(文科)选修4-4-坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程

1．极坐标系

(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．

(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________.

另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程

θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭

⎫b ，π

2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程

ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π

2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝f (t )，

y ＝g (t ).

并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________．

4．一些常见曲线的参数方程

(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．

(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．

1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π

4

)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．

3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4t 2，

y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.

4．直线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋t sin 40°

，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3t ，

y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．

题型一 极坐标与直角坐标的互化

例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π

3)

＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；

(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程

化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．

在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．

题型二 参数方程与普通方程的互化

例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧

x ＝5cos θ，

y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝54t 2，y ＝t

(t ∈R )，求它们的交点坐标．

思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1

cos 2θ

等．

(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

将下列参数方程化为普通方程．

(1)⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2t 21＋t 2

，y ＝4－2t

21＋t

2

(t 为参数)；

(2)⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2－4cos 2θ，

y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．

题型三 极坐标、参数方程的综合应用

例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ

＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧

x ＝－3＋32t ，

y ＝1

2t

(t 为参数)，M ，N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最

小值．

思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．

(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的

极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π

4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；

(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，

b 的值．

参数的几何意义不明致误

典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝1

2t ，

y ＝22＋3

2t

(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为

极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π

4

)．

(1)求直线l 的倾斜角；

(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .

易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答

解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t cos 60°

，y ＝2

2＋t sin 60°，[2分]

根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22

)， 倾斜角为60°.[4分]

(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋

2

2

，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －2

2)2＝1，[8分]

所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝

10

2

.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．

与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ

的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．

方法与技巧

1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．

2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1

cos 2θ

.

3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范

1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．

2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

A 组 专项基础训练

1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1，

y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2tan 2θ，

y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

2．已知曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.

(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．

3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π

4)＝a ，且点A 在直线l 上．

(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；

(2)圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋cos α，

y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．

4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π

6上的动点，试求PQ 的最大值．

5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．

6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧

x ′＝12

x ，

y ′＝1

3y

后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦

点坐标．

B 组 专项能力提升

1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2

2.

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．

2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π

4)＝2.

(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋5cos t ，

y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.

(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

答案

要点梳理

1．(1)极点 极轴 极径

(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x

3．参数方程 参数

4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0

＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑

1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1 题型分类·深度剖析

例1 解 (1)由ρcos(θ－π3

)＝1 得ρ(12cos θ＋32

sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32

y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．

当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2

)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．

N 点的直角坐标为(0，233

)． 所以P 点的直角坐标为(1，33

)． 则P 点的极坐标为(233，π6

)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6

(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，

得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，

直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.

由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，

即有|3×1＋4×0＋a |32＋4

2＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.

例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5

x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t

2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 2

1＋t 2

＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2

∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．

∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．

(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．

∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.

∴4y －x ＋2＝0.

∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，

∴－2≤x ≤2.

∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．

例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，

所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．

化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，

y ＝12t

(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝

|2＋3|1＋3＝52

， 此时，直线与圆相离， 所以MN 的最小值为52－2＝12

.

跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，

得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.

所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝

⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．

故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，

由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2

＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，

解得a ＝－1，b ＝2.

练出高分

A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1，

y ＝2t

(t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.

同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝sin α，

y ＝cos 2α，

α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．

(2)由ρsin(θ＋π4

)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132

∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．

3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4

)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，

从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.

(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，

所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，

因为圆心C 到直线l 的距离d ＝

12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．

4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，

∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.

又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭

⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝

⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，

∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18. 5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．

(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2

＝ 3. ∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．

6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2x ′，

y ＝3y ′， ∴4x ′2＋9y ′2

＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24

＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组

1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，

即x 2＋y 2－x －y ＝0，

直线l ：ρsin(θ－π4)＝22

，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，

即x －y ＋1＝0.

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，

y ＝1， 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2

)． 2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；

因为ρ2－22ρcos(θ－π4

)＝2， 所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4

)＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρsin(θ＋π4)＝22

. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋5cos t

y ＝5＋5sin t .

