实数及其运算
实数及其运算是基本数学概念之一。它指的是用来表示标准数学
定义下的实数的数字和它们的运算。实数在数学界被定义为无穷的离
散的，有理的或者无理的数集合。实数通常包括所有的Rational numbers（有理数）以及Irrational numbers（无理数）。
实数及其运算可以使用加、减、乘、除和指数运算（求幂）组成。加法是两个实数或多个实数之和，即a+b=c (a, b, c 都是实数)。减
法是两个实数或多个实数之差，即a−b=c (a, b, c 都是实数)。乘
法是两个实数或多个实数的乘积，即a×b=c (a,b,c 都是实数)。除
法是两个实数或多个实数的商，即a÷b=c (a, b, c 都是实数)。指
数运算是实数的求幂，即a^b=c (a, b, c 都是实数)。
实数还可以能使用反函数来进行运算。例如，对于正弦函数，你
可以使用arcsin(x)去计算x的反函数。同样的，你可以使用
arctan(x)去计算tan(x)的反函数。
在图形学中，可以使用实数及其运算来分析图像，确定曲线的方程，以及计算结果。例如，你可以使用几何学的定义，例如直线，圆
圈和抛物线，来确定图像中的几何形状，以及它们的运算。
实数及其运算也可以定义不同的函数，例如正弦函数，余弦函数，正切函数，和其他函数。例如，你可以使用它们来确定某个曲线的函
数表示，以及如何根据函数值求出该曲线上特定点的坐标。
实数及其运算在数学和工程领域都有重要的应用，它们可以用来
计算给定参数的函数值，解决方程，以及用各种数学模型来分析数据。它们也可用来分析各种统计学模型，并能够得出准确的结论。
实数及其运算 实数及其运算是基本数学概念之一。它指的是用来表示标准数学 定义下的实数的数字和它们的运算。实数在数学界被定义为无穷的离 散的，有理的或者无理的数集合。实数通常包括所有的Rational numbers（有理数）以及Irrational numbers（无理数）。 实数及其运算可以使用加、减、乘、除和指数运算（求幂）组成。加法是两个实数或多个实数之和，即a+b=c (a, b, c 都是实数)。减 法是两个实数或多个实数之差，即a−b=c (a, b, c 都是实数)。乘 法是两个实数或多个实数的乘积，即a×b=c (a,b,c 都是实数)。除 法是两个实数或多个实数的商，即a÷b=c (a, b, c 都是实数)。指 数运算是实数的求幂，即a^b=c (a, b, c 都是实数)。 实数还可以能使用反函数来进行运算。例如，对于正弦函数，你 可以使用arcsin(x)去计算x的反函数。同样的，你可以使用 arctan(x)去计算tan(x)的反函数。 在图形学中，可以使用实数及其运算来分析图像，确定曲线的方程，以及计算结果。例如，你可以使用几何学的定义，例如直线，圆 圈和抛物线，来确定图像中的几何形状，以及它们的运算。 实数及其运算也可以定义不同的函数，例如正弦函数，余弦函数，正切函数，和其他函数。例如，你可以使用它们来确定某个曲线的函 数表示，以及如何根据函数值求出该曲线上特定点的坐标。 实数及其运算在数学和工程领域都有重要的应用，它们可以用来 计算给定参数的函数值，解决方程，以及用各种数学模型来分析数据。它们也可用来分析各种统计学模型，并能够得出准确的结论。
???????实数???????????正整数整数零负整数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数?????????????有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数第1讲 实数的概念及运算 1. 实数的概念(分类) (1)按定义分类： (2)按正、负分类：实数还可以分为：正实数、0、负实数． 2. 实数的表示 (1)“数”的方面：用字母表示实数，如实数a 等． (2)“形”的方面：用数轴上的点表示实数． (3)数轴的三要素：原点，正方向和单位长度． (4)数轴上的点与实数一一对应． 3. 实数大小的比较 “数”的方面：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； “形与数结合”的方面： 两个正数，绝对值大的较大； 两个负数，绝对值大的反而小； “形”的方面：从数轴上看，数轴上右边的点表示的实数大于左边的点所表示的实数． 4. 实数的运算 (1)在实数范围内加、减、乘、除、乘方运算都可以进行(规定：除数不能为0；01(0)a a =≠；1(0)p p a a a -=≠)； (2)正数可以开任何次方，负数不能开偶次方. (3)有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算； (4)进行实数的运算，需做好“三确定”：一是确定运算顺序，二是确定结果的符号，三是确定结果的绝对值. 5.两实数的关系 (1)相反数 ①定义：实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零. ②从“数”的角度：a b 、互为相反数0a b ?+=
