第2课时实数的性质及运算
【教学目标】
1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；
2、学会比较两个实数的大小；
了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算；
3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。【学难点与重点】
1、难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解
2、重点：实数与数轴上的点一一对应关系
【教学过程】
一、创设情境
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？
1、课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会．
2、你能在数轴上画出坐标是2的点吗？画一画，说说你的方法．
教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
练习：学生自己完成课本第178页练习第1题．
在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数．
类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义．
3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？
二、比一比
1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这个结论在实数范围内也成立。
2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
例1比较下列各组数里两个数的大小
，-6；（3）－2，33
（1）2，1.4；（2）5
.1的大小比较；
分析：像例1(1)，即可以将2，1.4的大小比较转化为2，96
也可以先求出2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。
三、算一算
问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？
答：加、减、乘、除、乘方和开方运算．
接着问：有哪些规定吗？
除法运算中除数不为0,而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以
进行开立方运算．
问：有理数满足哪些运算律？
加法交换律：a十b=b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c＝a（bc）
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
例2计算下列各式的值：
（1）（2＋3）－2；（2）33＋23
例3计算：
（1）5十 (精确到0.01)
（2）33＋232（保留三个有效数字）
（在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算．）
四、练一练
课本上的相应习题
五、课堂小结
六、布置作业
6.3 实数 教学任务分析 教学流程安排
教学过程设计 动
征. [活动2] 通过对数的归纳辨析，教师引出无理数和实数的概念，并引导学生学会对实数如何分类. 问题： 你能对我们学过的数进行合理的分类吗？ 教师引出无理数和实数的概 念， 教师引导学生独立思考：当对 数的认识扩充到实数范围之后，怎 样在实数范围内对学过的数进行分 类整理？教师在参与讨论时启发学 生类比有理数的分类，同时鼓励学 生相互补充、完善，并帮助总结出 实数的分类结构图. ⎩ ⎨ ⎧ 无理数 有理数 实数 实数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ 负无理数 负有理数 负实数 零 正无理数 正有理数 正实数 活动2中，教师应关注： (1)学生对有理数和无理数的 概念以及它们之间的差异与联系的 了解程度； (2)学生在讨论中能否发表自 己的见解，倾听他人的意见，并从 中获益； (3)学生是否能用语言准确地 表达自己的观点. 通过对实数进行分类， 让学生进一步领会分类的 思想，培养学生从多角度思 考问题，为他们以后更好地 学习新知识作准备.同时也 能使学生加深对无理数和 实数的理解. 通过学生互相的讨论 和交流，可以深刻地体验知 识之间的内在联系，初步形 成对实数整体性的认识. [活动3] 通过教师演示和学生活动，建立实数与数轴上的点的一一对应。 问题： 我们知道，每个有理数都可 教师提出问题. 学生独立思考后小组讨论交 流，学生借助2的得出过程进行 探究， 本次活动是从学生已 有的知识水平出发，找到数 轴上2的位置，体会无理 数也可以用数轴上的点来 表示. 借助数轴对无理数进
6.1.1平方根（第一课时）】 知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25 4，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、5 2，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。⑵算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。 三、应用： 例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵6449 ⑶9 71 ⑷0001.0 ⑸0 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；③0的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？ 归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
实数及其性质 一、学生起点分析 实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识。 二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准七年级下册第六章《实数》的第三节。主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。 在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。本节课的教学目标是：1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类； 2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 3．在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。 5．了解数系扩展对人类认识发展的必要性；
教学重点 1．了解实数意义，能对实数进行分类； 2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律； 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：实数概念和分类；第三环节：实数相关概念；第四环节：实数的运算；第五环节：课堂练习；第六环节：归纳小结； 第一环节：复习引入新课 内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？ （2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。 效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。通过举例明确了无理数的表现形式，野味后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。 第二环节：实数概念和分类 内容1：把下列各数分别填入相应的集合内： 3 2，， A B C D ，， 25 - ，2，3 20，5 - ，3 8- ， 9 4，0，0.3737737773…… （相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
