选修4-4·第一章 极坐标系
一、新学习目标
1. 认识极坐标系，学生能复述极坐标系的定义，能区分并说明极坐标系和平面直角坐标系的异同。
2. 认识极坐标,给定一个点P 的极坐标(,)ρθ能说明其意义；能结合图形写出平面上任意一个点的极坐标。
3. 比较极坐标系和平面直角坐标系：能熟练进行点的两种坐标转换【P (,)ρθ与P （x ，y ）】。
4. 认识圆和直线方程的几种特殊形式：会画出极坐标系和平面直角坐标系下的图形，会从图形分析出极坐标方程。
5. 能够进行圆和直线的标准方程与极坐标方程的转换，能够判断一个极坐标方程表示的是什么曲线。
6. 能说明平面上一个点的多种极坐标表示。能写出极坐标平面上的对称点。
二、知识纲要
1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)
x x
y y
λλϕ
μμ'=>⎧⎨
'=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对
应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2．极坐标系的概念：
(1)极坐标系：
如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线O x ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标：
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴O x 为始边,射线O M 为终边的角xO M ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.
说明：
①一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.
②特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
③如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
注：极坐标系和平面直角坐标系的异同：
3.极坐标和直角坐标的互化：
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴
,
并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式: 设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(
0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.
4.极坐标的多种表示：
极坐标系中极轴正方向的选取是任意的，习惯上可以向右（如图1），也可以向左（如图2）
图1
ρ
,P ρθ（-）
图2
5. 极坐标系下的点对称：
（1）.点M (,)ρθ关于极轴对称的点：'M ρθ（，-）或'-M ρπθ（，-）
（2）.点M (,)ρθ关于极点对称的点：'M ρπθ（，+）或'M ρθ（-，）
6.常见曲线的极坐标方程
·'M ρθ（，-）
x '
θ-）
·
πθ+
'M ρπθ（，+）
x '
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(
,)44
M ππ
可以表示为
5(
,
2
)(,2),4
444
4
4π
π
ππππ
ππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44
ππ
的极坐标满足方程ρθ=.
三、经典练习题
1．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）。
A ．(2,)3
π
B ．(2,)3
π
-
C ．2(2,
)3
π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+
∈
2. 椭圆
125
)1(9
)
3(2
2
=++
-y x 的两个焦点坐标是 （ ）
A.(-3，5)，(-3，-3)
B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1)
D.(7，-1)，(-1，-1)
3．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ
)的位置关系为( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2
π
(ρ∈R) 对称 D ．重合
4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）。
A ．4(5,)3
π--
B ．(5,
)3
π
- C ．(5,
)3
π
D ．5(5,
)3
π
5. 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( )
A.x 2+(y+2)2=4
B.x 2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y 2=4
D.(x+2)2+y 2=4
6．化极坐标方程2
cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．2
01y y +==2x 或 B ．1x =
C ．2
01y +==2x 或x D ．1y =
7．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
8. 极坐标ρ=cos(
θπ
-4
)表示的曲线是( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
9．极坐标方程 4ρsin 2
2θ
=5 表示的曲线是( )。
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
10．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
11. 极坐标方程ρ=
θ
θcos sin 321
++
所确定的图形是（ ） A.直线 B.椭圆
C.双曲
D.抛物线
10．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3
π
ρθ=+
D ．4sin()3
π
ρθ=-
11．点 P 1(ρ1,θ1) 与 P 2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P 1、P 2 两点的位置关系是
（ )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称+
C ．关于θ=2
π
所在直线对称 D ．重合
12.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+
6
π
)，则圆心的极坐标和半径分别为( )
A.(1,3
π
),r=2 B.(1,
6
π
),r=1 C.(1,
3
π
),r=1 D.(1, -
3
π
),r=2
13.直线ρ=θθsin cos 23
+与直线l 关于直线θ=4
π
(ρ∈R)对称，则l 的方程是( ) A ．θ
θρsin cos 23
-=
B ．θ
θρcos cos 23
-=
C ．θ
θρsin 2cos 3
-=
D ．θ
θρsin 2cos 3
+=
14．把直角坐标系的原点作为极点，x 的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程是1
cos 412
2
-=
θP
，则它的直角坐标方程是
。
15．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
16．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ
=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。
17．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
18、求圆心为C 36，π⎛⎝
⎫
⎭
⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
19．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔()122=+y x 上一个运点，且AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。 20．椭圆
2
2a
x +
2
2b
y =1(a > b > 0)的右顶点为A ，中心为O ，若椭圆在第一象限的弧上存在点P ，
使∠OPA=90°，求离心率的范围。求圆心为C 36，π⎛⎝
⎫
⎭
⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
选修4—4 极坐标与参数方程 一、伸缩变换 设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，在变换???='='y y x x μλ?: )0()0(>>μλ的作用下，点),(y x P 对应),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 练习 1．将1422=+y x 的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的2 1倍，则曲线的方程变为 。 2．在平面直角坐标系中，方程122=+y x 所对应的图形经过伸缩变换?? ?='='y y x x 32，后的图形所对应的方程是 ． 二、极坐标 （一）极坐标系与极坐标 1、极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 一个长度单位及计算 角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O 点称为极点，Ox 称为极轴. 2、极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ 来刻画.这两个数组成的有序数对),(θρ称为点M 的极坐标.ρ称为极径，θ 称为极角. 注：①在通常情况下，总认为0≥ρ，只在事先说明的情况下，才允许取0<ρ； ①极点O 的坐标为：),0(θ)(R ∈θ ①点),(θρ与),(θπρ+关于极点O 对称； 点),(θρ与),(θρ-关于极轴对称 ①点),(θρ，)2,(θπρ+k ，)2.(ππρ+-k （允许ρ小于0时）表示同一点.