∴⎩

⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －4

5sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，

即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，

把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，

化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0y ＝2

. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．

∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝

⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，

圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩

⎪⎨⎪⎧

ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝

⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)方法一 由⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3

方法二 将x ＝1代入⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝tan θ，－π3 ≤θ≤π3.

高中数学-4《坐标系与参数方程》复习提纲

选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. ⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. ③ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. ④ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 二、基础知识梳理 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0), :,(0). x x y y λλφμμ'=?>?? '=?>?的作用下，点 P(x,y)对应到点(,)P x y '''，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏx 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点. 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标 ),(θρ表示的点也是唯一确定的. 5．极坐标与直角坐标的互化： 222, cos , sin , tan (0) x y x y y x x ρρθρθθ=+===≠ 6.圆的极坐标方程：

(文科)选修4-4-坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭ ⎫b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________．

选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案

1、已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x t y =-???=??， （t 为参数），在极坐标系（与 直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 2、已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、 B 、 C 、 D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．

3、在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2 ＝4. (Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为 ?? ? x ＝3cos α，y ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π 2 )，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

选修4-4坐标系与参数方程_ 知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的作用下,点 (,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案

姓名，年级： 时间：

选考部分 选修4－4 坐标系与参数方程 第一节 错误! 知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为y＝

3sin2x. 解析：由已知得错误!代入y＝sin x,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x。 知识点二极坐标系 1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系． 如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）． 2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!.

2．（选修4－4P11例4改编）点P的直角坐标为（1,－错误!),则点P的极坐标为错误!. 解析：因为点P(1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2, 且OP与x轴所成的角为－π 3 ，所以点P的极坐标为错误!. 3．（选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1）的极坐标方程为( A ) A．ρ＝错误!，0≤θ≤错误! B．ρ＝错误!，0≤θ≤错误! C．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤错误! D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤错误! 解析：∵y＝1－x(0≤x≤1）， ∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1）； ∴ρ＝错误!错误!. 知识点三常见曲线的极坐标方程

2020高考文数选修4-4坐标系与参数方程

第1讲 选修4-4坐标系与参数方程 解答题 1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是{x =t,y =2t (t 为参数),以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0. (1)求直线l 的极坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求|AB|. 解析 (1)由{x =t,y =2t 消去t 得y=2x, 把{x =ρcosθ,y =ρsinθ 代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ, ∴直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ. (2)∵ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ, ∴曲线C 的方程可化为x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4, 则曲线C 是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆. 又圆C 的圆心C(0,-1)到直线l 的距离d=√55, ∴|AB|=22=2√955. 2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosφ,y =√3sinφ (φ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ-kρcos θ+k=0(k ∈R). (1)请写出曲线C 的普通方程与直线l 的一个参数方程; (2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,且点M(1,0)为线段AB 上的一个三等分点,求|AB|. 解析 (1)由已知得,曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1. 易知直线l 的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). (2)联立(1)中直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程,并化简得(3+sin 2α)t 2+6tcos α-9=0, 设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2, ∴{t 1+t 2=-6cosα 3+sin 2α,t 1·t 2=-93+sin 2α<0. ① 不妨设t 1>0,t 2<0,t 1=-2t 2,

高中数学选修4-4-极坐标及参数方程-知识点及题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定 点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3)4π B ．5()4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

选修4-4：坐标系与参数方程

：L 选修4－4：坐标系与参数方程 1. [2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 2．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩ ⎨⎧ x ＝2＋2 2 t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)的普通方程 为________． 3． [2014·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π 6到直线ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________． 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ， y ＝2＋2 2 t (t 为参数)，直线 l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 5．[2014·辽宁卷]将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1) 写出C 的参数方程； (2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣ ⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程； (2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参 数方程，确定D 的坐标． 7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知曲线C ：x 24＋y 2 9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．

(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=⎧⎨ =⎩ 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时） 教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时） 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的 返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排 列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？ 例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗? *变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程 2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2 1tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程 例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标 （1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点 （2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上） *变式训练 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。 思考： 通过平面变换可以把曲线14 )1(9)1(2 2=-++y x 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？ 小 结：本节课学习了以下内容： 1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；

高中数学第一讲 选修4-4 坐标系与参数方程

专题八 选修4系列选讲 第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程 考点一 极坐标方程及应用 1．直角坐标与极坐标互化公式 把直角坐标系原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同长度单位．设M 是平面内任意一点,它直角坐标是(x ,y ),极坐 标是(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ， ⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). 2．几个特殊位置圆极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r ：ρ＝r . (2)当圆心位于M (a,0),半径为a ：ρ＝2a cos θ. (3)当圆心位于M ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫a ，π2,半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．几个特殊位置直线极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.