第2课时实数的运算 【知识与技能】 1.了解实数范围内的相反数和绝对值的意义,会求一个实数的相反数和绝对值。 2.学会比较两个实数的大小。 3.了解在有理数范围内的运算及运算法则\，运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行实数运算。 【过程与方法】 在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算. 【情感态度】 通过创设情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质。 【教学重点】 有理数的大小比较和运算。 【教学难点】 带有绝对值的有理数的运算. 一、情境导入，初步认识 同学们，我们在七年级的时候学习了有理数相反数，绝对值的概念,那么，这一法则能否推广到实数呢?答案是肯定的，数a的相反数是-a(a表示任意一个实数，一个正实数的绝对值是它
本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0) 教师讲解课本例1 【教学说明】教师可让同学们先计算-6，5。8，2 111 有理数的绝对值与相反数,从而导出实数相反数和绝对值的法则。 二、思考探究，获取新知 【教学导语】在数拓展到实数后,有理数范围内的法则、规律、公式仍然适用于实数范围,请同学们共同回忆,归纳在实数范围内适用的公式，法则. 1。在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大. 2。两个正实数，绝对值较大的值也大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0,负数小于0,正数大于负数. 3。运算律: (1）加法交换律:a+b=b+a 。 （2）加法结合律：（a+b)+c=a+（b+c ）。 （3)乘法交换律:ab=ba. (4)乘法结合律：（ab ）c=a(bc)。 （5)分配律：a （b+c)=ab+ac. 例1比较下列各实数的大小：
第2课时实数的性质及运算 【教学目标】 1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应； 2、学会比较两个实数的大小； 了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算； 3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。【学难点与重点】 1、难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解 2、重点：实数与数轴上的点一一对应关系 【教学过程】 一、创设情境 我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？ 1、课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会． 2、你能在数轴上画出坐标是2的点吗？画一画，说说你的方法． 教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来． 练习：学生自己完成课本第178页练习第1题． 在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数． 类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义． 3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？ 二、比一比 1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这个结论在实数范围内也成立。 2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 例1比较下列各组数里两个数的大小 ，-6；（3）－2，33 （1）2，1.4；（2）5 .1的大小比较； 分析：像例1(1)，即可以将2，1.4的大小比较转化为2，96 也可以先求出2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。 三、算一算 问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？ 答：加、减、乘、除、乘方和开方运算． 接着问：有哪些规定吗？ 除法运算中除数不为0,而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以
6.3 实数 第1课时 实数的概念 一、教学目标 1.理解无理数和实数的概念. 2.会对实数按照一定的标准分类，培养分类能力. 3.知道实数与数轴上的点一一对应. 二、教学重难点 重点 理解无理数和实数的概念. 难点 会对实数按照一定的标准分类，培养分类能力. 重难点解读 1.无理数的特征： （1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数； （2）平方根和立方根的被开方数开方开不尽的数也是无理数； （3）圆周率π及一些含有π的数，如π，2 π，π-3等都是无理数. 2.（1）实数的分类有不同的方法，但同一方法要按同一标准进行分类，做到不重不漏； （2）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后的结果进行分类，不能看到带有根号的数，就认为是无理数. 3.数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数.在数轴上确定表示有理数的点比较容易，而若要在数轴上画出表示无理数的点，则需要先得到无理数的近似值或大致的取值范围. 三、教学过程 活动1 旧知回顾 1.回顾有理数的概念，写出几个有理数，并在数轴上表示出来. 2.下列说法正确的是（ ） A.一个有理数不是正数就是负数 B.一个整数不是正整数就是负整数
C.一个分数不是正分数就是负分数 D.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数这五类数 3.在6.525 2，1 .7 ，406.5 ，3.08，3.141 592 6…，6.323 232…中，有限小数有（ ）个，无限小数有（ ）个，循环小数有（ ）个. 活动2 探究新知 1.教材第53页 内容. 提出问题： （1）什么是无限不循环小数？ （2）什么样的数叫无理数？ （3）无理数有几种表现形式？ （4）实数包括哪些数？如何对实数进行分类？ 2.教材第54页 探究. 活动3 知识归纳 1. 无限不循环小数 叫做无理数， 有理数 和 无理数 统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分： 实数⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数0 （2）按大小分： 实数⎪⎩ ⎪⎨⎧负实数正实数0 3.当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个 点 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 实数 ，与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数 大 .
