中职数学第八章直线方程和圆知识点
直线方程和圆
1.两点间距离公式：
设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则AB的长度为AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
当x1=x2时，AB = |y2-y1|。
当y1=y2时，AB = |x2-x1|。
2.中点坐标：
设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则线段AB的中点M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
当x1≠x2时，M的纵坐标为(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)+y1.
3.直线的倾斜角和斜率：
直线的倾斜角α∈[0,π)。
直线的斜率k=tanα (α≠π/2)。
当α=30°时，k=√3/3；当α=45°时，k=1；当α=60°时，
k=√3；当α=120°时，k=-√3；当α=150°时，k=-√3/3.
4.直线方程：
点斜式：设直线过点A(x1,y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)。
斜截式：设直线与y轴交点为b，则直线的斜截式方程为y=kx+b。
两点式：设直线过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则直线的两点式方程为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)。
截距式：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，则直
线的截距式方程为x/a+y/b=1 (a≠0,b≠0)。
一般式：设直线的一般式方程为Ax+By+c=0 (A和B不同时为0)。
5.两直线的位置关系：
当两直线斜率都不存在时，若它们的截距不相等，则两直线平行；若它们的截距相等，则两直线重合。
当两直线斜率都存在时，若它们的斜率相等且截距不相等，则两直线平行；若它们的斜率相等且截距相等，则两直线重合；若它们的斜率乘积为-1，则两直线垂直。
当一条直线斜率不存在时，另一条直线斜率存在且不为0时，它们不可能平行或垂直。
当两直线斜率都存在且不为0时，若它们的斜率不相等，则它们相交，且夹角为arctan|k1-k2|；若它们的斜率相等且截
距不相等，则它们平行；若它们的斜率相等且截距相等，则它们重合。
6.点到直线的距离公式：
设点P(x0,y0)，直线的一般式方程为Ax+By+c=0，则点P
到直线的距离为d=|Ax0+By0+c|/√(A²+B²)。
点到X轴的距离为d=|y|，点到Y轴的距离为d=|x|。两平
行线间距离公式为
圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中圆心为C(a,b)，半径为r。一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=(D^2+E^2-4F)/4，
圆心为(-D/2,-E/2)，半径为r=√(D^2+E^2-4F)/2.
直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离为d，圆半径为r，交点个数为1（d>r）、2（d 为(a,b)，当圆与X轴相切时，则有b=r，当圆与Y轴相切时， 则有a=r。当圆与两坐标轴相切时，则有a=b=r。 圆被直线截得的弦长为AB=2√(r^2-d^2)。弦的中垂线必过圆心，圆心和切点的连线与切线垂直。 江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号： 教学内容二、新知探究 设直线的方程和圆的方程分别是： Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0 如果直线和圆有公共点，由于公共点同时在直线和圆上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解。反之，如果这两个方程没有公共解，则说明直线和圆没有公共点。 有如下结论： 教学内容三、例题讲解 例1 判断直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=5的位置关系。 解法1：求出圆的半径r=5，圆心（0，0）到 直线的距离为： 22 |30405| d15 3(4) ⨯-⨯+ == +- ＜ 所以直线与圆相交。 解法2：解方程组： 22 3x4y50 x y5 -+= ⎧ ⎨ += ⎩ 解得： 11 x=- x=15 y=22 y=- 5 ⎧ ⎪ ⎧⎪ ⎨⎨ ⎩⎪ ⎪⎩ 或 所以，直线与圆有两个交点，即：直线与圆相交。例2 已知圆（x+1）2+（y-2）2=a与直线3x+4y+5=0相切，求a的值。（引导学生预习下节课内容）解：由题意得：圆心（-1，2）到直线的距离等于半径，所以： 所以a=r2=4 江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号： 备课组别数学 上课 日期 主备 教师 授课 教师 课题：§8.7.2直线与圆的位置关系(2) 教学目标1理解并能判断直线与圆的位置关系； 2学会解决直线与圆相切的问题； 3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力； 重点直线与圆相切的问题； 难点直线与圆相切的问题； 教法引导探究，讲练结合 教学 设备 多媒体一体机 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容一、复习 直线与圆的位置关系的判断方法 二、巩固练习： 判断下列直线l与圆C的位置关系： （1）l：10 x y +-=，C：229 x y += （2）l：4380 x y --=，C：()2 211 x y ++= 第八章 直线与圆的方程 教学设计 课题1 直线的斜截式方程 【教学目标】 1．进一步复习斜率的概念，了解直线在y 轴上的截距的概念； 2．理解直线的斜截式方程与点斜式方程的关系； 3．初步掌握直线的斜截式方程及其简单应用； 4．培养学生应用公式的能力． 【教学重点】 直线的斜截式方程． 