(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a . (3)直线过M ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [解题指导] (1) 设出P 点的极 坐标(ρ，θ) → 用ρ，θ表示|OM |，|OP | →由|OM |·|OP |＝16得极坐标方程→化直角坐标方程 (2)设出B 点极坐标(ρB ，α)→用α表示ρB →用α表示△OAB 的面积 →确定结果 [解] (1)设P 极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4 cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 面积 S ＝1 2|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪sin ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.

选修4-4坐标系和参数方程

数学 选修4-4 坐标系与参数方程 2016-7

第一讲 坐标系 一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定. 例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上） 以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360， 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22 221x y a b -=上， 22222222 22 680,1020 102068053401(0) 6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为 用y=－x 代入上式，得x =± ， ∵ |PA|>|PB|, (x y P PO ∴=-=-=即故 答：巨响发生在接报中心的西偏北450 距中心处.

上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程. 2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2 1 tan -=∠=∠MNP PMN ， 建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程. 课后作业 1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2 ＝1 2 ，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.12 2.设F 1、F 2是双曲线x 23 －y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时， 1PF ·2PF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x 2 2 ，则点P 的轨迹方程是_________. 5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________. 6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．

选修44坐标系与参数方程

选修4_4坐标系与参数方程 渐开线与摆线 目的要求：了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。有条件可以应用计算机展现心脏线、螺线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的数学美。 重点难点：曲线参数方程的推导； 教学过程： 一、探究 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ 动点（笔尖）满足什么几何条件？设开始时绳子外端（笔尖）位于点A ， ºϕ当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角的一段弧AB ，展开后成为切线，所以 º切线BM 的长就是AB 的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。 二、渐开线的参数方程 以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标 系。 设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为（x ，y ）。显然， 点M 由角ϕ唯一确定。 B ϕϕϕ取为参数，则点的坐标为（rcos ,rsin ）,从而 (cos ,sin ),||.BM x r y r BM r ϕϕϕ=--=u u u u r u u u u r 1(cos ,sin )e OB ϕϕ=r u u u r 由于向量是与同方向的单位向量， 2(sin ,cos )e BM ϕϕ=-r u u u u r 因而向量是与向量同方向的单位向量。 2||(),BM r e ϕ=u u u u r r 所以即 ||(cos ,sin )(sin ,cos )BM x r y r r ϕϕϕϕϕ=--=-u u u u r (cos sin )()(sin cos ) x r y r ϕϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩解得 是参数。 所以，圆渐开线的参数方程为⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数） 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 x y r E D M A O B

高中数学选修4-4坐标系与参数方程-高考真题演练

x COS , 〔13〔2021全国卷III 〕在平面直角坐标系xOy中，O O的参数方程为〔为参数〕， y sin 过点0, .2且倾斜角为的直线I与O O交于A , B两点. 〔1〕求的取值范围； 〔2〕求AB中点P的轨迹的参数方程. x 2cos 0, 1C 2〕〔2021全国卷11〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y 4sin 0〔0为参 X 1 t COS a , 数〕，直线l的参数方程为y 2 tsi n a〔t为参数〕 〔1〕求C和I的直角坐标方程； 〔2〕假设曲线C截直线|所得线段的中点坐标为〔1,2〕，求|的斜率. 1〔3〕〔2021全国卷I〕在直角坐标系中,曲线.的方程为W +，,以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线一的极坐标方程为 p~ + —3 = 0 〔1〕求一的直角坐标方程 〔2〕假设•与一有且仅有三个公共点，求的方程 x cos 〔13〔2021全国卷III 〕在平面直角坐标系xOy中，O O的参数方程为〔为参数〕， y sin 过点0, 2且倾斜角为的直线I与O O交于A , B两点. 〔1〕求的取值范围；

〔2〕求AB中点P的轨迹的参数方程.

