数学学科教案设计（首页）
班级: 课时：2 授课时间:
课题：§A.2实数的基本运算目的要求：
巩固复习实数的运算法则与运算律、指数的运算法则及根式的运算性质, 进一步掌握实、指数与根式的基本运算方法.
重点难点：
教学重点是巩固理解实数、指数与根式的运算法则与性质，掌握实数与指数的基本运算方法与技巧.
教学难点是理解指数的运算法则及平方根式的运算性质，掌握指数与平方根式的运算方法与技巧.
教学方法及教具：
采用复习法、练习法与讨论法相结合完成教学，多媒体设备辅助教学.
教学反思:
作业或思考题:
⑴读书部分：复习教材中§A.2;
（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第184-186页中强化练习1
数学学科教案设计（副页）
(―17 )中(十35 )=+(35-17 )=18 .
3 •一个数与0相加，结果仍是这个数.
例如：当a=0, b 为任意实数时，a + b=b .
说明：（1）正数与负数相加时，可以互相抵消，也 可以部分抵消;
（2）两数相加的和，可能小于其中的某一个加数.
（二）实数加法的运算律 加法的交换律：a+b=b+a ;
加法的结合律：（a +b ） +c =a +（b +c ）. （三）实数的加法步骤 第一步：确定和的符号; 第二步：求各数和的绝对值;
第三步：确定两个数的绝对值的和或差. 实数的减法
~L- - ■ -ir ~ ~
（一）实数减法的意义
已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的 运算就是减法运算，即减法是加法的逆运算.
（二）实数的减法法则
教学过程 教师 活动 学生
活动
设计 意图 *知识回顾理论升华 实数的加法 （一）实数的加法法则 1 .同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 例如：(410 )+(49 )=+(10 +9 )=19，
(,4)+( 45 )= -(34 +45 )= -79 . 2 •异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并 用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个 数相加得0. 例如：(-21 )+(+13 )= —(21 —13 )=丿,
质疑
引导 总结 回忆
回答
记忆
通过对 于实数 的基本 运算知 识的复 习，帮 助学生 理解实 数基本 运算的 运算法
则与运 算律， 有助于 知识的 巩固与 运用.
教学 时间
20—
分钟
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教学过程
减去一个数，等于加上这个数的相反数•这个法则用式子表示成：a-b=a+（-b）.
说明：减法没有交换律.
（三）实数的减法运算步骤
第一步减去一个数，变成加上这个数的相反数;
第二步按照加法运算的步骤去做.
实数的乘法
（一）实数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘,
任何数与0相乘都得0 .
（二）实数乘法的运算律
交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.即
ab
=ba .
结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把
后两个数相乘，积不变•即
(ab)c
=a(bc).
分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数
分别同两数相乘，再把积相加•即
a(b +c) =ab
+ac .
（三）实数的乘法运算步骤
第一步是确定积的符号；第二步是求出积的绝对
值.
说明：（1）几个实数相乘，只要有一个数为
则乘积为0 ；
（2）几个不为零的实数相乘，积的符号由负因数
的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数
的个数为偶数个时，积为正.
实数的除法.
（一）除法法则
法则1:除以一个数等于乘上这个数的倒数，即教师
活动
质疑
引导
总结
学生
活动
回忆
回答
记忆
设计
意图
通过对于
实数的基
本运算知
识的复习，
帮助学生
理解实数
基本运算
的运算法
则与运算
律，有助
于知识的
巩固与运
用.
教学
时间
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教学过程
法则2:两数相除，同号得正，异号得负，并把绝
对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0 .
（二）实数除法的运算步骤
第一步：确定商的符号；第二步：求出商的绝对值.
实数的乘方
（一）乘方的意义
求n个相同因数的积的运算叫做乘方.
1.正整数指数幕
a[a]■叮a =3“（ n是正整数）.这里a叫做底，n叫n个
做指数，乘方的结果叫做幕.读作a的n次方或a的n次
幂.
零指数幕
=1(^0V
3. 负整数指数幕
a』=〒（a K0, n为正整数）.
a
说明：（1）当幕的指数是1时通常不写，例如: 只需
写成
底数是分数或负数时，要用括号把底数括起
来.例如: (■2)4
和
-a与（-a） n的意义完全不同，-a n表示
相反数，（-a）n表示n个-a相乘.
（二）科学计数法
a n的
将一个数写成aX10n（1 Wa|<:10, n为整数）的形式,
这种记数法叫做科学计数法.
把一个大于10的数时，n等于原数的整数位数减1;
当这个数是纯小数时，n等于第一个不为零的数前面的
0的个数加1的相反数. 教师
活动
质疑
引导
总结
学生
活动
回忆
回答
记忆
设计
意图
通过对指
数的知识
的复习，
帮助学生
理解指数
的概念、
运算法则
及科学计
数法，有
助于知识
的巩固与
运用.
