1.2 极坐标系
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．
（二）学习目标
1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．
2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．
3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．
（三）学习重点
1．认识极坐标系的重要性．
2．用极坐标刻画点的位置．
3．会进行极坐标与直角坐标的互化．
（四）学习难点
1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．
2．认识点与极坐标之间的对应关系．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：
极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M
为θ.有序数对)
,
(θ
ρ，θ可取任意实数．
为0
≥
（2）想一想：点与极坐标有什么关系？
一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为
))(,0(R ∈θθ．
如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：
=x θρcos ， =y θρsin
=2ρ22y x +， =
θtan )0(≠x x
y
2．预习自测
（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π
表示的不是同一个点的是( )
A ．)35,2(π-
B ．)37,2(π
C ．)35,2(π
D ．)3
13,2(π 【知识点】极坐标系
【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点
【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C
（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）
A ．)2,2(π
B ．)0,2(
C ．)2,2(π
D ．)2,2(π
-
【知识点】极坐标与直角坐标互化
【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2
π
θ=
【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A
（3）已知点M 的极坐标为)4
,3(π
，则点M 的直角坐标为（ ）
A ．)3,3(
B ．)223,223(
C ．)2
3
3,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化
【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：2
2
3sin ,223cos =
===θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B
（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(π
π-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．
【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式
【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为
)23,21(--，化为极坐标得)3
4,1(π
【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)3
4,
1(π
(二)课堂设计 1．知识回顾
（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究
探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境
如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.
(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西
图1
45走m 50.
上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.
在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位
置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.
【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.
●活动② 互动交流，类比提炼概念
我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）
平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .
类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．
一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．
【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其
图2
B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.
)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(π
E
【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．
同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列
点的位置：)4
,3(π
F ，),4(πG
【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示
【数学思想】数形结合
【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．
【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．
探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系
在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.
我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），
G
F
A
D C
E
4
π
O
x
2
π 6
5π π
3
4π 3
5π
图3
4
π
O
x
2
π 6
5π π
3
4π 35π x
图4
建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)4
3,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(π
ππ
建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？
【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题
我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？
)26
,4(),46,4(),26,4(),6,4(ππ
πππππ-++
由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：
一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.
特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ
如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．
同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)
A （4，0）
B （ ）
C （ ）
D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合
【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4
,2(πB ，
)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)3
5,5(πG ．
【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)3
5,5(πG ．
【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质
平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式
如下：
⎩
⎨
⎧==θρθ
ρsin cos y x ⎪⎩
⎪
⎨
⎧≠=+=)0(tan 2
22x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈
例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标
（1）)6,2(π （2）)2,3(π
【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】
（1）由
cos 2cos
36sin 2sin
1
6
x y π
ρθπ
ρθ======所以点的极坐标)6
,2(π
化为直角坐标为)1,3(．
图5
（2）由
cos 3cos
02sin 3sin
3
2
x y π
ρθπ
ρθ======所以点的极坐标)2
,3(π
化为直角坐标为)3,0(．
【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标
（1）)3
2,
4(π
（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】
【解题过程】（1）3
232sin 4sin 2
3
2cos 4cos ===-===πθρπ
θρy x 所以点的极坐标)3
2,4(π化为直角坐标为
)32,2(-．
（2）由cos cos sin sin 0
x y ρθπππ
ρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．
【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．
例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．
【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋12
2tan -=-=
θ,且点位于第四象限∴θ=47π
,点B 的极坐标为(22,
4
7π).
又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,2
3π
).
