极坐标（高中数学经典问题选编）（高中数学，选修4-4）
高中数学经典问题选编----极坐标
知识点：
1.极坐标系：点的极坐标与直角坐标的互化。
2.一般约定，极径是非负的。
3.极点的极径为0，极角可取任意值。
4.极直互化：双系的前提；（点/线）的极坐标与直角坐标的互化。
5.直线和圆的极坐标方程：设点，解三角形。
有需要的同行和小朋友自行收藏。
以下为拓展内容：
5.圆锥曲线的极坐标方程。
6.笛卡尔的心形线----一个凄美的爱情故事（以下来自网络，有删改）。
1650年，斯德哥尔摩的街头，笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，这一年，他52岁。
落魄的笛卡尔穿着破破烂烂的衣服，随身带着几本数学书籍，生性清高的他默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。
一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。突然，有人拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。
她，克里斯汀，瑞典小公主，国王最宠爱的女儿。她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。他发现，这女孩思维敏捷，对数学有着浓厚兴趣。
几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔来到皇宫。从远处传来的银铃般的笑声中，他转过身来，看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。
在他悉心指导下，公主的数学突飞猛进，他们之间也变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，这就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。
克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们爱慕，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。
然而，好景不长，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒将他放逐回国，而公主被软禁在宫中。
当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后
染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。
在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。
这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。
今年上高二的一个文科班和理科班，平时收集和提炼了一些资料，想一个章节一个章节的整理下来，发到这里，以此见证曾经走过的路和曾经所做的努力。也希望能给同行们提供一些方便，给小朋友们提供一些参考，当然，更希望得到大家的回应，包括点赞和收藏，批评和建议。
一路上有你，苦一点也愿意。
选修4—4 极坐标与参数方程 一、伸缩变换 设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，在变换???='='y y x x μλ?: )0()0(>>μλ的作用下，点),(y x P 对应),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 练习 1．将1422=+y x 的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的2 1倍，则曲线的方程变为 。 2．在平面直角坐标系中，方程122=+y x 所对应的图形经过伸缩变换?? ?='='y y x x 32，后的图形所对应的方程是 ． 二、极坐标 （一）极坐标系与极坐标 1、极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 一个长度单位及计算 角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O 点称为极点，Ox 称为极轴. 2、极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ 来刻画.这两个数组成的有序数对),(θρ称为点M 的极坐标.ρ称为极径，θ 称为极角. 注：①在通常情况下，总认为0≥ρ，只在事先说明的情况下，才允许取0<ρ； ①极点O 的坐标为：),0(θ)(R ∈θ ①点),(θρ与),(θπρ+关于极点O 对称； 点),(θρ与),(θρ-关于极轴对称 ①点),(θρ，)2,(θπρ+k ，)2.(ππρ+-k （允许ρ小于0时）表示同一点.
（二）极坐标与直角坐标的关系 设M 为平面上的点，它的直角坐标为),(y x ，极坐标为),(θρ，关系如下： ???? ?????=+===x y y x y x θρθρθρtan sin cos 2 22)0(≠x 注：在极坐标系中，αθ=)0(≥ρ表示以极点为起点的一条射线；αθ=)(R ∈ρ表示以极点为起点的一条直线. 练习 1、点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为 . 2、极坐标为（1，π）的点M 的直角坐标为 . 3、将以下极坐标方程化为对应的直角坐标方程 （1）ρ=2cosθ﹣4sinθ （2）ρsin 2θ=4cosθ （3）ρ=4cosθ （4）1)3cos(=- πρx （5）ααρ222cos 3sin 42+= （6）34πθ= )(R ∈ρ （7）2=ρ 4、在直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+ πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,， 与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
1.2 极坐标系 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点． （二）学习目标 1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点． 2．了解用极坐标系表示点的不唯一性． 3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． （三）学习重点 1．认识极坐标系的重要性． 2．用极坐标刻画点的位置． 3．会进行极坐标与直角坐标的互化． （四）学习难点 1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想． 2．认识点与极坐标之间的对应关系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空： 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M 为θ.有序数对) , (θ ρ，θ可取任意实数． 为0 ≥ （2）想一想：点与极坐标有什么关系？
一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为 ))(,0(R ∈θθ． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？ 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则： =x θρcos ， =y θρsin =2ρ22y x +， = θtan )0(≠x x y 2．预习自测 （1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π 表示的不是同一个点的是( ) A ．)35,2(π- B ．)37,2(π C ．)35,2(π D ．)3 13,2(π 【知识点】极坐标系 【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点 【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C （2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ） A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π - 【知识点】极坐标与直角坐标互化 【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2 π θ= 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A （3）已知点M 的极坐标为)4 ,3(π ，则点M 的直角坐标为（ ）
选修4－4? ?? 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ???? x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求椭圆x 24 ＋y 2 ＝1，经过伸缩变换????? x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程． [解] 由????? x ′＝12x ，y ′＝y 得到????? x ＝2x ′， y ＝y ′.① 将①代入x 24＋y 2 ＝1，得4x ′2 4＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1. 因此椭圆x 24＋y 2 ＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式 本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