③从“形”的角度：在数轴上表示相反数的两点与原点对称. ④从“形数结合”角度：由0a b +=得a b =-，即直线y x =-上的点横、纵坐标互为相反数，以互为相反数作为点的横、纵坐标，所组成的图形为直线y x =-． (2)倒数 ①定义：乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数. ②从“数”的角度：111;,.ab a a b b -=== ③从“形”的角度：面积为1的矩形的长和宽的关系． ④从“形数结合”角度：函数1y x =图像上的点横、纵坐标的关系；过函数1y x =图像上的点向x 轴y 轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴所围矩形的面积． 6. 平方根与立方根 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 如：4=± ②任何一个实数都有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立 2= 4=- 7.实数的绝对值与非负性 (1)绝对值. ①定义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0． ②从“数”的角度：(0)||0(0)(0)a a a a a a >??==??-
实数的运算与性质 实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数。在数学运算中，实数的性质和运算法则是我们必须了解和掌握的基础知识。本文将详细介绍实数的四则运算以及它们的性质，帮助读者更好地理解实数的运算规则和特性。 一、实数的加法运算 实数的加法运算是指将两个实数相加的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的和记作a + b。实数的加法运算满足以下性质： 1. 交换律：对于任意两个实数a和b，a + b = b + a。 2. 结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。 3. 零元素：对于任意实数a，存在一个实数0，使得a + 0 = a。 4. 负元素：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。 二、实数的减法运算 实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的差记作a - b。实数的减法运算可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。因此，实数的减法运算也满足交换律、结合律、零元素和负元素的性质。 三、实数的乘法运算
实数的乘法运算是指将两个实数相乘的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的积记作a * b或ab。实数的乘法运算满足以下性质： 1. 交换律：对于任意两个实数a和b，a * b = b * a。 2. 结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。 3. 单位元素：对于任意实数a，存在一个实数1，使得a * 1 = a。 4. 零元素：存在一个实数0，使得对于任意实数a，a * 0 = 0。 四、实数的除法运算 实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的商记作a / b。实数的除法运算满足以下性质： 1. 除法定义：对于任意两个实数a和b，b不等于0，a / b表示将a 乘以b的倒数。即a / b = a * (1 / b)。 2. 相反数的除法：对于任意实数a和b，a / (-b) = (-a) / b = -(a / b)，其中b不等于0。 实数的除法运算在计算机中需要特别注意，因为除法运算中存在除以0的错误，需要进行异常处理。 五、实数的运算性质 除了上述的运算法则外，实数还具有一系列的运算性质：
实数的运算法则 实数是我们在日常生活和数学中常常使用的数，它包含了所有的有 理数和无理数。在实数的运算过程中，我们需要遵守一定的法则和规则。本文将详细介绍实数的运算法则。 一、实数的加法法则 实数的加法法则是指在进行实数相加时需要遵守的规则。具体如下： 1. 结合律：对于任意的实数a、b和c，满足(a+b)+c=a+(b+c)。也就 是说，实数相加的结果与加法顺序无关。 2. 交换律：对于任意的实数a和b，满足a+b=b+a。也就是说，实 数相加的结果与加法顺序无关。 3. 零元素：对于任意的实数a，满足a+0=0+a=a。其中0表示实数 中的零元素，它加上任意的实数不改变该实数的值。 4. 负元素：对于任意的实数a，存在一个实数-b，满足a+(-b)=0。 其中-b表示实数a的负元素，它与a相加的和为零。 二、实数的减法法则 实数的减法法则是指在进行实数相减时需要遵守的规则。具体如下： 1. 减法定义：对于任意的实数a和b，实数a减去实数b等于实数a 加上实数-b，即a-b=a+(-b)。
