x x 职业技术教育中心教案
复习引入：
新授：
1.平面内两点间的距离
设A ,B 为平面上两点．若A ,B 都在x 轴(数轴)上(见图7-3(1))，且坐标为A (x 1,0), B (x 2,0)，初中我们已经学过，数轴上A ,B 两点的距离为
|AB |=|x 2-x 1|． 同理，若A ,B 都在y 轴上(见图7-3(2))，
坐标为A (0,y 1), B (0,y 2)，则A ,B 间的距离
|AB |=|y 2-y 1|．
若A ,B 至少有一点不在坐标轴上，设 A , B 的坐标为A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)．过A ,B
分别作
x ,y 轴的垂线，垂线延长交于C (见
图7-3(3))，不难看出C 点的坐标为(x 1,y 2)， 则 |AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1
|， 由勾股定理
|AB |=22BC AC +=221221)()(y y x x -+-． 由此得平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，则
|AB |=221221)()(y y x x -+-． (7-1-1)
例1 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |．
解 x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)，
|AB |=)()(21221y y x x -+-=2210484)()(-+--=180=65． 例2 已知点A (-1,-1), B (b ,5)，且|AB |=10，求b ． 解：据两点间距离公式，
|AB |=36)1()]1(5[)]1([222++=--+--b b =10，
解得 b =7或b =-9．
例3 站点P 在站点A 的正西9km 处，另一站点Q 位于P ,A 之间，距P 为5km ，且东西向距A 为6km ，问南北向距A 多少？
解 以A 为原点、正东方向为x 轴正向建立坐标系如
图7-4，则P 的坐标为(-9,0)，|PQ |=9．设Q 坐标为(x ,y )， 则x =-6，据题意要求出y ． 据两点间距离公式(7-1-1)
|PQ |=22069)()(y -++-=5， 解得 y =±4，
图7-3(2)
x
y O y 1 y 2 • • B A 图7-3(1) x y O x 1 x 2 •
• B
A 图7-3(3)
即站点Q 在南北向距A 是4km ．
例4 如图7-5，点A ,B ,C ,D 构成一个平行四边形， 求点D 的横坐标x ．
解 因为ABCD 是平行四边形，所以对边相等， |AB |=|CD |, |AC |=|BD |． 由距离公式(7-1-1)
|AB |=5311222=-++-)()(； |AC |=17212222=-+--)()(； |CD |=422422
2
2
+-=-+-)()()(x x
|BD |=11341222++=-++)()()(x x 由|AC |=|BD |得
11172++=)(x ，x =-1±4；
由|AB |=|CD |，知x 只能取-1+4=3．
所以当点A ,B ,C ,D 构成一个平行四边形时，点D 的横坐标x =3，即D 的坐标为(3,4)． 课内练习1 1. 求|AB |：
(1)A (8,6),B (2,1)；(2)A (-2,4),B (-2,-2)．
2. 已知A (a ,-5),B (0,10)间的距离为17，求a ．
3. 已知A (2,1),B (-1,2),C (5,y )，且∆ABC 为等腰三角形，求y 。 线段中点的坐标
2.中点坐标公式 设P 1（x 1,y 1），P 2(x 2,y 2)为平面直角坐标系内的任意两点，P(x,y)为线段P 1P 2的中点坐标，则
2
,22
121y y y x x x +=+=
例5 求连结下列两点线段的中点坐标. (1)P1（6,-4） ，P2（-2,5）； （2）A （a,0) , B(0,b)
例6 已知线段P1P2中点M 的坐标为（2,3），P1的坐标为（5,6），求另一端点P2的坐标。
例7 已知A(5,0) ,B(2,1) ,C(4,7),求三角形ABC 中AC 边上的中线长。
小结 作业
图7-5
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复习引入：
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(1)确定平面直线的要素
我们知道平面上两点能唯一确定直线l ，这两个已知点就是确 定l 的两个要素．如果直线仅过一个已知点A ，它就不能被唯一确
定，例如你可能见过用斜拉索来固定一根电线杆，尽管拉索都过定 点A ，但因为倾斜程度不同，拉索所在的直线也不同(见图7-6)． 如果再给定了它的倾斜程度，那么直线l 就被唯一确定了． (2)直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜程度应该怎样表示呢？
设l 是直角坐标系中一条与x 轴相交的直线， x 轴绕着交点
