极坐标与三维空间
极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系和球形坐标系两个不同的坐标系。圆柱坐标系
与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐
标系是在二维极坐标系的基础上增添了第三条
用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。
这第三条坐标通常表示为h。所以圆柱坐标表示
为（r, θ, h）。
通过以下公式，圆柱坐标可用直角坐标表达：
图柱坐标上的两点
球坐标系
球坐标系也可以运用坐标（ρ, φ, θ）扩展为三
维，其中ρ是距离球心的距离，φ是距离z轴
的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180°），
θ是距离x轴的角度（与极坐标中一样）。这个
坐标系被称作球坐标系，与用于地球的经度和
纬度相似，纬度就是余角φ，取决于δ＝90°－
φ，经度可通过l=θ-180°算得。
通过以下公式，球坐标可用直角坐标表达：
球坐标表示的一个点P
数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题 一．选择题 1．已知⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4, 1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,4 3,2,2,2O B A ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- -π π则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4 ≤= ρπ θ表示的图形是（ ） A ．一条射线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．圆 8、直线αθ=与1)cos( =-αθρ的位置关系是（ ）
A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与 有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214 - π B.2-π C.12-π D.2 π 10.已知点1P 的球坐标是)4 , ,32(1π ϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P . A ．2 B ．3 C ．22 D ．2 2 二．填空题 11．极坐标方程52 sin 42 =θ ρ化为直角坐标方程是 12．圆心为⎪⎭ ⎫ ⎝⎛6, 3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为2 2 )4 sin(= +π θρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛611, 2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 15、与曲线01cos =+θρ关于4 π θ=对称的曲线的极坐标方程是_______________。 三．解答题 16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程，并求出坐标伸缩变换。 17．已知⎪⎭ ⎫ ⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的' P 点坐标。
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定 点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3)4π B ．5()4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高中数学选修4-4.pdf 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立 一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为 直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两 条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表： 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 有序数对(ρ，θ）ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ． 叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）． ，(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ）
极坐标方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ） = ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ） = ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α） = ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。 圆 在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为 r 的圆的方程为 ρ=2rcos（θ-φ） 另：圆心M(ρ',θ') 半径r 的圆的极坐标方程为: (ρ')2+ρ2-2ρρ'cos(θ-θ')=r2 根据余弦定理可推得。 方程为r（θ）=1的圆 直线 经过极点的射线由如下方程表示
θ = φ， 其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r′，φ）处的直线与射线θ = φ垂直，其方程为r′（θ）= r′sec（θ - φ）。 玫瑰线 极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：r（θ）= acos kθ或r（θ）= asin kθ，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。 阿基米德螺线 右图为方程r（θ）= θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线。 阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）= a+bθ， 改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ> 0，另一条θ< 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。
【关键字】高中 【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.1 坐标系 2 极坐标系学 业分层测评苏教版选修4-4 (建议用时：45分钟) 学业达标] 1．在极坐标系中，作出下列各点： A，B，C，D，E(4，0)，F(2.5，π)． 【解】各点描点如下图． 2．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，求点A关于过极点且笔直于极轴的直线的对称点的极坐标． 【解】极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且笔直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，)． 3．已知点M的极坐标为，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M的极坐标． 【解】∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点， ∴(－2，)与(2，)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，)． 4．在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A、B，那么顶点C的坐标是多少？ 【解】如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点． 又AB＝4，△ABC为正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C对应的极角θ＝＋＝或θ＝－＝－，即C点极坐标为 或. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标． 【解】如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝时，ρ＝30(万千米)． 彗星此时的极坐标有四种情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)． 6．已知A、B两点的极坐标分别是、，求A、B两点间的距离和△AOB的面积． 【解】求两点间的距离可用如下公式： AB＝ ＝＝2. S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝|2×4×sin(－)|＝×2×4＝4.
