坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)
x x
y y
λλϕμμ'=>⎧⎨
'=>⎩的作用
下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射
线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个
点的极坐标有无数种表示.
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系
中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是
(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(
,)44
M ππ
可以表示为5(,2)(,2),444444
ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方
程ρθ=.
二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数
()
()x f t y g t =⎧⎨
=⎩
①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求
出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩
就是曲线的参数方程,在参数方程与
普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ
=+⎧⎨
=+⎩为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参
数方程为cos ()sin x a y b ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方
程是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数其中参数ϕ仍为离心
角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02
πα≤≤
时，相应地也有
02
π
ϕ≤≤
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),
x y a b a b
-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππ
ϕπϕϕ∈≠≠
且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
cot ((0,2).csc x b e y a ϕ
ϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨
=⎩
为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为
2
2().2x pt t y pt
⎧=⎨
=⎩为参数 7．直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线l 的普通方程是00tan (),
y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点
(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，
当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
选修4—4 极坐标与参数方程 一、伸缩变换 设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，在变换???='='y y x x μλ?: )0()0(>>μλ的作用下，点),(y x P 对应),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 练习 1．将1422=+y x 的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的2 1倍，则曲线的方程变为 。 2．在平面直角坐标系中，方程122=+y x 所对应的图形经过伸缩变换?? ?='='y y x x 32，后的图形所对应的方程是 ． 二、极坐标 （一）极坐标系与极坐标 1、极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 一个长度单位及计算 角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O 点称为极点，Ox 称为极轴. 2、极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ 来刻画.这两个数组成的有序数对),(θρ称为点M 的极坐标.ρ称为极径，θ 称为极角. 注：①在通常情况下，总认为0≥ρ，只在事先说明的情况下，才允许取0<ρ； ①极点O 的坐标为：),0(θ)(R ∈θ ①点),(θρ与),(θπρ+关于极点O 对称； 点),(θρ与),(θρ-关于极轴对称 ①点),(θρ，)2,(θπρ+k ，)2.(ππρ+-k （允许ρ小于0时）表示同一点.
（二）极坐标与直角坐标的关系 设M 为平面上的点，它的直角坐标为),(y x ，极坐标为),(θρ，关系如下： ???? ?????=+===x y y x y x θρθρθρtan sin cos 2 22)0(≠x 注：在极坐标系中，αθ=)0(≥ρ表示以极点为起点的一条射线；αθ=)(R ∈ρ表示以极点为起点的一条直线. 练习 1、点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为 . 2、极坐标为（1，π）的点M 的直角坐标为 . 3、将以下极坐标方程化为对应的直角坐标方程 （1）ρ=2cosθ﹣4sinθ （2）ρsin 2θ=4cosθ （3）ρ=4cosθ （4）1)3cos(=- πρx （5）ααρ222cos 3sin 42+= （6）34πθ= )(R ∈ρ （7）2=ρ 4、在直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+ πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,， 与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的 变换关系为??? x ＝rsin φ·cos θ， y ＝rsin φ·sin θ， z ＝rcos φ. 柱坐标与直角坐标的互相转化 [例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解． [解] (1)由变换公式??? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，得ρ2＝x2＋y2， z ＝z ， 即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝＝，又x ＞0，y ＞0，点A 在第一象限． ∴θ＝，∴点A 的柱坐标为. (2)由变换公式得： x ＝4cos ＝2，y ＝4sin ＝2，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,2，8)． 由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ，也可利用ρ2＝x2＋y2，求ρ. 利用tan θ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标. 1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ ＝ ＝1. ∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝. ∴点M 的柱坐标为. 2．已知点N 的柱坐标为，求它的直角坐标．