【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由
tanθ=
x
y
求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π
) C(15,2
3π)．
同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)
（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】
【解题过程】（1）33
3
tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3π
θ=
.所以点)3,3(的极坐标为)3
,32(π
． （2）111
tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ
又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π
．
（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．
【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由
tanθ=
x
y
求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)4
5,2(π
（3）),3(π．
【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理
（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．
（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表
示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．
（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：
⎩⎨
⎧==θρθ
ρsin cos y x ⎪⎩
⎪
⎨
⎧≠=+=)0(tan 2
22x x y y x θρ 重难点归纳
（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．
（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序
（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：
（三）课后作业 基础型 自主突破
1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．
【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．
2．下列各点中与极坐标)7
,5(π
表示同一个点的是( )．
)0(tan ,222≠=
+=x x
y
y x θρ 直角坐标
),(y x M
极坐标
),(θρM
θρθρsin ,cos ==y x
A ．(5，67π)
B ．(5，157π)
C ．(5，67π-)
D ．(5，7
π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．
【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27
,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．
【答案】B ．
3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为31
3tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．
【答案】C ．
4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。
【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积．
【数学思想】数形结合思想 【解题过程】因为π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ，所以π2AOB ∠= ，则三角形为直角三角形，则面积为12552
⨯⨯= ，所以选D. 【思路点拨】根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可．
【答案】D ．
5．规定R ∈>θρ,0，则极轴上极点以外的点的极坐标为________．
【知识点】点与极坐标系的关系．
【数学思想】
【解题过程】因为在极轴上且不是极点，所以极角,,2Z k k ∈=πθ极径0>ρ，所以极坐标为
))(2,(Z k k ∈πρ．
【思路点拨】根据极坐标的定义来处理．
【答案】))(2,(Z k k ∈πρ．
6．极坐标系中，与点)3
,3(π-关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________． 【知识点】点的极坐标． 【解题过程】因为)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点为)3
,3(π． 【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解． 【答案】)3
,3(π． 能力型 师生共研
7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是（ ）
A ．)0,1(
B ．)4,2(π
C ．)2
,3(π D ．),4(π 【知识点】极坐标的定义、点的极坐标．
【数学思想】数学结合
【解题过程】由题意知y =ρ，又由θρρθρsin ,sin =∴=y ，所以1sin =θ，所以选C
【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转化．
【答案】C
8．已知点的极坐标分别为A (3，4π-
)，B (2，23π)，C (，π)，D (－4，2
π)，求它们的直角坐标．
【知识点】直角坐标与极坐标互化．
【解题过程】根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ，B (－1)，C (，0)，D (0，－4)
【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．
【答案】A ，B (－1)，C (，0)，D (0，－4) 探究型 多维突破
9．已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，53-
)，C (－2，23-)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【知识点】直角坐标与极坐标互化．
【解题过程】(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43
π)． 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．
【答案】A (23,6π
)，B 33(,)36π，C (4，43
π)． 10．某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O A B C D E F G ，，，，，，， 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中AB BC = ，600OC = m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐
标（限定002πρθ≥≤<，
且极点为（0，0））. 【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的位置．
【解题过程】以O 为极点，错误!未找到引用源。OA 所在射线为极轴建立极坐标系，因为600OC = ，π6AOC ∠=
，故π6006C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， . 又π600cos 30036OA =⨯= ，π600sin 3006
OD =⨯= ，3002OE = ，300OF = ，1502OG = .
故()
30030A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π30024E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【思路点拨】解决问题的关键是根据极坐标系计算即可．
【答案】()
30030A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π30024E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
自助餐
1．在极坐标系中，已知)6
,6(),6,2(ππ-B A ，则OB OA ,的夹角为( )． A.6π B ．0 C.3π D.56
π 【知识点】极坐标的定义．
【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】如图所示，夹角为3π.