2. 减法与加法的关系：减法可以转化为加法，即a-b可以改写为 a+(-b)进行运算。 三、实数的乘法法则 实数的乘法法则是指在进行实数相乘时需要遵守的规则。具体如下： 1. 结合律：对于任意的实数a、b和c，满足(a*b)*c=a*(b*c)。也就 是说，实数相乘的结果与乘法顺序无关。 2. 交换律：对于任意的实数a和b，满足a*b=b*a。也就是说，实 数相乘的结果与乘法顺序无关。 3. 单位元素：对于任意的实数a，满足a*1=1*a=a。其中1表示实 数中的单位元素，它乘以任意的实数不改变该实数的值。 4. 零元素：对于任意的实数a，满足a*0=0*a=0。其中0表示实数 中的零元素，它与任意的实数相乘的结果都为零。 四、实数的除法法则 实数的除法法则是指在进行实数相除时需要遵守的规则。具体如下： 1. 除法定义：对于任意的实数a和非零实数b，实数a除以实数b 等于实数a乘以实数1/b，即a/b=a*(1/b)。 2. 除法与乘法的关系：除法可以转化为乘法，即a/b可以改写为 a*(1/b)进行运算。 3. 非零除法：任意的实数a除以非零实数b不等于零，即a/b≠0。
实数的性质与运算 1. 引言 实数是数学中的重要概念，它包括正数、负数和零。实数具有一些 独特的性质和运算规则，本文将探讨实数的性质和运算，并说明其在 数学和现实世界中的应用和意义。 2. 实数的基本性质 实数具有以下基本性质： - 实数具有可比性：给定任意两个实数，可以判断它们的大小关系。 - 实数的传递性：如果实数a大于实数b，实数b大于实数c，则实 数a大于实数c。 - 实数的稠密性：在任意两个不相等的实数之间，存在着无数的实数。 - 实数的有界性：实数集合中存在上界和下界。 3. 实数的运算规则 3.1 加法 实数加法满足以下规则： - 交换律：对于任意实数a和b，a+b=b+a。 - 结合律：对于任意实数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
- 零元素：对于任意实数a，存在元素0，使得a+0=a。 - 负元素：对于任意实数a，存在元素-b，使得a+(-b)=0。 3.2 减法 实数减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。 3.3 乘法 实数乘法满足以下规则： - 交换律：对于任意实数a和b，a×b=b×a。 - 结合律：对于任意实数a、b和c，(a×b)×c=a×(b×c)。 - 单位元素：对于任意实数a，存在元素1，使得a×1=a。 - 倒数元素：对于任意非零实数a，存在元素1/a，使得a×(1/a)=1。 3.4 除法 实数除法是乘法的逆运算，即a/b=a×(1/b)。 4. 实数的应用和意义 实数在数学和现实世界中有广泛的应用和意义： - 实数在代数和几何中用于解方程和证明定理。 - 实数可以表示物理量，如长度、质量和时间等。 - 实数用于经济学、统计学和金融领域的数据分析和决策。
实数的运算规则 实数是数学中一个非常重要的概念，其涵盖了所有有理数和无理数。实数拥有完整的代数结构，包括加法、减法、乘法和除法等运算，同 时也具有一些特殊的运算规则。本文将全面介绍实数的运算规则。 一、实数集合 实数包括有理数和无理数两个部分，有理数为整数、分数和小数， 无理数为不能表示为有限小数或者分数的实数。实数的集合表示为R。 二、加法和减法 实数的加法和减法满足以下性质： 1. 交换律 a+b=b+a a-b=-(b-a) 2. 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (a-b)-c=a-(b+c) 3. 分配律 a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac 4. 存在加法单位元素、加法逆元素
存在零元素0，满足a+0=a 对于任意实数a，都存在一个相反数-b，满足a+b=0 5. 减法和加法具有相同优先级，从左向右进行运算。 例如：a+b-c=a+(b-c) 三、乘法和除法 实数的乘法和除法满足以下性质： 1. 交换律 ab=ba 2. 结合律 (ab)c=a(bc) 3. 分配律 a(b+c)=ab+ac b(c+d)=bc+bd 4. 存在乘法单位元素、乘法逆元素 存在一个单位元素1，满足a*1=a 对于任何实数a，如果a≠0，则存在一个逆元素1/a，满足a(1/a)=1 5. 除法和乘法具有相同优先级，从左向右进行运算。 例如：a/b*c=a/(b*c)
四、其他运算规则 1. 对于任何实数a，a+(-a)=0 2. 对于任何实数a，a*0=0 3. 对于任何实数a，a*1=a 4. 对于任何实数a，a*（1/a）=1，（a≠0） 5. 对于任何实数a、b，如果a>b，则a+c>b+c；a-c>b-c，ac>bc，a/c>b/c（c>0） 在使用实数进行运算时，需要注意遵循以上的运算规则，才能得出正确的结果。在学习实数的过程中，需要注重练习和实践，多做习题来加深对实数运算规则的理解。
实数的运算规律 实数是由有理数和无理数组成的数集，是数学中的重要概念之一。 实数的运算规律是指实数进行加法、减法、乘法和除法运算时遵循的 一些基本规则。下面将详细介绍实数的运算规律。 一、实数的加法规律 1. 加法交换律：对于任意的实数a和b，a + b = b + a。无论实数a 和b的顺序如何，它们的和都是相同的。 2. 加法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。无论是先将a和b相加，再将结果与c相加，还是先将b和c相加，再 将结果与a相加，最终的结果都是相同的。 3. 零元素存在性：对于任意的实数a，a + 0 = a。任何实数与0相加，结果都等于该实数本身。 4. 加法逆元存在性：对于任意的实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。这里的-b就是a的加法逆元，也称为相反数。 二、实数的减法规律 实数的减法可以看作加法的逆运算。对于任意的实数a和b，a - b = a + (-b)。也就是说，a减去b等价于a加上-b。 三、实数的乘法规律 1. 乘法交换律：对于任意的实数a和b，a × b = b × a。无论实数a 和b的顺序如何，它们的乘积都是相同的。
