=-m m ，则=-22m
m 。 4、若关于的方程23
32+-=--x m x x 无解，则的值是。 5、若关于的两个方程022=--x x 与a x x +=-221有一个解相同，则=。 三、解答题 1、先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++÷--ab b a ab b a b a 2122222
2，其中115-=a ,113+-=b 。 2、已知032≠=b a ，求代数式)(42522b a b
a b a -⋅--的值。 3、已知A=1-1
1222--++x x x x x （1）化简A ；
（2）当满足不等式组0301<-≥-x x ，且为整数时，求A 的值。 4、某商店开学前用元购进一批学生书包，开学后发现供不应求，
商店又购进第二批同样的书包，所购数量比第一批数量多了20 个，但每个书包的进货价比
第一批提高了20%，结果购进第二批书包用了 3600 元．
（1）求第一批购进书包时每个书包的进货价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是80 元，全部售出后，商店共盈利多少元？
5、铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元 资金购进该品种苹果，但这次进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。
（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定
价的七折（“七折”即定价的70%）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
6、在新华南北路改造过程中，某路段工程招标时，工程指挥部接到甲、乙两个工程队的投标书．根 据甲、乙两队的投标测算；若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的 工程由甲、乙两队合作20天可完成。
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了缩短工期方便行人，若安排甲、乙两队共同完成这项工程需要多少天？
7、某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件。
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数。
知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例 1.分式的 概念（1）分式：形如 B A (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0) 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1） 判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字 母. 例：下列分式：①;②; ③;④ 2 22 1 x x + - ，其中 是分式是②③④；最简分式③. 2.分式的 意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 B A 无意义； (2)有意义的条件：当B≠0时，分式 B A 有意义； (3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 B A ＝0. 失分点警示：在解决分式的值为0，求值 的问题时，一定要注意所求得的值满足分 母不为0. 例：当 21 1 x x - - 的值为0时，则x＝-1. 3.基本性 质 ( 1 ) 基本性质： A A C B B C ⋅ = ⋅ A C B C ÷ = ÷ (C≠0)． （2）由基本性质可推理出变号法则为： ()A A A B B B -- - == - ； A A A B B B - -== - . 由分式的基本性质可将分式进行化简： 例：化简： 2 2 1 21 x x x - ++ = 1 1 x x - + . 知识点三：分式的运算 4.分式的 约分和 通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 即 b a bm am =； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 式化为同分母的分式，即 bc bd bc ac d c b a , ,⇒ 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式 2 1 x x + 和 () 1 1 x x- 的最简公分母 为() 21 x x-. 5.分式的 加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 a c± b c＝ a±b c； (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 a b± c d＝ ad±bc bd. 例： 1 11 x x x + -- ＝－1. 2 112 . 111 a a a a += +-- 6.分式的 乘除法(1)乘法： a b· c d＝ ac bd；(2)除法： a c b d ÷＝ ad bc ； (3)乘方：n a b ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ＝ n n a b (n为正整数). 例： 2 a b b a ⋅＝ 1 2 ； 21 x xy ÷＝2y； 3 3 2x ⎛⎫ - ⎪ ⎝⎭ ＝ 3 27 8x - . 7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化 简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到 整体代入. 知识讲解
