中考分式及分式方程专题复习
1．分式
用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A
B
就叫做分式．
2．分式的基本性质：A B =,A M A A M
B M B B M ⨯÷=
⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 3．分式的符号法则：a b =a a a
b b b
--=-=-
--． 4．分式的运算
（1）加减法：
,a b a b a c ad bc
c c c b
d bd ±±±=±=
． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad
d bd b d b c bc
=÷==
g （3）乘方（a b
）n =n
n a b （n 为正整数）
5．约分，通分
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分．
根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法
分式方程−−−→去分母
换元
整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为：
①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；
③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；
④解方程并检验； ⑤写出答案．
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去． 一、选择题
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.（2013·南宁）若分式1
2
+-x x 的值为0，则x 的值为（ ）
A.－1
B.0
C.2
D.－1或2
2.（2012·绍兴）化简x
1－
1
1
-x ，可得（ ） A.x x -21 B.－x x -21 C.x x x -+212 D.x
x x --212 3.（2012·金华）下列计算错误的是（ ）
A.b a b a -+7.02.0＝
b
a b
a -+72 B.
3
223y x y x ＝y x
C.
a
b b
a --＝－1 D.c 1＋c 2＝c
3
4.设m ＞n ＞0，2
m ＋2
n ＝4mn ，则mn
n m 2
2-＝（ ）
A.23
B.3
C.－3
D.
3
5.（2012·丽水）把分式方程4
2
+x ＝x 1转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.
2x
C.x ＋4
D.
x （x ＋4）
二、填空题（每小题6分，共30分） 6.当x 时，分式x
-31
有意义.
7.（2013·益阳）化简1-x x －1
1-x ＝ .
8.（2013·绍兴）分式方程1
2-x x
＝3的解是 .
9.（2013·牡丹江）若关于x 的分式方程1
2--x a
x ＝1的解为正数，那么字母a 的取值范围是 .
三、解答题（共40分）
11.（6分）计算：
（1）（2012·宁波）2
4
2+-a a ＋a ＋2；
（2）（2012·常德）（x ＋
12
-x x ）÷（2＋1
1
-x －1
1
+x ）.
12.（8分）解分式方程： （1）（2013·宁波）x -13＝1
-x x －5；
（
2
）（
2012
·
上
海）
3
+x x
＋
9
6
2-x ＝
3
1-x .
13.（8分）已知x
1－y 1＝3，求分式y xy x y xy x ----22142的
值.
14.（8分）（2012·重庆）先化简，再求值： （
1432-+x x －12-x ）÷122
2+-+x x x ，其中x 是不等式组⎩
⎨⎧<+>+15204x x 的整数解.
三、解答题
22.先化简，再求值：
1
2
112
---x x ，其中x =－2． 23、x
x x 1
)11(2-÷+
24、化简：
3a b a b
a b a b
-++
--. 25、先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2
－x x 2＋2x ＋1
，其中x 满足x 2
－x －1＝0．
26、先化简，再求值2
221x
x x x x +⋅-，其中2x =． 27、化简1(1)(1)1
m m -++的结果是
28、化简：（
2x x+2-x x-2）÷x x 2-4
的结果为。
29、已知分式
23
5x x x a
--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝，当a <6时，使分式无意义的
x 的值共有个．
30、解分式方程：221
22
x x x +=+
31、解方程：
11322x x x -=--- 32、解方程5
22112x x x
+=--
33、解方程：解方程：221
1.11x x -=--
34、解方程：2x x ++22x x +-=28
4
x -．
35、已知关于x 的方程2x 2－kx+1=0的一个解与方程21
1x x
+-=4的解相同． （1）求k 的值；
（2）求方程2x 2－kx+1=0的另一个解． 36、先化简22(
)5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212
x x --⎧⎨⎩p ≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．
的x 的值代入求值． 37、在三个整式x 2-1，x 2+2x +1，x 2
+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x =2时分式的值．
知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例 1.分式的 概念（1）分式：形如 B A (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0) 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1） 判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字 母. 例：下列分式：①;②; ③;④ 2 22 1 x x + - ，其中 是分式是②③④；最简分式③. 2.分式的 意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 B A 无意义； (2)有意义的条件：当B≠0时，分式 B A 有意义； (3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 B A ＝0. 失分点警示：在解决分式的值为0，求值 的问题时，一定要注意所求得的值满足分 母不为0. 例：当 21 1 x x - - 的值为0时，则x＝-1. 3.基本性 质 ( 1 ) 基本性质： A A C B B C ⋅ = ⋅ A C B C ÷ = ÷ (C≠0)． （2）由基本性质可推理出变号法则为： ()A A A B B B -- - == - ； A A A B B B - -== - . 由分式的基本性质可将分式进行化简： 例：化简： 2 2 1 21 x x x - ++ = 1 1 x x - + . 