【教学难点】 直线的斜截式方程及其应用． 【教学过程】 （一）复习引入 （1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x ，y ），（x1，y1），k 的几何意义． （答案：直线的点斜式方程是y －y1＝k （x －x1）；（x ，y ）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k 是直线的斜率．） （2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是（0，b ），求直线l 的方程． （答案：y ＝kx ＋b. ） （二）讲解新课 （1）直线在y 轴上的截距 一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y 轴上的截距． 例如，引例中直线l 与y 轴交于点（0，b ），则b 就是直线l 在y 轴上的截距． 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念． （2）直线的斜截式方程 如果已知直线l 的斜率是k ，在y 轴上的截距是b ，那么直线l 的方程是y ＝kx ＋b . 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式． 这个方程的导出过程就是引例的解题过程．这是我们同学自己推导出来的． （3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同 在一次函数的解析式中，k 不能得0，而直线的斜截式方程没有这个限制． ②练一练 根据直线l 的斜截式方程，写出它们的斜率和在y 轴上的截距： （1）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________； （2）y ＝23x ＋13 ， k ＝________，b ＝________； （3）y ＝－x －1， k ＝________，b ＝________； （4）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________. 直线与圆 1、直线的倾斜角与斜率： tan k α=， 当α∈[0°,90°）时，斜率k ∈[0，+∞）； 当α∈（90°,180°）时，斜率k ∈（－∞，0）。 过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线斜率公式：21 21 y y k x x -=-. 2、直线的五种方程： ⑴点斜式：00()y y k x x -=- (直线l 过点00(,)P x y ，且斜率为k )． ⑵斜截式：y kx b =+(k 为直线的斜率，b 为直线l 在y 轴上的截距⑶两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=-- (12y y ≠且12x x ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y ⑷截距式：1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，且0a b ≠、) ⑸一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3、两条直线平行和垂直的等价关系： (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+， 则①121212||,l l k k b b ?=≠②12121l l k k ⊥?=-； (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2①111 1212211221222 0A B C l ||l A B A B C C A B C ? =≠-=≠或且B B ； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、两种常用直线系方程： ⑴与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（C ≠⑵与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+= （λ5、两点间距离公式： 12 PP ｜111(,)P x y 、222(,)P x y ） 直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。- ____ 2 2 2 说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以， 只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 -确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二) 圆的一般方程 2 2 2 2 2 2 2 2 将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r 。可见，任何一个 2 圆的方程都可以写成 ：X 2 y Dx Ey F 0 2 2 问题：形如x y Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？ 2 2 F D 2 E 2 J D ‘ E 4F 将方程X y Dx Ey 左边配方得： 2) 2) 2 D E 0表示以 2 2为圆 2 2 (1)当 D E 4F >° 时， 方程(1 )与标准方程比较，方程x y Dx Ey F D 2 E 2 4F 心，以 2 为半径的圆。 DE DE ⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計 2 2 (3)当D 2 E 2 4F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 2 2 当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： 2 2 (1) X 和y 的系数相同，不等于零； (2) 没有xy 这样的二次项。 (三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。 