科目：数学设计人：耿巧菊审核： 编号：201407017班级： 学生姓名：
课题：13. 1平方根、 算术平方根（1）
（第1课时）
教学目标：
1、掌握平方根、算术平方根的概念和表示方法；
2、掌握开平方的概念，知道平方和开平方互为逆运算；
3、理解平方根的性质。
4、 平方根和算术平方根之间的联系和区别
重难点: 平方根、算术平方根的概念理解和运用。 教学资源：（多媒体课件等） 板书设计：（可略） 一、 课前预习
1. 平方根的概念：
。
2. 开平方：把求一个数a 的 的运算,叫做开平方,•而
运算与
运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以
求一个数的 。
（1）平方根的表示方法：若x 2=a,则x 为a 的平方根,记为x=± ，
读作 .
（2）如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3=± 。
例如：当x 2=1时,x= ；当x 2=16时,则x= ,当x 2=36时,x= ；
当x 2=49时,x= ；当x 2=4
25
,则x= ，依次可记为±
1= ，
±16= ，±36= ，±49= ，±
4
25
= 。 算术平方根的概
念： 。 3.表示方法：a 的算术平方根记为 ，读作“ ”，a 叫被开方数。
备注（修改意见）：
4.若2x =a (x ≥0)，则 x =a ；由于a ≥0，则a 0。
5.平方根的性质：看P 74思考并填空
6.平方根与算术平方根的区别与联系
二、课中活动 1、交流展示. 核对预习答案
2、活动构建
1．求下列各数的算术平方根： （1）100； (2)1； (3)64
49
； (4)0.0001
2.练习:求下列各数的平方根并写出各数的算术平方根.
(1)100 (2)49
36
(3)0.25
3．求下列各式的值,并说出各式分别表示什么？ (1) 144 (2)-81
.0 (3)±
196
121
三、课后延伸
1．81的算术平方根是___，81的值是____，81的算术平方根是______
2、下列各式表示什么意思？并求出它们的值。
（1）1 （2）-
25
9
（3）22 （4）±81.0 能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． = 。 3．25表示 ，25= ，
25
9
表示 ，49=
4.9的平方根是 ，16的平方根是 ，81的平方根是 。
（5）2511
1
课后反思：学生学习算术平方根还可以，但是学习平方根后就是非不分了，要多加训练
6.3.1实数 教材来源：七年级《数学》教科书/人民教育出版社 2011年版 内容来源：初中七年级《数学（下册）》第六章 主题：实数 课时：第一课时 授课对象：七年级学生 主备人：余耀霞 单位：巩义市小关镇第一初级中学 目标确定的依据 1、课程标准相关要求 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 2、教材分析 本节课是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围。在中学阶段，大多数问题是在实数的范围内研究的，它也是进一步二次根式、一元二次方程以及函数等知识的基础。因此，让学生正确而深刻地理解实数是非常重要的。无理数的引入，数系的扩展充满着对立和统一的辩证关系及分类思想，所以这节课不仅仅是完善学生的知识结构，而且还是培养学生想象能力，渗透数学思想，感受数美的有效载体，也是发展学生逻辑思维能力的重要内容。 3、学情分析 新的《课程标准》对学生掌握实数要求不高,但实数的知识却贯穿中学数学始终,所以我们只能逐步加深学生对实数的认识。在学习本节课前,学生已掌握平方根、立方根同时也初步接触过等具体的无理数。无理数的概念比较抽象,特别是无理数在数轴上的表示、实数与数轴上的一一对应关系都需要一个渐进的理解过程。要让学生充分讨论与思考,归纳与总结,历经知识发展与运用。 4、学习目标
1、自学课本，能说出无理数和实数的概念,会判断一个实数是有理数还是无理 数。 2、同桌两人讨论，根据有理数与无理数的概念准确地进行实数的分类。 3、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。 5、学习重难点 重点: 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 难点:对无理数的认识。 评价任务 1、通过“探究新知”环节知道有理数和无理数的概念，并知道常见的无理数有 哪些。（目标1） 2、通过“实数分类”环节，会对实数进行分类。（目标2） 3、通过“合作探究”环节，知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。 （目标3）教学过程
第六章实数 教材简析 本章的内容包括：平方根、立方根、实数． 在学习了有理数的基础上,加强与实际的联系,从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数,即无理数,开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比,数的范围由有理数扩充到实数,与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用． 在中考中,本章的考点有平方根、立方根的定义及运算,实数的运算及大小比较等,考查基本概念及基本计算． 教学指导 【本章重点】 平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算． 【本章难点】 对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】 1．体会分类的数学思想,如：对实数进行分类． 2．掌握分类讨论思想,如：由于一个正数的平方根有两个,且这两个数互为相反数,因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论． 3．掌握转化思想,如：学习了平方根和立方根后,运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解． 4．体会数形结合思想,如：数的范围由有理数扩充到实数,实数与数轴上的点建立了一一对应关系,这样可以通过观察“形”的特点,解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划 6．1平方根3课时 6．2立方根1课时 6．3实数1课时 6．1 平方根 第1课时算术平方根 教学目标 一、基本目标