【思路点拨】将B A ,两点的极坐标标在极坐标系中可得．
【答案】C
2．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )
A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，34π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，54π C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3，34π 【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化．
【解题过程】复数i 33+-对应的点的直角坐标为)3,3(-， 由13
3tan ,323)3(22-=-==+-=θρ，且点在第二象限，所以选A ． 【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标．
【答案】A ．
3．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同
的单位长度,将点P 的极坐标π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
化成直角坐标 . 【知识点】极坐标与直角坐标互化．
【解题过程】由点P 的极坐标为π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
,设点P 的直角坐标为(x,y),所以
ππ
2cos 2sin 44
x y ====． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．
【答案】．
4．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M )35,
2017(π表示的点在第________象限．
【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】根据2
201735cos
2017cos ===πθρx ，23201735sin 2017sin -===πθρy ， 所以点在第四象限．
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．
【答案】四 5．在极坐标系中,分别求下列条件下点)3
,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标: (1)[)πθρ2,0,0∈≥.(2)R ∈≥θρ,0
【知识点】极坐标系中点的刻画．
【解题过程】1)当[)πθρ2,0,0∈≥时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为)3
5,3(π. (2)R ∈≥θρ,0时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为))(3
52,3(Z k k ∈+ππ． 【思路点拨】根据点在极坐标的刻画来求解．
【答案】（1）)35,3(π；（2）))(3
52,3(Z k k ∈+ππ． 6．在极坐标系中，已知三点)6
,32(),0,2(),3,2(ππP N M -. (1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；
(2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．
【知识点】极坐标与直角坐标互化
【解题过程】(1)由公式⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．
(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，
∴k MN＝k NP，∴M，N，P三点在一条直线上．
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．
【答案】（1）M(1，－3)，N(2,0)，P(3，3)；（2）在同一条直线上．
第3节：极坐标系 教学目的： 知识目标：理解极坐标的概念 能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M后到达什 么位置？该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫 做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ， θ）就叫做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标 A （4，0） B （2 ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ） G （ ） ① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一的 表达式 规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 A （3，0） B （6，2π） C （3，2π） D （5，34π） E （3，65π） F （4，π） G （6，
1.2 极坐标系 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点． （二）学习目标 1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点． 2．了解用极坐标系表示点的不唯一性． 3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． （三）学习重点 1．认识极坐标系的重要性． 2．用极坐标刻画点的位置． 3．会进行极坐标与直角坐标的互化． （四）学习难点 1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想． 2．认识点与极坐标之间的对应关系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空： 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M 为θ.有序数对) , (θ ρ，θ可取任意实数． 为0 ≥ （2）想一想：点与极坐标有什么关系？
一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为 ))(,0(R ∈θθ． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？ 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则： =x θρcos ， =y θρsin =2ρ22y x +， = θtan )0(≠x x y 2．预习自测 （1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π 表示的不是同一个点的是( ) A ．)35,2(π- B ．)37,2(π C ．)35,2(π D ．)3 13,2(π 【知识点】极坐标系 【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点 【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C （2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ） A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π - 【知识点】极坐标与直角坐标互化 【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2 π θ= 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A （3）已知点M 的极坐标为)4 ,3(π ，则点M 的直角坐标为（ ）
二极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [对应学生用书P5] [例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2 的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π 6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎫2，－7π 6
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题) 教学目标 1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程 2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用 教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义 题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)， 则?? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ? ?? ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝y x x ≠0 . 2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． （1）．直线的参数方程 过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?? ? x ＝x 0＋tcos α， y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)． （2）．圆的参数方程 圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为?? ? x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为 参数)．