知识点三：分式的运算 4.分式的 约分和 通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 即 b a bm am =； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 式化为同分母的分式，即 bc bd bc ac d c b a , ,⇒ 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式 2 1 x x + 和 () 1 1 x x- 的最简公分母 为() 21 x x-. 5.分式的 加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 a c± b c＝ a±b c； (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 a b± c d＝ ad±bc bd. 例： 1 11 x x x + -- ＝－1. 2 112 . 111 a a a a += +-- 6.分式的 乘除法(1)乘法： a b· c d＝ ac bd；(2)除法： a c b d ÷＝ ad bc ； (3)乘方：n a b ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ＝ n n a b (n为正整数). 例： 2 a b b a ⋅＝ 1 2 ； 21 x xy ÷＝2y； 3 3 2x ⎛⎫ - ⎪ ⎝⎭ ＝ 3 27 8x - . 7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化 简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到 整体代入. 知识讲解
第二章分式与分式方程 课型：复习主备人：审核人：初三数学组 一、教学目标 （1）知识与技能 1.进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。 2.熟练利用分式方程分析问题、解决问题。 （2）过程与方法 1.通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。 2.体会“转化”、“方程”的数学思想解决问题。 （3）情感与态度 1.进一步体会数学与生活的联系，了解数学的价值。 2.增强学生合作与交流的意识，培养学习的兴趣。 二、教学重点和难点 重点：进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。 难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题。 三、教学方法 1.在教学中，给学生提前配发导学案进行预习，在课堂中我采用了引导式、探究式的教学方法，以“问题串”的形式，“学生为主体，老师为主导，练习为主线”的思路贯穿整个课堂，并结合了多媒体辅助教学。 2.在学法中，通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。 四、教具 教师：教学设计、电子白板、幻灯片若干张、小组评价表、彩色粉笔、激光灯。 学生：课本、导学案、学生分成8个小组（每组4人，有1号、2号、3号、4号，每人答对或答错都有不同的加分）根据分数评出本节课的优秀小组和优秀个人以资鼓励。 五、教学过程 （一）梳理知识
知识框架图：（边出示幻灯片边设计板书） 【设计意图】老师提问学生，以框架图的形式梳理本节课知识点，并重点性的板书，提问主要针对3号、4号学生，让他们都积极参与课堂。本环节设计的主要目的是：使学生对本节课的知识有个整体的认识，形成清晰的思路，以便更好地完成学习目标。 本节复习课共设计了十个教学环节：第一环节：定义跟踪；第二环节：巩固练习；第三环节：拓展延伸；第四环节：直击难点；第五环节：中考衔接；第六环节：回顾与反思；第七环节：当堂检测；第八环节：小组评价结果；第九环节：布置作业；第十环节：课外思考题（随机题）。 （二）定义跟踪：（出示幻灯片） 指出下列关于x 的方程中，是分式方程的是 （只填序号）. ①8121=+x ②24312x x -=+- ③ 629132x x +--= ④15-=-x x ⑤1=+b x a x
初中数学《分式》优秀教案〔通用12篇〕 篇1：初中数学分式教案初中分式教案 初中数学分式教学反思 经历了三周多的学习，学生已根本掌握了分式的有关知识(分式的概念、分式的根本性质、约分、通分、分式的运算、分式方程和能化为一元一次方程的分式方程的应用题等)，并且获得了学习代数知识的常用方法，感受到代数学习的实际应用价值。但是，“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根，均属于运算才能问题，因此在教学中应特别关注这一深层根，并根据学生的实际情况寻找相应对策。下面是我在教学中的几点体会： 一、教学中的发现 1、本章可以让学生通过观察、类比、猜测、尝试等活动学习分式的运算法那么，开展他们的合情推理才能，所以教学时重点应放在对法那么的探究过程上。一定要让学生充分活动起来。在观察、类比、猜测、尝试当一系列思想活动中发现法那么、理解法那么、应用法那么，同时还要关注学生对算理的理解，以培养学生的代数表达才能、运算才能和有理的考虑问
题才能。可是我在知识的传授上并没有注重探究、类比法那么，而重在对分式四那么运算法那么的运用和分式方程的运用上，没有抓住教学的关键环节恰当的选择教学方法。今后要防止类似事情的发生。 2、问题 (1) 分式的运算错的较多。分式加减法主要是当分子是屡次式时，假如不把分子这个整体用括号括上，容易出现符号和结果的错误。所以我们在教学分式加减法时，应教育学生分子部分不能省略括号。其次，分式概念运算应按照先乘方、再乘除，最后进展加减运算的顺序进展计算，有括号先做括号里面的。 (2)分式方程也是错误重灾区。一是增根定义模糊，对此，我对增根的概念进展深化浅出的阐述，⑴增根是分式方程的去分母后化成的整式方程的根，但不是原方程的根;⑵增根能使最简公分母等于0;二是解分式方程的步骤不标准，大多数同学缺少“检验”这一重要步骤，不能从解整式方程的形式中跳出来; (3)列分式方程错误百出。 针对上述问题，在课堂复习中从根底知识和题型入手，用类比的方法讲解，特别强调列分式方程解应用题与列整式方程一样，先分析^p 题意，准确找出应用题中数量问题的
第五章《分式与分式方程》 ●教学目标 （一）教学知识点 1.用分式表示生活中的一些量. 2.分式的基本性质及分式的有关运算法则. 3.分式方程的概念及其解法. 4.列分式方程，建立现实情境中的数学模型. （二）能力训练要求 1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系. 2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用. 3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识. （三）情感与价值观要求 使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人. ●教学重点 1.分式的概念及其基本性质. 2.分式的运算法则. 3.分式方程的概念及其解法. 4.分式方程的应用. ●教学难点 1.分式的运算及分式方程的解法. 2.分式方程的应用. ●教学方法 讨论——交流法 讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系. ●教具准备 投影片两张，实物投影仪 第一张：问题串，（记作§5.5 A） 第二张：例题分析，（记作§5.5 B） ●教学过程
Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识. 出示投影片（§5.5 A ） （教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误） ［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如（用实物投影） ［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行n m +米. 我们组也举出一个例子：长方形的面积为8 m 2,长为p m,宽为____________ m. ［生］应为p 8 m. ［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举. ［生］如果某商品降价x %后的售价为a 元，那么该商品的原价为多少元？ ［生］原价为 %1x a -元.…… ［师］n m bn am ++,p 8,% 1x a -都是分式.分式有什么特点？和整式有何区别？ ［生］整式A 除以整式B ，可表示成 B A 的形式，如果除式B 中含有字母，则称B A 是分式.而整式分母中不含字母. ［生］实际生活中的一些问题可用分式方程来解决.例如（用实物投影仪）
中考数学复习课《分式方程》说课稿 尊敬的各位评委、各位老师： 大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明. 一、说教材 1.教材的地位和作用 本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用. 2.教学目标 （1）知识目标： ①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题. ②掌握解分式方程的验根方法. （2）能力目标： 会用去分母法解分式方程，体会化归思想. （3）情感目标： 强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心. 3.教学重点： 分式方程的解法和列分式方程解决实际问题. 4.教学难点： 列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根． 二、学情分析 学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生
增根的原因及如何验根. 三、教学策略 1、说教法 教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决． 教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学. 2.说学法 本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥． 四、说教学过程
第十二章分式和分式方程复习教案 教学目标：使学生掌握分式的概念、性质 教学重点：分式的基本性质。 教学难点：分式的基本性质的应用。 教案设计：章末复习第一课时 教学过程： 一、知识回顾： 1、 分式的定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式B 中含有 字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子， B 为分式的分母。 对于任意一个分式，分母都不能为零。 2、分式的性质：（1）)0(≠=m B A Bn Am （2）已知分式 b a ， 分式的值为正：a 与b 同号； 分式的值为负：a 与b 异号； 分式的值为零：a=0且b ≠0; 分式有意义：b ≠0。 二、谁做得快： 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 2a 2+b ， 34-y ， 522b a ， a 21， πx 2， 2 3+x 2、x 为何值时，下列分式有意义？ （1）1 1 222-+-x x x （2）2322--+x x x （3）422+-x x x 3、x 为何值时，下列分式的值0?无意义？ （1）22 +-x x （2）22 322--+-x x x x （3）2212+-x x 4、x 为何值时，下列分式的值为正、为负？ （1）22x x + （2）32232+--x x x （3）2)1(12+-x x （4）x x -12 5、化简下列分式： （1）112+-m m ； （2）2x xy ； （3）22112x x x -+-
6、分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。 （1）2)2(3)(22+=+m m n ； （2）)( 22b a b ab b ab +=++ 7、不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和分母中的多项式按x 的降幂排列。 （1）x x x 23122---+； （2）22213x x x -+-- 三、小 结：由学生总结以上运用的知识点 四、合作探究： 1、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。 （1）y x y x 5.008.02.003.0+-； （2）n m n m 25 231-+。 6、对于分式2 x y x +，如果x 、y 都扩大为原来的3倍，则分式的值 7、已知：x=13-,求x 3-2x 2+3x-5. 8、已知x 2-3x+1=0,求(1)x 3-2x 2-2x+8; (2)221x x + ; (3)x x 1-. 9、已知3a 2+ab-2b 2=0, 求ab b a a b b a 22+--的值. 10、已知a=13+,b=13-,求: ①a b b a + ; ②a 3b+ab 3. 五．当堂检测 1、下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ),(4 1,1,22,,,3,1y x x x a ab y x x a x -+-+-ππb a b ab a b a y ++++222),(1 2、当x 取何值时，下列分式有意义。
专题04 分式与分式方程 一．选择题 1．（2022·广西玉林）若x 是非负整数，则表示22 242(2)x x x x --++的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①或② 【答案】B 【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解． 【详解】解：22242(2)x x x x --++ =() ()222 224(2)2x x x x x +--++ =() 222244 2x x x x +-++ =()222(2)x x ++ =1；故选B ． 【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键． 2．（2022·黑龙江绥化）有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ） A ．1212304x x += B ．1515244x x += C ．3030242x x += D ．1212302x x += 【答案】A 【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ，继而可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟x 3m ， ∵粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ， ∵1212304x x +=．故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．
