选修4－4⎪
⎪⎪
坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用
下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例] 求椭圆x 2
4
＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝y
后的曲线方程．
[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，
y ′＝y
得到⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2x ′，
y ＝y ′.①
将①代入x 24＋y 2
＝1，得4x ′2
4
＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2
＝1.
因此椭圆x 2
4＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2
＝1. [方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式
本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
⎩
⎪⎨
⎪⎧
X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，－2经过φ
变换所得的点A ′的坐标．
2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y
变换后所得到的直线l ′的方程．
3．求双曲线C ：x 2
－y 2
64＝1经过φ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．
4．将圆x
2
＋y 2
＝1变换为椭圆x 29＋y 2
4＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
X ＝ax (a >0)，
Y ＝by (b >0)，求
a ，
b 的值．
突破点(二) 极坐标系
基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．
(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：
第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ； 第二步，根据角θ的正切值tan θ＝y
x
(x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．
[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2
2.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
[方法技巧]
1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．
极坐标方程的应用
[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2
－22ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4－2＝0.
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .
(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值．
[易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝2，点A 的极坐标为
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．
.
3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．
4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2
－22ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝2.
(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为
参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在
C 3上，求a .
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
[课时达标检测]
4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．
5．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4(k ≠0)，若直
线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．
6．已知圆C ：x 2
＋y 2
＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；
(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2
，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．
7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π3.
(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；
(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．
8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线
θ＝π
3
与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3.
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1
ρ22
的
值．
第二节 参数方程
突破点(一) 参数方程
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函
数：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )，
并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )
所确定的点M (x ，y )
都在这条曲线上，那么方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，
简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)．
本节主要包括2个知识点： 1.参数方程；
参数方程与极坐标方程的综合问题.
(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
(3)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
参数方程与普通方程的互化
1基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2
θ＋cos 2
θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；
(2)具体步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；
第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1t ，y ＝1
t t 2－1
(t 为参数)；
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋sin 2
θ，y ＝－1＋cos 2θ
(θ为参数)．
[易错提醒]
(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．
直线与圆锥曲线的参数方程及应用
1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问
题时，可以把直线的参数方程设成⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数
分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1·t 2.
[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：
⎩⎨
⎧
x ＝2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α
(t 为参数)与曲线C ：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，
B .
(1)若α＝π
3
，求线段AB 的中点M 的坐标；
(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2
，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．
[方法技巧]
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt
(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2
≠1时，应先化为
标准形式后才能利用t 的几何意义解题．
能力练通
3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C 1：x 2
＋y 2
＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .
(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.
4．[考点二]设直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；
(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．
突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题
将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：
(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.
(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.
(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.
(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
参数方程与极坐标方程的综合问题
[典例] 1参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋cos α，y ＝sin α
(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直
线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．
(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；
(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α
(α为参数)，以直角坐标系原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1
ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．
2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴
正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3t ＋1，
y ＝4t ＋3
(t 为参数)．
(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．
1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，
求l 的斜率．
2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α
为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数，
t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
1．(2017·郑州模拟)已知曲线C 1
的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2－32
t ，y ＝12t ，
曲线C 2的极坐标
方程为ρ＝22cos θ－π
4
，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．
2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭
⎫22，π
4.
(1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．
3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ.
(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；
(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝8
3，求点M 轨
迹的直角坐标方程．
4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2
＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．