按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角α可以很好地反映直线l 的倾斜程度，这样的角α叫做直线l 的倾斜角(见图7-7)；直线与x 轴平行时，倾斜角规定为0．
由定义可知，直线的倾斜角的范围是0≤α<π． 除了α=2
π
(此时l 垂直于x 轴)之外，角α与其正切tan α是一
一对应的，因此也可以用tan α来表示l 的倾斜程度．我们把直 线倾斜角α(α≠2π)的正切tan α叫做直线的斜率．通常用k 表示，
即k =tan α．任何一条直线都有倾斜角；但不是所有的直线都有 斜率．
不难看出，倾斜角α与斜率k 之间的关系为
当0<α<2π，即直线l 的倾斜角为锐角时，k ＞0；
当α=0，即直线l 平行于x 轴时，k=0；
当2π<α<π，即直线l 的倾斜角为钝角时，k ＜0； 当α=2
π，即直线l 平行于y 轴时，k 不存在，反之亦然．
例5 设直线l 过点A (3,-1),B (-1,-4)，试求出l 的斜率k ． 解 如图7-8，作过A 、B 的直线l ， 记倾斜角为α． tan α=431341=-----)()(，
所以直线l 的斜率k =tan α=4
3．
例6 设直线l 过点A (-2,4),B （3,2），求直线l 的斜 率k ．
解 如图7-9倾斜角为α，C 点的坐标为(-2,2)， tan α=5
2
3224-=---)(．
总结例5例6，无论直线的倾斜角α是锐角还 是钝角，我们都不难得到如下结论：
平面上的过两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) (x 1≠x 2)的直
线l 的斜率k 为
k =1
21
2x x y y --, (x 1≠x 2)． (7-1-2)
图7-6
A
图7-7
图7-8
图7-9
当x 2=x 1时，直线l 垂直于x 轴(平行于y 轴)，直线l 的斜率不存在．
例7 直线l 1过点A 1(-5,-2), B 1(1,4)；直线l 2过点A 2(3,2),B 2(4,-2)，试分别求出它们的斜率k 1,k 2． 解 根据已知条件，由公式(7-1-2)得 k 1=1212x x y y --=)()(5124----=1．
同理 k 2=3
422---=-4．
例8 直线l 1由点A 1(-3,2), B 1(3,2)确定，l 2由点A 2(3,-2), B 2(3,2)确定，l 3由点A 3(4,-2), B 3(3,2)确定，试判断它们的倾斜角为何． 解 据公式(7-1-2)，
l 1的斜率k 1=)(3322---=0，所以l 1的倾斜角α1=0，即l 1平行于x 轴．
l 2上点A 2(3,-2), B 2(3,2)的横坐标相同，l 2垂直于x 轴，所以l 2的倾斜角α2=2
π． l 3的斜率k 3=
4322---)(=-4，所以l 3的倾斜角α3为钝角，即2
π<α<π． 课内练习2
1. 直线l 过点A ,B ，求其斜率：
(1) A (3,-1),B (6,-2)；(2)A (-3,0),B (2,6)；(3)A (5,-2),B (5,3)． 2. 判断下列过A ,B 的直线l 的倾斜角的范围：
(1)A (3,4),B (-1,2)；(2)A (-2,-3),B (-8,6)；(3) A (-2,-1),B (4,-1)．
小结： 作业：
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(1)点斜式方程
设已知直线l 的斜率为k ，且过已知点A (x 0,y 0)，即所给要素是定点和斜率，如何求直线l 的方程呢？
求直线的方程就是要
足的关系式． 设P (x
,y )为直线l 上任意异于A 的一点(见图7-10)由已知直线l 的斜率为k ，
则 k
=0
x x y y --， 即 y -y 0=k (x -x 0)， (1)
这表示直线l 上任意异于点A 的点的坐标必须满足关系式(1)．反之，若点P 的坐标(x ,y )满足1)，可以验证P 必是直线l 上的点．关系(1)是表示由定点和斜率所确定的直线的方程，我们就把(1)叫做直线的点斜式方程或直线方程的点斜式．即已知直线l 过点A (x 0,y 0)，且斜率为k ，则直线的点斜式方程为
y -y 0=k (x -x 0) (7-1-3)
例9 求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过点A(3,-1)，斜率为21； (2)过原点、斜率为k ；
(3)过点A (x 0,y 0)且平行于x 轴； (4)过点A (x 0,y 0)且平行于y 轴．
例10 已知直线l 过两点A (2,1), B (3,-1)，求其方程．
课内练习3
1. 写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点A (3,-1)，斜率为4； (2)经过点B (2,-2)，斜率为-2； (3)经过点C (-4,2)，倾斜角为
23
π； (4)经过点D (3,-1)，倾斜角为0． 2. 求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过点A (0,0)，斜率为-2； (2)过点A (-6,2)且平行于x 轴；