认识几类特殊的极坐标方程 在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF 1、过极点直线的极坐标方程 在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。但在极坐标中，我们取O x 的正方向为极轴，则过极点O 的射线方程写成[)πθθθ2,0(00∈=） 如果我们充许极径取负值，约定M （ρ，θ）关于极点对称点N 的极坐标写成N （θρ,-），于是过原点与x 轴夹角为0θ的直线的极坐标方程为 :l 0θθ= 如与x 轴夹角为4π过原点的直线的极坐标方程为θ=4π 2、圆心在极点的圆的极坐标方程 ρ=0r 方程ρ=0r 的含义是动点的极径恒为0r ，是个常数；而方程 ρ=0r 无极角θ，表示θ可以任意变化，当极径ρ是常数，极角 任意时，即动保持与O 点等距地转动，这正是圆规在画圆。 3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程 如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为0r 设此圆上任取一点M 的极坐标为（ρ，θ），由于OA 是直径，所以∠OMA=2π ，于 是θcos =OA OM ，即θρcos 20=r 从而得ρ与θ满足的方程为：ρ=20r θcos
4、阿基米德螺线 一个动点M 随时间的增加绕定点O 逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O 点越来越远，它远离O 点的直线距离也是匀速增长的，如果把O 点定为极坐标的极点，M 与O 点的直线距离就是向径ρ，转角就是极角θ，由于ρ与θ的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间t 为ωθυρ==t （0,≠ωυ） θωυρ= 一般地，将该式写成)0(≠=ααθρ )0(≠=ααθρ表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径 的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。
学习总结报告-苏教版选修4-4 坐标系与参数方程教案前言 本文是对苏教版高中数学选修4课程中的第4节课——坐标系与参数方程进 行的学习总结报告。 在这个课程中，我们学习了如何用数学语言来描述和分析各种曲线的特点，通过对坐标系的理解以及对参数方程的掌握，我们能够更加深入地认识曲线的形态，同时也能够更加准确地进行曲线方程的表示和求解。 学习内容 在本课程中，我们主要学习了以下几个方面的内容： 1.坐标系 在学习坐标系时，我们主要学习了平面直角坐标系和极坐标系。平面直角坐标系是我们最为熟悉的坐标系，它使用两条相互垂直的轴线来确定平面上的点的位置。而极坐标系则是一种非常有用的坐标系，它使用距离和极角来确定平面上的点的位置。 通过对这两种坐标系的学习，我们不仅能够更好地理解和应用坐标系的概念，同时也能够更加深入地认识和理解相应的数学知识点。 2.参数方程 在学习参数方程时，我们主要学习了曲线的参数方程表示和求解。曲线的参数方程是将曲线上的点的坐标表示为一对参数的函数，可以通过参数的改变来描绘整个曲线。对于一些较为复杂的曲线，使用参数方程表示可以更加方便和准确地描述其形态特点。 同时，我们还学习了如何根据曲线的参数方程求出曲线的切线、法线和曲率等相关特征值信息。这些特征信息对于我们更深入地认识和理解曲线的形态特点非常有用。 3.坐标系与参数方程的应用
在学习完坐标系和参数方程的概念以及相关应用后，我们通过一些具体实例来应用所学知识，并进一步认识和掌握相关的数学方法和技能。这样能够帮助我们更好地理解和应用所学的数学知识，同时也能够提升我们的数学思维能力和解题能力。 学习体会 通过对本课程的学习，我深感数学的美妙和神奇。在数学中，我们能够通过简单的数学语言和符号来描述和分析各种复杂的问题和现象，这种能力是其他科学和技术所不具备的，因此数学的作用非常重要和不可替代。 在学习本课程的过程中，我主要体会到以下几点： 1.数学的逻辑思维 数学中要求我们通过逻辑推理来得出正确的结论，这种逻辑思维能力是我们在日常生活和工作中非常需要的。在学习数学时，我们需要时刻保持清晰的头脑和精准的思维能力，才能够快速地解决各种问题和难题。 2.数学的应用能力 数学不仅是一门学科，还是一种实用的工具。通过学习数学，我们能够更好地理解和解决各种实际问题，同时也能够应用数学模型和方法来提高我们的生产和生活效率。因此，我们需要通过学习数学来提升自己的应用能力，更好地适应和应对未来的发展。 3.数学的创造性 数学中不存在固定的模板或标准答案，因此数学的研究需要有一定的创造性。在学习数学时，我们需要不断挖掘、发现和创造各种新的数学知识和方法，以推动数学的发展和进步。因此，我们需要在学习数学的过程中不断激发自己的创造性思维，积极探索和研究各种新的数学问题和现象。 结语 通过对本课程的学习，我深刻认识到了数学的重要性和美妙性。在未来的学习和工作中，我将更加努力地学习和应用数学，为自己的发展和社会的进步贡献自己的力量。
《极坐标系》教学设计 江苏省海州高级中学高静 一、教材分析 本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。 二、学情分析 笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。 三、教学目标 （1）认识极坐标系； （2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置： （3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别； （4）能进行极坐标和直角坐标的互化。 四、重点、难点 重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化 难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系 五、教学过程 （一）情境引入 电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。
问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度） 【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。 【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？” （二） 知识初建构 问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结） 【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。 教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。 注：1、一般地，不做特殊说明时，我们认为0≥ρ，πθ20<≤ 2、特别规定：当M 在极点时，它的极坐标中0=ρ，θ可以取任意值 【反思】极角为以极轴o 为始边，射线OM 为终边的角OM 。学生对为什么不说是夹角∠OM ？没有提出疑问，但在课后的作业中发现学生对任意角的理解不尽如人意。 （三） 课堂练习（一） 例1：学生口答，下图中各点的极坐标 【设计意图】让学生熟悉用极坐标形式表示点的位置。并引出极径小于零的情况。
极坐标系 一、教材分析 极坐标系是苏教版高中教材选修4-4第一章坐标系中第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化，为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定根底 二、学情分析 1有利因素 学生通过对?坐标系?第一节直角坐标系的学习对平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系有了更加深刻的理解；学生通过平时的高中数学学习，已具备了一定的观察、归纳、分析和概括能力，另外极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该很容易接受，这些为本节课的学习打下了良好的根底 2不利因素 由于学生对极坐标系还不熟悉，加之负极径的理解能力要求较高，因此，本节学生学习起来有一定难度 三、教学目标分析 1知识与技能 理解极坐标系的有关概念； 掌握极坐标平面内点的极坐标的表示： 会在极坐标系内描出极坐标的点； 会写出极坐标平面内点的极坐标； 掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化 2过程与方法 通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比拟和归纳能力 3情感态度与价值观 通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦 四、教学重难点 教学重点：认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化 教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的根本思想，认识点与极坐标之间的对应关系 五、教学方法