教学
时间
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教学过程教师
活动
学生
活动
设计
意图
教学
时间
（三）乘方的运算法则
a m Ua n m
申=a
y m ,n
(a ) =a mn；(a 则
（其中a工0, bHO, m, n为整数）
实数的开方
（一）平方根
1 .平方根的概念
如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方
根（或二次方根）.也就是说，如果X2=a，那么x就叫
质疑回忆
做a的平方根.用符号“苗”表示, a叫做被开方数,
引导回答根指数是2.
2 .正数、零、负数的平方根
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的
平方根叫做算术平方根；
零的平方根只有一个，仍是零;
负数没有平方根（因为任何数的平方不可能为负总结记忆
通过对于
根式知识
的复习，
帮助学生
理解平方
根与立方
根的概念、
性质，有
助于知识
的巩固与
运用.
数）.
3 .平方根的性质
(1) (•T a y =a
(a >0);
証 >0 (a >0);
当a CO时，j a，茁,±7a皆无意义.
（二）立方根
1 .立方根的概念
如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根（或三次方根）.用符号“需”表示，a叫做被开方数，根指数是3.
2.立方根的性质 数学学科教案设计(副页)
教学过程 教师 活动 学生 活动
设计 意图
教学 时间
(1)任何数都有立方根，且只有一个立方根;
(2)正数的立方根是正数，负数的立方根是负数, 0的立方根是0 . *巩固知识精选例题
6计算下列各式的值： 2 f 5).
———;
3 I 6丿 4亠2 F —. 27 9
(1)2_[_5〕=2+5=4+5—9_3 3^6丿 366662
5 / 1 y
(2)——X 1.8x!7_ =
6 V 3丿
(3)丄子2 一土 x?=
27 9 27 2 3 评注：①分数与分数相乘，带分数应先化成假分
例题
质疑
思考
(1) 解:
数，相乘前应注意约分; 5 f 1
(2) __ X 1.8U-
6
5 9 < 4、C
―x_x I __ 丨=2 ; 6 5 I 3丿 2 ② 小数和小数相乘，可以把小数化为分数再相乘; ③带分数参加除法运算时，先化成假分数便于约 分.一般来说，能整除的情况下，在确定商的符号后, 直接除；在不能整除的情况下，配合分数的约分求出结 果. 例题7 计算下列各式的值:
4
(2) -2 ;
分析
讲解 质疑 回答
掌握
思考
分析 回答
解：(1) (£
)4
= (£)X(—3)X(—3)X(—3) =81;
4
(2) -2 =-(2咒2^2咒2) =—16 ; (3^--
I 3丿
讲解 掌握
通过综 合习题 题型的 讲解， 进一步 掌握实 数加、 减、乘、 除
混合 运算的 常规方 法与技 巧
通过综 合习题 题型的 讲解， 进一步 掌
握指 数运算 的常规 方法与 技巧.
30
分钟
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教学过程
例题8用科学计数法表示下列各数:
(1)436700000;
(2^0.0003102.
解：(1) 436700000 =4.367X10 ；
(2) 4
4.0003102 =<.102x10- 例题9求下列各数的平方根:
(1) 49
；
f 2
⑵门丿
解
：
(1)因为(±7)2 =49，
所以49的平方根是±7,即±屁=±7 ;
（2）因为
.3丿
瑋 2 2 3
的平方根是±2，即
3 VV 3 丿例题10求下列各数的立方根:
(1) 343
；(2)
0.729 ；
教师
活动
质疑
分析
讲解
质疑
分析
讲解
质疑
学生
活动
思考
回答
掌握
思考
回答
掌握
思考
(3) —2 理.
27
解：(1)因为73 =343 ,
所以343的立方根是7,即卩阪3 =7 ；
3
(2)因为0.9 =0.729 ,
所以0.729的立方根是0.9，即如0.729 =0.9 ；
一64 一2 垃
27 27
所以的立方根是-4，即卜齐-4分析
讲解
回答
掌握
设计
意图
通过综
合习题
题型的
讲解，
进一步
掌握科
学计数
法的方
法与技
巧.
通过综合
习题题型
的讲解，
进一步掌
握平方根
的运算的
常规方法
与技巧.
通过综合
习题题型
的讲解，
进一步掌
握立方根
的运算的
常规方法
与技巧.
教学
时间
教学过程教师
活动
学生
活动
设计
意图
教学
时间
例题11求下列各式中的X值:
3
(1) (x+3) +27 =0 ；
(2) 4x2 -9 =0 .
解：(1 ) (X+ 3)3+27=0,g 卩(X+ 3)3 =-27，所以x+ 3=芷迈7, x+3 = ；,
即x=-6 ；
(2) 4x2 -9 =0 ,即卩X2=9,
4
所以X =±J^，即X =± —.
例题12 已知a, b, c均为实数，且满足等式
J a +1 + 4b -5| +(24c -5)2 =0，求代数式a3+ J5b +
24C
的值.