? ???? X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：????? x ′＝3x ，2y ′＝y . 求点A ????1 3，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标． 解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：????? x ′＝3x ， 2y ′＝y ，得到? ???? x ′＝3x ， y ′＝1 2 y ， 由于点A 的坐 标为????13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝1 2×(－2)＝－1， 所以A ′(1，－1)为所求． 2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：???? ? x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程． 解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将????? x ＝13x ′， y ＝2y ′ 代入y ＝6x 得2y ′＝6×???? 13x ′， 所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x . 3．求双曲线C ：x 2 －y 2 64＝1经过φ：? ???? x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将????? x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2 －y 264 ＝1 得x ′29－4y ′2 64＝1， 化简得x ′29－y ′216 ＝1，
二极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [对应学生用书P5] [例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2 的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π 6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎫2，－7π 6
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题) 教学目标 1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程 2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用 教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义 题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)， 则?? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ? ?? ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝y x x ≠0 . 2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． （1）．直线的参数方程 过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?? ? x ＝x 0＋tcos α， y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)． （2）．圆的参数方程 圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为?? ? x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为 参数)．
（3）．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的参数方程为?? ? x ＝acos θ，y ＝bsin θ (θ为参数)． (2)抛物线y 2 ＝2px(p>0)的参数方程为?? ? x ＝2pt 2 ，y ＝2pt (t 为参数)． （4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便； (2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍． 例1、（1）方程表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解析：注意到 t 与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方， 再相减，即可消去含的项， 即有，又注意到 ，可见与以上 参数方程等价的普通方程为 .显然它表示焦点在 轴上，以原 点为中心的双曲线的上支，选B. 点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. （2）、设P 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值 是 ，最小值为 . 分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可 转化为几何问题.若设 ，则方程 表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然 既满足 ，又满足
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化 1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)． 2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系． 3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化． 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立． 如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________． (2)点的极坐标的规定． ①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______. 当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______． ②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定： 作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图： 【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，重合的点是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，136π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－56π 【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )．
A ．(ρ，θ) B ．(ρ，－θ) C ．(ρ，θ＋π) D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件． 如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________． (2)互化公式． 如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的． ①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ ， y ＝ . ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ ρ2 ＝ ， tan θ＝ . 【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间 的极坐标为__________． 1．建立极坐标系的意义 剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置． 有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程． 总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法． 2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况 剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个． 答案： 1．(1)极点 极轴 单位长度 角 极坐标系 (2)①极径 极角 极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线