3．（2022·山东威海）试卷上一个正确的式子（ 11a b a b ++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．a a b - B ．a b a - C ．a a b + D ．22 4a a b - 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可． 【详解】解：11a b a b ⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭∵=2a b + ()()a b a b a b a b -++÷+-∵=2a b + ∵=()()22a a b a b a b ÷+-+ =a a b -，故选A ． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程 23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m > B ．4m < C ．4m >且5m ≠ D ．4m <且1m ≠ 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-， 解得4x m =-， 关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠， 即40m ->且410m --≠， 4m ∴>且5m ≠，故选：C ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2022·广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为 1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ）
第7课时 分式方程及其应用 【复习目标】 1．会解可化为一元一次方程的分式方程，并能注意验根． 2．能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理， 【知识梳理】 1．分式方程的概念：分母中含有________的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的步骤： (1)两边都乘以各分式的最简公分母，把分式方程转化为_______方程． (2)解这个整式方程． (3)把整式方程的解代入最简公分母或原分式方程各分母中进行检验． 3．－般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验：将整式方程的解代入_______，如果_______，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根． 4．列分式方程解实际问题与列一次方程（组）解实际问题一样，步骤如下：审题，设未知数．列方程，解方程，验根，作答． 【考点例析】 考点一 分式方程根的意义 例1（2011．襄阳）已知关于x 的分式方程3111m x x +=--的解是正数，则m 的取值范围是_______． 提示 首先将分式方程化为整式方程，用含m 的代数式表示出x ，再根据解是正数．求得m 的范围，但要注意，分式方程可能有增根x ＝1，而此时方程无解．因此，要排除x ＝1时m 的值． 例2（2012．巴中）若关于x 的方程 2222x m x x ++=--有增根，则m 的值是_______． 提示 根据分式方程增根的定义可知，当x ＝2时，x －2＝0，因此x ＝2是原分式方程的增根． 考点二 解分式方程 例3 解分式方程： (1) (2012．盐城)321 x x =+； (2) (2012．苏州)231422x x x x +=++． 提示 (1)中分式方程的最简公分母为x(x ＋1)；(2)中分式方程的最简公分母为x(x ＋ 2)．将这两个方程分别去分母化为整式方程，最后要检验整式方程的解是不是原分式方程
中考分式及分式方程专题复习 1．分式 用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A B 就叫做分式． 2．分式的基本性质：A B =,A M A A M B M B B M ⨯÷= ⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 3．分式的符号法则：a b =a a a b b b --=-=- --． 4．分式的运算 （1）加减法： ,a b a b a c ad bc c c c b d bd ±±±=±= ． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad d bd b d b c bc =÷== g （3）乘方（a b ）n =n n a b （n 为正整数） 5．约分，通分 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分． 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法 分式方程−−−→去分母 换元 整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；
④解方程并检验； ⑤写出答案． 注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去． 一、选择题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.（2013·南宁）若分式1 2 +-x x 的值为0，则x 的值为（ ） A.－1 B.0 C.2 D.－1或2 2.（2012·绍兴）化简x 1－ 1 1 -x ，可得（ ） A.x x -21 B.－x x -21 C.x x x -+212 D.x x x --212 3.（2012·金华）下列计算错误的是（ ） A.b a b a -+7.02.0＝ b a b a -+72 B. 3 223y x y x ＝y x C. a b b a --＝－1 D.c 1＋c 2＝c 3 4.设m ＞n ＞0，2 m ＋2 n ＝4mn ，则mn n m 2 2-＝（ ） A.23 B.3 C.－3 D. 3 5.（2012·丽水）把分式方程4 2 +x ＝x 1转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B. 2x C.x ＋4 D. x （x ＋4） 二、填空题（每小题6分，共30分） 6.当x 时，分式x -31 有意义. 7.（2013·益阳）化简1-x x －1 1-x ＝ .