解：非负数的和为0，则各数必为0 .可得
a +1 =0, 4
b —5 =0, 24c-5=0 ,
于是a= — , b =5, c =2 .所以
4 24
『+區+討(1)3+阿+¥哙=1+号+1=5
*运用知识强化练习
跟踪练习6计算下列各式的值:
1
(1) —1+-; (2)
2
(3) 1.5 咒-0^1 3；( 4)
I 6丿5
跟踪练习7计算下列各式的值:
5
1
石x(£8 );
4 • j\1 }
——-F I _1
_
15 V 5 丿
质疑
分析
讲解
质疑
分析
讲解
思考
回答
掌握
思考
回答
掌握
3 (1)(弋); 通过综合习题题型的讲解，进一步掌握远用平方根与立方根运算解方程的方法.
通过综合习题题型的讲解，进一步掌握运用平方根与完全平方的概念求代数式值的常规方法与技巧.
教学过程教师
活动
学生
活动
设计
意图
跟踪练习8用科学计数法表示下列各数:
(1) 0.0000512; (2) 321000000.
质疑思考跟踪练习9 求下列各数的平方根:
(1) 0.64; 跟踪练习10
(2)竺
81
求下列各数的立方根:
巡视求解
(1) 64 ; (2) 0.125;
(3)-27
跟踪练习11 求下列各式的X值: 指导交流了解学生
对实数、
指数、根
式的运算、
求方程的
根以及求
代数式的
值的常规
方法的掌
握情况，
并查漏补
缺.
教学
时间
35—
分钟
(1)(X—5)3+216=0 ；(2)(X—1)2
跟踪练习12 已知X, y, z均为实数, 且满足等式J x -2 + |6y+3|+(2z-5 j = 0 ,求代数式
的值.
*归纳小结强化新知
本单元学了哪些内容？重点和难点各是什么？
(1)本单元课学了哪些内容？
(2)通过本单元的学习，你会解决哪些新问题了?
(3)在学习方法上有哪些体会？引导
提问
总结
回忆
反思
归纳
培养学
生总结
学习过
程的能
力.
05
分钟
数学学科教案设计（首页） 班级: 课时：2 授课时间: 课题：§A.2实数的基本运算目的要求： 巩固复习实数的运算法则与运算律、指数的运算法则及根式的运算性质, 进一步掌握实、指数与根式的基本运算方法. 重点难点： 教学重点是巩固理解实数、指数与根式的运算法则与性质，掌握实数与指数的基本运算方法与技巧. 教学难点是理解指数的运算法则及平方根式的运算性质，掌握指数与平方根式的运算方法与技巧. 教学方法及教具： 采用复习法、练习法与讨论法相结合完成教学，多媒体设备辅助教学. 教学反思: 作业或思考题: ⑴读书部分：复习教材中§A.2; （2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第184-186页中强化练习1
数学学科教案设计（副页） (―17 )中(十35 )=+(35-17 )=18 . 3 •一个数与0相加，结果仍是这个数. 例如：当a=0, b 为任意实数时，a + b=b . 说明：（1）正数与负数相加时，可以互相抵消，也 可以部分抵消; （2）两数相加的和，可能小于其中的某一个加数. （二）实数加法的运算律 加法的交换律：a+b=b+a ; 加法的结合律：（a +b ） +c =a +（b +c ）. （三）实数的加法步骤 第一步：确定和的符号; 第二步：求各数和的绝对值; 第三步：确定两个数的绝对值的和或差. 实数的减法 ~L- - ■ -ir ~ ~ （一）实数减法的意义 已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的 运算就是减法运算，即减法是加法的逆运算. （二）实数的减法法则 教学过程 教师 活动 学生 活动 设计 意图 *知识回顾理论升华 实数的加法 （一）实数的加法法则 1 .同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 例如：(410 )+(49 )=+(10 +9 )=19， (,4)+( 45 )= -(34 +45 )= -79 . 2 •异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并 用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个 数相加得0. 例如：(-21 )+(+13 )= —(21 —13 )=丿, 质疑 引导 总结 回忆 回答 记忆 通过对 于实数 的基本 运算知 识的复 习，帮 助学生 理解实 数基本 运算的 运算法 则与运 算律， 有助于 知识的 巩固与 运用. 教学 时间 20— 分钟
实数的运算与性质 实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数。在数学运算中，实数的性质和运算法则是我们必须了解和掌握的基础知识。本文将详细介绍实数的四则运算以及它们的性质，帮助读者更好地理解实数的运算规则和特性。 一、实数的加法运算 实数的加法运算是指将两个实数相加的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的和记作a + b。实数的加法运算满足以下性质： 1. 交换律：对于任意两个实数a和b，a + b = b + a。 2. 结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。 3. 零元素：对于任意实数a，存在一个实数0，使得a + 0 = a。 4. 负元素：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。 二、实数的减法运算 实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的差记作a - b。实数的减法运算可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。因此，实数的减法运算也满足交换律、结合律、零元素和负元素的性质。 三、实数的乘法运算