2、 直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： (1) 把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 (2) 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3) 作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当 d = r 时，直线与圆相切；当d x x 职业技术教育中心教案 复习引入： 新授： 1.平面内两点间的距离 设A ,B 为平面上两点．若A ,B 都在x 轴(数轴)上(见图7-3(1))，且坐标为A (x 1,0), B (x 2,0)，初中我们已经学过，数轴上A ,B 两点的距离为 |AB |=|x 2-x 1|． 同理，若A ,B 都在y 轴上(见图7-3(2))， 坐标为A (0,y 1), B (0,y 2)，则A ,B 间的距离 |AB |=|y 2-y 1|． 若A ,B 至少有一点不在坐标轴上，设 A , B 的坐标为A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)．过A ,B 分别作 x ,y 轴的垂线，垂线延长交于C (见 图7-3(3))，不难看出C 点的坐标为(x 1,y 2)， 则 |AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1 |， 由勾股定理 |AB |=22BC AC +=221221)()(y y x x -+-． 由此得平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，则 |AB |=221221)()(y y x x -+-． (7-1-1) 例1 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |． 解 x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)， |AB |=)()(21221y y x x -+-=2210484)()(-+--=180=65． 例2 已知点A (-1,-1), B (b ,5)，且|AB |=10，求b ． 解：据两点间距离公式， |AB |=36)1()]1(5[)]1([222++=--+--b b =10， 解得 b =7或b =-9． 例3 站点P 在站点A 的正西9km 处，另一站点Q 位于P ,A 之间，距P 为5km ，且东西向距A 为6km ，问南北向距A 多少？ 解 以A 为原点、正东方向为x 轴正向建立坐标系如 图7-4，则P 的坐标为(-9,0)，|PQ |=9．设Q 坐标为(x ,y )， 则x =-6，据题意要求出y ． 据两点间距离公式(7-1-1) |PQ |=22069)()(y -++-=5， 解得 y =±4， 图7-3(2) x y O y 1 y 2 • • B A 图7-3(1) x y O x 1 x 2 • • B A 图7-3(3) 中等专业学校2022-2023-2教案 编号： 备课组别数学组 课程 名称 数学基础模块 所在 年级 高一 主备 教师 授课教师授课 系部 授课 班级 授课 日期 课题§6.6 直线与圆的方程应用举例 教学目标1能用直线方程与圆的方程解决较简单的实际问题2逐步提升数学建模和数学运算等核心素养 重点用数学知识解决实际问题 难点建立数学模型，解决实际问题 教法引导探究，讲练结合 教学 设备 多媒体一体机 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容一、新课引入 从点)3,2(P射出一条光线,经过x轴反射后过点 )2,3 ( Q, 求反射点M的坐标. 教学内容 根据光的反射定律可知,点Q关于x轴的对称点Q'、反射点M、发光点P三点共线,所以点M 为直线Q P'与x轴的交点. 点)2,3 (- Q关于x轴的对称点Q'的坐标为） ， （2 - 3-,故直线Q P'的斜率为 1 )3 ( 2 )2 ( 3 = - - - - = k， 故直线Q P'的点斜式方程为3 2+ = +x y,即1 + =x y,直线与x轴的交点坐标为） （0,1-,故反射点M的坐标为） （0,1-. 二、新知探究 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的风预报,台风中心位于轮船正西 240km 处,受影响的范围是半径为90km 的圆形区域.港口位于台风中心正北 120km 处,如果这艘轮船仍沿原航线航行,是否会受到台风的影响? 分析这个实际问题可转化为数学问题:若轮船不改变航线,则需考虑轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影响范围为半径的圆的位置关系,相交或相切会受到影响,相离则不会受到影响. 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角． (2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝ 1 21 2x x y y --. 两条直线(不重合)平行的判定 两条直线垂直的判定 l∥l(两直线的斜率都存在)⇔l的斜率不存在，l的斜率为0 直线的方程 直线的点斜式方程和斜截式方程 y－y＝k(x－x)y＝kx＋b 直线的两点式方程和截距式方程 直线的一般式方程 关于x 和y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的五种形式的方程比较 两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A(a ，b)． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 . (2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎨⎧=++=++00 222 111C b B a A C b B a A 2．