【知识与技能】 1．了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根． 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 【过程与方法】 加强概念形成过程的教学,提高学生的思维水平,鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神． 【情感态度与价值观】 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣． 二、重难点目标 【教学重点】 算术平方根的概念． 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根． 教学过程 环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】 阅读教材P40的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2＝a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a ”,a 叫做被开方数. 2．规定：0的算术平方根是0. 3．算术平方根具有双重非负性：(1)a ≥0；(2)a ≥0. 4．求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)0.25； (3)23. 解：(1)9. (2)0.5. (3)23. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)0.36； (3)21 4 ； (4)412－402. 【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？
序号：13 第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、教材目标 本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 二、教学重难点 重点：认识二次根式和最简二次根式的概念。 难点：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。 三、教学过程 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 第二环节：探究性质 （一）内容：通过探究得出b a b a ?= ?，b a b a =． 具体过程如下： （1）94?＝ ，94?＝ ； 2516?＝ ，2516?＝ ； 94 ＝ ，94＝ ； 25 16＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算： 76?＝ ，76?＝ ；76 ＝ ，7 6＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 第三环节：知识巩固 例1 化简（1）6481?；（2）625?；（3）9 5。 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？ 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 例2.化简：（1）45；（2）27；（3）31 ；（4）98；（5）16 125． 问题：（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断7 14是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。 说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号． 练习： 1.下列平方根中, 已经简化的是（ ） A. 3 1 B. 20 C. 2 2 D. 121 2.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。 =（ ） ； = ③=（ ）； =你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并说明n 的取值范围？ 第五环节：课堂小结 本节课主要内容： （1）掌握并会运用公式：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． （2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结． 四、教学反思 （一）关注类比，提出重点 本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
初三总复习第一讲实数的有关概念及运算
第一讲 实数的有关概念及运算 知识点：1.有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值； 2.有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、 近似数与有效数字。 教学目标： 1. 使学生复习巩固有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义； 2. 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小； 3. 会画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小； 4. 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算； 5. 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算； 6. 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 教学重难点： 1．有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值的概念；2．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题；3．实数的运算和近似数、有效数字、科学计算法。 教学过程： 1、实数的有关概念：