实数的乘法运算是指将两个实数相乘的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的积记作a * b或ab。实数的乘法运算满足以下性质： 1. 交换律：对于任意两个实数a和b，a * b = b * a。 2. 结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。 3. 单位元素：对于任意实数a，存在一个实数1，使得a * 1 = a。 4. 零元素：存在一个实数0，使得对于任意实数a，a * 0 = 0。 四、实数的除法运算 实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数的运算法则。对于任意两个实数a和b，它们的商记作a / b。实数的除法运算满足以下性质： 1. 除法定义：对于任意两个实数a和b，b不等于0，a / b表示将a 乘以b的倒数。即a / b = a * (1 / b)。 2. 相反数的除法：对于任意实数a和b，a / (-b) = (-a) / b = -(a / b)，其中b不等于0。 实数的除法运算在计算机中需要特别注意，因为除法运算中存在除以0的错误，需要进行异常处理。 五、实数的运算性质 除了上述的运算法则外，实数还具有一系列的运算性质：
实数的运算规则 实数是数学中一个非常重要的概念，其涵盖了所有有理数和无理数。实数拥有完整的代数结构，包括加法、减法、乘法和除法等运算，同 时也具有一些特殊的运算规则。本文将全面介绍实数的运算规则。 一、实数集合 实数包括有理数和无理数两个部分，有理数为整数、分数和小数， 无理数为不能表示为有限小数或者分数的实数。实数的集合表示为R。 二、加法和减法 实数的加法和减法满足以下性质： 1. 交换律 a+b=b+a a-b=-(b-a) 2. 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (a-b)-c=a-(b+c) 3. 分配律 a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac 4. 存在加法单位元素、加法逆元素
存在零元素0，满足a+0=a 对于任意实数a，都存在一个相反数-b，满足a+b=0 5. 减法和加法具有相同优先级，从左向右进行运算。 例如：a+b-c=a+(b-c) 三、乘法和除法 实数的乘法和除法满足以下性质： 1. 交换律 ab=ba 2. 结合律 (ab)c=a(bc) 3. 分配律 a(b+c)=ab+ac b(c+d)=bc+bd 4. 存在乘法单位元素、乘法逆元素 存在一个单位元素1，满足a*1=a 对于任何实数a，如果a≠0，则存在一个逆元素1/a，满足a(1/a)=1 5. 除法和乘法具有相同优先级，从左向右进行运算。 例如：a/b*c=a/(b*c)
四、其他运算规则 1. 对于任何实数a，a+(-a)=0 2. 对于任何实数a，a*0=0 3. 对于任何实数a，a*1=a 4. 对于任何实数a，a*（1/a）=1，（a≠0） 5. 对于任何实数a、b，如果a>b，则a+c>b+c；a-c>b-c，ac>bc，a/c>b/c（c>0） 在使用实数进行运算时，需要注意遵循以上的运算规则，才能得出正确的结果。在学习实数的过程中，需要注重练习和实践，多做习题来加深对实数运算规则的理解。
实数的运算 实数是数学中一种最基本的数的概念，包括有理数和无理数。实数的运算是数 学中重要的基本运算之一，其中包括加法、减法、乘法和除法等操作。本文将介绍实数的运算规则和性质。 加法运算 实数的加法运算是指两个实数相加的操作。对于实数a和b，它们的和记作a + b。加法运算具有以下性质： 1.交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。 2.结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。 3.存在零元素：对于任意实数a，存在0使得a + 0 = a。 4.存在相反元素：对于任意实数a，存在一个实数-b使得a + (-b) = 0。 减法运算 实数的减法运算是指两个实数相减的操作。对于实数a和b，它们的差记作a - b。减法运算具有以下性质： 1.减法的定义：a - b = a + (-b)。 2.减法的运算顺序：减法运算不满足交换律，即a - b ≠ b - a。 乘法运算 实数的乘法运算是指两个实数相乘的操作。对于实数a和b，它们的乘积记作 a * b或ab。乘法运算具有以下性质： 1.交换律：对于任意实数a和b，a * b = b * a。 2.结合律：对于任意实数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。 3.存在单位元素：对于任意实数a，存在1（不等于0）使得a * 1 = a。 4.存在倒数元素：对于任意非零实数a，存在一个实数1/a（a的倒数） 使得a * (1/a) = 1。 除法运算 实数的除法运算是指一个实数除以另一个实数的操作。对于实数a和b（b ≠ 0），它们的商记作a / b。除法运算具有以下性质： 1.除法的定义：a / b = a * (1/b)。 2.除法的运算顺序：除法运算不满足交换律，即a / b ≠ b / a。
知晓实数的四则运算 在数学中，实数指的是包括所有整数、分数和无理数的数集。实数 的四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。掌握实数的四则运算是进行更高级数学运算和解题的基础。本文 将介绍实数的四则运算规则和相关注意事项。 一、加法运算 实数的加法运算是指将两个实数进行相加。两个正实数相加的结果 仍然是正数，两个负实数相加的结果仍然是负数。若一个正实数和一 个负实数相加，结果的符号取决于绝对值大的数的符号。若两个数的 绝对值相等但符号相反，则其和为零。例如：3 + 5 = 8，-4 + (-2) = -6， 7 + (-7) = 0。 二、减法运算 实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数。减法可以看作是 加法的逆运算。减去一个数等于加上其相反数。例如：5 - 3 = 2，-5 - (- 3) = -2，7 - (-7) = 14。 三、乘法运算 实数的乘法运算是指将两个实数进行相乘。正实数与正实数相乘的 结果仍然是正数，正实数与负实数相乘的结果为负数，两个负实数相 乘的结果为正数。任意一个实数与零相乘的结果都是零。例如：2 × 3 = 6，-2 × 3 = -6，-2 × (-3) = 6，5 × 0 = 0。