(3)过点A (2,-3)且平行于y 轴．
3. 求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过点A (0,0), B (-3,1)；(2)过点C (-6,2), D (-4,-2)；(2)过点A (6,2), D (-4,2)．
4. 已知直线的点斜式方程是y -1=x -2，则直线的斜率是( )，倾斜角是( )． (2)斜截式方程
在点斜式方程中，如果点A 在y 轴上，则其坐标具有形式A (0, b )．此时直线的点斜式方程可化为 y =kx +b ． 点A 是直线与y 轴的交点(见图7-13)， b 就是交点的纵坐标， 我们把b 叫做直线在y 轴上的截距．由直线的斜率及在y 轴上 的截距，而导出的方程，叫做直线的斜截式方程．
(8-1-4)式是否似曾相识？的确，它就是我们已经学 图7-10 图8-11
过的一次函数．以前曾说一次函数的图象是一条直线，现在不 过从另一个角度予以验证，并且还得到了一次函数中参数 的几何意义：一次项系数k 是直线的斜率，常数项b 是直线在 y 轴上的截距．
例11 求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)倾斜角为3
2π，在y 轴的截距为3； (2)与y 轴相交于点(0,-4)，斜率为-1．
例12 已知直线l 过点A (3,0)且在y 轴上的截距是-2，求l 的方程．
例13 若直线过点A (a ,0), B (0,b )(a ,b ≠0)，求直线方程。
例14 如图7-15，已知三角形的顶点是A (3,-3), B (0,2), C (-5,0)，求出这个三角形三边所在直线的方程．
课内练习4
1. 求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过点A (0,0)，斜率为-2； (2)过点M (2,-1)，在y 轴上的截距为-4．
(3)倾斜角为4
3π，交y 轴于点(0,3)； (4)与坐标轴交点为(-5,0),(0,4)． 2. 已知菱形的两条对角线长分别为AC =8和 BD =6，建立如图的直角坐标系，求出菱形各边所 在的直线方程．
(3)直线方程的一般式 不论用点斜式、斜截式乃至截距式求直线方程，
最后得到的都是一元二次方程，而且我们都愿意把 方程化为形如
Ax +By +C =0,(A ,B 不同时为0) (3)
的形式，这是一元二次方程的最一般的形式．可以证明，在平面直角坐标系中，任何关于x ,y 的二元一次方程都表示一条直线．因此我们把(3)叫做直线方程的一般式．
知道了直线的一般方程，立即可以得到它的斜率——如果斜率有意义的话．事实上，
当B =0 Ax +By +C =0 ⇒ x =-A C ⇒ (3)是过点(-A C
,0)、平行或重合于y 轴的直线；
当B ≠0 Ax +By +C =0 ⇒ y =-B A x -B C ⇒ (1)是以-B A 为斜率、y 轴上截距为-B
C
的直线；特别地，
A=0时(3)是过点（0，-
C B
）、垂直于y 轴的直线。 课内练习5
1. 直线方程Ax +By +C =0的系数A ,B ,C 满足什么关系时，这条直线有以下性质？ (1)只与x 轴相交；(2)只与y 轴相交；(3)是x 轴所在直线；(4)是y 轴所在直线．
第2题图
小结：作业：
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复习引入：
新授：
1. 两条直线平行
下面的结论是很直观的：两条直线l 1,l 2平行⇔两条直线的倾斜角相同⇔两条直线的斜率k 1,k 2 (如果有意义)相等．即
l 1//l 2 ⇔ k 1=k 2,(k 1 k 2都存在) (8-2-1) 如果两条直线l 1,l 2的斜率都不存在，那么它们都与x 轴垂直，必定是平行的．
为了判定两条直线是否平行，不论他们的方程以怎样的形式给出，第一个念头是求出它们的斜率，最简单的方法是把直线方程转化为斜截式y =kx +b ，然后据(7-2-1)得到结论． 如果两条直线的方程转化为斜截式后是相同的，那么自然是重合了． 例1 判断下列直线组的位置关系： (1)l 1：2x -4y +7=0，l 2：x =2y -5； (2)l 1：x -2y +1=0， l 2：3x =6y -3．
例2 直线l 过点A (1,-3)，且平行于直线l 1: 2x -3y +5=0，求其方程．
例3 已知图7-16中的ABCD 为平行四边形，求点D 的横坐标x ．
课内练习1
1. 判断下列各组直线是否平行：
(1)l 1: y =3x +4，l 2: y =3x -2
1
； (2)l 1: 3x +4y =5，l 2: 6x -8y =7；
(3)l 1: x -y =0，l 2: 3x +3y -10=0； (4)l 1: 3x +3y -6=0，l 2: 3x -y +1=0．
2. 求过点(2,-3)且平行于直线3x -2y +2=0的直线方程．
3. 判断下列直线l 1, l 2是否平行：
(1)l 1: 过点A (3,-1), B (-1,1)，l 2: 过点C (0,1), D (4,1)； (2)l 1: 过点A (-3,5), B (5,1)，l 2: 2x +4y -3=0．
2. 两条直线垂直