2. 乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)。无论是先将a和b相乘，再将结果与c相乘，还是先将b和c相乘，再 将结果与a相乘，最终的结果都是相同的。 3. 单位元存在性：对于任意的实数a，a × 1 = a。任何实数与1相乘，结果都等于该实数本身。 4. 乘法逆元存在性：对于任意的非零实数a，存在一个实数1/a，使 得a × (1/a) = 1。这里的1/a就是a的乘法逆元，也称为倒数。 四、实数的除法规律 实数的除法可以看作乘法的逆运算。对于任意的实数a和b（b不 为0），a ÷ b = a × (1/b)。也就是说，a除以b等价于a乘以1/b。 综上所述，实数的运算规律包括加法的交换律、结合律，以及零元 素的存在性和加法逆元的存在性；减法的运算规律是加法的逆运算； 乘法的交换律、结合律，以及单位元的存在性和乘法逆元的存在性； 除法的规律是乘法的逆运算。这些规律是实数运算的基础，可以帮助 我们进行准确而高效的计算。
知晓实数的四则运算 在数学中，实数指的是包括所有整数、分数和无理数的数集。实数 的四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。掌握实数的四则运算是进行更高级数学运算和解题的基础。本文 将介绍实数的四则运算规则和相关注意事项。 一、加法运算 实数的加法运算是指将两个实数进行相加。两个正实数相加的结果 仍然是正数，两个负实数相加的结果仍然是负数。若一个正实数和一 个负实数相加，结果的符号取决于绝对值大的数的符号。若两个数的 绝对值相等但符号相反，则其和为零。例如：3 + 5 = 8，-4 + (-2) = -6， 7 + (-7) = 0。 二、减法运算 实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数。减法可以看作是 加法的逆运算。减去一个数等于加上其相反数。例如：5 - 3 = 2，-5 - (- 3) = -2，7 - (-7) = 14。 三、乘法运算 实数的乘法运算是指将两个实数进行相乘。正实数与正实数相乘的 结果仍然是正数，正实数与负实数相乘的结果为负数，两个负实数相 乘的结果为正数。任意一个实数与零相乘的结果都是零。例如：2 × 3 = 6，-2 × 3 = -6，-2 × (-3) = 6，5 × 0 = 0。
四、除法运算 实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数。正实数除以 正实数的结果仍然是正数，正实数除以负实数的结果为负数，负实数 除以负实数的结果为正数。任何一个实数除以零是没有意义的，因为 除数不能为零。例如：6 ÷ 3 = 2，-6 ÷ 3 = -2，-6 ÷ (-3) = 2。 需要注意的是，在实数的四则运算中，乘法和除法的优先级高于加 法和减法。可以使用括号来改变运算的顺序。 综上所述，了解实数的四则运算规则对于数学学习和解题非常重要。通过熟练掌握实数的四则运算，可以更好地理解数学概念和解决实际 问题。
实数及其基本运算 实数是数学中最基本也是最重要的数。实数是一种可数的量， 它可以被用来度量各种不同物体的大小、长度、数量和其他属性。它们也用于各种数学运算，例如加、减、乘、除和幂等运算。在 本文中，我们将探讨实数及其基本运算，以帮助读者更好地理解 这一概念。 实数的定义 实数是由所有有理数和无理数组成的集合。有理数是可表示为 两个整数的比率的数字，而无理数则不能表示为两个整数的比率。例如，π和√2就是无理数，但3和-5是有理数。实数集包括所有 做图和测量中使用的数字，包括小数和整数。 实数和整数之间的关系 整数是实数的一个子集，它包括所有正整数，负整数和零。整 数可以用于数学运算中的加、减、乘和除运算。实数则包括整数 和小数，例如3.5和-2.6。小数可以表示为整数和分数的比率，例 如1/2或3/4，或者是无限循环的小数，例如1/3或π。
实数的性质 实数具有许多重要的性质。它们是可交换和可结合的，这意味着它们可以按任意顺序进行数学运算。它们还是可分配的，这意味着两个数的乘积可以分别加、减去，并且两个数的和或差的积相等。实数集还有一个重要的性质就是密度性，这意味着在任意两个实数之间，我们总能够找到另一个实数。 实数的基本运算 实数具有许多基本的运算，包括加、减、乘和除。这些运算可以用于解决各种数学问题，例如计算周长、面积、体积等。下面是一些基本的实数运算： 加法运算 在实数加法中，两个实数的和是两个实数相加的结果。例如，如果a = 3和b = 5，则a + b = 8.实数加法满足以下性质：