圆锥曲线的统一极坐标方程 教学目标 掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义． 会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算． 通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点： 圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程． 教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题． 教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程． 活动设计： 1．活动：思考、问答、讨论． 2．教具：尺规、挂图． 教学过程： 一、问题引入 大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义． 学生1答： 列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心 e∈(0，1)时椭圆， e∈(1，f∞)时双曲线， e=1时抛物线． 二、数学构建 建立统一方程 在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系． 设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．
|FK|=常数，设为p． ∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|， ∴|MA|=p+ρcosθ． 这就是圆锥曲线统一的极坐标方程． 三、知识理解 对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点： (1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？ (讨论后)学生2答： 无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．
§常见曲线的极坐标方程 江苏省苏州实验中学朱仁林 苏教版教科书〔选修4-4〕数学第二章第二节 教材分析 选修4-4专题是解析几何初步、平面向量与三角函数等内容的综合应用和进一步深化，掌握常见曲线的极坐标方程，了解曲线的多种表现形式，对于数形结合会有更深的体会。学生可以体会从实际问题中抽象出数学的过程，培养数学问题的兴趣和能力。 教学目标 一、知识目标 理解并掌握常见曲线〔直线与圆〕的极坐标方程。掌握特殊位置的直线与圆的极坐标方程。 二、能力目标 利用数形结合思想，研究曲线的极坐标方程 三、情感目标 类比平面直角坐标系的曲线方程的构建，熟练运用数形结合思想，培养学生结合旧知探究新知的能力。学生感悟学科内知识的联系，体会世界是辩证联系的。教学重点 掌握直线与圆的极坐标方程，并能根据条件求出直线与圆的极坐标方程。 教学难点 掌握直线与圆的极坐标方程的推导过程 教学方法与教学手段 一、教学方法
类比平面直角坐标系的建系并求曲线方程的方法，让学生能够自我发现，如何建立极坐标系求曲线的极坐标方程。 二、教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 一、复习引入： 在之前的学习过程中，我们学习了曲线的极坐标方程的意义，那么极坐标方程的意义是什么呢？求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？ 极坐标方程的意义：一条曲线上，任意一点都有一个极坐标适合方程，并且，极坐标适合方程的点都在曲线上，那么，这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 求曲线极坐标方程的步骤：建系，设点，列式，化简，证明。一般最后一步证明可以不写在答案中。 情境问题： 在平面直角坐标系中，你可以根据哪些条件求出直线与圆的方程？ 可能的答复： 关于直线： 学生甲：可以通过直线的两个点的坐标求。 学生乙：直线的斜率和截距，可以求直线方程 学生丙：直线的斜率，和直线上的一个点的坐标，可以求直线方程。 关于圆： 学生丁：圆的圆心坐标和半径，可以求圆的方程。 学生戊：圆上三点的坐标，可以求圆的方程。 请学生丁举例，曾经是如何根据这些条件推导出圆的方程的？〔提示，数形结
某某省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）》教案 教学目标： 1．理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）； 2．理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系； 3．已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 教学重点：极坐标系的理解与应用． 教学难点：极坐标系的概念． 教学过程： 一、问题情境： 军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？ 问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？ 练习 如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： 1．他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ 2．如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 二、探究新知： 思考：右图是某校园的平面示意图， 假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： 你会怎样描述图书馆．体育馆．办公楼．实验楼的相对位置？ 这些描述的对应位置是否惟一确定？ （2）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ （3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 探究结果： （1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定． （2）到达图书馆，该位置惟一确定． （3 ）正东方向60m 处与西北方向50m 处． 重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础． 三、建构数学： （一）极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O ，叫做极点．引一条射线OX ，叫做极轴． 再选定一个长度单位和角度单位这样就建立了一个极坐标系． （二）极坐标的表示与注意点： 对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX 到 OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标． 特别强调：ρ表示线段OM 的长度，即点M 到极点O 的距离；θ表示从OX 到OM 的角度，即以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角． 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值X 围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 ．们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角． ③负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角. 办公楼 E 实验楼D C 图书馆 B 体育馆 A 教学楼 60m 50m 120m 60° 45° O x
高二数学选修4-4（极坐标）练习题 一．选择题 1．已知⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-3, 5πM ，下列所给出的不能表示此点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪ ⎭⎫ ⎝⎛3, 2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛ -3,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4, 1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,4 3,2,2,2O B A ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ - -π π则ABO ∆为( ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、直线αθ=与1)cos( =-αθρ的位置关系是( ) A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与 有关，不确定 8.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是( ) A.214 - π B.2-π C.12-π D.2 π