中考数学20大专题4——分式与分式方程 ①=-22b a （a+b （a-b ）） ②()2222b a b ab a +=++ ③()2 222b a b ab a -=+- 1.引人新课：你认为 xy x x )2(+与y x 2+相等吗？ 2. 分式的概念： 如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。其中A 称为分式的分子， B 称为分式的分母，且对于任意一个分式，分母都不能为零。 对概念的详解： （1）分式是两个整式相除的商，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用； （2）分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。 （3）分式的定义方式是从式子的形式出发，判断一个式子是不是分式关键看形式而不是看式子变形后的结果。 【例1】 在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？ x 3-，y x ，π3y x +，y x 232，x 8 1-，y +53，5y x -，a a 1-，5-，x x 2，()1232+x ，y 1+，a b ⋅ （1）分式有意义的条件：分母不等于零 （2）分式无意义的条件：分母等于零 难点分析： （1）在确定分式有无意义时，不能对分式进行约分（即化简），若约分，则会扩大字母的取值范围。 （2）果没有特殊说明，我们所遇到的分式都是有意义的，如x y 1= 中就隐含着x ≠0的条件存在。 【例2】当x 取什么值时，分式235+-=x x y 有意义？ 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用字母表示为M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,（M 为不等于0的整式）. 重点分析： （1）分式的基本性质与分数的基本性质类似. （2）不要忽略M ≠0这个条件，如x x x 2 =，从左边到右边的变形的前提条件是x ≠0，故两边的x 取值范围是不同的，这种变形是错误的变形。 【例3】 填空。 （1）.)3(;)()2(;2 232222b a ab ab a y x y x y x x x x x -=-+=+-+=+
专题04分式、分式方程及一元二次方程 复习考点攻略 考点01 分式相关概念 1、分式的定义 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。 【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 A A C B B C ⋅= ⋅；A A C B B C ÷=÷（C≠0）。 3、分式的约分和通分 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。 （2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分 母的分式叫做分式的通分。 （3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 （4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。 【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。 4、分式的乘除 ①乘法法则：d b c a d c b a ⋅⋅=⋅。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：c b d a c d b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：n n n a a b b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：1n n a a -= 。
5、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：a b a b c c c ± ±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bc b d bd bd bd ± ±=±=。 【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 6、分式的混合运算 （1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． （2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 【例1】若分式 2 1 x x - 在实数范围内无意义，则x的取值范围是（） A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1 【例2】若分式 1 1 x+ 的值不存在，则x=__________． 【例3】分式 5 2 x x + - 的值是零，则x的值为（） A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（） A．a b = 2 2 a b + + B． 0.22 0.1 a b a b b b ++ = C．a b –1= 1 a b - D． a b = 2 2 (1) (1) a m b m + + 考点02 分式方程相关概念 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。 （2）解分式方程的步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程；
2021中考复习 数学考点专项训练——专题二十二：分式与分式方程 一、填空题 1.化简：2a 2 －8 a ＋2 －a ＝______. 2.计算 x ＋1x －1 x 的结果是 . 3．分式2x y xy +，23y x ，26x y xy -的最简公分母为____________． 4．关于x 的方程 22 x m x +-=1的解是正数，则m 的取值范围是________ ． 5.函数的自变量x 的取值范围是______． 6.分式 3m 2 －4 ，52－m 的最简公分母是 . 7.已知 ，则实数A ___________ B______ 8.如果代数式m 2 ＋2m ＝1，那么m 2 ＋4m ＋4m ÷m ＋2 m 2 的值为 . 9.已知分式方程＝1的解为非负数，则a 的取值范围是_____． 10.已知 ，则 _____________________； 11．用换元法解方程 ﹣ ＝1时，如果设 ＝y ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ． 12.设a ≠b ，我们用符号[a ，b ]表示两数中较大的一个，如??????17，－2＝17，按照这个规定：方程???? ? ?1－x x －4，－2＝ 5－2x 4－x 的解为______. 13.某地曾发生百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3 600米，为了使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．则原计划每天修水渠 米． 二、选择题 1. 下列运算结果为x －1的是( )