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) - 交换律：a + b = b + a - 存在一个加法单位元素0，使得a + 0 = a - 对于每一个实数a，存在一个加法逆元素-b，使得a + (-b) = 0 减法运算 在实数减法中，两个实数的差是第一个数减去第二个数的结果。例如，如果a = 3和b = 5，则a - b = -2.实数减法满足以下性质： - 减法的定义：a - b = a + (-b) - 减法没有交换律：a - b ≠ b - a 乘法运算 在实数乘法中，两个实数的乘积是两个实数之间的相乘结果。 例如，如果a = 3和b = 5，则a × b = 15.实数乘法满足以下性质： - 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
实数的运算 实数是数学中一种最基本的数的概念，包括有理数和无理数。实数的运算是数 学中重要的基本运算之一，其中包括加法、减法、乘法和除法等操作。本文将介绍实数的运算规则和性质。 加法运算 实数的加法运算是指两个实数相加的操作。对于实数a和b，它们的和记作a + b。加法运算具有以下性质： 1.交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。 2.结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。 3.存在零元素：对于任意实数a，存在0使得a + 0 = a。 4.存在相反元素：对于任意实数a，存在一个实数-b使得a + (-b) = 0。 减法运算 实数的减法运算是指两个实数相减的操作。对于实数a和b，它们的差记作a - b。减法运算具有以下性质： 1.减法的定义：a - b = a + (-b)。 2.减法的运算顺序：减法运算不满足交换律，即a - b ≠ b - a。 乘法运算 实数的乘法运算是指两个实数相乘的操作。对于实数a和b，它们的乘积记作 a * b或ab。乘法运算具有以下性质： 1.交换律：对于任意实数a和b，a * b = b * a。 2.结合律：对于任意实数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。 3.存在单位元素：对于任意实数a，存在1（不等于0）使得a * 1 = a。 4.存在倒数元素：对于任意非零实数a，存在一个实数1/a（a的倒数） 使得a * (1/a) = 1。 除法运算 实数的除法运算是指一个实数除以另一个实数的操作。对于实数a和b（b ≠ 0），它们的商记作a / b。除法运算具有以下性质： 1.除法的定义：a / b = a * (1/b)。 2.除法的运算顺序：除法运算不满足交换律，即a / b ≠ b / a。
实数运算 实数的运算 实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 实数的运算顺序 乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 实数的运算法则 1、加法法则： (1)同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； (2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即： a+b=b+a； ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变；即：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+(-b) 3、乘法法则： (1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 (2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 (3)乘法可使用 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：ab=ba； ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即：(ab)c=a(bc)； ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加,即：a(b+c)=ab+ac。 4、除法法则： (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即a n，正数的任何次幂