第六章实数 单元（章）教学计划 1、地位与作用： 本章<实数>是人教版七年级数学下册第六章内容。学习算术平方根，平方根，立方根之后，为学习实数打下基础；由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。因此，本章是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。 2、目标与要求：知识与技能 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；会用计算器求算术平方根；使学生理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。学会平方根的表示法和求非负数的平方根；进一步认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯 过程与方法 通过了解平方与开平方的关系，培养学生逆向思维能力；能对具体情景中的数学信息作出合理的解释和推断、解决问题，能由实际问题抽象成数学问题，让学生讨论、类比提出自己的见解，并在探索的同时较好的获得新知；经历在具体例子中抽象出概念的过程，培养学习的主动性，提高数学运算能力。情感态度与价值观 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 3、重点与难点： 重点：算术平方根、平方根、立方根的概念和运算；实数的认识。难点：算术平方根与平方根联系与区别；有理数与无理数的区别。 4、教法与学法： 教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法. 5、活动步骤： 一、创设导入；二、探索归纳；三、应用；四、练习；五、课堂总结； 六、布置作业； 6、时间安排： 6.1平方根3课时 6.2立方根1课时 6.3实数2课时 复习与小结2课时
6.3 实数 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义. 2.知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算. 3.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题. 【过程与方法】 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 【情感态度与价值观】 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 1. 会求实数的相反数和绝对值； 2.会进行实数的加减法运算. 【教学难点】 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 教师问：什么是相反数？
学生答：只有符号不同的两个数,其中一个数是另一个数的相反数. 教师问：什么是绝对值，怎么表示呢？ 学生答：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值, 用︱a︱表示. 教师问：什么是倒数呢？ 学生答：如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 . 教师问：请大家讨论一下，无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ （二）探索新知 1.出示课件4-5，探究实数的性质 教师出示问题：你能解答下列问题吗？ （1）√2的相反数是______ ，-π的相反数是______，0 的相反数是______； （2）|√2|＝________，|−π|＝_______，|0|＝_______． 教师依次展示学生答案： 学生1答：（1）√2的相反数是_-√2___ ，-π的相反数是_π__，0 的相反数是__0____； 学生2答：（2）|√2|＝___√2__，|−π|＝__π _，|0|＝__0__． 教师问：结合有理数相反数和绝对值的意义，你能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗？ 学生答：数 a 的相反数是-a . 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0． |a|={a，当a>0时； 0，当a=0时； −a,当a＜0时. 考点1：实数性质的应用 （1）分别写出−√6，π-3.14的相反数； （2）指出−√5，1-√3 3分别是什么数的相反数； （3）求√−64 3的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是√3，求这个数．（出示课件6）师生共同讨论解答如下： 教师依次展示学生答案：
① 了解无理数和实数的概念以及实数的分类； ② 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 过程与方法： 在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数 的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实 数与数轴上的点是一一对应的关系。 情感态度与价值观： ① 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用； ② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。 教学重点： ① 了解无理数和实数的概念； ② 对实数进行分类。 教学难点：对无理数的认识。 【教学过程】 一、复习引入无理数： 利用计算器把下列有理数9 5 ,119,847,53,3-写成小数的形式，它们有什么特 征？ 发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即：5.09 5,18.0119,875.5847,6.053,0.33 ===-=-= 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。 通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。 比如33,5,2-等都是无理数。14159265.3=π…也是无理数。 二、实数及其分类： 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
⎪ ⎩数） 无理数（无限不循环小按照正负分类如下： 实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨ ⎧负无理数负有理数负实数零负无理数正有理数正实数 3、实数与数轴上点的关系： 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？ 活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。 活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长 度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 2，与负半轴的交点就是2-。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理 数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。 归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 ②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 三、应用： 例1、下列实数中，无理数有哪些？ 2，172，37.0 -，14.3，35，0，⋅⋅⋅11121211211121.10，π，2)4(-。 解：无理数有：2，35，π
第六章 6.3实数 知识点1:无理数 1.定义:无限不循环小数叫做无理数. 2.表现形式:(1)开方开不尽得到的数如: 、等; (2)含有π的式子; (3)有规律但不循环的无限小数,如:0.101 001 000 1…; 注意:对于实数的分类,不能只看形式,并非所有带根号的数都是无理数,应严格按照有理数和无理数的定义来判定,如为有理数. 知识点2:实数的概念 (1)定义:有理数和无理数统称实数.例如:-6,,,0.4,π等都是实数. (2)实数的分类 总结：(1)实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义一样,如果a表示任意一个实数,那么-a 就是a的相反数,即a与-a互为相反数,例如:的相反数是 -,的相反数是-.另外,规定0的相反数仍然是0; (2)实数的绝对值的意义与有理数的绝对值的意义一样,一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,用字母表示为:对于任意实数a,有|a|= 知识点3:实数与数轴 1.对应关系:实数与数轴上的点一一对应. 2.与有理数相同,数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 总结：(1)利用数轴可以比较实数的大小,在数轴上,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大; (2)正实数大于0,负实数小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数比较大小,绝对值大的反而小.