A. 1－1x B. x 2－1x ·x x ＋1 C. x ＋1x ÷1x －1 D. x 2 ＋2x ＋1 x ＋1 2. 若分式4 162--x x 的值为0,则x 的值为( ) A.0 B.4 C. -4 D. ±4 3．如果分式 2A x +与23B x -的和是251126 x x x -+-，那么A 、B 的值分别是( ) A ．A ＝5，B ＝－11 B ．A ＝3，B ＝－1 C ．A ＝－1，B ＝3 D ．A ＝－5，B ＝11 4．关于x 的分式方程-5 m x =1,下列说法中,正确的是( ) A ．方程的解为x=m+5 B ．当m>-5时,方程的解为正数 C ．当m<-5时,方程的解为负数 D ．当m>-5时,方程的解为负数 5．使分式2 13x --的值为正的条件是（ ） A ．13x < B ．1 3x > C ．x ＜0 D ．x ＞0 6．计算111 a a a +++的结果为（ ） A ．1 B ．a C ．a+1 D ． 11 a + 7．甲、乙两人同时从A 地出发到B 地,如果甲的速度v 保持不变，而乙先用1 2 v 的速度到达中点,再用2v 的速度到达B 地,则下列结论中正确的是( ) A ．甲、乙同时到达B 地 B ．甲先到达B 地 C ．乙先到达B 地 D ．谁先到达B 地与v 有关
注意： 1）增根：使分式方程中的分母为0的根即为增根. 2）在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 3）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母 中考数学复习《分式方程及其应用》经典题型（含答案） 知识点一：分式方程及其解法 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 变式练习：在下列方程中，①3210x +=；②24x y +=-；③4 11x x =-，其中是分式方程的是③. 2.解分式方程 基本思路：分式方程 整式方程 变式练习：将方程12211x x +=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1). 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； 分两步，第一步将各个分母因式分解，第二步方程两边都乘以最简公分母（最简公分母是指各个分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积），得整式方程。 (2)解所得的整式方程； 移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值; (3) 检验： 求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。 方程两边同乘以 最简公分母 约去分母 注意：若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号
变式练习1：分式方程3x ＋1＝2x 的解是________． 【解析】方程两边同乘x (x ＋1)，得3x ＝2(x ＋1)， 去括号得，3x ＝2x ＋2， 移项得，3x －2x ＝2， 合并同类项得，x ＝2， 经检验， x ＝2是原分式方程的解． 变式练习2：若分式方程101 x =-有增根，则增根为1. 变式练习3：2＋x 2－x ＋16x 2－4 ＝－1. 【解析】去分母得：－(x ＋2)2＋16＝4－x 2， 去括号得：－x 2－4x －4＋16＝4－x 2， 解得：x ＝2， 经检验x ＝2是增根， 分式方程无解 变式练习3：小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘x 得1－(x －2)＝1 ……① 去括号得1－x －2＝1 ……② 合并同类项得－x －1＝1 ……③ 移项得－x ＝2 ……④ 解得x ＝－2 ……⑤ ∴原方程的解为：x ＝－2 ……⑥ 【解析】：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边同乘以x ，得：1－(x －2)＝x ，去括号得：1－x ＋2＝x ，移项得：－x －x ＝－1－2，合并同类项得：－2x ＝－3，解得：x ＝32，经检验x ＝32是分式方程的解，则方程的解为x ＝32 知识点二 ：分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
中考分式及分式方程专题复习 1．分式 用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A B 就叫做分式． 2．分式的基本性质：A B =,A M A A M B M B B M ⨯÷= ⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 3．分式的符号法则：a b =a a a b b b --=-=- --． 4．分式的运算 （1）加减法： ,a b a b a c ad bc c c c b d bd ±±±=±= ． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad d bd b d b c bc =÷== g （3）乘方（a b ）n =n n a b （n 为正整数） 5．约分，通分 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分． 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法 分式方程−−−→去分母 换元 整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；
④解方程并检验； ⑤写出答案． 注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去． 一、选择题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.（2013·南宁）若分式1 2 +-x x 的值为0，则x 的值为（ ） A.－1 B.0 C.2 D.－1或2 2.（2012·绍兴）化简x 1－ 1 1 -x ，可得（ ） A.x x -21 B.－x x -21 C.x x x -+212 D.x x x --212 3.（2012·金华）下列计算错误的是（ ） A.b a b a -+7.02.0＝ b a b a -+72 B. 3 223y x y x ＝y x C. a b b a --＝－1 D.c 1＋c 2＝c 3 4.设m ＞n ＞0，2 m ＋2 n ＝4mn ，则mn n m 2 2-＝（ ） A.23 B.3 C.－3 D. 3 5.（2012·丽水）把分式方程4 2 +x ＝x 1转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B. 2x C.x ＋4 D. x （x ＋4） 二、填空题（每小题6分，共30分） 6.当x 时，分式x -31 有意义. 7.（2013·益阳）化简1-x x －1 1-x ＝ .