四、除法运算 实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数。正实数除以 正实数的结果仍然是正数，正实数除以负实数的结果为负数，负实数 除以负实数的结果为正数。任何一个实数除以零是没有意义的，因为 除数不能为零。例如：6 ÷ 3 = 2，-6 ÷ 3 = -2，-6 ÷ (-3) = 2。 需要注意的是，在实数的四则运算中，乘法和除法的优先级高于加 法和减法。可以使用括号来改变运算的顺序。 综上所述，了解实数的四则运算规则对于数学学习和解题非常重要。通过熟练掌握实数的四则运算，可以更好地理解数学概念和解决实际 问题。
实数的运算 1. 实数的定义 实数是数学中一个重要的数集，包括了整数、分数和无限不循环小数。实数可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法、除法等。 2. 加法运算 实数的加法运算是指将两个实数相加得到一个新的实数。加法运算遵循以下几条基本规则： •任何实数加0等于自身：a + 0 = a •实数加法满足交换律：a + b = b + a •实数加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 3. 减法运算 实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。减法运算遵循以下几条基本规则： •减法的定义：a - b = a + (-b)，其中 -b 称为 b 的相反数。 •0 减任何实数等于自身的相反数：0 - a = -a •减法不满足交换律：a - b ≠ b - a •减法满足结合律：(a - b) - c = a - (b + c) 4. 乘法运算 实数的乘法运算是指将两个实数相乘得到一个新的实数。乘法运算遵循以下几条基本规则： •0 乘以任何实数等于0：0 * a = 0 • 1 乘以任何实数等于自身：1 * a = a •实数乘法满足交换律：a * b = b * a •实数乘法满足结合律：(a * b) * c = a * (b * c) 5. 除法运算 实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数得到一个新的实数。除法运算遵循以下几条基本规则： •除法的定义：a ÷ b = a * (1 / b)，其中 1 / b 称为 b 的倒数。
•0 不能作为除数：a ÷ 0 是没有定义的。 •实数除法不满足交换律：a ÷ b ≠ b ÷ a •实数除法满足结合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c) 6. 混合运算 实数的运算可以进行混合运算，包括加法、减法、乘法和除法的组合。混合运算遵循以下规则： •先乘除后加减：先计算乘法和除法，再计算加法和减法。 •同级运算按从左到右的顺序进行。 •可以使用括号来改变运算顺序，括号内的运算先于括号外的运算。 7. 示例 下面是一些实数运算的示例： •加法示例：2 + 3 = 5 •减法示例：5 - 2 = 3 •乘法示例：2 * 3 = 6 •除法示例：6 ÷ 2 = 3 8. 总结 实数的运算包括了加法、减法、乘法和除法。这些运算有一些基本规则，如加法满足交换律和结合律，减法满足减法定义和结合律，乘法满足交换律和结合律，除法满足除法定义和结合律。在进行实数的混合运算时，需要按照一定的优先级和顺序进行计算。加深对实数运算的理解，有助于解决实际问题和数学推理。
实数运算 实数的运算 实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 实数的运算顺序 乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 实数的运算法则 1、加法法则： (1)同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； (2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即： a+b=b+a； ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变；即：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+(-b) 3、乘法法则： (1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 (2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 (3)乘法可使用 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：ab=ba； ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即：(ab)c=a(bc)； ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加,即：a(b+c)=ab+ac。 4、除法法则： (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即a n，正数的任何次幂
实数的运算规律 实数是由有理数和无理数组成的数集，是数学中的重要概念之一。 实数的运算规律是指实数进行加法、减法、乘法和除法运算时遵循的 一些基本规则。下面将详细介绍实数的运算规律。 一、实数的加法规律 1. 加法交换律：对于任意的实数a和b，a + b = b + a。无论实数a 和b的顺序如何，它们的和都是相同的。 2. 加法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。无论是先将a和b相加，再将结果与c相加，还是先将b和c相加，再 将结果与a相加，最终的结果都是相同的。 3. 零元素存在性：对于任意的实数a，a + 0 = a。任何实数与0相加，结果都等于该实数本身。 4. 加法逆元存在性：对于任意的实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。这里的-b就是a的加法逆元，也称为相反数。 二、实数的减法规律 实数的减法可以看作加法的逆运算。对于任意的实数a和b，a - b = a + (-b)。也就是说，a减去b等价于a加上-b。 三、实数的乘法规律 1. 乘法交换律：对于任意的实数a和b，a × b = b × a。无论实数a 和b的顺序如何，它们的乘积都是相同的。