第10部分 分式 第1课时 分式 课标要求 1.会进行简单的整式除法运算（除式为单项式）. 2.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 3.在数学活动中，体会抽象概括、类比转化等数学思想方法. 中招考点 简单的整式除法运算，分式的概念，分式的加、减、乘、除运算. 典型例题 例1 指出下列有理式哪些是整式，哪些是分式？ －2x,4,2y x x +,0.5xy,112+-x x ,π31,7 2, 3,32q p m a --+π 分析：区别整式与分式，关键是看它们的分母是否含有字母. 解： -2x, 4y x +, 0.5xy, π31, 7 2,3q p m --π是整式. ,2x 112+-x x , 32+a 是分式. 注意：判断一个代数式是分式还是整式，不能看化简后的结果.如1 1 2+-x x = x-1的结果是整式， 但原式是分式；π是常数，不是字母. 例2 填空⑴ 当x_______时，分式 5332++x x 有意义，当x_______时，分式5 33 2++x x 无意义. ⑵ 当x__________时，分式 1 1+-x x 的值为零. ⑶ 当x__________时，分式x -21 的值为正. ⑷ 分式 32 +++b a a 的值为零，则a =______,b __________. 分析：分式B A 有意义的条件：B ≠0; 分式B A 无意义的条件：B=0; 分式B A 值为零的条件： A=0且B ≠0；分式B A 值为正的条件：A 、B 同号; 分式B A 值为负的条件：A 、B 异号. 解：⑴ 由3x+5≠0得x ≠ －35, ∴ x ≠ －35时，分式5 33 2++x x 有意义. 由3x+5 = 0得x = －35, ∴ x = －35时，分式5 33 2++x x 无意义. ⑵ 由1-x = 0得x = ±1
课题----- 中考第一轮复习《分式》 一、【教学目标】 （一）知识与技能 1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件. 2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分. 3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值. (二)过程与方法 提高观察、归纳、猜想、尝试等方法的应用能力，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力 （三）情感态度价值观 通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值． 二、【教学重难点】 1、重点：分式的基本性质和分式的化简. 2、难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题. 三、教学过程： （一）考点知识精讲 考点1：分式的运算 一、考点讲解： 1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B 为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分 母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． 8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值． 考点2：分式方程及其应用 一、考点讲解： 1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题： ⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许
分式方程复习课教案 【课题】分式方程复习课 【课型】复习 【教学目标】 知识：1、掌握分式方程的定义 2、会解可化为一元一次方程的分式方程 3、会解已知方程有增根时方程中有待定字母的值 4、列分式方程解有关应用题。 能力：提高分析问题解决问题的能力。 情感：培养学生的逻辑思维能力；加强小组合作，体验成功。 【教学重难点】 会解已知方程有增根时方程中有待定字母的值；列分式方程解有关应用题。【教学方法】 小组合作 【教具与教学准备】 多媒体、导学案 【学情分析】 分式是统计中的一个重要概念，让学生在教学过程中体会分式的本质内涵， 理解分式的意义，发展学生的统计观念。注重引导学生理解加权分式的含义，注 重引导学生理解分式的含义，在比较、观察中把握分式的特征，进而运用分式解 决实际问题，了解它的价值。 【教学过程】 一、激趣导入，交代目标： 1.分母中含有______的方程叫做分式方程。（注：分式方程的两边必须是_____） 2.在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的____ 3.解分式方程的思想：把分式方程转化为_______. 4.解分式方程的一般步骤 ①把方程两边都乘以_________，化成整式方程。 ②解这个______方程。 ③检验：把整式方程的根代入________,若使最简公分母的值为_____,则这个根是原方程的______,必须舍去，若_________不等于零，则它是________. 5.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂些，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，确定主要等量关系，用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。另外，还要注意从多角度思考，分析，解决问题，注意检验。 【设计意图：通过问题情境导入新课，激发学生的学习兴趣，通过相关知识的链接，让学生能更轻松走进今天的学习，为学生本节课的学生打下基础。】