第三讲分式及分式方程 明确目标∙定位考点 分式，主要考查分式的概念及利用分式的基本性质进行分式的相关运算，灵活运用简单的分式的加、减、乘、除运算，正确的约分与通分，用适当的方法解决与分式有关的问题；分式方程，主要考查分式方程的性质和可化为一元一次方程的分式方程，能运用分式方程解决简单的实际问题。 归纳总结 思维升华 1、分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 2、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩ ⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0 0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩ ⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 3、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ∙∙=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 4、分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：
中考数学复习 分式方程 一、选择题 1．把分式方程1x －2－1－x 2－x ＝1的两边同时乘以(x －2)，约去分母，得( D ) A ．1－(1－x )＝1 B ．1＋(1－x )＝1 C ．1－(1－x )＝x －2 D ．1＋(1－x )＝x －2 【解析】利用分式的基本性质，去分母时注意符号的变化． 2．分式方程1x ＝2x ＋1 的解为( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 【解析】分式方程两边同时乘以x (x ＋1)得：x ＋1＝2x ，x ＝1. 3．方程2x ＋1x －1 ＝3的解为( D ) A ．－45 B.45 C ．－4 D ．4 【解析】分式方程两边同时乘以x －1得2x ＋1＝3(x －1)，得x ＝4. 4．已知a 与2a －2 互为倒数，则满足条件的实数a 的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】倒数的定义，由a ·2a －2 ＝1，2a ＝a －2得a ＝－2只有一个值． 5．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x 个，那么所列方程是( B ) A.90x ＝60x ＋6 B.90x ＋6＝60x C.90x －6＝60x D.90x ＝60x －6 6．关于x 的分式方程5x ＝a x －2 有解，则字母a 的取值范围是( D ) A ．a ＝5或a ＝0 B ．a ＝0 C ．a ≠5 D ．a ≠5且a ≠0 二、填空题
7．如果1m －1＝1，那么m ＝__2__． 8．写出一个解为x ＝－1的分式方程__如1x ＝－1__． 【解析】答案不唯一. 9．若代数式1x －2和32x ＋1 的值相等，则x ＝__7__． 【解析】1x －2＝32x ＋1 ，解分式方程得x ＝7. 10．当m ＝__－6__时，关于x 的分式方程2x ＋m x －3 ＝－1无解. 11．关于x 的分式方程2x －m x ＋1 ＝3的解是正数，则字母m 的取值范围是__m ＜－3__． 【解析】去分母得2x －m ＝3x ＋3，解得x ＝－m －3， 由分式方程的解为正数，得到－m －3＞0，且－m －3≠－1，解得m ＜－3. 12．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13 .小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm 3.求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/cm 3，根据题 意列方程是__30（1＋13 ）x －15x ＝5__． 三、解答题 13．解方程：2x x －2＝1－12－x . 解：去分母得：2x ＝x －2＋1，移项合并得：x ＝－1，经检验x ＝－1是分式方程的解． 14．已知关于x 的分式方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，求k 的取值范围． 解：去分母得k (x －1)＋(x ＋k )(x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)，整理得(2k ＋1)x ＝－1，因为方程k x ＋1＋x ＋k x －1 ＝1的解为负数，所以2k ＋1＞0且x ≠±1，即2k ＋1≠1且2k ＋1≠－1，解得k ＞－12且k ≠0，即k 的取值范围为k ＞－12 且k ≠0 15．“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花的束数的1.5倍，且每束花的进
中考数学真题专项练习分式与分式方程（解析 版） 一、选择题 1. （2021•江西•3分）运算的结果为 A.b B. C. D. a 【解析】本题考察代数式的乘法运算，容易，注意,约分后为b 【答案】A★ 4. （2021•四川成都•3分）分式方程的解是（） A.x= 1 B. C. D. 【答案】A 【考点】解分式方程 【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x =x（x-2） x2-x-2+x=x2-2x 解之：x=1 经检验：x=1是原方程的根。 故答案为：A 【分析】方程两边同时乘以x（x-2），将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可求解。 8.（2021·山东临沂·3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．依照题意，列方程正确的是（） A．= B．=