考点1 实数的分类： 1）按定义分类： ?????? ?? ????????????????????????????? ????? 无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零 正整数整数有理数实数 2）按正负分类： ????? ? ?? ? ??????????? ???????? ?负无理数负分数负整数负有理数负实数零正无理数正分数 正整数 正有理数正实数实数 注意：1）任何分数都是有理数，如22/7，－3/11等； 2）0既不是正数，也不是负数，但0是自然数； 3）常见的几种无理数： ①根号型：2，8等开不尽方的； ②构造型：如1.323223…； ③与π有关的，如π/3，π－1等。 考点2 实数的有关概念： 1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。(画数轴时，要注 童上述规定的三要素缺一个不可) 注意：①实数与数轴上的点是一一对应的； ②数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。 2）相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零。 注意：① 若a 、b 互为相反数，则0=+b a ，n n b a 22=（n 为正整数）， b a =； ② 相反数等于它本身的数是零；
《实数》教学设计（第一课时） 一、教学目标 【知识与技能目标】 1、了解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类。 2、理解实数与数轴上的点一一对应关系，会根据实数在数轴上的位置比较大小。 【过程与方法目标】 1、通过对实数分类的研究、增强学生的分类意识。 2.通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，让学生进一步体会数形结合的思想。 【情感态度目标】 1、通过对实数的分类练习、让学生体会分类的思想方法。 2、在探究数轴上表示点的过程，培养学生团结合作的精神。 【教学重点】 1、理解实数，能对实数进行分类。 2、理解数轴上点与实数是一一对应的关系。 【教学难点】 对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。 二、教学过程 （一）创设情境，导入新课 活动一 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类。 活动二 大家知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 、 、 、 、 学生以小组为单位，用笔和计算器去计算，得出结果总结规律。教师进一步引导学生思考，整数是否可以看成小数的形式？例如：3 教师归纳总结：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,如 等。 引导学生反向探讨:任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ 2553 427911119
小结：任何一个有限小数和一个无限循环小数都可以化成分数，所以任何一个有限小数和一个无限循环小数都是有理数。 （二）思考探究，获取新知 活动三 让学生计算下面几个数的平方根和立方根，发现结果有什么特点。 ，，， 学生发现，这些运算的结果是无限小数并且还不循环，这种数属于哪一类？引出 无理数的概念。 (1)试着写出几个无理数。 (2)判断下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 由学生小组合作完成上述问题后，要求学生思考: 1、用根号形式表示的数一定是无理数吗? 2、如何把实数分类？ 教师归纳总结：注意带根号的数，判断它是不是无理数的方法。初中阶段还有一个特殊数，它也是无理数。 师生共同研究实数的不同种分类: 小结：指导学生认识两种分类方式的异同,并特别强调“0”在表中的位置，考虑问题时不能忘记特殊数——0. 继续指导学生探究:每个有理数都可以用数轴上的点表示,无理数是否也可以用数轴上的点表示呢? 活动四 （1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？ 311-37312-∏
《实数指数幂及其运算》教学设计 ◆教学目标 （1）理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；提升学生的数学抽象素养； （2）了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.提升学生的直观想象素养． （3）掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简计算，提升学生的数学运算素养． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质． 教学难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解． ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 一、整体概览 问题1：阅读课本第2页，回答下列问题： （1）本章将要研究哪类问题？ （2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？ （3）本章研究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容. 预设的答案：（1）本章将要研究指数函数、对数函数、幂函数这三类基本初等函数的性质与图像.（2）本章是继上一章学习函数及其性质的基础上继续深入学习的一部分，是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生获得较为系统的函数知识，并初步了解函数的一般方法，培养函数应用的意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感
性上升到理性，因此，这一章起到了承前启后的重要作用.（3）起点是分数指数幂和根式的概念，目标是通过研究分数指数幂和根式使学生对指数函数及对数函数等基本初等函数的图像及其性质有更加理性的认知，对掌握基础的数学语言有不可或缺的作用. 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 二、问题导入 问题2：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%. 你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？ 师生活动：考虑到学生可能对平均增长率不太熟悉，在课堂上可以先不要求进行相关计算，但是用利用本节将要学习的内容解决相关问题.相关的计算和预测数据等，在本节最后将会呈现. 设计意图：从学生熟悉的现实生活中常见的但又不知如何解决此类问题的情境导入，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣. 引语：为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解.（板书：实数指数幂及其运算） 【新知探究】 1．把初中学过的知识作为实例，感知指数幂，分析出有理指数幂的概念，并逐步引到实数指数幂的研究上. 初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32， 30= 师生活动：问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？ 一般地，a n 中的a 称为底数，n 称为指数①． ==- 53153