两直线的位置关系 第八章：直线与圆 一、知识点汇总： 1、两点间距离公式与中点坐标公式： ①2122122211)()(),,(),,(y y x x AB y x B y x A -+-=则设 ②)2 ,2( 2 121y y x x ++中点坐标为 2、直线的斜率：⎪⎩ ⎪⎨⎧--==已知坐标时用）已知倾斜角时用()(tan 1212x x y y k k α 注意：直线倾斜角不存在轴时，直线斜率或者直线垂直k x 090=α 3、直线方程： ①)(00x x k y y -=-点斜式：（已知点（ y x ,），斜率k ） ②b kx y +=斜截式： （b 叫直线在y 轴上的截距） ③ ）不同时为、一般式：0B A (0C By Ax =++，其中斜率B C b B A k -=- =截距, ④特殊直线的方程： 0y y = (1)垂直于x 轴或平行y 轴的直线方程：0x x = (2)垂直于y 轴或平行x 轴的直线方程：0y y = 0x x = 4、方向向量和法向量 ①方向向量：指与直线平行或重合的向量，其中一个方向向量),1(k a = ②法向量：指与直线垂直的向量，其中一个法向量),(B A n = 5、两直线的平行和垂直： ① 212121b k k //b l l ≠=⇔， ② ⎩⎨⎧=+-=⇔⊥0 1 21212121B B A A k k l l 规律总结：①与直线0=++C By Ax 平行的直线是0=++D By Ax ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线是0=+-D Ay Bx 1、点到直线的距离公式和平行线间的距离公式: 2 2 B A C By Ax d +++= 2 2 12B A C C d +-= 平 y x o 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果 把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角;当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0;如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66 ，，π ππ； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ 答：42≥-≤m m 或 2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的 斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点 111(,)P x y 、 222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： AB BC k k =;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y 满 足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13- 3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线;直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线;3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式;如1经过点2,1 职高高二数学直线与圆知识点归纳数学作为一门基础学科，在职高高二阶段，直线与圆是其中的一项重要内容。通过对直线与圆的知识点的学习和归纳，可以帮助我们更好地理解和应用相关概念。本文将对职高高二数学直线与圆的知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地掌握这一部分内容。 直线与圆是几何学中的基本概念，对于它们的认识是我们进行几何推理和计算的基础。在学习这一部分内容时，我们需要掌握以下几个知识点。 知识点一：直线与圆的基本性质 直线是由无限多个点按一定顺序排列而成的，在任意两点之间的部分称为线段。直线上的点可以无限延伸。 圆是平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。确定圆需要知道它的圆心和半径。 知识点二：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有以下几种情况： 1. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。 2. 直线与圆外切：直线与圆相切于圆上一点，此时直线与圆的切点与圆心间的直线垂直。 3. 直线与圆内切：直线与圆相切于圆的内部一点，此时直线与圆的切点与圆心间的直线也垂直。 4. 直线与圆相离：直线与圆没有交点，相离于圆。 知识点三：直线与圆的方程 我们可以通过方程来表示直线与圆的关系。 1. 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式和点斜式表示。 斜截式方程：y = kx + b （其中k为斜率，b为截距） 一般式方程：Ax + By + C = 0 （其中A、B、C为实数，且A 和B不能同时为0） 点斜式方程：y - y1 = k(x - x1) （其中k为斜率，(x1,y1)为直线上一点的坐标） 2. 圆的方程：圆的方程可以用标准式表示。 标准式方程：(x - a)² + (y - b)² = r²（其中(a, b)为圆心的坐标，r 为半径的长度） 知识点四：直线与圆的求解问题 在实际问题中，我们经常会遇到直线与圆相关的求解问题。通过理解直线与圆的基本性质和位置关系，我们可以灵活运用相关知识点解决问题。 直线与圆知识点总结 1. 直线与圆的位置关系： - 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。 - 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。 2. 判断直线与圆的位置关系： - 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。设直线的方程为 ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为 圆心的坐标，r为半径。将直线的方程代入圆的方程，计算方 程的解。