C ． = D ． = 【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x 万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，依照“销售数量与去年一整年的相同”可列方程． 【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x 万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆， 依照题意，得： =， 故选：A ． 【点评】本题要紧考查分式方程的应用，解题的关键是明白得题意，确定相等关系． 9.（2021·山东威海·3分）化简（a ﹣1）÷（﹣1）•a 的结果是（ ） A ．﹣a2 B ．1 C ．a2 D ．﹣1 【分析】依照分式的混合运算顺序和运算法则运算可得． 【解答】解：原式=（a ﹣1）÷•a =（a ﹣1）••a =﹣a2， 故选：A ． 【点评】本题要紧考查分式的混合运算，解题的关键是把握分式的混合运算顺序和运算法则． 10．（2021•北京•2分） 假如23a b -=，那么代数式22()2a b a b a a b +-⋅ -的值为 A ． 3 B ．23 C ．33 D ．4 3 【答案】A 【解析】原式()2 222222 a b a b ab a a a b a a b a a b -+--=⋅=⋅=--，∵23a b -=，∴原式3=． 【考点】分式化简求值，整体代入． 11.（2021•甘肃白银，定西，武威•3分） 若分式 的值为0，则 的值是（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 0
专题04 分式与分式方程 一．选择题 1．（2022·广西玉林）若x 是非负整数，则表示22 24 2(2)x x x x --++的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①或② 2．（2022·黑龙江绥化）有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ） A ． 1212 304x x += B ． 1515244x x += C ． 3030242x x += D ． 1212302x x += 3．（2022·山东威海）试卷上一个正确的式子（11a b a b ++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被 墨汁遮住部分的代数式为( ) A ． a a b - B ． a b a - C ． a a b + D ． 22 4a a b - 4．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程23 111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m > B ．4m < C ．4m >且5m ≠ D ．4m <且1m ≠ 5．（2022·广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ） A ． 1.48 2.413 x x -=- B ． 1.48 2.413 x x +=+ C ． 1.428 2.4213 x x -=- D ． 1.428 2.4213 x x +=+ 6．（2022·海南）分式方程 2 101 x -=-的解是（ ）
专题12：分式方程及实际应用-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精 选汇编 一、单选题 1．（2021·广东中考真题）方程12 3x x =-的解为（ ） A ．6x =- B ．2x =- C ．2x = D ．6x = 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解： 123x x =- 去分母得：26x x =-， 移项合并得：6x -=-， 化系数为“1”得：6x =， 检验，当6x =时，()3180x x -=≠， ∴6x =是原分式方程的解． 故选：D ． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 2．（2021·广东广州市·九年级一模）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产x 万支疫苗，则可列方程为（ ） A ．320320 31.25x x =- B ．3205320531.25x x x x --=- C ． 32032031.25x x =+ D ． 3205320531.25x x x x --=+ 【答案】D 【解析】根据“结果比原计划提前3天完成任务”建立方程即可得． 【解答】由题意，可列方程为 3205320531.25x x x x --=+， 故选：D ． 【点评】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
2021中考数学复习考点专题训练一一分式与分式方程 23 a+b2 1 丫 1.卜列各式：（一林）'a ' 7 '' x2 + —y 2 ,5, , 中'刀式有( x - 1 8?r A. 1个 B. 2个 C . 3个 D. 4个 2-若分式上有意义，贩的取值范围是（) A. x。3 B. % = 3 C. x < 3 D. % > 3 3.如果把分式_ 中的X和》都扩大为原来的2倍，那么分式的值（x+ y A.不变 B. 缩小为原来的— 2 C.扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 4.化简工-+二的结果是（) 矛一1 1- x A. x+1 B. x-1 C . —x D. x 5.若相整数，则能使七也为整数际有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.若分式方程当 x - 2=三—3有增根, x-2 则m等 于 () A. 2 B. -3 C. 1 D. -1 7.分式方程三- # = 10的解是（) x-33-x A. x = 3 B. x = 2 C. % = D. % = 4 8,已知上+ ； = 上，a b a+b 则并;的值是（) A. 1 B. -1 C . -2 D. 2 9-若方程岂=捋有增根，则m的值为（）一、选择题 A. 7 B. 8 C. 15 D.无解