若直线l 1, l 2不平行，则必定相交．我们先来考察一种特殊情况：垂直相交．
如图7-17，记l 1的倾斜角为α1，斜率为k 1，l 2的倾斜角为α2，斜率为k 2，当l 1⊥l 2时，应有 |α1-α2|=
2π，即 α1=α2-2π或 α2=α1
-2
π．
设斜率k 1, k 2都有意义，根据斜率的定义和三角函数公式，
k 1=tan α1=tan(α2-2π)=-tan(2π-α2)=-21αtan =-21k 或 k 2=tan α2=tan(α1-
2π)=-tan(2π-α1
)=-11αtan =-1
1k ．
由此可得如下判定直线垂直的方法：
设两条直线l 1, l 2的斜率都存在且分别为k 1, k 2，则
l 1⊥l 2 ⇔ k 1=-21k ，即k 1⋅k 2=-1(斜率互为负倒数)． (7-2-2)
可见与直线平行的判定相仿，判定直线垂直还得从直线的斜率入手． 例4 已知两条直线l 1: 2x -4y +7=0，l 2: 2x +y -3=0，求证：l 1⊥l 2．
图7-17
例5 求过点A(2,-3)且垂直于直线l1:3x-2y+2=0的直线l
的方程．
例6 三角形三个顶点是A(4,0), B(0,3),C(6,7)，求AB边上高所在的直线方程．
课内练习2
1. 判断下列各组直线是否垂直？
(1)l1:y=3x+4，l2: 2y-6x+1=0；
(2)l1: 3x+4y=5，l2: 6x-8y =7；
(3)l1: y=x，l2: 3x+3y-10=0．
2. 求过点A(2,3)且垂直于直线x-y-2=0的直线方程．
3. 已知A(5,3), B(-4, 10), C(10,6), D(3,-4)，求证：AD⊥BC．
4. 两条直线l1⊥l2，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率是多少？
3. 求相交直线的交点
设平面内两条不重合的直线的方程分别是：
l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0．
如果这两条直线不平行，则必然相交于一点，交点既在直线l1上，又在直线l2上，即交点的坐标既能满足l1的方程，又能满足l2的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两条直线方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2交点．因此要求两条相交直线的交点，只须解方程组
A1x+B1y+C1=0,
A2x+B2y+C2=0．
这个方程组的解就是两直线交点的坐标．
例7 求直线l1：y=2x+6和l2：3x+4y-2=0的交点．
例8 分别判断下列直线的位置关系(平行或相交)．若相交，求出它们的交点．
(1)l1: 4x-2y+5= 0 和l2: 2x-y+7= 0；(2)l1: 2x+3y+6 =0和l2: 过点(7,-2),(5,2)．
课内练习3
1. 求直线4x+3y=10和2x-y =10交点坐标．
2. 判断下列各对直线的位置关系，如果相交求出交点坐标：
(1)l1: 2x-y=7和l2: 4x+2y=1；(2)l1: 2x-6y+4=0和l2: x-3y+2=0．
小结：
作业：
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新授：
1. 点到直线的距离
一般地，设点M (x 0,y 0)为直线l : Ax +By +C =0外一点，过M 向AB 引垂线，垂足为D (见图7-20)，把线段MD 的长d 叫做点M 到直线AB 的距离．
无妨设l 方程中的B ≠0(即l 的斜率存在)，则可改写l 的
方程为 y =-B A x -B
C
，以x =x 0代入，得
y 1=-B A x 0-B
C ，
y 1是直线l 上对应于横坐标为x 0的点M 1的纵坐标(见图7-19)，
因此 |MM 1|=|y 0-y 1|，|MD |=|y 0-y 1|⋅|cos β|，
这里的β表示MD 与MM 1的夹角．
注意l 的倾斜角α与β互补，β=π-α，
|MD |=|y 0-y 1|⋅|cos(π-α)|=|y 0-y 1|⋅|cos α|；
又因为l 的斜率k =tan α=-B
A
，据三角公式有
1+tan 2α=1+α
ααααα2
222221
cos cos sin cos cos sin =+=， 解出 |cos α|=
2
2
2
11
B
A B +=+||tan α
．
所以 |MD |=|y 0-y 1|⋅|cos β|=|y 0+
B A x 0+B C
|⋅22B A B +||=22B
A B +||，
即 d =|MD |=2200B
A C By Ax +++|
|． (7-2-3)
所得到的公式(7-2-3)就是我们所要的线外一点到直线的距离公式．公式十分简单，只要把已知点坐标代入直线方程，除以x ,y 前系数平方和的平方根，加上绝对值就行了． 不难验证，即使B =0，上述公式也是正确的．
作为应用公式的第一个例子，先来解决求图7-19上高的问题． 例9 求例5中AB 边上的高|CD |．
例10 求点A (2,-3)到下列直线的距离d ： (1)x +y -11=0；(2)y =7．
2. 两条平行直线间的距离