6.3 实数（第一课时） 教学设计 太和县三塔镇中心学校 张杰 教学目标 1.了解无理数和实数的概念 及实数的分类； 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，初步体会“数形结合”的数学思想. 3.通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用。 教学重点 了解无理数和实数的概念；知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 教学难点 对无理数的认识 教学方法 讲授法 教学用具 多媒体 问题与情境 师生活动 设计意图 一、复习引入无理数： 通过课前学生的动手操作提出问题：怎样将两个面积是1的正方形通过裁剪拼成一个大正方形吗？大正方形的边长是多少？和小正方形的对角线有什么关系？ 无限不循环小数叫做无理数。 让学生通过理解，举出无理数的例子。 =1.41421356237309504880... 0.1010010001000010000010000001..... 问题1：把下列有理数9 5 ,119,847,53,3-写成小数的形式，它们有什么特征？即： 学生动手操作，直观的从几何图形上感受 的大小，进而提出 具体是多大？是什么样的小数？ 结合所学的知识，让学生联想有没有其他类型的小数，教师引导，学生观 察，进而发现特点给出无理数概念， 并总结无理数的特征。 形象直观的让 学生感受新知识的形成，激发学生的学习兴趣。 让学生回忆曾经学过的无限不循环小数不同于有理数，为教师引导出无理数的概念做准备。 ......26489793238461415926535.3=π222
5.09 5,18.0119,875.5847,6.053,0.33 ===-=- = 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。 二、实数及其分类： 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类： 按照定义分类如下： 实数 ⎪ ⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨ ⎧数）无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数整数 有理数 按照正负分类如下： 实数⎪⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨ ⎧负无理数负有理数负实数零负无理数 正有理数 正实数 二、实数与数轴上的点的一一对应关系： 问题：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来吗？ 多媒体展示活动1、活动2 通过小学的分数与小数互化， 让学生观察此组数据的特征，教师引导学生进行总结，即有限小数和无限循环小数是有理数。 教师启发学生类比有理数的分类，明 确分类的基本原则，学生独立思考后 进行分类。 （教师通过PPT 展示实数的分类方法） 活动1：把直径为1个单位长度的圆放在数轴上从原点向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π. 由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。 通过学生的交流可以加深对无理 数和实数实数的理解，初步形成对实数的整体认识。 让学生体会类比的思想，感受数系的扩充。 通过具体操作，让学生知道无 理数也可以在数轴上表示。
6.3实数（1） 1.(2014·湘潭)下列各数中是无理数的是() A.2 B.-2 C.0 D. 1 3 2.(2013·安顺)下列各数中， 3.14159，-38，0.131131113…，-π，25，- 理数的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列说法正确的是() A.实数包括有理数、无理数和零 B.有理数包括正有理数和负有理数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数 4.若a为实数，则下列式子中一定是负数的是() 1 7，无 A.-a2 B.-(a+1)2 C.-a2 D.-(a2+1) 5.如图,在数轴上表示实数15的点可能是() A.点P B.点Q C.点M D.点N 6.有一个数值转换器,原理如下：当输入的x为64时,输出的y是() A.8 B.8 C.12 D.18 7.若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 __________. 8.如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O′,点O′所对应的数值是__________.
9.有六个数：0.1427，(-0.5)3，3.1416， 22 7，-2π，0.1020020002…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值. 10.小明知道了2是无理数,那么在数轴上是否能找到距原点距离为2的点呢？小颖在数轴上用尺规作图的方法作出了在数轴上到原点距离等于2的点,如图.小颖作图说明了什么？ 参考答案 1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B 7.78.π 9.由题意得无理数有2个,所以x=2；整数有0个,所以y=0,非负数有4个,所以z=4,所以x+y+z=2+0+4=6. 10.①每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,也就是数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数；②到原点距离等于某一个数的实数有两个.