Word 文档 1 / 1 数学知识点之实数的运算 数学学问点之实数的运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数〔即正数和0〕还可以进行开方运算。以下是我整理的数学学问点之实数的运算，仅供参考，大家一起来看看吧。 实数的运算 1、运算法则〔加、减、乘、除、乘方、开方〕 2、运算定律〔五个—加法[乘法]交换律、结合律；[乘法对加法的]支配律〕 3、运算顺序：A 、高级运算到低级运算；B 、〔同级运算〕从“左”到“右”〔如5÷×5〕；C 、〔有括号时〕由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例 1、已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如以下图，求证：│x -a│+│x -b│=b -a 。 2、已知：a -b=-2且ab0，〔a≠0，b≠0〕，推断a 、b 的符号。 实数的概念 实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R 表示。R 表示n 维实数空间。实数是不行数的`。实数是实数理论的核心商量对象。 全部实数的集合则可称为实数系〔real number system 〕或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R 表示。由于R 是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列〔可以是循环的，也可以是非循环的〕。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数〔保存小数点后n 位，n 为正整数〕。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
实数的分类与运算 实数是数学中的重要概念，它包括有理数和无理数两大类。本文将对实数进行分类，并介绍实数的运算法则。 一、实数的分类 1. 有理数 有理数是可以表示为两个整数的比值的数。包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。 例如：1，-3，0，1/2，-7/3 等都属于有理数。 2. 无理数 无理数是不能表示为两个整数的比值的数。它们的十进制表示是无限不循环的。 例如：√2，π，e 等都是无理数。 二、实数的运算 1. 加法和减法 实数的加法和减法规则遵循通常的运算法则。 例如，对于实数 a、b、c，有以下公式成立： - 加法交换律：a + b = b + a - 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 减法定义：a - b = a + (-b)，其中 -b 称为 b 的相反数。 2. 乘法和除法 实数的乘法和除法规则也遵循通常的运算法则。 例如，对于实数 a、b、c（其中 b、c 不为零），有以下公式成立：- 乘法交换律：a * b = b * a - 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c) - 除法定义：a / b = a * (1/b)，其中 1/b 称为 b 的倒数。 3. 乘方和开方 实数的乘方运算和开方运算也是实数运算中常见的形式。 例如： - 乘方定义：a的n次方，记作 a^n，表示 a 与自身乘 n 次的乘积。 - 开方定义：如果 b^2 = a，则 b 称为 a 的平方根。开方运算通常用符号√ 表示。 综上所述，实数可分为有理数和无理数两大类，它们都遵循相应的运算法则。在进行实数的加法、减法、乘法、除法、乘方和开方运算时，都需要遵循相应的规则与定义。这些运算法则对于解决各种数学问题和实际应用中的计算非常重要。 实数作为数学中的基本概念，深入了解其分类和运算法则对于学习和应用数学都具有重要意义。通过学习实数的运算，我们可以更好地
实数的运算 实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即 ⎪⎩ ⎪⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab (4)除法 )0(1≠⋅=b b a b a (5)乘方 个 n n a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面． 3．实数的运算律 (1)加法交换律 a+b ＝b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac 其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． 典型题型与习题 一、填空题： 1．我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率π方法的人，他求出π的近似值是3.1416，如果取 3.142是精确到 位，它有 个有效数字，分别是 。 1.5972精确到百分位的近似数是 ；我国的国土面积约为9600000平方干米，用科学计数法表示为 平方干米。 2．按鍵顺序－1·2÷4＝，结果是 。 3．我国1990年的人口出生数为23784659人。保留三个有效数字的近似值是 人。 4．由四舍五入法得到的近似数 3.10×104，它精确到 位。这个近似值的有效数字是 。 5．2的相反数与倒数的和的绝对值等于 。 6．若n 为自然数时(－1)2n+1+(－1)2n = . 7.已知2a －b ＝4, 2(b －2a)2－3(b －2a)＋1＝ 8．已知：｜x|＝4，y 2＝149 且x>0,y<0，则x －y ＝ 。 二、选择题 1． 下列命题中：①几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负；