已知直线l 1,l 2相互平行．他们的公垂线被l 1,l 2所截下的线段AB 的长d ，叫做l 1,l 2之间的距离． 为了求得平行线l 1,l 2间距离，只要在l 1上任取一点P ，然后求P 到l 2的距离即可． 例11 求两条平行直线l 1: 2x +3y -8=0和l 2: 4x +6y +36=0的 距离．
例11的计算过程并不复杂，但还可以更加简单．事实上设平行线l 1,l 2的方程为 l 1: A 1x +B 1y +C 1=0, l 2: A 2x +B 2y +C =0， 因为l 1,l 2平行，因此总可以把l 2的方程转化成
图7-20
A 1x +
B 1y +
C 2=0．
在l 1上任取一点P (x 0,y 0)，则有 A 1x 0+B 1y 0+C 1=0．
于是l 1,l 2之间距离为P 到l 2的距离，即
d =212120101B A C y B x A +++||=2121201010B A C y B x A +-++||
=2
1211010120101B A C y B x A C y B x A +++-++|)(|
所以 d =212112B A C C +-||． (7-2-4)
如此一来，只要把平行直线的方程演化成x ,y 前的系数相同，求其间的距离就极其简便了． 例如重新解算例11．把l 2的方程改写成2x +3y +18=0，应用(7-2-3)即得 d =2
2
6
4818+--)(13213
26=．
课内练习4
1. 求点A (1,0)到直线3x +y -3=0的距离．
2. 求点B (-2,3)到直线3x +y =0的距离．
3. 求下列两条平行直线间的距离：
(1)3x +y -4=0与3x +y -9=0；(2)3x +4y -10=0与6x +8y -7=0．
小结： 作业：
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复习引入：
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1. 圆的标准方程
在直角坐标系内，已知一个圆以C (a ,b )为圆心，半径为r (见图7-23)，那么当且仅当|PC |=r 时，点P (x ,y )在圆上．据两点间距离公式，即当且仅当点P 的坐标(x ,y )满足r b y a x =-+-22)()(，或
(x -a )2+(y -b )2= r 2，
时，点P (x ,y )在圆上．我们把(7-3-1)叫做以C (a ,b )为圆心、r 为半径的圆的标准方程．
特别地，当圆心为原点O (0,0)时，简化成 x 2+y 2=r 2 例1 已知下列各圆的方程，分别求出它们的圆心和半径：
(1)(x +3)2+y 2=16；(2)(x +1)2+(y +2)2=2；(3)(x -2)2+(y -5)2=5；(3)(x -1)2+(y +1)2
=4．
例2 求下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是2；(2)圆心在点C (2,-3)，半径是2；
(3)圆心在点(0, b )(2,1)．
例3 求圆心是C (-3,1)，且经过原点的圆的方程．
例4 求圆心在点C (1,3)，并与直线3x -4y -7=0相切的圆的方程．
课内练习1
1. 求下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径为3； (2)圆心在点C (-4,-3)，半径是2；
(3)经过原点且圆心在点C (3,4)； (4)经过点A (-3,4)，且圆心为C (-2,1)； 2. 求以点C (-1,-5)为圆心，且和y 轴相切的圆的方程．
2. 圆的一般方程
把以C (a ,b )为圆心、r 为半径的圆的方程(7-3-1)展开，得到一个x ,y 的二次方程 x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2- r 2=0；
因此，任何圆都能表示为一个具有以下特征的x ,y 的二次方程： (1)x 2和y 2项的系数相同为1； (2)不出现交叉乘积的二次项xy ．
反之若给出一个具有上面两个特征的x ,y 的二次方程
Ax 2+Ay 2+D 1x +E 1y +F 1=0, (其中A ,D 1,E 1,F 1的为常数，A ≠0)， (1) 首先，两边同除以A ，把x 2和y 2项的系数化为1
x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， (2) 其次，通过配方可以化为
(x +2D )2+(y +2
E )2=4422F
E D -+，
当D 2+E 2-4F >0时，表示一个圆心坐标为C (-2D ,-2
E )、半径r =1
2F E D 422-+的圆．
通过正反两方面讨论，可见(1)或(2)是圆方程更一般的形式．我们把方程(1)或(2)叫做圆的一般方程．注意圆的一般方程可以表示一个实圆，或一个点，甚至无意义(表示一个“虚圆”，例如(2)
当D2+E2-4F<0时)．
对给定的一个形如(1)或(2)的方程，只需要将x2,y2前系数单位化、配方，就能判定它是否表示一个圆；如果是，同时也求出了圆心坐标和半径．