5．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，曲线C 的极坐标方程为ρ＝5，直线l 过点P 且与曲线C 相
交于A ，B 两点．
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)若|AB |＝8，求直线l 的直角坐标方程． 6．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2cos t ，y ＝2sin t
(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α
与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t ，y ＝t －3
(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标
系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝
2cos θ
sin 2
θ
相交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．
8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为
ρsin 2
θ＝8cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1
|BF |的值．
选修4－4⎪ ⎪⎪ 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用 下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求椭圆x 2 4 ＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ， y ′＝y 得到⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2x ′， y ＝y ′.① 将①代入x 24＋y 2 ＝1，得4x ′2 4 ＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2 ＝1. 因此椭圆x 2 4＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2 ＝1. [方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式 本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ′＝3x ， 2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13，－2经过φ 变换所得的点A ′的坐标． 2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ′＝3x ， 2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程． 3．求双曲线C ：x 2 －y 2 64＝1经过φ：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ′＝3x ， 2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 4．将圆x 2 ＋y 2 ＝1变换为椭圆x 29＋y 2 4＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ X ＝ax (a >0)， Y ＝by (b >0)，求 a ， b 的值． 突破点(二) 极坐标系 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭ ⎫b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________．
1、已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x t y =-???=??， （t 为参数），在极坐标系（与 直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 2、已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、 B 、 C 、 D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
3、在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2 ＝4. (Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为 ?? ? x ＝3cos α，y ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π 2 )，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2的中点为P，填表： 两点间的距离公式中点P的坐标公式 2＋（y |P1P2|＝（x1－x2）1－y2）2 x1＋x2 x＝ y＝ 2 y1＋y2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx（λ>0） y′＝μy（μ>0） 的作用下， 点P(x，y)对应到点P′x(′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1 )定义：在平面内取 一个定点 O ，叫做极点；自点 O 引一条射线 O x 叫做极选 定 一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这立 了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2． 极坐标 (1)极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM |叫做点 M 的极径， ρ；以极轴 O x ，射线 O M 的角 x O M 叫做点 M 的极为 θ.有序数对 (ρ， θ)叫做点 M 的极坐作 M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是 (0， θ)，(θ∈R )，若点 M 的极坐标是 M (ρ，θ )，则点 M 的极坐标也M(ρ， θ＋2k π)， (k ∈Z )． 若规定 ρ>0，0≤ θ<2π ，则除极点外极坐标系内的点与有序数对 (ρ，θ)之间才是一一 对应关系． 3． 极坐标与直角坐标的式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正 半轴作 为 极轴，且长度 设任意一点M 的直角坐标与极 (x ，y)，(ρ，θ )． (1)极坐标化直角坐标 x ＝ρcos θ ， y ＝ρsin θＷ . (2)直角坐标化极坐标 ρ 2＝x 2＋y 2， tan θ＝ y （x ≠0） . x 三 简单曲线的极坐标方程 1． 曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做 曲线 C 的极坐标方程． 2． 圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆极坐标方程 图 形 圆心在极点 (0，0) ρ＝r (0≤ θ<2π)
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高中数学选修4-4.pdf 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立 一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为 直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两 条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表： 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 有序数对(ρ，θ）ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ． 叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）． ，(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ）
姓名，年级： 时间：
选考部分 选修4－4 坐标系与参数方程 第一节 错误! 知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为y＝
3sin2x. 解析：由已知得错误!代入y＝sin x,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x。 知识点二极坐标系 1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系． 如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）． 2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!.
2．（选修4－4P11例4改编）点P的直角坐标为（1,－错误!),则点P的极坐标为错误!. 解析：因为点P(1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2, 且OP与x轴所成的角为－π 3 ，所以点P的极坐标为错误!. 3．（选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1）的极坐标方程为( A ) A．ρ＝错误!，0≤θ≤错误! B．ρ＝错误!，0≤θ≤错误! C．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤错误! D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤错误! 解析：∵y＝1－x(0≤x≤1）， ∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1）； ∴ρ＝错误!错误!. 知识点三常见曲线的极坐标方程
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=⎧⎨ =⎩ 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<
专题八 选修4系列选讲 第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程 考点一 极坐标方程及应用 1．直角坐标与极坐标互化公式 把直角坐标系原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同长度单位．设M 是平面内任意一点,它直角坐标是(x ,y ),极坐 标是(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ， ⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). 2．几个特殊位置圆极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r ：ρ＝r . (2)当圆心位于M (a,0),半径为a ：ρ＝2a cos θ. (3)当圆心位于M ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫a ，π2,半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．几个特殊位置直线极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a . (3)直线过M ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [解题指导] (1) 设出P 点的极 坐标(ρ，θ) → 用ρ，θ表示|OM |，|OP | →由|OM |·|OP |＝16得极坐标方程→化直角坐标方程 (2)设出B 点极坐标(ρB ，α)→用α表示ρB →用α表示△OAB 的面积 →确定结果 [解] (1)设P 极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4 cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 面积 S ＝1 2|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪sin ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.
坐标系与参数方程（选修4 - 4）|高考数学选修4 系列专题 题型： 解答题。 命题规律： 该部分的试题比较综合，题目中既有极坐标的问题又有参数方程的问题。 考查的重点主要有： 极坐标、参数方程与普通方程的互化； 已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求点的坐标、两点的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程。 复习策略： 在备考中，一定要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式。 熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程。 熟记常用抛物线、椭圆的参数方程，抓住主要题目类型进行有针对性的训练。 重点是极坐标、参数方程与普通方程的互化； 参数方程及其应用； 极坐标方程与参数方程的综合应用。
一、求直线或曲线的极坐标方程和参数方程 【思考】如何求直线、曲线的极坐标方程和参数方程? 1.对于几个特殊位置的直线与圆的极坐标方程要熟记, 在求直线与圆的极坐标方程时, 可直接应用记忆的结论; 熟记常用的直线的参数方程与抛物线、椭圆的参数方程, 如果已知它们的普通方程, 那么在求参数方程时, 可以直接应用记忆的结论 . 2.求解与极坐标方程有关的问题时, 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 . 若最终结果要求用极坐标表示, 则需将直角坐标转化为极坐标 .