分式方程总复习教案
1、分式方程的定义 ____ 里含有未知数的方程叫做分式方程 例1、指出下列关于x的方程中，分式方程有（） ③ =5 ② =5 ③④ +3=0 ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 教师活动：引导学生回忆分式方程定义，并练习例1巩固其定义 学生活动：回忆分式方程定义，小组合作判断哪些是分式方程。 2.分式方程的解法
1.(2014)方程 =3的解是x=______ 2.(2015)解方程 3.(2016)解方程 教师活动：认真观察学生解方程的具体过程，尤其关注那些后 进生是否写对，让小组合作伙伴们帮助他们解决易错之处。 学生活动：认真完成3道分式方程计算题，巩固复习分式方程 的解法。 3、关于增根问题 增根的在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的 定义使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后, 所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根. 例3、分式方程 有增根，则m 的值是 。 巩固练习 已知x=2是分式方程 的增根，求m 的值。 方法总结： 1.根据分母求出增根. 2.去分母后，再把增根代入去分母后的方程中，求出待定字母 的值. 教师活动：引导学生为什么分式方程有增根，如何求方程的增 根，再通过增根去求分式方程待定字母的值以突破本节课难 点。 学生活动：认真完成例3和练习，巩固方程的增根和求其待定 字母的值。 课堂实战 1、分式方程 有增根， 则增根为（ ） 15452=---x x m
A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、无法确定 2、若分式方程 有增根，则m 的为 。 思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？ 增根: 是你可以求出来的，但代入后方程的分母为0无意义， 原方程无解。 无解:包括增根和这个方程没有可解的情况 教师活动：让学生巩固方程的增根，区别方程的增根和无解。 学生活动：完成中考实战，加深对方程增根和无解的的理解和 熟练运用。 4、根的情况 课堂实战 1、若方程的解是正数，则的取值范围为————— 2、若关于 的方程 的 解是非负数， 则 的取值范围为_______。 教师活动：引导学生对分式方程的根的情况的理解，加强对分式方程 的根与分母关系理解。 学生活动：完成相应的练习，加深对分式方程的理解。 巩固方程无解 当k 为何值时，分式方程 无解？ 112=+-x a x a x 211=--x m x
第八章：分式及分式方程 知识要点 1、分式的定义： 。 2、对于分式 有意义； 值为零。（注意分式与分数的关系） 3、分式的基本性质： ； 用字母表示为： （其中 ）。（注意分式基本性质的应用，如改变分子、分母、分式本身的符号，化分子、分母的系数为整数等等）。 4、分式的约分： 。（思考：公因式的确定方法）。 5、最简分式： 。 6、分式的通分： 。 7、最简公分母： 。 8、分式加减法法则： 。（加减法的结果应化成 ） 9、分式乘除法则： 。 10、分式混合运算的顺序： 。 11、分式方程的定义： 。 12、解分式方程的基本思想： ； 如何实现： 。 13、方程的增根： 。 14、解分式方程的步骤： 。 15、用分式方程解决实际问题的步骤 习题巩固 一、 填空 1、当x 时，分式31-+x x 有意义，当x 时，分式3 2-x x 无意义。 2、分式3 92--x x 当x ____时分式的值为零。 3、xyz x y xy 61,4,13-的最简公分母是 。 4、=∙c b a a bc 222 ；=÷23342y x y x ； 5、=-b a a b 32 ；=--+y x y x 12 。