例1 判断下列方程是否表示圆，如果是，并求出各圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-6x=0；(2)2x2+2y2-4x+8y-12=0；(3)2x2+2y2-4x+8y+10=0；
(4)x2+y2-6x+10=0；(5)x2+2y2-4x+8y=10．
例2 求以O(0,0), A(1,1), B(4,2)为顶点的三角形的外接圆方程，并求出它的圆心和半径．
本题所使用的方法叫做待定系数法，即写出圆的一般方程，由满足设定条件求出其中的未知系数．
课内练习1
1. 判定下列方程中，哪些是圆的方程？如果是，求出它们的圆心和半径．
(1)2x2+2y2-4x-5=0；(2)x2+y2-3x-4y+12=0；(3)x2+2y2+4x+2y+5=0；
(4)-x2+2y2+4x+2y=1；(5)3 x2+4xy+(x-2y)2=4
2. 求过三点A(2,2), (5, 3), C(3,-1)的圆的方程．
3. 已知 ABC的顶点坐标A(1,-1), B(2,0), C(1,1)，求其外接圆的圆心坐标和半径．
小结：
作业：
x x 职业技术教育中心教案
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：
教学内容二、新知探究 设直线的方程和圆的方程分别是： Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0 如果直线和圆有公共点，由于公共点同时在直线和圆上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解。反之，如果这两个方程没有公共解，则说明直线和圆没有公共点。 有如下结论：
教学内容三、例题讲解 例1 判断直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=5的位置关系。 解法1：求出圆的半径r=5，圆心（0，0）到 直线的距离为： 22 |30405| d15 3(4) ⨯-⨯+ == +- ＜ 所以直线与圆相交。 解法2：解方程组： 22 3x4y50 x y5 -+= ⎧ ⎨ += ⎩ 解得： 11 x=- x=15 y=22 y=- 5 ⎧ ⎪ ⎧⎪ ⎨⎨ ⎩⎪ ⎪⎩ 或 所以，直线与圆有两个交点，即：直线与圆相交。例2 已知圆（x+1）2+（y-2）2=a与直线3x+4y+5=0相切，求a的值。（引导学生预习下节课内容）解：由题意得：圆心（-1，2）到直线的距离等于半径，所以： 所以a=r2=4
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号： 备课组别数学 上课 日期 主备 教师 授课 教师 课题：§8.7.2直线与圆的位置关系(2) 教学目标1理解并能判断直线与圆的位置关系； 2学会解决直线与圆相切的问题； 3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力； 重点直线与圆相切的问题； 难点直线与圆相切的问题； 教法引导探究，讲练结合 教学 设备 多媒体一体机 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容一、复习 直线与圆的位置关系的判断方法 二、巩固练习： 判断下列直线l与圆C的位置关系： （1）l：10 x y +-=，C：229 x y += （2）l：4380 x y --=，C：()2 211 x y ++=
教学课题： 直线与圆的方程 课时规划：4 教学目标：掌握圆的方程，直线与圆的位置判断，会求弦长。 教学重点：圆的方程，直线与圆的关系 教学难点：直线与圆的综合应用 教学过程 一、 知识链接（包括学情诊断、知识引入和过渡） 1. 复习直线的方程：点斜式、截距式、两点式、斜截式.； 2. 两点之间的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 3. 点到线的距离公式：2200B A C By Ax d +++=，平行线间的距离公式：2221B A C C d +-=. 4. 过两点1 212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 5. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ； 当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形（称虚圆）. 6. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 7. 直线和圆的位置关系：
直线与圆的方程 1. 直线的方程 【复习要求】 【知识点梳理】 1. 直线的方向向量和法向量 （1） 方向向量：与直线l 平行的非零向量叫做直线l 的方向向量，通常用d 表示； （2） 法向量：与直线l 平行的非零向量叫做直线l 的方向向量，通常用n 表示. 2. 直线的倾斜角和斜率 （1） 倾斜角：设直线l 与x 轴相较于点M ，将x 轴绕点M 逆时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小 正角α叫做直线l 的倾斜角. 注：○ 1当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线l 的倾斜角为0； ○ 2直线l 的倾斜角的范围为[) 0,π. （2） 斜率：把倾斜角不为90°的直线l 的倾斜角α的正切值叫做直线l 的斜率，用k 表示，即tan k α= 注：○ 1当2 πα= 时，斜率k 不存在； ○ 2当0k ≥时，arctan k α=；当0k <时，arctan k απ=+. ○3当直线l 经过点()11 1,P x y 、()222,P x y ()21x x ≠时，1212 y y k x x -= -. 3. 直线方程的各种形式