（二）极坐标与直角坐标的关系 设M 为平面上的点，它的直角坐标为),(y x ，极坐标为),(θρ，关系如下： ???? ?????=+===x y y x y x θρθρθρtan sin cos 2 22)0(≠x 注：在极坐标系中，αθ=)0(≥ρ表示以极点为起点的一条射线；αθ=)(R ∈ρ表示以极点为起点的一条直线. 练习 1、点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为 . 2、极坐标为（1，π）的点M 的直角坐标为 . 3、将以下极坐标方程化为对应的直角坐标方程 （1）ρ=2cosθ﹣4sinθ （2）ρsin 2θ=4cosθ （3）ρ=4cosθ （4）1)3cos(=- πρx （5）ααρ222cos 3sin 42+= （6）34πθ= )(R ∈ρ （7）2=ρ 4、在直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+ πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,， 与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
庖丁巧解牛 知识·巧学 一、极坐标系的概念 1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标. 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点.引一条射线Ox ，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系. 2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标 . 图1-2-3 深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值. 2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式. 二、极坐标和直角坐标的互化 1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位. 2.互化公式?? ???≠=+=???==.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形. 问题·探究 问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标? 探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象. 生活中除了应用这两种坐标系外,还应用地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常用的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何一点的位置.
1.2 极坐标系 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点． （二）学习目标 1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点． 2．了解用极坐标系表示点的不唯一性． 3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． （三）学习重点 1．认识极坐标系的重要性． 2．用极坐标刻画点的位置． 3．会进行极坐标与直角坐标的互化． （四）学习难点 1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想． 2．认识点与极坐标之间的对应关系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空： 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M 为θ.有序数对) , (θ ρ，θ可取任意实数． 为0 ≥ （2）想一想：点与极坐标有什么关系？
一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为 ))(,0(R ∈θθ． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？ 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则： =x θρcos ， =y θρsin =2ρ22y x +， = θtan )0(≠x x y 2．预习自测 （1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π 表示的不是同一个点的是( ) A ．)35,2(π- B ．)37,2(π C ．)35,2(π D ．)3 13,2(π 【知识点】极坐标系 【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点 【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C （2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ） A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π - 【知识点】极坐标与直角坐标互化 【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2 π θ= 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A （3）已知点M 的极坐标为)4 ,3(π ，则点M 的直角坐标为（ ）
选修4－4? ?? 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ???? x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求椭圆x 24 ＋y 2 ＝1，经过伸缩变换????? x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程． [解] 由????? x ′＝12x ，y ′＝y 得到????? x ＝2x ′， y ＝y ′.① 将①代入x 24＋y 2 ＝1，得4x ′2 4＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1. 因此椭圆x 24＋y 2 ＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式 本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
? ???? X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：????? x ′＝3x ，2y ′＝y . 求点A ????1 3，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标． 解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：????? x ′＝3x ， 2y ′＝y ，得到? ???? x ′＝3x ， y ′＝1 2 y ， 由于点A 的坐 标为????13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝1 2×(－2)＝－1， 所以A ′(1，－1)为所求． 2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：???? ? x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程． 解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将????? x ＝13x ′， y ＝2y ′ 代入y ＝6x 得2y ′＝6×???? 13x ′， 所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x . 3．求双曲线C ：x 2 －y 2 64＝1经过φ：? ???? x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将????? x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2 －y 264 ＝1 得x ′29－4y ′2 64＝1， 化简得x ′29－y ′216 ＝1，
二极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [对应学生用书P5] [例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2 的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π 6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎫2，－7π 6