高一数学知识点第一章 第一节：实数的概念与表示法 高一数学的第一章内容主要是关于实数的概念与表示法。实数 是数学中最基本的数集，包括了整数、有理数和无理数。下面我 们将依次介绍这些数的概念与表示法。 1. 整数 整数是正整数、负整数和零的总称。用数轴来表示整数，正整 数位于数轴的右侧，负整数位于数轴的左侧，零位于数轴的原点。 2. 有理数 有理数是可以表示为两个整数的比值的数。有理数包括整数和 分数两种形式，例如3，-2，1/2等。有理数可以表示为分数的形式，也可以表示为小数的形式。 3. 无理数 无理数是不能表示为两个整数的比值的数。无理数包括无限不 循环小数和无限循环小数两种形式，例如根号2，圆周率π等。
第二节：实数的运算 实数的四则运算是高一数学中必须掌握的基础知识。下面我们 来介绍实数的运算规则： 1. 加法与减法 实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c， 有(a+b)+c=a+(b+c)。实数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。 2. 乘法与除法 实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c， 有(a*b)*c=a*(b*c)。实数的除法可以转化为乘法，即a÷b=a*(1/b)。 3. 幂运算与开方运算 实数的幂运算是将一个实数自乘若干次，开方运算是求一个实 数的平方根、立方根等。幂运算与开方运算是实数运算中常见的 特殊运算。
第三节：实数的性质 实数有许多重要的性质，下面我们来介绍几个常见的实数性质： 1. 有序性 实数具有有序性，即任意两个实数都可以进行大小比较。对于 任意实数a和b，有且只有以下三种关系：a>b，a=b或a 11.2实数 教学内容：华东师大版八年级上册11.2实数（第1课时） 教学目标：1.了解实数的意义，能对实数进行分类； 2.让学生通过和有理数性质类比，探索实数的性质； 3.通过类比的方法探索发现实数性质的过程，培养学生类比联想的能力，以及观察、分析、发现问题的能力； 4.积极参加教学活动，对数学产生探求新知的欲望，增加学数学的兴趣。 教学重难点： 重点：实数的意义； 难点：无理数的概念、实数和数轴上的点一一对应的关系。 教学过程： 一、 复习引入，创设情境 师：在一个美丽的村庄里，生活着一群快乐的精灵，大家看看这些精灵你们都认识吗？ 出示PPT(2、3、5、100、1000、14、23、17、0.1、0.11、0.10101……) 师：大家可以看到这个村庄里都是一些可爱的数字精灵~你们知道，他们都是些什么数呢？ 生：有整数、分数、小数 师：大家已经知道，分数可以化为小数，或者无线循环小数，而整数和分数统称为？ 生：有理数。 师：所以，这个村长就叫做“有理数村”。（PPT 显示“有理数村”） 师：有一天村庄外又来了一群数字精灵（PPT 展示√2、√3、√5、π、√53，对话框：可以让我们住进你们的村庄吗？）有理数村的精灵们认真观察着这些数字，发现它们和自己有相似之处，又有些不一样。这时村长站了出来说：“他们不是我们有理数村的精灵！比如这里面的√2，跟我们村里面的√4、√9不同，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，√2不是一个有理数！这里是有理数村，你们不属于这里，请回吧！”这时数字精灵√2站了出来，说：“是的，我和我的小伙伴都是同一类精灵，我们都不是有理数，但是我们跟你们有理数一样，都属于实数，我们没有住处了，请大家收留我们吧！”村长说：“你们也是实数？（考虑中……）让你们住进来也不是不可以，但是要让我们对你们有所了解！”√2马上说：“太感谢了，那么你们先来了解我吧，就 “立方根”（第一课时）教学设计 吴玉秋（辽宁省大连市格致中学） 一、内容和内容解析 1．内容 10.2立方根（第一课时） 2．内容解析 数是数学最基本的研究对象，人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的.关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，七年级上学期学生经历了从自然数和分数到有理数的扩充，本章在有理数的基础上，通过研究平方、立方运算的逆运算引入了新的运算——开平方和开立方运算，以及开方运算产生的新数——无理数，将数的范围扩充到实数. 本章主要内容是算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算.本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法.“立方根”是这一章的第二节，是在学生了解了算术平方根、平方根的概念和求法之后，对方根的进一步研究.学习立方根的意义在于：（1）它有着广泛应用，因为空间形体都是三维的，有关体积的计算经常涉及开立方.（2）立方根是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一样，立方根对进一步研究奇次方根的性质具有典型代表意义. 本节课是“立方根”的第一课时，其核心是立方根的概念、求法和特征，主要涉及三个重要的问题，一是如何给“立方根”下定义，“平方根”与“立方根”是同一邻近属概念（方根）下不同的种概念，学生虽然已经了解了平方根的概念，但是让学生再次经历“方根”概念的形成过程，明晰类似的定义方式，有助于学生形成数学思维方式.二是通过立方运算求一个数的立方根，体会转化这一数学思想在求一个数方根中的作用.三是通过求一些数的立方根，归纳概括立方根的特征.由于本章前两节“平方根”“立方根”在内容上基本是平行的，知识的展开顺序基本相同，因此可以充分利用类比的方法：类比平方根概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系等，通过类比旧知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移. 教学重点：立方根的概念、求法和特征． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根； （2）了解立方与开立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，体会转化思想； （3）通过求一些数的立方根，归纳立方根的特征； （4）体会类比的方法在研究同一邻近属概念（方根）下不同的种概念上的作用. 2．目标解析 （1）通过已知体积求棱长这一典型问题，认识到这是一个已知一个数的立方，求这个数是几的问题，从而抽象出立方根、开立方等概念； （2）类比平方运算与开平方运算的互逆关系，探讨立方运算与开立方运算的互逆关系；利用立方与开立方的互逆关系求数的立方根，体会转化思想，并形成开立方运算的经验. （3）通过一个探究问题：分析正数、负数和0的立方根的特点，进而归纳得出立方根的特征.通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，由此将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. （4）由于“平方根”“立方根”在内容上基本是平行的，因此学习本节课可以充分利用类比的方法. 三、教学问题诊断分析 概念的形成实质上可以概括为两个阶段：从完整的表象上升为抽象的规定；使抽象的规定通过思维过程具体化.要掌握数学知识，必须从掌握有关的数学概念开始，学生虽然已了解平方根的概念，但由于是第一次接触方根，并且七年级的学生尚处于感性认识向理性认识的过渡期，很难从本质上理解其含义，因此，教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析生活实际中的实例，在学生具有了充分的感性认识的基础上引入概念. 求一个数的立方根需要转化为立方运算，这两种运算的互逆过程对七年级的学生来说，理解并且会用 第6章实数 6.1.1 第1课时平方根知识点 1 平方根的概念 1.因为52=25,(-5)2=25,所以25的平方根是;因为±1 22=1 4 ,所以1 4 的平方根是. 2.“36的平方根是±6”,用数学式子表示为() A.√36=±6 B.±√36=±6 C.√36=6 D.-√36=-6 3.[2020·南京] 3的平方根是() A.9 B.√3 C.-√3 D.±√3 4.求下列各数的平方根: (1)16;(2)16 25 ; (3)(-0.5)2;(4)0.49. 知识点 2 平方根的性质 5.下列各数中,没有平方根的是() A.48 B.0 C.-3 D.-2 3 2 6.下列判断正确的是() A.0.25的平方根是0.5 B.-7是-49的平方根 C.只有正数才有平方根 D.a2的平方根为±a 7.若某个正数的一个平方根是-5,则它的另一个平方根是. 8.[2019·亳州利辛县期末]若x-2有平方根,则x的取值范围是. 9.[2019·合肥肥东县期末]如果一个数的两个平方根分别是a+1与2a-13,那么这个数是. 10.若5x n y2与3x4y m的和是单项式,则2m+3n的平方根为() A.4 B.8 C.±4 D.±8 11.[2019·合肥期末]已知正数x的平方根是±√7,则x=. 12.求下列各式中x的值: (1)4x2=25;(2)(x+1)2=36. 13.已知2x-y的平方根为±3,-4是3x+y的一个平方根,求x-y的平方根. 14.已知a,b是正数m的两个平方根,且4a+3b=7,求a+3b+m+1的平方根. 15.已知正数x的两个平方根分别是2m-b和m+b. (1)求m的值; (2)若(2m-b)2x+(m+b)2x=18,求x和b的值. 第二章 实 数 1 认识无理数(第1课时) 学习目标 1.通过拼图活动，感受客观世界中无理数的存在.(难点) 2.能判断三角形的某边长是否为有理数. 3.会判断一个数是否为有理数.(重点) 自主学习 学习任务一 认识无理数的存在 1.如图1所示，边长为1的两个正方形M ，N 可以分割成四个全等的等腰直角三角形，它们又可以拼凑成一个更大的正方形ABCD .(还有其他方法，鼓励学生探究) 图1 (1)大正方形的面积是 . (2)设大正方形的边长是x ，则x 2＝ ，x 在 和 之间(填整数). 结论：a 既 整数，也 分数，即a 有理数. 学习任务二 判断一个数是否为有理数 思考：如图2，(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 . (2)设该正方形的边长为b ，b 满足 . (3)b 是有理数吗？ 图2 合作探究 例1 在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高，如图3，若AC ＝10，BC ＝8. (1)求以AD 的长为边长的正方形的面积； (2)判断AD 是否为有理数，并说明理由. 例2你会在如图4所示的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试. 图4 当堂达标 1.在直角三角形中两条直角边长分别为2和3，则斜边的长() A.是有理数 B.不是有理数 C.不确定 D.为4 2.下列面积的正方形，边长不是有理数的是() A.16 B.25 C.8 D.4 3.如图5，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C 4.在如图6 (1)长度是有理数的线段l1； (2)长度不是有理数的线段l2. 课后提升Array在如图7所示的正方形网格中画出四个三角形. (1)三边长都是有理数. (2)只有两边长是有理数. (3)只有一边长是有理数. (4)三边长都不是有理数. 反思感悟 我的收获： 我的易错点： 5.1 第1课时 二次根式的概念及性质 一、选择题 1．下列各式中，是二次根式的为( ) A.3 9 B ．－0.36 C. － 1100 D.a －1(a ＜1) 2．若式子m －3有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m ≥0 D ．m ≤0 3．