【基本例题】 例1 求直线210 x y + +=的倾斜角. 解：斜率2k =-，所以倾斜角arctan 2α π=-. 例2 已知直线:1l y kx =+与两点()1,5A -、()4,2B -，若直线l 与线段AB 相交，求k 的取值范围. 解：直线l 恒过定点()0,1C ，4AC k =-，34 BC k =- ，数形结合知(]3 ,4,4k ? ?∈-∞-- +∞??? ? . 例3 已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点， （1） 求经过点A 且与BC 平行的直线l 1的方程； （2） 求过点A 、B 的直线方程l 2； （3） 求BC 边上的高所在直线的方程l 3. 解：（1）直线l 1的一个方向向量()7,4BC - ＝，所以直线 l 1的点方向式方程为 467 4 x y --= -，化为一般式方 程为47580x y +-=. （2）直线l 2的一个方向向量()7,7AB =-- ，所以直线l 2的点方向式方程为 467 7 x y --= --，化为一般式方程 为20 x y -+=. （3）直线 l 3的一个法向量()7,4BC =- ，所以直线 l 3的点法向式方程为()()74460x y ---=，化为一般式 方程为7440x y --=. 【基本练习】 1. 经过点()1,2P ，且垂直于直线350x y --=的直线的方程为 . 350 x y +-= 2. 经过点()3,4A -，且平行于直线34290x y -+=的直线的方程为 . 34250 x y -+= 3. 已知()7,4A -、()5,6B -两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为 . 6510 x y --= 4. 已知直线l 经过点()3,4A ，且倾斜角是直线210 x y - +=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为 . 43240 x y +-=
第八章 直线与圆的方程 教学设计 课题1 直线的斜截式方程 【教学目标】 1．进一步复习斜率的概念，了解直线在y 轴上的截距的概念； 2．理解直线的斜截式方程与点斜式方程的关系； 3．初步掌握直线的斜截式方程及其简单应用； 4．培养学生应用公式的能力． 【教学重点】 直线的斜截式方程． 【教学难点】 直线的斜截式方程及其应用． 【教学过程】 （一）复习引入 （1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x ，y ），（x1，y1），k 的几何意义． （答案：直线的点斜式方程是y －y1＝k （x －x1）；（x ，y ）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k 是直线的斜率．） （2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是（0，b ），求直线l 的方程． （答案：y ＝kx ＋b. ） （二）讲解新课 （1）直线在y 轴上的截距 一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y 轴上的截距． 例如，引例中直线l 与y 轴交于点（0，b ），则b 就是直线l 在y 轴上的截距． 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念． （2）直线的斜截式方程 如果已知直线l 的斜率是k ，在y 轴上的截距是b ，那么直线l 的方程是y ＝kx ＋b . 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式． 这个方程的导出过程就是引例的解题过程．这是我们同学自己推导出来的． （3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同 在一次函数的解析式中，k 不能得0，而直线的斜截式方程没有这个限制． ②练一练 根据直线l 的斜截式方程，写出它们的斜率和在y 轴上的截距： （1）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________； （2）y ＝23x ＋13 ， k ＝________，b ＝________； （3）y ＝－x －1， k ＝________，b ＝________； （4）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________.