实数计算的常见类型及方法 精练计算 3-2÷3+-0-3-1+-32-32 解：原式=3-+1-+9-9=3 在算3-2÷3时易算成1÷3=,另外-32与-32是有区别的． 知识规律串讲 一、实数的运算 1加法 同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加； 异号两数相加;取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数; 2减法 a-b=a+-b 3乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即 4除法 5乘方 6开方如果x2＝a且x≥0,那么＝x；如果x3=a,那么 在同一个式于里,先乘方、开方,然后乘、除,最后加、减．有括号时,先算括号里面．3．实数的运算律 1加法交换律 a+b＝b+a 2加法结合律 a+b+c=a+b+c 3乘法交换律 ab＝ba． 4乘法结合律 abc=abc 5分配律 ab+c=ab+ac 其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． 一、加法运算中的方法与技巧 例1 计算： 15－２＋－４.８－－４
２｜－－－＋－｜ 分析：１题的关键是确定运算顺序,有括号的还应先计算括号内的； 2题的关键是求出绝对值符号中式子的值,进而求出整个式子的值．进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用 解15－２＋－４.８－－４ =5－２－４.８+４ =5－7－4.8 =5－2.2=3 2 ｜－－－＋－｜ =｜－+－｜ =｜－－+｜ =|－|= 小结巧用加法的交换律与结合律,以达到简化的目的,同时注意交换加数位置时,一定要连同前面的符号一起移动. 实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；符号相同的数先相加—“同号结合法”；分母相同的数先相加—“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加—“凑整法”；整数与整数,小数与小数相加—“同形结合法”. 二、乘、除运算中的方法与技巧 例2：计算： 14－－÷；２－－３××－１÷－１．
实数的运算 知识定位 本讲，我们是对实数进行综合复习，其中包括实数定义、开方、计算、分数指数幂等。将以前学的有理数扩大到了实数。从数学上看，在实数范围内对任何数施行开方运算都可以畅通无阻。这既满足了实际应用的需要，也解决了数学内部的矛盾。而且，实数的运算使我们之后学习更深内容的基础，是初中数学的基本知识和基本技能的重要组成部分。在中考时难度一般不是很大，但为了后续内容的学习，也不能仅仅了解一下，需要真正理解这部分内容。 知识梳理 知识梳理1：实数定义 有理数和无理数统称实数。也就是说，实数可分为有理数和无理数。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 有理数：有限小数或无限循环小数称为有理数。 有限小数：特征一个最简分数的分母只含有因数2或5。 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数 无限循环小数（纯循环小数和混循环小数）： 知识梳理2：有理数的开方 平方根：如果x 2 = a ( a≥0 )，那么x叫做a的平方根（或二次方根）。数a的平方根记 做 a ±，其中a（即a +）叫做a的算术平方根。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 知识梳理3：实数的运算 实数的六种运算关系： 加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。
实数的运算顺序： 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。去括号的顺序是先去小括号，再去中括号，最后大括号。同一级运算，如果没有括号，可按由左至右的顺序进行。 实数运算律： (1) 加法交换律：a + b = b + a (2) 加法结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) (3) 乘法交换律：ab = ba (4) 乘法结合律：( ab )c = a ( bc ) (5) 乘法分配律：( a + b )c = ac + bc 知识梳理4：分数指数幂 （1）规定10 =a ， n n a a 1= - （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为 n m n m a a =(,,1)m n n >都为正整数） 规定正数a 的负分数指数幂的意义为 n m n m a a 1 = - (,,1)m n n >都为正整数） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. （3）引入了分数指数幂后，整数指数幂就推广到了有理数指数幂。对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即： t s t s a a a +=•，st t s a a =)(，s s s b a ab •=)(， 其中,s t 为有理数，0,0>>b a 。 例题精讲