解：由变换公式得 x＝2cos＝0，y＝2·sin＝2， 故点N的直角坐标为(0,2,3). 球坐标与直角坐标的互相转化 [例2] (1)已知点P的球坐标为求它的直角坐标． (2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由变换公式得： x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2. y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2. z＝rcos φ＝4cos＝－2. 故其直角坐标为(2,2，－2)． (2)由坐标变换公式，可得 r＝＝＝4. 由rcos φ＝z＝－2， 得cos φ＝＝－，φ＝. 又tan θ＝＝1，θ＝(M在第三象限)， 从而知M点的球坐标为. 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置. 3．求下列各点的直角坐标： (1)M；(2)N. 解：(1)由变换公式得： x＝rsin φcos θ＝2sincos＝，
选修1－1、1-2数学知识点 选修1－1数学知识点 第一章 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. p q p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线与方程 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>>
二极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [对应学生用书P5] [例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2 的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π 6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎫2，－7π 6
选修1－1、1-2数学知识点 第一部分 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二部分 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2的中点为P，填表： 两点间的距离公式中点P的坐标公式 2＋（y |P1P2|＝（x1－x2）1－y2）2 x1＋x2 x＝ y＝ 2 y1＋y2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx（λ>0） y′＝μy（μ>0） 的作用下， 点P(x，y)对应到点P′x(′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1 )定义：在平面内取 一个定点 O ，叫做极点；自点 O 引一条射线 O x 叫做极选 定 一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这立 了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2． 极坐标 (1)极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM |叫做点 M 的极径， ρ；以极轴 O x ，射线 O M 的角 x O M 叫做点 M 的极为 θ.有序数对 (ρ， θ)叫做点 M 的极坐作 M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是 (0， θ)，(θ∈R )，若点 M 的极坐标是 M (ρ，θ )，则点 M 的极坐标也M(ρ， θ＋2k π)， (k ∈Z )． 若规定 ρ>0，0≤ θ<2π ，则除极点外极坐标系内的点与有序数对 (ρ，θ)之间才是一一 对应关系． 3． 极坐标与直角坐标的式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正 半轴作 为 极轴，且长度 设任意一点M 的直角坐标与极 (x ，y)，(ρ，θ )． (1)极坐标化直角坐标 x ＝ρcos θ ， y ＝ρsin θＷ . (2)直角坐标化极坐标 ρ 2＝x 2＋y 2， tan θ＝ y （x ≠0） . x 三 简单曲线的极坐标方程 1． 曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做 曲线 C 的极坐标方程． 2． 圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆极坐标方程 图 形 圆心在极点 (0，0) ρ＝r (0≤ θ<2π)
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
4.简单曲线的极坐标方程 教学目标 班级______姓名________ 1.了解简单曲线的极坐标方程. 2.熟练掌握曲线极坐标方程与直角坐标方程的相互转化. 教学过程 一、知识要点. 1.极坐标与直角坐标的相互转化. （1）直角坐标),(y x 化极坐标),(θρ：22y x +=ρ，x y arctan =θ； （2）极坐标),(θρ化直角坐标),(y x ：θρcos ?=x ，θρsin ?=y . 2.简单曲线的极坐标方程. （1）直线：①过极点，倾斜角为α：αθ=或παθ+=. ②过),(αa A ，垂直于极轴：αθρcos cos ?=?a . （2）圆：①以极点为圆心，a 为半径：a =ρ. ②过)0,0(O ，)0,2(a A )0(>a ，以OA 为直径：θρcos 2a =. 3.极坐标方程的解题思想： （1）将极坐标转化成直角坐标； （2）在直角坐标系中解决问题； （3）再将结果转化成极坐标. 二、例题分析. 1.极坐标方程化直角坐标方程. 例1：把下列极坐标方程化成直角坐标方程. （1）2sin =θρ； （2）04)sin 5cos 2(=-+θθρ； （3）θρcos 10-=； （4）θθρsin 4cos 2-=.
2.直角坐标方程化极坐标方程. 例2：把下列直角坐标方程化成极坐标方程. （1）4=x ； （2）02=+y ； （3）0132=--y x ； （4）1622=-y x . 作业： 1.求下列曲线的极坐标方程. （1）过点)3,2(π ，且与极轴垂直的直线； （2）圆心在)4 , 1(πA ，半径为1的圆. 2.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+π θρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离.
专题八 选修4系列选讲 第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程 考点一 极坐标方程及应用 1．直角坐标与极坐标互化公式 把直角坐标系原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同长度单位．设M 是平面内任意一点,它直角坐标是(x ,y ),极坐 标是(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ， ⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). 2．几个特殊位置圆极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r ：ρ＝r . (2)当圆心位于M (a,0),半径为a ：ρ＝2a cos θ. (3)当圆心位于M ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫a ，π2,半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．几个特殊位置直线极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a . (3)直线过M ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [解题指导] (1) 设出P 点的极 坐标(ρ，θ) → 用ρ，θ表示|OM |，|OP | →由|OM |·|OP |＝16得极坐标方程→化直角坐标方程 (2)设出B 点极坐标(ρB ，α)→用α表示ρB →用α表示△OAB 的面积 →确定结果 [解] (1)设P 极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4 cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 面积 S ＝1 2|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪sin ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.