使x －3有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≤3 B ．x ＜3 C ．x ≥3 D ．x ＞3 4．若－（1－a ）2有意义，则满足条件的a 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．无论x 取何值，下列各式中一定有意义的是( ) A.x 2－1 B.x ＋1 C.|x | D. 1x 2 6．当x 的取值范围为x ≥2时，下列各式有意义的是( ) A.x －2 x －2 B. 1 x －2 C.x －2 D.2－x 7．若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( ) A ．x ≥12 B ．x ≤1 2 C ．x ＝1 2 D ．x ≠12 8．计算(－11)2＋（－13）2的结果是( ) A ．－2 B ．－24 C ．2 D ．24 9．若a 2＝3，则a 的值是( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．9 10．如果|a |－a ＝0，那么a 2的值为( ) A ．－a B ．0 C ．a D ．±a 11．若1＜x ＜2，则|x －3|＋（x －1）2的值为( ) A ．2x －4 B ．－2 C ．4－2x D ．2 二、填空题 12．使式子m －3有意义的最小整数m 的值是________． 13．计算：(－3)2＝________． 14．若代数式x ＋2＋3－x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________. 15．已知实数a 在数轴上的对应点的位置如图1所示，则化简|a －1|＋a 2的结果是________． 图1 16．若实数a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，则a 2 b 的值为________． 17．已知x ，y 均为实数，且y ＝x 2－9－9－x 2＋4，则x －y ＝________． 三、解答题 18．计算：(1)⎝⎛ ⎭⎫792 ； (2)⎝⎛⎭⎫252； (3)（－5）22. 算术平方根 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能． 学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书人教版七年级(下)第六章《实数》的第一节《平方根》．本节内容计3个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下： ①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质． ②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识． ③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲． 三、教学过程设计 本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置． 本节课教学流程为： 第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一 拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22 =a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若 a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习． 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完 成填空： =2x ，=2y ，=2z ， =2w ． 目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算 术平方根的必要性． 效果：能表示22=x ，32 =y ，42 =z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值． 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二． 第二环节：初步探究 内容1：情境引出新概念 22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性． 效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方． 说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？” 内容2：在上面思考的基础上，明晰概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”， 读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=． 目的：对算术平方根概念的认识． 效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容3：简单运用 巩固概念 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) 64 49 ； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生 问题 情境 初步探究 反馈练习 学习小结 作业布置 深入探究 第1课时 有理数 一、【教学目标】 1.掌握有理数的分类，理解有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数等五个重要概念； 2.能正确比较两个数的大小，会求一个数的绝对值、倒数、相反数； 3.掌握科学记数法； 4.