（3）．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的参数方程为?? ? x ＝acos θ，y ＝bsin θ (θ为参数)． (2)抛物线y 2 ＝2px(p>0)的参数方程为?? ? x ＝2pt 2 ，y ＝2pt (t 为参数)． （4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便； (2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍． 例1、（1）方程表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解析：注意到 t 与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方， 再相减，即可消去含的项， 即有，又注意到 ，可见与以上 参数方程等价的普通方程为 .显然它表示焦点在 轴上，以原 点为中心的双曲线的上支，选B. 点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. （2）、设P 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值 是 ，最小值为 . 分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可 转化为几何问题.若设 ，则方程 表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然 既满足 ，又满足
2014届高三数学总复习 坐标系教案 新人教A 版选修4-4 1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标． 解：? ????2，2k π＋2π3(k∈Z )都是极坐标． 2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π 2. 3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2 cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2 ＋y 2 ＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2 ＝0或x ＝1. 4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线． 解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2 ＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2 ，或x 2＋y 2 ＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆． 5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝ cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距． 解：圆心分别为? ????12，0和? ?? ??0，12，故圆心距为22. 1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来． 2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n∈Z )． 3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n∈Z )． 4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角． 5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得． 6. 常用曲线的极坐标方程 (1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
极坐标系（第一课时） 一、基本说明 1教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修4-4》 2年级：高二 3所用教材出版单位：人民教育出版社(A版) 4所属的章节：第一讲《坐标系》二、极坐标系 5学时数：45分钟 二、教学设计 1、教学目标： 知识与技能目标： （1）认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置； （2）体会极坐标系和平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。 过程与方法目标： （1）通过学生独立思考、相互交流探究出极坐标系在实际生活中的应用，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力； （2）在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行类比推理的能力和化归思想的运用。 情感态度与价值观目标： （1）通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值； （2）通过学生主动探究、合作学习，感受探究的乐趣和成功的喜悦，增强学生的求知欲和信心。 2、内容分析： 极坐标系是高中数学选修部分内容，并且是新课程教材中新增内容，在解析几何的某些问题上用极坐标系的定位思想要方便得多，因此《极坐标系》这一章非常重要。我认为本堂课的教学重点、难点如下： 教学重点：
认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。 教学难点： 理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。 3、学情分析： 学生通过对《选修4-4》第一讲《坐标系》一、平面直角坐标系的学习，经历用坐标法思想解决问题的基本过程，对平面直角坐标系下中点集合与坐标集合的对应关系有了较深刻的了解；学生经过近两年的高中数学学习，已经具备了一定的观察、归纳、类比、概括、运算能力。这些为这节课的学习打下了良好的基础。 4、设计思路： 根据建构主义认识论，本节课主要采用“引导发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，让学生通过类比方法主动建构出用极坐标系的思想来刻画点的位置。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 三、教学过程设计 教学环节教师 活动 学生 活动 设计 意图 一、 问题情境—揭示课题 （4分钟）1、提出问题： 大家有没有见 过这种图 片？！台风的 卫星云图。众 所周知台风危害很大，所以我们非常关注 台风中心的 位置。 气象台 会把它和平 面地图组合 起来从而得 到一张台风的路径图。根据路径图，及 时播报台风中心的位置。从小到大我们 听过很多次台风预报。今天也请大家来 当一回主播，根据这张图你来描述一下 台风中心位置。（学生参与描述） 看一下气象台是怎么播报的： 1、一位学生回答： 东经123.8度，北 纬22.3度。温州 东南偏南方向大 约800公里的海 面上。 2、其他学生补 充 引入学习极坐标 系概念的必要性， 形成用角和距离 刻画点的位置的 直觉。
某某省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）》教案 教学目标： 1．理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）； 2．理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系； 3．已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 教学重点：极坐标系的理解与应用． 教学难点：极坐标系的概念． 教学过程： 一、问题情境： 军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？ 问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？ 练习 如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： 1．他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ 2．如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 二、探究新知： 思考：右图是某校园的平面示意图， 假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： 你会怎样描述图书馆．体育馆．办公楼．实验楼的相对位置？ 这些描述的对应位置是否惟一确定？ （2）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ （3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 探究结果： （1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定． （2）到达图书馆，该位置惟一确定． （3 ）正东方向60m 处与西北方向50m 处． 重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础． 三、建构数学： （一）极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O ，叫做极点．引一条射线OX ，叫做极轴． 再选定一个长度单位和角度单位这样就建立了一个极坐标系． （二）极坐标的表示与注意点： 对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX 到 OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标． 特别强调：ρ表示线段OM 的长度，即点M 到极点O 的距离；θ表示从OX 到OM 的角度，即以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角． 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值X 围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 ．们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角． ③负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角. 办公楼 E 实验楼D C 图书馆 B 体育馆 A 教学楼 60m 50m 120m 60° 45° O x
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时） 教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时） 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的 返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排 列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？ 例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗? *变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程 2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2 1tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程 例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标 （1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点 （2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上） *变式训练 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。 思考： 通过平面变换可以把曲线14 )1(9)1(2 2=-++y x 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？ 小 结：本节课学习了以下内容： 1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；
2019-2020年高中数学极坐标系的概念教案新课标人教版选修4-4(A) 一、教学目标 1．理解极坐标的概念，了解极坐标平面上的点与极坐标间的对应关系． 2．会根据极坐标描点和根据点写极坐标，能认识同一点的各种极坐标． 二、教材分析 1．重点：极坐标系概念及其四要素． 2．难点：点与极坐标的对应关系，一点对应的极坐标的通式． 3．疑点：ρ＜0时点与极坐标的关系，广义极坐标与狭义极坐标． 三、教学过程 (一)复习引入 数学研究的对象是数量关系和空间形状．对空间形状的研究，最先是欧几里德所建立的一套公理定理逻辑体系，后来笛卡尔创立了解析几何学．在平面解析几何里，直角坐标系的建立，成功地把点与数联系起来了，这样就可以用数对来确定点在平面上的位置．请大家回忆，直角坐标系与直角坐标的概念和直角坐标平面上点与点的直角坐标之间的关系． 学生1答： 直角坐标系是两条互相垂直且相交于原点的数轴，要素是原点、单位、方向、横纵轴． 点与坐标的对应关系是点的横坐标与纵坐标、点与有序实数对集合中的元素成一对一关系． (二)新课讲解 P9思考引入 1．定义 上面的一个“距离”和一个“角度”就可以确定一个点P在平面上的位置，但这是有基础和背景作前提的，请讨论，有哪些前提？ (1)基点：O； (2)方向：东； (3)长度单位； (4)角的始边和方向(东偏北)单位(度)． 把上述前提条件抽象成数学语言，就是： 在平面内取一个定点O叫极点，引一条射线Ox叫极轴，规定长度单位、角的单位和正方向(逆时针方向为正)，就构成一个极坐标系(图3-14)． 极坐标系的四要素： (1)极点；(2)极轴；(3)长度单位； (4)角的单位和正方向． 对于平面上任一点P，用ρ表示OM的长度，叫极径，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角(有方向有正负)，叫极角，则有序实数对(ρ，θ)叫点P的极坐标，记作P(ρ，θ)． 2．例题讲解 例1
二极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ )(θ∈R)． 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的． 图1－2－1 3．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示． (2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 【提示】 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题． 2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗？ 【提示】 平面上点的极坐标不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系． 3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？ 【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带． 事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ， 所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ 2 ＝x 2＋y 2 ，tan θ＝ y x (x ≠0). 确定极坐标系中点的坐标 设点A (2，3 )，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴， 直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)． 【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值． 【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π 3 )． 关于直线l 的对称点为C (2，2 3π)． 关于极点O 的对称点为D (2，－2 3 π)． 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上． 1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． 2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序． (2013·漯河质检)在极坐标系中与点A (3，－π 3 )关于极轴所在的直线对称的点的极 坐标是( ) A ．(3，23π) B ．(3，π 3 )
江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐 标系（2）》教案 教学目标： 1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式； 2．会实现极坐标和直角坐标之间的互化． 教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解． 教学难点：互化关系式的掌握． 教学过程： 一、问题情境： 1．导入练习：在极坐标系中描出下列各点： (3,)6A π，(2,)2B π，(1,)2C -π，(3,)4D -π，3(2,)4E π，5(2,)4F -π，11(2,)4 G π． 2．问题：极坐标系是怎样定义的？极坐标系与直角坐标系有何异同? 二、新知探究： 思考：平面内的一个点的直角坐标是 )，这个点如何用极坐标表示? 探究结果：在直角坐标系中，以原点作为极点， x 点M 的直角坐标为)，设点M 的极坐标为(2==ρ，tan 1==θ三、建构数学