数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题 一．选择题 1．已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．??? ??-3,5π B ．??? ??34,5π C ．??? ??-32,5π D ．??? ? ? --35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．??? ? ?3,2π B ．??? ??34,2π C ．??? ??-3,2π D ．?? ? ??-34,2π 3．极坐标方程?? ? ??-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+= 的圆心坐标是（ ） A ．??? ??4,1π B ．??? ??4,21π C ．??? ??4,2π D ．?? ? ??4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,4 3,2,2,2O B A ?? ? ?? ??? ? ?- -π π则ABO ?为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4 ≤= ρπ θ表示的图形是（ ） A ．一条射线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．圆 8、直线αθ=与1)cos( =-αθρ的位置关系是（ ）
A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214 - π B.2-π C.12-π D.2 π 10.已知点1P 的球坐标是)4 , ,32(1π ?P ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P . A ．2 B ．3 C ．22 D ．2 2 二．填空题 11．极坐标方程52 sin 42 =θ ρ化为直角坐标方程是 12．圆心为?? ? ??6, 3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为2 2 )4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ??? ? ?611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 15、与曲线01cos =+θρ关于4 π θ=对称的曲线的极坐标方程是_______________。 三．解答题 16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程，并求出坐标伸缩变换。 17．已知?? ? ??π32,5P ，O 为极点，求使'POP ?是正三角形的' P 点坐标。
极坐标（高中数学经典问题选编）（高中数学，选修4-4） 高中数学经典问题选编----极坐标 知识点： 1.极坐标系：点的极坐标与直角坐标的互化。 2.一般约定，极径是非负的。 3.极点的极径为0，极角可取任意值。 4.极直互化：双系的前提；（点/线）的极坐标与直角坐标的互化。 5.直线和圆的极坐标方程：设点，解三角形。 有需要的同行和小朋友自行收藏。
以下为拓展内容： 5.圆锥曲线的极坐标方程。 6.笛卡尔的心形线----一个凄美的爱情故事（以下来自网络，有删改）。 1650年，斯德哥尔摩的街头，笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，这一年，他52岁。 落魄的笛卡尔穿着破破烂烂的衣服，随身带着几本数学书籍，生性清高的他默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。 一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。突然，有人拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。 她，克里斯汀，瑞典小公主，国王最宠爱的女儿。她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。他发现，这女孩思维敏捷，对数学有着浓厚兴趣。 几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔来到皇宫。从远处传来的银铃般的笑声中，他转过身来，看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。 在他悉心指导下，公主的数学突飞猛进，他们之间也变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，这就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。 克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们爱慕，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。 然而，好景不长，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒将他放逐回国，而公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后
极坐标高考题的几种常见题型 . 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：⎩⎨⎧==θρθ ρsin cos y x 或 ⎪ ⎩ ⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=， θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρc o s 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+． 即0422=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程． 同理0422=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由⎩⎨⎧=++=-+0 4042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0011y x ，⎩⎨⎧-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 解法二: 由⎩⎨⎧=++=-+0 40 42222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线 的直角坐标方程为y=－x ． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴
第1课时极坐标系的概念 目标要求 1.了解极坐标系的意义. 2.理解点的极坐标的不惟一性. 3.能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1.极坐标系 如图所示，在平血内取一个定点（儿叫 做_____ ，口极点O引一条射线（Ar,叫做 ;再选定一个、一个 _____ （通常取弧度）及其正力向（通常取 _________________ 力向）°这样就建立了一个极坐标系. 2.极坐标 设/W 足平面内一点，极点（）与点、M的I?巨离\（）M\叫做点 M的_______ ，记为°；以极轴5为始边■射线OA4为终边 的角叫彳故点A4的_______________ °记为O有序数对____________ 叫做点M的极坐标，1己为_____________ ・ 一般地°不作特殊说明时，我们认为p _ 0.0可取________________________ 3 •点与根坐标的关系 ―*股地■极坐标-与______________________________ 表歩同一^个点L・ 牛芋另IJ上也.极丿“ O白勺坐标为〔0,0〉（0W R）.和I白短坐标同• 平rftf内—个点白勺极坐标有 _____________________________________ 种表zr<・ 女廿果规定 qAO, ____________________ ,月齐么|综________ 夕卜，平直f内白勺点可 片4 ______ 白勺朽P力^ ；同［T寸，4Z K0、力^ 白勺XX
也是购定的.
1.极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O叫 做____ ，自极点0引一条射线。r，叫做 ;再选定一个、一个 （通常取弧度）及其正方向（通常取__________ 方向）， 这