10. 一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做, 期完成，则规定日期为（） A. 6天 B. 8天 C. 10天 D. 7.5天 11.已知一岂） = 5+1，则M 等于（ ) A CL ~1 D a —2 八 a —1 A. ---- D . ----- C. ---- a —3 a —3 a —2 D.— a —2 12,遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场 需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加 了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计 划每亩平均产量X 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为（） A.-- —= 20 x 1.5% 剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日 A, 第503个正方形的左下角 B. 第503个正方形的右下角 C. 第504个正方形的右下角 D. 第504个正方形的右上角 2 1 14.若 ----------- =—,贝 IJ ? 2y 2 +3y+ 7 4 4y 2 +6y-l 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1 7 15.迅速发展的5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数 据,5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 第2个 曲形 第4个 血形 第3个 血形 r 36+9 36 C. ------------- = ZO D.- + —= 20 第1个 皿形 B.-- —= 20 x 1.5x 要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天,
专题09 分式方程 【专题目录】 技巧1：分式的意义及性质的四种题型 技巧2：分式运算的八种技巧 技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4：分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】 1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分． 2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件． 3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。 4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论． 【考点总结】一、分式 分式的相关概念 分式概念形如 A B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． 有意义的 条件 因为0不能做除数，所以在分式 A B中，若B≠0，则分式 A B有意义；若B＝0，那么分式 A B没有意义． 值为0在分式 A B中，当A＝0且B≠0时，分式 A B的值为0 分式的基本 性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表 示是： A B＝ A×M B×M， A B＝ A÷M B÷M(其中M是不等于0的整式)
【考点总结】二、分式方程 【注意】 1.约分前后分式的值要相等. 2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. 3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算 运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算； 约分 将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分 通分 将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分 分 式 运 算 分式加 减 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a c ±b c ＝a ±b c .异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a b ±c d ＝ad ±bc bd . 分式乘除 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝ac bd .分式除以分 式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc 分式的混合运 算 在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇 到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式． 分 式 方 程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 解法 （1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. （2）常用方法：①去分母;①换元法. （3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;①解所得的整式方程;①验根作答. （4）换元法的步骤：①设辅助未知数;①得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;①把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;①检验作答. （5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们 把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根. 运用 解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
专题四 解答题突破——方程与不等式 类型一 一元一次方程 【例1】 解方程：2x －13－10x ＋16＝2x ＋14 －1. 误区警示 (1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“12”；(2)注意适时添括号4(2x －1)，防止出现4×2x －1的错误． 类型二 二元一次方程组 【例2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －6x ＋2y ＝－9，①3x －4y ＝6. ② 解法一：加减消元法 解法二：代入消元法 类型三 分式方程（化整式方程） 【例3】 解分式方程：x －3＋6x －x 2x ＋3＝0. 【例4】 解分式方程：x 2x －3＋53x －2 ＝4. 误区警示 把分式方程转化成整式方程，这个整式方程也可以是一元二次方程，将一元二次方程解出来，要记得每一个解都要进行检验，看是否是分式方程的解．