选修4-4·第一章 极坐标系 一、新学习目标 1. 认识极坐标系，学生能复述极坐标系的定义，能区分并说明极坐标系和平面直角坐标系的异同。 2. 认识极坐标,给定一个点P 的极坐标(,)ρθ能说明其意义；能结合图形写出平面上任意一个点的极坐标。 3. 比较极坐标系和平面直角坐标系：能熟练进行点的两种坐标转换【P (,)ρθ与P （x ，y ）】。 4. 认识圆和直线方程的几种特殊形式：会画出极坐标系和平面直角坐标系下的图形，会从图形分析出极坐标方程。 5. 能够进行圆和直线的标准方程与极坐标方程的转换，能够判断一个极坐标方程表示的是什么曲线。 6. 能说明平面上一个点的多种极坐标表示。能写出极坐标平面上的对称点。 二、知识纲要 1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕ μμ'=>⎧⎨ '=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对 应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．极坐标系的概念： (1)极坐标系： 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线O x ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标： 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴O x 为始边,射线O M 为终边的角xO M ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 说明： ①一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. ②特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. ③如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的作用下,点(,) P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标 系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
选修4-4坐标系与参数方程_ 知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的作用下,点 (,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化 1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)． 2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系． 3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化． 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立． 如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________． (2)点的极坐标的规定． ①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______. 当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______． ②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定： 作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图： 【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，重合的点是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，136π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－56π 【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )．
A ．(ρ，θ) B ．(ρ，－θ) C ．(ρ，θ＋π) D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件． 如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________． (2)互化公式． 如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的． ①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ ， y ＝ . ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ ρ2 ＝ ， tan θ＝ . 【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间 的极坐标为__________． 1．建立极坐标系的意义 剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置． 有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程． 总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法． 2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况 剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个． 答案： 1．(1)极点 极轴 单位长度 角 极坐标系 (2)①极径 极角 极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线
极坐标（高中数学经典问题选编）（高中数学，选修4-4） 高中数学经典问题选编----极坐标 知识点： 1.极坐标系：点的极坐标与直角坐标的互化。 2.一般约定，极径是非负的。 3.极点的极径为0，极角可取任意值。 4.极直互化：双系的前提；（点/线）的极坐标与直角坐标的互化。 5.直线和圆的极坐标方程：设点，解三角形。 有需要的同行和小朋友自行收藏。
以下为拓展内容： 5.圆锥曲线的极坐标方程。 6.笛卡尔的心形线----一个凄美的爱情故事（以下来自网络，有删改）。 1650年，斯德哥尔摩的街头，笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，这一年，他52岁。 落魄的笛卡尔穿着破破烂烂的衣服，随身带着几本数学书籍，生性清高的他默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。 一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。突然，有人拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。 她，克里斯汀，瑞典小公主，国王最宠爱的女儿。她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。他发现，这女孩思维敏捷，对数学有着浓厚兴趣。 几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔来到皇宫。从远处传来的银铃般的笑声中，他转过身来，看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。 在他悉心指导下，公主的数学突飞猛进，他们之间也变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，这就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。 克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们爱慕，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。 然而，好景不长，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒将他放逐回国，而公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后
第1课时极坐标系的概念 目标要求 1.了解极坐标系的意义. 2.理解点的极坐标的不惟一性. 3.能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1.极坐标系 如图所示，在平血内取一个定点（儿叫 做_____ ，口极点O引一条射线（Ar,叫做 ;再选定一个、一个 _____ （通常取弧度）及其正力向（通常取 _________________ 力向）°这样就建立了一个极坐标系. 2.极坐标 设/W 足平面内一点，极点（）与点、M的I?巨离\（）M\叫做点 M的_______ ，记为°；以极轴5为始边■射线OA4为终边 的角叫彳故点A4的_______________ °记为O有序数对____________ 叫做点M的极坐标，1己为_____________ ・ 一般地°不作特殊说明时，我们认为p _ 0.0可取________________________ 3 •点与根坐标的关系 ―*股地■极坐标-与______________________________ 表歩同一^个点L・ 牛芋另IJ上也.极丿“ O白勺坐标为〔0,0〉（0W R）.和I白短坐标同• 平rftf内—个点白勺极坐标有 _____________________________________ 种表zr<・ 女廿果规定 qAO, ____________________ ,月齐么|综________ 夕卜，平直f内白勺点可 片4 ______ 白勺朽P力^ ；同［T寸，4Z K0、力^ 白勺XX
也是购定的.