2. 乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)。无论是先将a和b相乘，再将结果与c相乘，还是先将b和c相乘，再 将结果与a相乘，最终的结果都是相同的。 3. 单位元存在性：对于任意的实数a，a × 1 = a。任何实数与1相乘，结果都等于该实数本身。 4. 乘法逆元存在性：对于任意的非零实数a，存在一个实数1/a，使 得a × (1/a) = 1。这里的1/a就是a的乘法逆元，也称为倒数。 四、实数的除法规律 实数的除法可以看作乘法的逆运算。对于任意的实数a和b（b不 为0），a ÷ b = a × (1/b)。也就是说，a除以b等价于a乘以1/b。 综上所述，实数的运算规律包括加法的交换律、结合律，以及零元 素的存在性和加法逆元的存在性；减法的运算规律是加法的逆运算； 乘法的交换律、结合律，以及单位元的存在性和乘法逆元的存在性； 除法的规律是乘法的逆运算。这些规律是实数运算的基础，可以帮助 我们进行准确而高效的计算。
实数及其基本运算 实数是数学中最基本也是最重要的数。实数是一种可数的量， 它可以被用来度量各种不同物体的大小、长度、数量和其他属性。它们也用于各种数学运算，例如加、减、乘、除和幂等运算。在 本文中，我们将探讨实数及其基本运算，以帮助读者更好地理解 这一概念。 实数的定义 实数是由所有有理数和无理数组成的集合。有理数是可表示为 两个整数的比率的数字，而无理数则不能表示为两个整数的比率。例如，π和√2就是无理数，但3和-5是有理数。实数集包括所有 做图和测量中使用的数字，包括小数和整数。 实数和整数之间的关系 整数是实数的一个子集，它包括所有正整数，负整数和零。整 数可以用于数学运算中的加、减、乘和除运算。实数则包括整数 和小数，例如3.5和-2.6。小数可以表示为整数和分数的比率，例 如1/2或3/4，或者是无限循环的小数，例如1/3或π。
实数的性质 实数具有许多重要的性质。它们是可交换和可结合的，这意味着它们可以按任意顺序进行数学运算。它们还是可分配的，这意味着两个数的乘积可以分别加、减去，并且两个数的和或差的积相等。实数集还有一个重要的性质就是密度性，这意味着在任意两个实数之间，我们总能够找到另一个实数。 实数的基本运算 实数具有许多基本的运算，包括加、减、乘和除。这些运算可以用于解决各种数学问题，例如计算周长、面积、体积等。下面是一些基本的实数运算： 加法运算 在实数加法中，两个实数的和是两个实数相加的结果。例如，如果a = 3和b = 5，则a + b = 8.实数加法满足以下性质：
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) - 交换律：a + b = b + a - 存在一个加法单位元素0，使得a + 0 = a - 对于每一个实数a，存在一个加法逆元素-b，使得a + (-b) = 0 减法运算 在实数减法中，两个实数的差是第一个数减去第二个数的结果。例如，如果a = 3和b = 5，则a - b = -2.实数减法满足以下性质： - 减法的定义：a - b = a + (-b) - 减法没有交换律：a - b ≠ b - a 乘法运算 在实数乘法中，两个实数的乘积是两个实数之间的相乘结果。 例如，如果a = 3和b = 5，则a × b = 15.实数乘法满足以下性质： - 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
实数的运算法则 实数是我们在日常生活和数学中常常使用的数，它包含了所有的有 理数和无理数。在实数的运算过程中，我们需要遵守一定的法则和规则。本文将详细介绍实数的运算法则。 一、实数的加法法则 实数的加法法则是指在进行实数相加时需要遵守的规则。具体如下： 1. 结合律：对于任意的实数a、b和c，满足(a+b)+c=a+(b+c)。也就 是说，实数相加的结果与加法顺序无关。 2. 交换律：对于任意的实数a和b，满足a+b=b+a。也就是说，实 数相加的结果与加法顺序无关。 3. 零元素：对于任意的实数a，满足a+0=0+a=a。其中0表示实数 中的零元素，它加上任意的实数不改变该实数的值。 4. 负元素：对于任意的实数a，存在一个实数-b，满足a+(-b)=0。 其中-b表示实数a的负元素，它与a相加的和为零。 二、实数的减法法则 实数的减法法则是指在进行实数相减时需要遵守的规则。具体如下： 1. 减法定义：对于任意的实数a和b，实数a减去实数b等于实数a 加上实数-b，即a-b=a+(-b)。
2. 减法与加法的关系：减法可以转化为加法，即a-b可以改写为 a+(-b)进行运算。 三、实数的乘法法则 实数的乘法法则是指在进行实数相乘时需要遵守的规则。具体如下： 1. 结合律：对于任意的实数a、b和c，满足(a*b)*c=a*(b*c)。也就 是说，实数相乘的结果与乘法顺序无关。 2. 交换律：对于任意的实数a和b，满足a*b=b*a。也就是说，实 数相乘的结果与乘法顺序无关。 3. 单位元素：对于任意的实数a，满足a*1=1*a=a。其中1表示实 数中的单位元素，它乘以任意的实数不改变该实数的值。 4. 零元素：对于任意的实数a，满足a*0=0*a=0。其中0表示实数 中的零元素，它与任意的实数相乘的结果都为零。 四、实数的除法法则 实数的除法法则是指在进行实数相除时需要遵守的规则。具体如下： 1. 除法定义：对于任意的实数a和非零实数b，实数a除以实数b 等于实数a乘以实数1/b，即a/b=a*(1/b)。 2. 除法与乘法的关系：除法可以转化为乘法，即a/b可以改写为 a*(1/b)进行运算。 3. 非零除法：任意的实数a除以非零实数b不等于零，即a/b≠0。
【考点梳理】 1. 实数的两种分类 '有理数J 整数（包括正整数，负整数，零） （分数（包括正分数，负分数） J 无理数J 正无理数 I 无限不循环小数 1负无理数 j 负实数「负有理数J 负整数 Y （负分数 「负无理数 注意：二是无理数，但有时近似地用 3.14这个有理数来代替, 2. 实数中的几个概念 （1） 正数、负数 1 像5,1.5,10 -等大于0得数叫做正数. 2 1 像一5, -1.5, -10 —等在正数前面加上“-”号的数叫做负数. 2 （2） 整数、分数 正整数、零、负整数统称为整数 . 正分数、负分数统称为分数 . （3） 有理数 整数和分数统称为有理数，有理数可划分为：正有理数、负有理数、零 （4） 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 性质：实数与数轴上的点是一一对应的， 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大 .