-代入④得x 2 y 2 、,2y 0•当点P(0,0)时满足方程 y 1 k 2 X 2 y 2 ,2y 0,. AB 中点的P 的轨迹方程是x 2 y 2 2y 0,即 2 (逅 \2 x (y ) 2 1 ，由图可知， 2 A( 2 , 2 , B (迈 ■ 2x 冲 )，那么 2 辽y 0,故 2 2 2 x cos 点P 的参数方程为 2 〔为参数， 〕. 42 42 sin 2 2 x 2cos 0, 1〔2〕〔2021全国卷II 〕在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 y 4sin 0 〔 0为参数〕 X 1 t cos a , 直线l 的参数方程为 c » . 〔 t 为参数〕. y 2 tsin a 〔1〕求C 和I 的直角坐标方程； 〔2〕假设曲线C 截直线I 所得线段的中点坐标为〔1,2〕，求|的斜率. 解：〔1〕；：O 的参数方程为 X cos .；0的普通方程为x y 1 ,当 90时， y sin 直线：I : x 0与：• ；O 有两个交点，当 90时，设直线l 的方程为y xta n 2，由 直线I 与二;O 有两个交点有 |0 0 ,.2| 1，得 tan 1,. tan 1 或 tan 1,. .1 tan 2 45 90 或 90 135，综上 (45 ,135 ). 〔2〕点P 坐标为(x,y)，当 90时，点P 坐标为(0,0)，当 90时，设直线 I 的方程为y kx 2 , A(X i ,yJ,B(X 2,y 2),二 2 y kx 1① ,2② X 2 (kx ,2)2 1 , 整理得(1 k 2)x 2 2 . 2kx 1 0 x 1 X 2 y i y 2 2.2 2 ， 1 k 迈k 1 k 2

选修4_4坐标系和参数方程_知识点总结

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用下,点(,) P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极 如下图,在平面内取一个定点 轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系那么不可.但极坐标系和平面直角坐标 系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如下图: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题

坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲

一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλϕ的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x 、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ⎩ ⎨⎧ ρ2＝x 2＋ y 2， tan θ＝y x （x ≠0）. ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ

高中文科数学第十二章 坐标系与参数方程(选修4-4)

第十二章⎪ ⎪ ⎪ 坐标系与参数方程(选修4－4) 第一节 坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)， 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). 4．常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ<2π)． (2)圆心为⎝⎛⎭ ⎫r ，π 2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)；θ＝α和θ＝π＋α. (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π 2. (5)过点⎝⎛⎭ ⎫a ，π 2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a (0<θ<π)．

高考数学解答题【选修4—4坐标系与参数方程】专题专练32题含解析

高考数学解答题【选修4—4：坐标系与参数方程】专题专练一．【选修4—4：坐标系与参数方程】真题篇 真题1.（2016江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知直 线l的参数方程为 x1 1 t 2 x cos, （t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数）.设直线3 y 2sin y t 2 l与椭圆C订交于A，B两点，求线段AB的长. 真题2.（2016全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ. （I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （II）直线C 的极坐标方程为θ=α，此中α满足tanα C1 与C 2 的公 3 0 0 0 =2，若曲线共点都在C3上，求a. 真题3.（2016全国Ⅱ卷）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x 6)2 y2 25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是x tcos （t为参数）, l与C交于A,B两点，y tsin |AB| 10，求l 的斜率． 真题 4. （2016 全国Ⅲ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1 的参数方程为 x 3cos (为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲 y sin 线C2 的极坐标方程为sin( ) 22. 4 （I）写出C1的一般方程和C2 的直角坐标方程； （II ）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 真题5.（2015全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，直线C1: x= 2，圆C2：