知识点4:实数的性质 在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 知识点5:实数的运算 (1)实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,混合运算的顺序是先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减,同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号的要先算括号里的;(2)加法交换 律:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);乘法交换律:ab=ba;乘法结合律:(ab)c=a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.总之有理数的一切运算法则适用于实数的运算. 考点1：实数概念的应用 【例1】下列各数:-5,3.7,,,,-π,,0.3,-,0.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1) 哪些是有理数?哪些是无理数?哪些是正实数?哪些是负实数? 解:有理数有:-5,3.7,,,0.3,-; 无理数有:,-π,,0.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1); 正实数有:3.7,,,0.3,,,0.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1); 负实数有:-5,-,-π. 考点2:实数的大小比较 【例2】比较2,,的大小,正确的是( ) A.2<< B.2<< C.<2< D.<<2 答案:C
第六章实数 一、课标要求 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的方根、算术平方根、立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计数器求平方根、立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 6.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下不仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。 二、课时划分 6.1：平方根 3课时 6.2：立方根 2课时 6.3：实数 2课时 三、课时教学设计 平方根（1） 教学目标： 知识与技能： 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 过程与方法： 通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观： 通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符
号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：1、了解数的算术平方根的概念。 2、会求一个非负数的算术平方根。 3、会用根号表示一个数的算术平方根。 教学难点： 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学过程 一、创设情境导入新课 请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？ 这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 二、合作交流解读探究 1、提出问题： 1）、学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴。他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 2)、面积为16、9、4的正方形的边长分别是多少？ 3)、上述两个问题的实质是什么？ 4)、阅读课本P40页,并回答下列问题 （1）如果一个________的______等于a，即a =，那么_________就叫做______的算术平方根 （2）正数a的算术平方根表示，读作__ ____规定：0的算术平方根为0。 （3）因为()2=100，所以100的算术平方根是_______，即__________； （4）仿照（3）格式探求下列各数的算术平方根：0.0025；121；32；0.0001 （5）求算术平方根的运算与求平方运算有什么关系？
第2课时实数的运算法则 实数的运算法则． 重点 掌握实数的运算法则． 难点 实数运算法则的正确应用． 一、创设情境，引入新课 师：有理数的运算法则是什么？ 生：先算高级运算，同级运算从左至右，遇有括号的先算括号内． 二、讲授新课 师：很好．有理数运算法则仍适用于实数，请大家看几个题目： 展示课件： 【例1】计算下列各式的值： (1)(3＋2)－2；(2)33＋2 3. 学生活动：尝试独立完成，两名学生上黑板板演，其余学生在位上做． 教师活动：巡视、指导． 师生共同完成： (1)(3＋2)－2＝3＋(2－2)(加法结合律) ＝3＋0 ＝ 3 (2)33＋2 3 ＝(3＋2) 3 分配律 ＝5 3 师：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例2】计算(结果保留小数点后两位)： (1)5＋π；(2)3· 2. 学生尝试独立计算，一学生上黑板板演． 教师巡视、纠正． 师生共同完成： (1)5＋π ≈2.236＋3.142 ≈5.38 (2)3· 2 ≈1.732×1.414 ≈2.45 三、随堂练习 课本第56页第4题，第57页第4、5、6题．