6、已知432z y x ==，则=+--+z y x z y x 232 。 7、若分式方程21=++a x x 的一个解是1=x ，则=a 。 8、当1984=x ，1916=y 时，计算=+-∙+--2222442y x x y y xy x y x 。 9、若分式13-x 的值为整数，则整数x= 。 10、不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数 ①23 x-32 y 56 x+y = ； ② 0.3a-2b -a+0.7b = 。 11、已知x=1是方程 111x k x x x x +=--+的一个增根，则k=_______。 12、若分式2 31-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是_ _。 13、约分： ①=b a ab 2205______，②=+--9 6922x x x _____。 14、若关于x 的分式方程3 232 -=--x m x x 无解，则m 的值为__________。 15、若=++=+1 ,31242x x x x x 则__________。 16、①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 17、如果 b a =2，则2222b a b ab a ++-=__________。 18、已知4 )4(422+++=+x C Bx x A x x ，则B=_____。 二、选择题 1、下列各式中分式有（ ）个π 8,11,5,21,7,322x x y x b a a -++中， A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、如果把分式y x x +2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、缩小6倍 D 、不变 3、下列约分结果正确的是（ ）
分式方程复习教案 【篇一：分式方程复习教案】 《分式方程复习》教案南宫第二中学陈建文本节课复习的主要内容 是分式方程的概念、解法及使用，是对分式方程单元学习的梳理、 归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方 程转化为一元一次方程，所以也是对一元一次方程的复习. 分式方程 是将具体问题数学化的重要模型，通过复习能够帮助学生更好的形 成建立数学模型的意识，强化数学和生活的密切关系.，增根的出现 也将会使学生对字母表示数有更进一步的理解，因此本节复习可起 到巩固基础，提升认识的作用. 教学目标知识和技能会解分式方程，能列分式方程解决实际问题理解增根的含义，能用增根的概念解决 问题. 过程和方法通过具体实例,结合利用分式方程解决实际问题的 实例,进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要模型. 情 感态度和价值观在问题解决的过程中进一步细解转化的数学思想和 训练好规范解题的习惯.渗透数学的转化思想,培养学生的使用意识. 通过层层深入的列分式方程解决实际问题的练习，经历“实际问题— 建立分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程，发展学生分析 问题、解决问题的能力，培养使用意识. 教学重点分式方程的解法以 及列分式方程解决实际问题. 教学难点对分式方程增根的理解和运用 难点诊断：其一，解分式方程较之解整式方程对学生来讲难度加大，在将分式方程转化为整式方程的过程中，容易出现去分母时漏乘整 式项、符号变化错误等.其二，学生对于解分式方程时产生增根的原 因有疑惑，解整式方程的思维定势对于解分式方程的步骤、检验等 会有负迁移. 复习本单元知识时，将以层层深入的练习为主线，通过 精选典型例题，暴露学生的思维，发现学生在学习过程中的问题和 疑惑，一方面巩固基础知识，一方面解决新问题，促进学生在该知 识点的发展，帮助学生形成完整的知识结构，达到复习的目的.同时 将有效利用信息技术，帮助学生分析问题，指导解题方法。 教学程序活动1 学生小组完成考点知识清单的梳理。
八年级分式总复习教案 回顾分式的概念、性质和基本方法，梳理分式学习的知识框架。 通过例题解析，强化分式的约分、通分、分式的乘除运算等技能。 引导学生自我评价，反思学习成果，激发学习热情。 知识梳理：通过问答形式，回顾分式的基本概念、性质和运算法则。例题解析：选取典型例题，引导学生解析、解答，强化分式的基本技能。 小组讨论：针对分式在实际生活中的应用，分组讨论，提高解决问题的能力。 自我评价：引导学生对学习成果进行自我评价，反思学习过程中的不足与进步。 导入：通过问题导入，引导学生回顾分式的基本概念、性质和运算法则。 新授：通过例题解析，强化分式的约分、通分、分式的乘除运算等技能。引导学生自我总结，发现规律，形成自己的解题思路。
巩固：通过小组讨论的形式，探讨分式在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。教师巡视指导，及时发现并纠正学生的错误。 拓展：通过一题多变、一题多解等形式，培养学生的创新思维和发散思维。引导学生自我评价，反思学习成果，激发学习热情。 总结：回顾本节课学习的重点、难点，总结分式总复习的主要内容和学习收获。布置课后作业，要求学生完成相关练习题，巩固学习成果。 (1)理解分式的概念，掌握分式的基本性质，能够熟练地进行分式的约分和通分变形。 (2)掌握分式方程的解法，能够解决一些实际问题。 (3)通过复习，进一步提高对分式的认识和理解，为后续学习奠定基础。 分式的定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式的约分：把分式的分子和分母分解因式，然后约去公因式。