若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。 - 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。 3. 求直线与圆的交点： - 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。将直线的方程代入 圆的方程，得到一个关于x的二次方程。解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。将得到的x坐标代入直线的方程， 职高高一数学直线圆知识点直线和圆是数学中的基础概念，在职高高一数学教学中占据着重要的地位。掌握直线和圆的相关知识点，对于理解几何形状和解决实际问题具有重要意义。本文将介绍职高高一数学中直线和圆的相关知识点，帮助大家更好地理解和掌握这些概念。 一、直线的定义和性质 直线是由无数个点组成的，这些点排列成一条无限长的线段。直线没有宽度和厚度，只有长度。在直线上可以任意取两个点，这两个点确定了一条唯一的直线。直线上的点可以无限延伸，两点之间的任意部分也是直线。 直线有一些基本性质： 1. 直线上的任意两点可以确定一条直线； 2. 直线上的任意一点离直线上的另外一点的距离是确定的，即直线上的两点之间的距离是唯一的； 3. 直线的方向可以用箭头表示，箭头指向的方向是直线的正方向，与箭头相反的方向是直线的负方向； 4. 在坐标平面上，直线可以用斜率和截距表示。斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。 二、圆的定义和性质 圆是由平面上所有和圆心距离相等的点组成的图形。圆心是圆的中 心点，所有到圆心距离相等的点构成了圆的边界，称为圆周。圆周上 的任意弧与圆心的连线称为半径，所有半径的长度相等。 圆有一些基本性质： 1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。直径是 圆的最长的线段，其长度是半径的两倍。 2. 圆的半径是连结圆心和圆周上任意一点的线段，半径的长度相等。 3. 圆的面积和周长是重要的概念。圆的面积等于π乘以半径的平方，周长等于圆周的长度。 4. 在坐标平面上，圆可以用圆心的坐标和半径表示。 三、直线和圆的关系 直线和圆之间有多种关系，下面分别介绍两种常见的情况。 1. 直线与圆的位置关系 直线可以与圆相切、相交或者不相交。 当直线和圆只有一个交点时，称直线与圆相切。相切的直线与圆的 切点处于圆周上，切点和圆心以及直线的交点在一条直线上。 当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。相交的直线与圆的交 点处于圆的内部。 第8章直线和圆的方程 练习两点间的距离与线段中点 的坐标 1.依据以下条件，求线段 P1P2的长度： （1）P1（0，-2）、P2 （3，0）（2）P1（-3，1）、P2（2，4） （3）P（4，-2）、P （1，2）（4）P（5，-2）、P（-1，6）1212 2.已知A(2,3)、B（x，1），且|AB|=13 ,求x 的值。 3.依据以下条件，求线段 P1P2中点的坐标： （1）P（2，-1）、P （3，4）（2）P（0，-3）、P（5，0）1212 （3）P1（3，）、P2（4，） （4）P1（6，1）、P2（3，3） 4.依据以下条件，求线段 P1P2中点的坐标： （1）P（3，-1）、P （3，5）（2）P（-3，0）、P（5，0）1212 （3）P（3，）、P （4，） （4）P（5，1）、P （5，3） 1212 参照答 案： 1 .(1) 1 3;(2) 34;(3)5;( 4)10 或 5 3.(1)(5,3) ;(2) ( 5, 3) ;(3) (7,2);(4)(9, 2) 22222 4 .(1) (3,2 );(2) (1, 0);(3) (3.5,3 );(4) ( 5,2) 练习8.2.1直线的倾斜角 与斜率 1． 选择题 （1）没有斜率的直线必 定是（） A.过原点的直线 B.垂直于y 轴的直线 C.垂直于x轴的 直线 D.垂直于坐标 轴的直线 (2)若直线l的斜率为-1，则直线l的倾斜角 为（） A .9 B .0 C . 4 5 D. 135 2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率： （1） 30 ,k _ ___ （ 2） （3） 12 0,k __ __ （ 4） 参照 答案： 1. （1）C（2）D 45,k ____ 150,k ____ 3 3 2.（1）;(2)1;(3) 3;(4) （3 3 （练习直线的点斜式方程与斜截式方程（写出以下直线的点斜式方程 （1）经过点A（2,5），斜率是4； （2）经过点B（2,3），倾斜角为45；（3）经过点C（-1,1），与x轴平行； §07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是： 1=+b y a x . 注：若232-- =x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(23 2≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:222 21111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 5. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++=. ⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++， 直线方程和圆 一、两点间距离公式：()()1122,y ,y A x B x AB = 当12x x = 时，21AB y y =- 当12y y = 时，21AB x x =- 二、中点坐标：()11,A X Y 22(,)B X Y 则有AB 的中点M 的坐标是1212,2 2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 三、1.倾斜角： [)0,απ∈ 2.斜率：()tan 90k αα=≠ 21 21 y y k x x -= - ()12x x ≠ 四、.