正数都大于零; 小于零；两个负数绝对值大的反而小 . （5） 相反数 定义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数 互为相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧，且与原点距离相等的两个点 性质：非零实数a 的相反数是-a , 0的相反数是0 ,相反数总是成对出现的. （6） 绝对值 定义：数轴商表示a 的点与远点的距离叫做数 a 的绝对值，记做 a 运算：非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数 即 a ■ = a （ a 兰 0 ） ， —a （ a £ 0 ）. 注意：去绝对值符号时关键是判断绝对值符号中代数式的正负，如果是非负数，应等于其本身；如果是负 数，则应是 它的相反数. 实数及其运算 实 r 正实数（ 数 € L 零 正有理数 正无理数 正整数 正分数 "■有限小数或 :无限循环小数 二，二等是无理数，而不是分数 2 4 负数都
Word 文档 1 / 1 数学知识点之实数的运算 数学学问点之实数的运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数〔即正数和0〕还可以进行开方运算。以下是我整理的数学学问点之实数的运算，仅供参考，大家一起来看看吧。 实数的运算 1、运算法则〔加、减、乘、除、乘方、开方〕 2、运算定律〔五个—加法[乘法]交换律、结合律；[乘法对加法的]支配律〕 3、运算顺序：A 、高级运算到低级运算；B 、〔同级运算〕从“左”到“右”〔如5÷×5〕；C 、〔有括号时〕由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例 1、已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如以下图，求证：│x -a│+│x -b│=b -a 。 2、已知：a -b=-2且ab0，〔a≠0，b≠0〕，推断a 、b 的符号。 实数的概念 实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R 表示。R 表示n 维实数空间。实数是不行数的`。实数是实数理论的核心商量对象。 全部实数的集合则可称为实数系〔real number system 〕或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R 表示。由于R 是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列〔可以是循环的，也可以是非循环的〕。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数〔保存小数点后n 位，n 为正整数〕。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
初中数学实数运算 初中数学实数运算 实数运算是初中数学中的重要一环，它涉及到复数、数列、指数、对数等多个领域，其中包括基本的加减乘除、绝对值、平方根等运算。以下是一些实数运算的基本概念，以及其相关内容，以供参考。 1. 加减乘除运算 这是最基本的一类运算，它们是基本的四则运算，可以用来进行复杂的运算，如多项式求和、积、差、商等。此外，还可以用来计算分数、小数和小数之间的转换。 2. 平方根 平方根是一种特殊的数学运算，它可以计算一个数的平方根，它的符号表示为“√”，它的计算可以用不等式的方法进行，也可以使用公式计算。 3. 绝对值 绝对值是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“| |”，用于计算一个数的绝对值，它可以用来判断一个数是否为正数或负数。 4. 数列 数列是指一组有规律的数，可以用来描述某一种现象的变化规律。常见的数列有等差数列、等比数列等，可以用来计算数列的和、积、差以及项数等。 5. 指数 指数是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“^”，它可以用来表示一个数的指数，可以用来计算一个数的幂次方，也可以用来计算一个数的底数。 6. 复数 复数是一种特殊的数，它可以用来表示一个实数的平方根，它的符号表示为“i”，它可以用来计算复数的和、积、差以及幂次方等。 7. 对数 对数是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“log”，它可以用来计算一个数的对数，可以用来解决复杂的数学问题，如多项式求和、差、积以及指数等。 以上就是初中数学实数运算的基本概念，它们可以用来解决复杂的数学问题，为学生提供了一种更加全面的认识。实数运算需要学生具备良好的基础知识，以及较强的抽象思维能力，从而能够更好地理解和掌握初中数学实数运算的知识。
第二节实数与整式的运算 一、实数的基本运算及法则 1. 加法： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 2.减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即)(b a b a -+=-. 3.乘法： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 4.减法： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数. 5.乘方： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方，n 个a 相乘，n a a a a a =••• ； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）正数的乘方都是正数，零的正整数次乘方都是零，负数的乘方要看n 的奇偶，负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。 6.开方： （1）如果一个数x 的平方等于)0(≥a a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。即若a x =2，则x 叫做a 的平方根。 （2）若)0(2≥=a a x ，求x 的值的过程就叫开平方。 （3）若a x n =，求x 的值的过程就叫开n 次方。 7.混合运算顺序：