高中数学选修4-4知识点归纳 高中数学选修4-4主要内容是复数的运算和应用。复数是实数与虚数的和，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。 1.复数的表示和性质： 复数可以用直角坐标系表示，实部和虚部分别对应于横坐标和纵坐标。复数具有加法、减法、乘法和除法四则运算，遵循实数的运算法则。复数的共轭复数表示为a-bi，共轭复数具有性质：两个复数的和等于其实部的和加上虚部的和，两个复数的积等于实部的积减去虚部的积。 2.复数的平方根与n次方： 对于任意一个复数z=a+bi，令w=x+yi是z的平方根，则 w^2=z，即(x+yi)^2=a+bi。将等式两边展开，得到x^2- y^2+(2xy)i=a+bi。由此得到实部的方程组x^2-y^2=a和虚部的方程组2xy=b。解这两个方程组，就可以得到平方根w的实部和虚部。同样的方法，我们可以计算复数的n次方。 3.复数的模和辐角： 复数的模表示复数到原点的距离，记为|z|，计算公式是 |z|=√(a^2+b^2)。复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记为θ，计算公式是tanθ=b/a。复数的辐角一般用弧度表示，可以在求辐角时使用反正切函数。 复数的模和辐角与复数的实部和虚部之间有一定的关系，可以通过公式a=|z|cosθ，b=|z|sinθ进行互相转换。
4.复数的指数形式和三角形式： 复数的指数形式表示为z=|z|e^(iθ)，其中e是数学常数自然常数，e≈2.71828。将复数的指数形式进行展开，可以得到 z=|z|(cosθ+isinθ)。这个形式叫做复数的三角形式，其中|z|表示模，θ表示辐角。三角形式可以用于复数的运算和求解复数方程。指数形式可以用于复数乘法和除法的运算，有简洁的表达方式。 5.复数的应用： 复数广泛应用于科学和工程领域，尤其是在电学和物理学中。在电学中，复数可以描述交流电的电压和电流，计算复数的平均功率和相位差。在物理学中，复数可以描述波的传播和干涉现象，求解复杂的波动方程。复数还可以用于解析几何和空间向量的计算，求解多个方程的联立问题。 综上所述，高中数学选修4-4的内容主要包括复数的表示和性质、复数的平方根和n次方、复数的模和辐角、复数的指数形式和三角形式以及复数的应用。复数是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用价值，对于理解和解决实际问题具有重要意义。学好复数的知识可以帮助我们更好地理解数学和科学的相关内容。
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=⎧⎨ =⎩ 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<
高中数学选修4-4知识点 第一章 坐标系 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝212212)()(y y x x -+- ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧+=+=222121y y y x x x 二、.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0）y ′＝μy （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 极坐标系 一、极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 二、极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 三、极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， (2)直角坐标化极坐标 ⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝y x （x ≠0）. 简单曲线的极坐标方程 一、曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 二、圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心在点(r ，0) ρ＝2r cos θ(－π2 ≤θ < π2 ) 圆心在点(r ，π 2 ) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 圆心在点(r ，π) ρ＝－2r cos θ(π2 ≤θ
高中数学选修44知识 点(最全版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ⎩ ⎨⎧x ＝ x 1＋x 22 y ＝ y 1＋y 22 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变 换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
高中数学选修1-1、1-2、4-4知识点高考 复习总结 ------------------------------------------作者xxxx ------------------------------------------日期xxxx
选修1－1、１-2、４—4数学知识点 选修1－1数学知识点 第一章 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论。 ３、原命题：“若p ,则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题:“若p ⌝,则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝,则p ⌝” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）. 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则Ａ是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件; ６、逻辑联结词:⑴且（and ） :命题形式p q ∧;⑵或(o ｒ）：命题形式p q ∨; ⑶非（no ｔ):命题形式p ⌝。 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题ｐ的否定⌝p :)(,x p M x ⌝∈∃。 ⑵存在量词-—“存在一个”、“至少有一个"等，用“∃”表示； 特称命题ｐ:)(,x p M x ∈∃; 特称命题p 的否定⌝p :)(,x p M x ⌝∈∀; 第二章 圆锥曲线与方程 1、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数（大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距．
1.1平面直角坐标系 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标 1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式． 3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点 1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想． 3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点 1．适当直角坐标系的选择． 2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空： 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测 （1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 1 2x 的图象() A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的1 2 B ．将横坐标压缩为原来的1 2，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的1 2
【知识点】伸缩变换 【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 2 1 sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的2 1 即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D （2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程 【数学思想】函数与方程的思想 【解题过程】 422=+y ． 端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ． （3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 42后得到的图形对 应的方程是（） A ．0142=-'+'y x B ．01=-'+'y x C ．014=-'+'y x D ．0116=-'+'y x 【知识点】伸缩变换 【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩ ⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ '=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到
1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 解题基本方法