直线方程： 五、两直线的位置关系： 时12l l 时，重合 时，重合 六、点到直线距离公式：P(,o o x y ) :0l Ax By C ++= 2 2 Ax By C d A B ++= + （注：直线方程要化成一般式） 点到X 轴距离： d=| y 0 | 点到Y 轴的距离: d=| x 0 | 两平行线间距离公式：1:l 10Ax By C ++= 2: l 20Ax By C ++= （注：两直线要化成上述形式，即,x y 前系数要化成完全相同） 七、圆 1.标准方程： 222 ()()x a y b r -+-= 圆心C(,)a b 半径r 2.一般方程： 2 2 0x y Dx Ey F ++++= （22 40D E F +-〉 ）圆心,2 2D E ⎛⎫ -- ⎪ ⎝⎭r = r 圆心坐标(),a b ，当圆与X 轴相切时，则有b r = ，当圆与Y 轴相切时，则有a r = 当圆与两坐标轴相切时，则有a b r == 圆被直线截得的弦长：设圆心到直线的距离为d ，半径为r ，AB =弦的中垂线必过圆心，圆心和切点的连线与切线垂直。 直线和圆--知识总结 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >⇔k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ⇔2 不存在 ⇒k= 1 212x x y y -- 022<⇔<<κππ 当1x =2x 时，α=900 ，κ不存在。当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。 几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b ④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx 两个重要结论：①平面任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。 ②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。 ②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系 （3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：① AC BC AB =+，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 二、两直线的位置关系 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k •+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' 一般方法： 如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则0﹡K L =－1 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ， 如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）； （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。 如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线 (2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--） ；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还 有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2） 知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 8．1 两点间的距离与线段中点的坐标教学目标： 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 教学重点： 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 教学难点： 两点间的距离公式的理解 课时安排： 2课时． 教学过程： 【新知识】 21212( == PP PP PP x 典型例题 ，1）、B（2，−5）两点间的距离． 过 程 活动 活动 意图 *运用知识 强化练习 1．请根据图形，写出M 、N 、P 、Q 、R 各点的坐标． 2．在平面直角坐标系内，描出下列各点： (1,1)A 、(3,4)B 、(5,7)C ．并计算每两点之间的距离． 提问 巡视 指导 思考 口答 反复 强调 *创设情境 兴趣导入 【观察】 练习8．1．1第2题的计算结果显示， 1 ||||||2 AB BC AC == ． 这说明点B 是线段AB 的中点，而它们三个点的坐标之间恰好存在关系1532 +=， 17 42+= 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 引导启发学生思考 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设线段的两个端点分别为11(,)A x y 和22(,)B x y ，线段的中点为00(,)M x y （如图8－1），则0101(,),=--AM x x y y 2020(,),=--MB x x y y 由于M 为线段AB 的中点，则 , =AM MB 即 01012020(,)(,)--=--x x y y x x y y ，即 01200120,, -=-⎧⎨ -=-⎩x x x x y y y y 解得121200,22++==x x y y x y ． 总结 归纳 仔细 分析 讲解 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 第1题图中职数学教案：直线与圆的位置关系(全3课时)
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直线和圆的方程知识点汇总
直线与圆知识点总结
中职数学(基础模块)下册第八章《直线和圆的方程》教学设计
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