四、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并经历实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过学生互相交流合作，得出两个化简的公式，培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验，充分调动、发挥学生主动性的多样化学习方式，促进学生在老师指导下主动地、富有个性地学习．
实数 一、教学目标 知识与技能 1、了解无理数和实数的概念. 2、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。 3. 知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小。 教学重点：正确理解实数的概念。 教学难点：知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小。 教学方法：引导、探究、归纳 二、教学过程： 环节一、复习引入： 1、2，3 5，0.1，－3.14，π，1.137，0，18，1918，－12，0.1010010001，∙3.0…中，正整数有 ，负整数有 ，整数有 正分数有 ，负分数有 ， 有理数有 。 2、用计算器计算2= ，35= 。 环节二、新课： 1、无限不循环小数叫做无理数。 2、有理数和无理数统称为实数。 3、实数与数轴上的点一一对应。 例：把下列各数在数轴上表示：－2，0，2，2，3 1- 概括：数轴上的点与实数是 的。也就是说，数轴上的任一点必定表示一个 数 （包括 数和 数）；反过来，每一个实数（ 数和 数）也都可以用数轴上的点来表示。 环节三、分层练习 A 组 1、2，3 5，0.1，－3.14，π，1.137，0，18，1918，－12，0.1010010001，∙3.0…中，有理数有 ，无理数有 ， 实数有 。 2、填空
3.判断下列说法是否正确，不对的请举例说明。 无限小数都是无理数。（ ）举例： 带根号的数都是无理数。（ ）举例： 实数都是有理数。（ ） 举例： 实数都是无理数。（ ）举例： 有理数都是实数（ ）举例： 两个有理数相加结果仍是有理数。（ ）举例： 两个无理数相加结果仍是无理数。（ ）举例： 两个实数相加结果仍是实数。（ ）举例： 两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数。（ ）举例： 任意一个无理数的绝对值是正数. （ ）举例： 4、1）试估计23+与π的大小关系． 2）比较下列各组数中两个实数的大小： （1）2332和; （2）3 27π--和
第六章实数 6.1 平方根 (1) 课时1 算术平方根 (1) 课时2 用计算器求一个正数的算术平方根 (5) 课时3 平方根 (8) 6.2 立方根 (12) 6.3 实数 (16) 课时1 实数及其分类 (16) 课时2 实数的运算 (19) 6.1 平方根 课时1 算术平方根 【教学目标】 1. 了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性. 2. 了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根. 3. 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣. 【教学重点】 理解算术平方根的概念. 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 【新课导入】 教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果. 问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2. 问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69. 对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式. 由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5.
02=0,故平方为0的数为0. 22=4,(-2)=4，故平方为4的数为2或-2. 问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少? 分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm. 【教学过程】 教师归纳出新定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,记作a,读作“根号a”，a叫作被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 例1求下列各数的算术平方根. 分析：正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,负数没有算术平方根.