1.极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O叫 做____ ，自极点0引一条射线。r，叫做 ;再选定一个、一个 （通常取弧度）及其正方向（通常取__________ 方向）， 这
．直线的极坐标方程 ．直线的极坐标方程ρ ， ( () θ 若直线经过点 ) θ － ρ ( ，则直线的极坐标方程为 α ，且极轴到此直线的角为 ＝ α ( ) ρ θ ． ) α － ρ 当直线过极点，即 ＝时，的方程为 () θ α . ＝ 当直线过点 () 且垂直于极轴时，的方程为 () ρθ . ＝ 当直线过点 () 且平行于极轴时，的方程为 ＝ . ρθ ．图形的对称性 ( ) ＝ ρ 若 对称． () ρ θ ，则相应图形关 于 ) θ － 极轴 ( ()若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在直线对称． ) ＝ θ ( 若 ρ () (π ρ 对称． ，则图形关于 极点 ＋ θ ) 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示． 设(ρ，θ)为射线上任意一点(如图)， 则射线就是集合＝. 将已知条件用坐标表示，得θ＝(ρ≥)． 这就是所求的射线的极坐标方程． 方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ无论取任何正值，θ的对应值都是. 求直线的极坐标方程，首先应明确过点(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α的直线的 极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程． ．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为( )
．ρθ＝ ．ρ＝θ．ρθ＝ ．ρ＝θ 解析：选由于点的直角坐标为， 则过此点垂直于轴的直线方程为＝， 化为极坐标方程为ρθ＝， 所以选. ．设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程． 解：设(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． 则α＝－＝，β＝π－＝＋θ， 在△中，有＝，即ρ＝. 将极坐标问题转化为直角坐标问题． 点的直角坐标为(，－)． 直线：ρ＝可化为ρθ·－ρθ·＝， 即直线的直角坐标方程为－＋＝. ∴点(，－)到直线－＋＝的距离为 ＝＝＋. 故点到直线ρ＝的距离为＋. 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在 直角坐标系下研究． ．在极坐标系(ρ，θ)(≤θ<π)中，曲线ρ＝θ与ρθ＝－的交点的极坐标为． 解析：由ρ＝θ，得ρ＝ρθ， 其直角坐标方程为＋＝， ρθ＝－的直角坐标方程为＝－， 联立(\\(＋＝，＝－.)) 解得(\\(＝－，＝.))点(－)的极坐标为. 答案：
1 坐标系与参数方程知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
2 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的 互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =⎧⎨ =⎩ 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程
选修4--4 极坐标与参数方程 一．伸缩变换． 设P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0， y ′＝μy ，μ>0的 作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称为平面直角坐标系中的__________________，简称伸缩变换． 1．点(2，3)经过伸缩变换⎩⎨⎧2x ′＝x ， y ′＝3y 后得到点的坐标为________． 2．将椭圆x 225＋y 2 9＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝15x ，y ′＝1 3y 变换后的曲线围成图形的面积为________． 3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ， y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2 ＋y ′2＝0，则曲线C 的方程为________． 二．极坐标系．1．直角坐标与极坐标的互化． 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P 的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ ，y ＝ 或⎩ ⎨⎧ρ2＝ ，tan θ＝ （x ≠0）. （1） 已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 5，π3，则它化成直角坐标为________． （2）在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4，π3，则△AOB 的面积S ＝________． （3）已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，
0≤θ＜2π)． 三 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 3圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 2．3 直线的参数方程 1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为__________________，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0. 1.经过点M 0(1，5)，倾斜角是π 3的直线l 的参数方程为： ____________________________． 2．直线⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( ) A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2 3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ (θ为参数)的普通方程为________．如果 曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________． 三、解答题 1.曲线C 1的参数方程为x cos , y sin =θ⎧⎨ =θ ⎩ (θ为参数),将曲线C 1上所有点的
第十二章⎪ ⎪⎪ 坐标系与参数方程(选修4－4) 第一节 坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)， 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). 4．常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ<2π)． (2)圆心为⎝⎛⎭ ⎫r ，π 2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)；θ＝α和θ＝π＋α. (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π 2. (5)过点⎝⎛⎭ ⎫a ，π 2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a (0<θ<π)． [小题体验]