直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 说明1．上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式． 2．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2． 3．互化公式的三个前提条件 （1） 极点与直角坐标系的原点重合； （2） 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合； （3） 两种坐标系的单位长度相同． 四、数学应用： 例1 把下列点的极坐标化成直角坐标： ⑴M )32, 8(π， ⑵N 7(6,)4π 变式训练：在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(π π-B A 求A,B 两点的距离． 例2 以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系．把下列点的极坐标化成直角坐标： ⑴ P ，⑵ Q (，⑶ R 变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2)：)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A 例3 在极坐标系中,已知两点)32, 6(),6,6(ππ B A ．求A,B 中点的极坐标． 变式训练：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(π πP N M -． 判断P N M ,,三点是否在一条直线上． 五、课堂练习：
《极坐标系》教学设计 一、教材分析 极坐标系是高中新教材人教A版选修4-4第一讲第二节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。 二、学情分析 通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。 三、教学设计原则及策略 激发学生的兴趣，充分调动其积极性，让他们真正参与到教学活动中来。此外，该节课的核心在于自主探究出极坐标系建立的顺其自然和合理性，并熟悉，初步会应用。 基于以上认识，我根据学生的认知特点和接受水平，对教材进行了一些处理，先从实际例子、生活常识出发，抛出问题（甚至是学生自己提出问题），让学生自主探究，过程中加以指导，最终完成整节课的教学。 四、教学目标 1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的 极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。 2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。 ②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感 觉数学源于生活用于生活。采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。 五、教学重、难点 1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。 2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解 六、教学方法
《平面上点的极坐标》教学设计 教材版本：人民教育出版社数学B 版选修4-4坐标系与参数方程第一章坐标系平面上点的极坐标 一. 教材的地位与作用 本专题《坐标系与参数方程》是解析几何中的一个重要内容，而坐标系是解析几何的基础，现阶段学生应用最多的坐标系是平面直角坐标系，但在某些生产生活领域中，应用平面直角坐标系来刻画点的位置效果并不理想，比如在气象监测中对台风位置的预测、航海中对目标位置的描述、军事演习中对射击目标的刻画等，都要运用方向和距离，这就是建立极坐标系的基本思路极坐标系不仅在生活中具有广泛的应用，也是高考选做题的必考题目本课内容是极坐标知识中的基础知识，更是极坐标系的重点内容 二学情分析 学生具有熟练应用平面直角坐标系刻画点位置的能力,并掌握直线与圆的直角坐标方程,对生活中用距离和角度刻画点位置的实例并不陌生,并积累了一定的数学活动经验,具有一定的自主探究能力 三教学目标 知识与技能:了解极坐标系的概念，会用极坐标表示平面上的点，掌握极坐标系中一点关于极点、极轴及过极点且垂直于极轴的直线的对称点，理解方程0ρρ =与0θθ=的意义 过程与方法:经历由具体事例引入极坐标系的过程,体会极坐标系在生活中的广泛应用和在平面内描述点位置时建立极坐标系与平面直角坐标系的区别，进一步加强学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力 情感、态度与价值观:通过自主探究发现点对称的规律和两族坐标曲线0ρρ =与0θθ=,加深对点 的极坐标的理解,体会数学中的图形美,培养学生的创新意识和善于发现问题的敏锐感知；通过课前小组探究，体会数学文化的魅力，激发学习兴趣 四教学重点与难点 重点: 极坐标系的概念及平面内点的极坐标 难点:发现点对称的规律和理解方程0ρρ =与0θθ=的意义 五教学方法
_坐_标_系 [对应学生用书P4] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 长度，用θ表示射线Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2． 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；，⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).. [对应学生用书P4]
[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z )．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )． (2)由P 、Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫3，－π4. 解：如图所示．
极坐标专题 一、解答题 1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θ θ =+⎧⎨ =⎩，（θ为参数），曲线2 C 的方程为()2 239x y +-=．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C 的极坐标方程； (2)已知射线1π:02l θαα⎛⎫ =<< ⎪⎝ ⎭ 与曲线1C 交于O ，A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转 π 3 得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O ，B 两点．当AOB 的面积最大时，求α的值，并求AOB 面积的最大值． 2．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝ ⎭. （1）求,A B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离. 3．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨ =+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤< 4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=． （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2, 3π⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨ =⎩（t 为参数），直线2l 的参数方
第1讲 坐标系 一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）， y ′＝μ·y （μ>0） 的 作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x （x ≠0）.
3．直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0. (2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ． (3)直线过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b ． 4．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r . (2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ． (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 常用结论 1．明辨两个坐标 伸缩变换关系式⎩ ⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0）， y ′＝μy （μ>0），点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的 曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化 (1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简． (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换． 二、习题改编