能运用有理数的运算法则和运算定律，进行有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方以及混合运算. 二、【重点难点】 重点：求一个数的绝对值、倒数、相反数，有理数的运算（包括运算法则、运算定律、运算顺序、混合运算等），科学计数法. 难点：绝对值的应用，混合运算. 三、【主要考点】 （一）、有理数的分类 0⎧⎧⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数 整数负整数 有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨ ⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数 （二）、有理数的有关概念 1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 2.相反数：数a 的相反数是-a .，0的相反数是0 3.倒数：数a 的倒数是 a 1 （a ≠0）. 4.绝对值：数a 的绝对值记作| a |，| a |=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 5.乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，记作a n . 6.科学记数法：一般形式为：a ×10n （ 1≤| a | <10，n 为整数）. （三）、有理数的运算 1.有理数的运算有：加法、减法、乘法、除法、乘方以及混合运算等. 2.有理数的运算律有：加法交换律、加法结合律、法交换律、乘法结合律、乘法分配律. 3.有理数运算法则：（加法法则）：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加,仍得这个数．（减法法则）：减去一个数,等于加上这个数的相反数．运用此法则时注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．（乘法的法则）：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；（除法的法则）：两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除，0没有倒数,乘积为1的两个数互为倒数. 4.有理数四则运算顺序：先乘方,再乘除,最后加减；同级运算从左到右按顺序运算；若有括号,先小再中最后大,依次计算． （四）、有理数的大小比较 1.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； 2.正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数； 3.两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 第二章实数 7 二次根式 第1课时 一、教学目标 1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式. 2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性. 4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识. 二、教学重难点 重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式化简为最简二次根式. 难点：对二次根式的性质的探究. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 四、教学过程设计 (1)如图①的画框为正方形，若面积为8 dm2,则边长为____dm；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图②长方形的土地，若宽是长的3 5 ， 面积为13 m2，则它的长为_____m． 预设答案：(1)8；s；(2)65 3 . 教师活动：注意：a 可以是数，也可以是式. 二次根式的两个必备特征： ①外貌特征：含有“ ”； ②内在特征：被开方数a ≥0. 【做一做】 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ ()()23 (1)18(2)9(3)0.2(4)0(5)(6)1(7)7.m m xy x y x --+异号；；；≤； ，；； 分析： 答案： 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x 2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 2.(1) 使二次根式2m - 在实数范围内有意义的m 的取值范围是__________. 解：由m -2≥0，得m ≥2. 当m ≥2时，2m - 在实数范围内有意义. 答案：m ≥2. 总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. (2) 使式子12-a 在实数范围内有意义的a 的取值范围是_______. 解：由 a -1≥0，得a ≥1. 又∵1a - 为分母，10a -≠ ∴ ∵ a -1≠0 ，即 a ≠111.2实数第一课时优秀教学设计
10.2立方根(第一课时)
2020-2021学年初中数学沪科版七年级下册同步课时训练：6.1.1 第1课时 平方根
北师大版初中数学八年级(上)2-1 认识无理数(第1课时)(学案+练习)
湘教版数学八年级上册_课时作业：第1课时_二次根式的概念及性质
2022秋八年级数学上册 第4章 实数4.1 平方根 1算术平方根教案苏科版
第1课时 有理数
北师大版八年级数学上册《二次根式》第1课时示范课教学设计
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