课题：6.3 实数 教学目标： 1.了解无理数和实数的概念． 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想. 3.会求实数的相反数与绝对值，会对实数进行简单的运算. 重点： 1.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 2.知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，并会进行简单的运算. 难点： 1.对无理数的认识. 2.认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。 教学流程： 一、情境引入 问题1：有理数包括整数和分数，你能将下列分数写成小数的形式吗？你能将整数写成小数的形式吗？ 3，5327119 254911 - ，，，，． 解：5 2.5 2 =， 3 0.6, 5 -=- 27 6.75 4 =， 11 1.2 9 =， 9 0.81 11 =，3＝3.0 问题2：你有什么发现？ 问题3：我们学过的数是否都可以化为有限小数或无限循环小数吗？请举例说明. 1.4143 21； 2.236067 - ＝ 1.259921 ＝； 1.442249 ＝-；π 3.14159265 ＝；0000000000 1.1111⋅⋅⋅⋅⋅⋅(两个1之间依次多一个0) 概念：无限不循环小数叫无理数． 无理数三种形态：开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数 无理数分为：正无理数；负无理数
二、探究1 归纳：有理数和无理数统称实数. 按定义分类： 0⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪ ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩ 正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按大小分类： ⎧⎧⎪⎨ ⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨ ⎪⎩⎩ 正有理数 正实数 正无理数实数 负有理数 负实数 负无理数 练习1： 把下列各数分别填入相应的集合内： 15,42π- 答案： 三、探究2 问题1：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 追问1：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ，点O ' 对应的数是多少？
蒙阴四中教师教案
在工薮的运算中,当遇到无埋数并且需要求出结黑的近似值时, 可认根据所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数, 再进彳亍计算. 如E计算〔假设果保存小数点后两位〕：A笈j X- V2 在十*二：」36十3.142%538 j 72 1 732 X1.414 « 2.45 三、课堂练习 1 .实数分为〔〕 A,整数和分数 B.有理数和无理 数 C.正数和负数 D.无限循环小数和无限不循环小数 2 .与数轴上的点 ----- 对应的是 〔〕 A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3 .在数轴上到原点距离为J2的点表小的数是〔〕 A . ± 2 B.,2 C. -V2 D .、2 或-"2 4 .以下各式错误的选项是〔〕 A . 33 > 炎 B . — <2 > - V3 C. V2 <1.5 D. ^3 <1.7 5.0.00048的算术平方根在〔 〕 A . 0.0002~0.0003 之间 B. 0.002~0.003 之间 C . 0.02-0.03 之间 D. 0.2~0.3 之间 6. 、；5是无限不循环小数,由整数局部和小数局部组成,它的整 数局部是〔〕 教师布置课堂限时练习,检测教学效果,之后师生订正答案,并根据解题情况进行针对性的评析 通过学生独立完成练习,检验学生的学习效果,并提升学生的解题水平,及时进行教学反应 达标检测稳固提升
A . 2 B . 3 C . 4 D. 5 7. %：2003的整数局部是() A . 43 B . 44 C . 45 D. 46 8 .计算器面板上区J键所表示的 含义是( ) A . y的x次方 B. x的y 次万 C. y的x次方根 D. x的y 次方根 9 .在- 1.732, <2 ,兀,3.14, 10 14： 2 + J3 , 3.212212221 •••, 这些数中,无理数的个数为() A . 5 B . 2 C . 3 D. 4 10.以下各式中,没有意义的是 ( ) A . (-2)2 B. (-3)4 C . 3-4 D. 3.14-二 11 .72 = 1.414, \/20 = 4.472,贝U M 2000 等于( ) A. 14.14 B, 141.4 C. 44.72 D. 447.2 12 . 1 -炎的相反数是, 绝对值是. 13 .把2a写成一个数的平方的形式是. 14 .假设一个数的平方根是2m 4 和2 - 5m ,那么它的立方根是 15 .计算以下各式的值： (1) 5 3 5
第1课时 实 数 【学习目标】 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根； 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根； 3、体会一个数的立方根的惟一性， 分清一个数的立方根与平方根的区别。 【学习重点和难点】 1.学习重点：立方根的概念和求法。 2.学习难点：立方根与平方根的区别。 【学习过程】 一、自主探究 1、填空：（有理数的分类） 2、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， ， ， ， ， 二、探究新知 1、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数 观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数，也是无理数 结论： _______和_______统称为实数 你能举出一些无理数吗？ 2、试一试 把实数分类 像有理数一样，无理数也有正负之分。 是____无理数，， 是____无理数。 由于非 0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 35-47891111959 3.14159265 π=ππ-
3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ （1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 从图中可以看出OO ′的长时这个圆的周长______，点O ′的坐标是_______ 这样，无理数 可以用数轴上的点表示出来 （2） 总结: ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________ 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数 ②与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______ ③当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？ 总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______ 第2课时 实数的性质及运算 【学习目标】 1、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。 2、会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算。 【学习重点和难点】 1.学习重点：在实数内会求一个数的相反数、倒数、绝对值。 2.学习难点：简单的无理数计算。 【学习过程】 一、自主探究 ㈠ 学前准备 1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3、有理数的混合运算顺序 ㈡自主探索 独立阅读，自习教材 总结 当数从有理数扩充到实数以后， a a