先开方、乘方，再乘除，最后加减；有括号时要先算括号；同级运算，按照从左到右的顺序依次进行。 二、运算律 1.加法交换律：a + a+ = b b 2.加法结合律：) + a+ = + b + b ) (c ( a c 3.乘法交换律：ba ab= 4.乘法结合律：) a ab= c (bc ( ) 5.乘法分配律：bc = +) ( b a+ ac c 三、整式的概念 1.单项式 （1）由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也是单项式。 （2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 （3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式。 （2）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，每一项都要带前面的符号。（3）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。 3.整式 单项式与多项式统称整式。 4.同类项： （1）含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. （2）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （3）合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变. 四、整式的运算
实数计算的常见类型及方法 【精练】计算 3-2÷3+（-）0-3-1+（-3）2-32 解：原式=3-+1-+9-9=3 在算3-2÷3时易算成1÷3=，另外（-3）2与-32是有区别的． 【知识规律串讲】 一、实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即 (4)除法 (5)乘方 (6)开方如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．3．实数的运算律 (1)加法交换律 a+b＝b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab＝ba． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac 其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． 一、加法运算中的方法与技巧 例1 计算： （1）5－［２＋（－４.８）－（－４）］ （２）｜（－）－（－）＋（－）｜ 分析：（１）题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的；
（2）题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值．进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用 解（1）5－［２＋（－４.８）－（－４）］ =5－［２－４.８+４］ =5－［7－4.8］ =5－2.2=3 (2) ｜（－）－（－）＋（－）｜ =｜－+－｜ =｜－－+｜ =|－|= 【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动. 实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；符号相同的数先相加—“同号结合法”；分母相同的数先相加—“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加—“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加—“同形结合法”. 二、乘、除运算中的方法与技巧 例2：计算： （1）4－－÷；（２）－－３××（－１）÷（－１）． 分析：（１）这里没有用括号规定运算顺序，所以我们应先算乘方，再算除法，最后算除法．（2）用括号规定运算顺序，所以应先算括号内的，再按顺序进行．另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号，然后再按顺序进行． 解（1）4－－÷
中考数学专题复习第二讲：实数的运算 【基础知识回顾】 一、实数的运算。 1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。 2、运算法则： 加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。 减法，减去一个数等于 。 乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。 除法：除以一个数等于乘以这个数的 。 乘方：(-a ) 2n +1 = (-a ) 2n = 3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：(a+b)+c= 乘法交换律：ab= 乘法结合律：（ab ）c= 分配律： （a+b ）c= 二、零指数、负整数指数幂。 0a = （a ≠0） a -p = （a ≠0） 【赵老师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底 数为分数的负指数运算的结果，如：（3 1）-1= 】 三、实数的大小比较： 1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。 2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。 【赵老师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形较的大小，可以先确定10和可以式灵活选用。如：比65的取值范围，然后得结论：10+2 65-2。】 【重点考点例析】 考点一：实数的大小比较。 例1 （2012•西城区）已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式a 2-a-b 的值为 ．