2019-2020年高中数学极坐标系的概念教案新课标人教版选修4-4(A) 一、教学目标 1．理解极坐标的概念，了解极坐标平面上的点与极坐标间的对应关系． 2．会根据极坐标描点和根据点写极坐标，能认识同一点的各种极坐标． 二、教材分析 1．重点：极坐标系概念及其四要素． 2．难点：点与极坐标的对应关系，一点对应的极坐标的通式． 3．疑点：ρ＜0时点与极坐标的关系，广义极坐标与狭义极坐标． 三、教学过程 (一)复习引入 数学研究的对象是数量关系和空间形状．对空间形状的研究，最先是欧几里德所建立的一套公理定理逻辑体系，后来笛卡尔创立了解析几何学．在平面解析几何里，直角坐标系的建立，成功地把点与数联系起来了，这样就可以用数对来确定点在平面上的位置．请大家回忆，直角坐标系与直角坐标的概念和直角坐标平面上点与点的直角坐标之间的关系． 学生1答： 直角坐标系是两条互相垂直且相交于原点的数轴，要素是原点、单位、方向、横纵轴． 点与坐标的对应关系是点的横坐标与纵坐标、点与有序实数对集合中的元素成一对一关系． (二)新课讲解 P9思考引入 1．定义 上面的一个“距离”和一个“角度”就可以确定一个点P在平面上的位置，但这是有基础和背景作前提的，请讨论，有哪些前提？ (1)基点：O； (2)方向：东； (3)长度单位； (4)角的始边和方向(东偏北)单位(度)． 把上述前提条件抽象成数学语言，就是： 在平面内取一个定点O叫极点，引一条射线Ox叫极轴，规定长度单位、角的单位和正方向(逆时针方向为正)，就构成一个极坐标系(图3-14)． 极坐标系的四要素： (1)极点；(2)极轴；(3)长度单位； (4)角的单位和正方向． 对于平面上任一点P，用ρ表示OM的长度，叫极径，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角(有方向有正负)，叫极角，则有序实数对(ρ，θ)叫点P的极坐标，记作P(ρ，θ)． 2．例题讲解 例1
《极坐标系》教学设计 江苏省海州高级中学高静 一、教材分析 本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。 二、学情分析 笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。 三、教学目标 （1）认识极坐标系； （2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置： （3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别； （4）能进行极坐标和直角坐标的互化。 四、重点、难点 重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化 难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系 五、教学过程 （一）情境引入 电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。
问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度） 【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。 【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？” （二） 知识初建构 问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结） 【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。 教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。 注：1、一般地，不做特殊说明时，我们认为0≥ρ，πθ20<≤ 2、特别规定：当M 在极点时，它的极坐标中0=ρ，θ可以取任意值 【反思】极角为以极轴o 为始边，射线OM 为终边的角OM 。学生对为什么不说是夹角∠OM ？没有提出疑问，但在课后的作业中发现学生对任意角的理解不尽如人意。 （三） 课堂练习（一） 例1：学生口答，下图中各点的极坐标 【设计意图】让学生熟悉用极坐标形式表示点的位置。并引出极径小于零的情况。
直线的极坐标方程 一、选择题 1．在极坐标系中,点)4,2(π到曲线01sin cos =--θρθρ上的点的最小距离等于（ ） A ．22 B ．2 C ．223 D ．2 2．已知点P 的极坐标是（1,π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．1=ρ B ． θρcos = C ． θρcos 1-= D ． θρcos 1= 3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A. 201y y +==2x 或 B. 1x = C. 201y +==2x 或x D 。 1y = 4．直线 的位置关系是（ ) A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关， 不确定 5．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4 l π θρ=∈交于A ，B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ) A ．2 2)4πρθ=+ B ．2)4πρθ=- C ．2 2cos()4πρθ=+ D ．22)4π ρθ=-
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ) A ．4sin()3πρθ=+ B ．4sin()3 πρθ=- C ．cos 2ρθ= D ．sin 2ρθ= 7．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为( ） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线 8．．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为2)4sin(,cos 6=+=πθρθρ，求点C 到直线l 的距离是（ ) A ．4 B ． 2 C ． 2 D ．2 2 二、填空题 9．已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2 πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ________． 10．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C ：2cos = θρ与曲线12cos :22=θρC 相交于A ，B 两点，则|AB ｜＝ 三、解答题 11．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆2cos ρθ=与圆sin ρθ=交于,O A 两点. （Ⅰ）求直线OA 的斜率； （Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点,B C ,求||BC 。
统考作业题目——4-4 1．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为12, (2x t t y t =+⎧⎨ =-⎩ 为参数〕,以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系取一样的长度单位.曲线C 的极坐标方程为 2 2cos 4sin 40ρρθρθ+++=. 〔1〕求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； 〔2〕点M 是曲线C 上任一点,求点M 到直线l 距离的最大值. 2．极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位一样.直线的极坐标方程为： ,点 ,参数 ． 〔I 〕求点轨迹的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕求点到直线距离的最大值． 1、[详解] 〔1〕 12, 2x t y t =+⎧⎨ =-⎩10x y ∴+-= 因为222 ,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==, 所以222440x y x y ++++=,即22 (1)(2)1x y +++= 〔2〕因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为 |121| 222 ---=, 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：〔Ⅰ〕设,如此 ,且参数, 消参得： 所以点的轨迹方程为
〔Ⅱ〕因为 所以 所以 , 所以直线的直角坐标方程为 法一：由〔Ⅰ〕点的轨迹方程为 圆心为〔0,2〕,半径为2． , 点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和, 所以点到直线距离的最大值． 法二： 当时,,即点到直线距离的最大值为． 3．在平面直角坐标系xOy 中,曲线的参数方程为〔为参数〕,曲线的 参数方程为〔,t 为参数〕. <1>求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程； <2>设P 为曲线上的动点,求点P 到上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标. 4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y α α =⎧⎪⎨ =⎪⎩ 〔α为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为 sin 224πρθ⎛ ⎫ + = ⎪⎝ ⎭ 〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；