9.已知点1P 的球坐标是)4 ,,32(1π ϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,则21P P =( ). A ．2 B ．3 C ．22 D ． 2 2 10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。 A.34k <- B. 4 3 -≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 二．填空题 11.若A 33，π⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-64π，，则|AB|=___________，S A O B ∆=___________。（其中O 是极点） 12.极点到直线()cos sin ρθθ+________ _____。 13.极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。 14.直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 15.极坐标方程52 sin 42 =θ ρ化为直角坐标方程是 16.圆心为⎪⎭ ⎫ ⎝⎛6, 3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 17.已知直线的极坐标方程为2 2 )4 sin(= + π θρ，则极点到直线的距离是 18.在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛611, 2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 19.与曲线01cos =+θρ关于4 π θ= 对称的曲线的极坐标方程是________________________。 20.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 。 21.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= 。 三、解答题：
选修4-4《极坐标》 一选择题 1．已知⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -3, 5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -34,2π 3．极坐标方程⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 （ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+= 的圆心坐标是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛4,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--ππ，则ABO ∆为 （ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4 ≤= ρπ θ表示的图形是 （ ） A ．一条射线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．圆 8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与 有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 （ ） A. 214 - π B.2-π C.12-π D.2 π 10.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是 （ ） A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1- = D. θ ρcos 1 = 11.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=有公共点，则k 的取值范围是 （ ） A.43- ≤k B. 4 3 -≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 (0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标 不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 :
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点 x gx(0) , 在变换: gy( 的作用 y0) 下 , 点 P(x,y)对应到点 P ( x , y ) ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点 O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针 方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 . 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标 设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边, 射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为. 有序数对(, ) 叫做点M的极坐标, 记作M (,) . 一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数. 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(∈ R).和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( ,) 表示; 同时 , 极坐标(, ) 表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如图所示 : (2)互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是(x, y) , 极坐标是( , ) (0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 M直角坐标( x, y)极坐标(, ) x cos2x2y2 互化公式 y (x 0) y sin tan x 在一般情况下 , 由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角 . 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点, 半径 r (0 2 ) 为 r 的圆 圆心为 (r ,0) ,半径 2r cos ()为 r 的圆22 圆心为 (r , ) ,半 2 2r sin(0) 径为 r 的圆
4．1.2极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系： 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的 正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点， 射线Ox称为极轴． (2)极坐标： 设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边 所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径， θ称为点M的极角，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标． (3)在极坐标系中，如果极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意角，那么M(ρ，θ)的极 坐标也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)． 2．极坐标与直角坐标互化 [对应学生用书P5]
[例1] 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)． [思路点拨] 分析每一点对应的ρ与θ，写出极坐标． [精解详析] 由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B ⎝⎛⎭⎫2， π4，C ⎝⎛⎭⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎫1，5π6，E (4，π)，F ⎝⎛⎭⎫6，4π3，G ⎝⎛⎭⎫5，5π 3，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)． 1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． 2．点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ≥0，θ∈[0,2π)，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． 1．试画出满足下列条件的点，并说明它们有何特殊的位置关系： A ⎝⎛⎭⎫5，3π4；B ⎝⎛⎭⎫－5，3π4；C ⎝⎛⎭⎫5，－3π4；D ⎝⎛⎭⎫－5，－3π 4. 解：所求各点如图所示． 由图可以看出，点B 与点A ，点C 与点D 都关于极点对称；点C 与点A ，点B 与点D 都关于极轴对称；点D 与点A ，点B 与点C 都关于直线θ＝π 2 (ρ∈R )对称．