人教版初中数学八年级下册《分式与分式方程》复习教案中考考点: 了解分式的概念，会用分式基本性质进行约分和通分，熟练掌握简单的分式加减乘除运算和 掌握解分式方程的基本方法.会利用分式方程解决实际问题. 应用. 试题特点: 对分式的有关概念、性质及运算的考查，以选择题、填空题居多，尤其对分式的化简求值考查较多.考查可化为一次方程的分式方程的解法及实际应用题多以解答题形式出现.题量约占总题量的4,. 命题趋势: 分式化简求证及具有鲜活的时代背景列可化为一元一次方程的分式方程的运用，将仍会在2010中考题中出现. 分式作为初中数学的重点内容之一，也是每年中考的热门考点，考查题型也是多种多样，分值一般在6-9分左右。 一(知识回顾: 1、下列各式是分式的是( ) a161B. C. D A. 3,a2 x,22、当x_______时，分式有意义。 x，53、当x_______时，分式的值为零 4、下列分式是最简分式的是( ) 222a，a26xyx,1x，1A. B. C. D. ab3ax，1x，1 224x，y 5. 若将分式中的x、y的值都扩大2倍，则分式的值( ) 2x,3y A、扩大2倍 B、不变 C、扩大3倍 D、扩大4倍 2a,a,16. 化简得( ) a,1
112a,1B、,C、A、 D、 2 a,1a,1a,1m,1x,,07、关于x的方程有增根，则m 的值是( ) x,1x,1 A.,2 B.2 C.1 D.,1 8、解方程 746124 (1)，,(2)，,2222x，xx,xx,1x，1x,1x,1 知识点一 : 22xx,1. 分式的概念注意:(1)除外 ;(2)分式是形式定义，如化简之后为x，但是分xx式 2.分式有意义的条件:分式成立的条件即分母不能为0 3分式的值为零的条件:同时具备两个条件:(1)分式的分子为零(2)分式的分母不为零 4分式的基本性质 用式子表示为:(其中M?0). 5. 约分和最简分式 (1) 分式的约分:把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. (2) 最简分式:分式的分子和分母已没有公因式，这样的分式我们称为最简分式. 规律总结:要使分式有意义，只要分式的分母不为零即可，与分式的分子无关;若要求分式的值何时为零，就应该两个条件:一是分式的分子为零;二是确保分式的分母不为零.在解题时应注意检验分母的值是否为零. 知识点二分式的运算:本类题主要考查分式的化简和代数式的值。在计算代数式的值时，一般先要求出其中字母的值再代入计算，但有时字母的值不能求出或不好求出，可以利用整体代入的方法来计算。 1. 分式加减法运算 (1)分式加减法运算，先判断类型，再进行运算.
分式与分式方程 一、说教材分析 1.教材内容 本节课是北师大版第五章《分式与分式方程》的回顾与思考，该课时主要回顾本章所学内容，分式的定义，分式乘除、加减运算法则，建立分式方程并求其解。 2.教材所处地位、作用 分式是表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量之间相等关系的模型；分式、分式方程与分数、分解因式、一元一次方程等有密切联系，从而加强了知识之间的纵横联系。 3.教学重点与难点 教学重点 通过类比、引入分式、培养数学类比能力。 教学难点 引出分式的基本性质，培养符号感以及数学推理能力。 二、说教学目标 1.知识与技能 经历用字母表示现实情景中数量关系(分式、分式方程)的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感；分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则，培养合情推理能力与代数恒等变形能力；掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算；分解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根；能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题。 2.过程与方法 经历观察、归纳、类比的学习过程，提高分析问题，解决问题的能力和应用意识，获得解代数问题的常用方法，并感受到代数学习的价值。 3.情感态度与价值观 在学习中，突出合情推理能力的培养，注重自主探索、合作交流等学习方法的形成，体会分式的运算在实际生活中的应用价值。 三、说教法学法 本节课是复习课，在教法上 1.以陈述导入进入主题，让学生归纳总结本章所学内容。
2.在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。 3.采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性。 在学法上，突出合情推理能力的培养，注重自主探索、合作交流等学习方法的形成。 四、说教学过程 Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识. 出示投影片 问题串： 1.实际生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以通过列分式方程解决，请举一例. 2.分式的性质及有关运算法则与分数有什么异同？ 3.如何解分式方程？它与解一元一次方程有何联系与区别？ ［师］同学们可针对以上问题，以小组为单位讨论、交流，然后在全班进行交流. （教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误）