类型四 一元二次方程（化一般式） 【例5】 解方程：x 2－4x －5＝0. 【例6】 解方程：2(x －3)2＝x 2－9. 解法一：配方法 解法二：公式法 解法三：因式分解法 类型五 一元一次不等式(组) 【例7】 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3≥2x ＋7，①2x ＋43<3－x ，② 并把解集在数轴上表示出来． 方法点拨 解不等式组首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律确定不等式组的解集． 规律总结 不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 1．解方程：4－6x 3－1＝2x ＋12. 2．解方程：(1)x ＋10.3－2x ＝0.1x ＋0.20.7
3.解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3－y ，①3x ＋2y ＝2.② 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2. 5．解方程：2x －1 1＋x ＝0. 6．解分式方程：x x －1＋21－x ＝4. 7．解方程：2x －1x －3 x 2x －1＋2＝0; 8.5x －42x －4＝2x ＋53x －6－12. 9．解方程：(3x ＋1)2＝9x ＋3. 10. 解方程：(2x ＋3)2－2x －3＝0；
分式方程 1.(2019淄博)解分式方程1-x x-2=1 2-x -2时,去分母变形正确的是( ) A.-1+x=-1-2(x-2) B.1-x=1-2(x-2) C.-1+x=1+2(2-x) D.1-x=-1-2(x-2) 2.(2019淮安)方程1=1的解是. 3.(2019天水)分式方程1 x-1−2 x =0的解是. 4.(2019毕节)解方程:1-x-3 2x+2=3x x+1 . 5.(2019广州)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是( ) A.120 x =150 x-8 B.120 x+8 =150 x C.120 x-8 =150 x D.120 x =150 x+8 6.(2019长春)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 1.(2019哈尔滨)方程2 3x-1=3 x 的解为( ) A.x=3 11B.x=11 3 C.x=3 7 D.x=7 3 2.(2019益阳)解分式方程x+2=3时,去分母化为一元一次方程,正确的是( ) A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 3.(2019自贡)解方程:x x-1−2 x =1. 4.(2019宁夏)解方程:2 x+2 +1=x x-1 .
5.(2019柳州改编)小张去文具店购买作业本,作业本有大、小两种规格,大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元,已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同.大本作业本与小本作业本每本各多少元? 6.(2019青岛改编)甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各加工600个这种零件,甲比乙少用5天.甲、乙两人每天各加工多少个这种零件? 7.(2015广东)分式方程3x+1=2x 的解是 . 8.(2010广东)分式方程2x x+1=1的解x= . 9.(2009广东)解方程:2x 2-1=-1x -1. 10.(2014广东)某商场销售的一款空调机每台的标价是1 635元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,仍可盈利9%. (1)求这款空调每台的进价(利润率=利润进价=售价-进价进价); (2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元?
一元一次方程与分式方程 学习目标 了解一元一次方程和分式方程的概念，并能熟练地解分式方程及其应用题。 学习过程 一、【知识梳理】 请认真研读资料2017《名师导航》P6页至P7页的知识点，并快速完成下列各题。 1、下列各式是一元一次方程的有（ ） ①2x-3；②3x +2=3；③5+（-2）=3；④x-y=0⑤x 2-5x+2=0． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、(2014•来宾)将分式方程 去分母后得到的整式方程，正确的 是（ ） A.x ﹣2=2x B. 2x ﹣2x =2x C. x ﹣2=x D. x =2x ﹣4 3、（2013重庆4分）分式方程21 02x x -=-的根是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 4、当x ＝ 时，分式44+x 的值与11 -x 的值相等。 二、【知识的运用】 1、请你写出一个解为2的一元一次方程是 _____________________。 2、解方程：x-1 2 223x x -+=- 。 3、若分式方程211x m x x -=--有增根，则这个增根是 。 4、分式 的值为零，则x 的值为（ ） 1 2 2x x =-3 3x x -+
A ．3 B.﹣3 C. ±3 D. 任意实数 5、若m 42-2a m n b b +n+2与5a 可以合并成一项，则n m 的值是（ ） A ．2 B ．0 C ．－1 D ．1 6、(2014•贵港)分式方程21311x x =--的解是（ ） A. x =－1 B. x =1 C. x =2 D.无解 三、【能力的提升】 请组长组织，全组同学合作完成下列各题，并在白板上展示出来。 1、解下列分式方程。 (1) 512552x x x +=-- ； (2) 。 分析:方程(1)的最简公分母是 ；方程(2)的最简公分母是 。 2、已知点P(1﹣2a ，a ﹣2)关于原点的对称点在第一象限内， 且a 为整数，则关于x 的分式方程 1 2x x a +=- 的解是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D.不能确定 3、请理解掌握资料2017《名师导航》P7页的第11题解法。 2216 1 24x x x ++=---