3.求一般的直线和曲线的极坐标方程时, 先建立极坐标系, 再设直线或曲线上任一点的极坐标为(ρ,θ) , 根据已知条件建立关于ρ, θ的等式, 化简后即为所求的极坐标方程 . 二、极坐标方程、参数方程、普通方程的互化 【思考】如何进行直线和曲线的极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化? 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程, 常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等, 往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件 . 2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与x 轴正半轴重合, 两坐标系的长度单位相同, 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 .
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ⎩⎨⎧x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
第1讲 选修4-4坐标系与参数方程 解答题 1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是{x =t,y =2t (t 为参数),以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0. (1)求直线l 的极坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求|AB|. 解析 (1)由{x =t,y =2t 消去t 得y=2x, 把{x =ρcosθ,y =ρsinθ 代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ, ∴直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ. (2)∵ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ, ∴曲线C 的方程可化为x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4, 则曲线C 是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆. 又圆C 的圆心C(0,-1)到直线l 的距离d=√55, ∴|AB|=22=2√955. 2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosφ,y =√3sinφ (φ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ-kρcos θ+k=0(k ∈R). (1)请写出曲线C 的普通方程与直线l 的一个参数方程; (2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,且点M(1,0)为线段AB 上的一个三等分点,求|AB|. 解析 (1)由已知得,曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1. 易知直线l 的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). (2)联立(1)中直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程,并化简得(3+sin 2α)t 2+6tcos α-9=0, 设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2, ∴{t 1+t 2=-6cosα 3+sin 2α,t 1·t 2=-93+sin 2α<0. ① 不妨设t 1>0,t 2<0,t 1=-2t 2,
：L 选修4－4：坐标系与参数方程 1. [2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 2．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩ ⎨⎧ x ＝2＋2 2 t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)的普通方程 为________． 3． [2014·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π 6到直线ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________． 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ， y ＝2＋2 2 t (t 为参数)，直线 l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 5．[2014·辽宁卷]将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1) 写出C 的参数方程； (2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣ ⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程； (2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参 数方程，确定D 的坐标． 7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知曲线C ：x 24＋y 2 9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
2022-2022《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程 第一节坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(某，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 某，λ＞0，某′＝λ·φ：的作用下，点P(某，y)对应到点 P′(某′，y′)，称φ为平面直y′＝μ·y，μ＞0 角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线O某，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴O某为始边，射线OM为终边的角某OM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化 设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(某，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
点M互化公式直角坐标(某，y)某＝ρcoθρinθy＝极坐标(ρ， θ)ρ＝某＋yytanθ＝某某≠02224.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐 标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rco_θ圆心 为(r,0)，半径为r的圆－π≤θ≤π22ρ＝2rin_θ(0≤θ＜π)πr，， 半径为r的圆圆心为2(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝ α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过极点，倾斜角为α的直线过点(a,0)，与极轴垂直的直线πa，，与极轴平行的直线过点2ππ－＜θ＜ρco_θ ＝a22ρin_θ＝a(0＜θ＜π) 1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． 2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z) 表示同一点的坐标．[试一试] 1．点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标． π 解：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与某轴 所成的角为－， 3π2，－.所以点P的极坐标为3 2．求极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ能表示的曲线的直角坐标方程．解：由ρ＝inθ＋2coθ，得ρ2＝ρinθ＋2ρcoθ， ∴某2＋y2－2某－y＝0.故故极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ表示的曲 线直角坐标方程为某2＋y2－2某－y＝0.
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时） 教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时） 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的 返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排 列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？ 例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗? *变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程 2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2 1tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程 例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标 （1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点 （2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上） *变式训练 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。 思考： 通过平面变换可以把曲线14 )1(9)1(2 2=-++y x 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？ 小 结：本节课学习了以下内容： 1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；
数学 选修4-4 坐标系与参数方程 2016-7
第一讲 坐标系 一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定. 例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上） 以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360， 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22 221x y a b -=上， 22222222 22 680,1020 102068053401(0) 6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为 用y=－x 代入上式，得x =± ， ∵ |PA|>|PB|, (x y P PO ∴=-=-=即故 答：巨响发生在接报中心的西偏北450 距中心处.
上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程. 2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2 1 tan -=∠=∠MNP PMN ， 建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程. 课后作业 1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2 ＝1 2 ，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.12 2.设F 1、F 2是双曲线x 23 －y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时， 1PF ·2PF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x 2 2 ，则点P 的轨迹方程是_________. 5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________. 6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．