人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计 (一) 人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计 一、教学目标 1.学习直线的一般式方程和圆的标准式方程。 2.掌握直线与圆的方程的应用。 3.加深对直线和圆的认识，提高解决实际问题的能力。 二、教学重点 1.掌握直线的一般式方程和圆的标准式方程。 2.理解直线与圆的方程的应用。 三、教学难点 1.理解和应用直线与圆的方程。 2.解决实际问题时的思维方法和技巧。 四、教学过程 1.引入
（1）出示一些图形，引导学生认识直线和圆。 （2）出示一些实际问题，引导学生思考如何应用直线和圆的方程来解决问题。 2.教学主体 （1）直线的一般式方程 ①导入难点：由点斜式方程推导一般式方程。 ②讲解一般式方程的含义和用法。 ③练习：给出直线的两点坐标，求解一般式方程。 （2）圆的标准式方程 ①导入难点：先讲解圆的标准式方程含义及其由中心点和半径推导。 ②讲解圆的标准式方程的应用：求解圆心、半径，求解圆与直线的交点。 ③练习：给出圆的半径和截距，求解圆心坐标和圆的方程。 （3）直线与圆的方程的应用 ①导入难点：从实际问题入手，如两个圆相交，求解交点坐标。 ②讲解直线与圆的应用技巧，如如何求解直线和圆的交点等。
③练习：出示一些实际问题，引导学生用直线和圆的方程来解决问题。 3.总结 总结本课时所学到的知识点和技巧，并强调应用技能的重要性。 五、教学辅助 1.多媒体设备：投影仪。 2.教学课件：制作直线方程，制作圆方程。 3.题目练习：编写题目练习和解答。 六、教学评估 1.课堂练习：课上出题，学生现场解答。 2.作业考核：留作业，检查学生课下巩固情况。 七、教学反思 本课时教学重点难点在于理解和应用直线与圆的方程，在教学过程中 需要通过举实际问题来引导学生思考，从而更好地理解和掌握相关知 识和技能。同时还需注意给学生提供充足的练习和检查，以巩固和提 高学习效果。
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标教学目标： 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 教学重点： 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 教学难点： 两点间的距离公式的理解 课时安排： 2课时． 教学过程： 【新知识】 21212( == PP PP PP x 典型例题 ，1）、B（2，−5）两点间的距离．
过 程 活动 活动 意图 *运用知识 强化练习 1．请根据图形，写出M 、N 、P 、Q 、R 各点的坐标． 2．在平面直角坐标系内，描出下列各点： (1,1)A 、(3,4)B 、(5,7)C ．并计算每两点之间的距离． 提问 巡视 指导 思考 口答 反复 强调 *创设情境 兴趣导入 【观察】 练习8．1．1第2题的计算结果显示， 1 ||||||2 AB BC AC == ． 这说明点B 是线段AB 的中点，而它们三个点的坐标之间恰好存在关系1532 +=， 17 42+= 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 引导启发学生思考 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设线段的两个端点分别为11(,)A x y 和22(,)B x y ，线段的中点为00(,)M x y （如图8－1），则0101(,),=--AM x x y y 2020(,),=--MB x x y y 由于M 为线段AB 的中点，则 , =AM MB 即 01012020(,)(,)--=--x x y y x x y y ，即 01200120,, -=-⎧⎨ -=-⎩x x x x y y y y 解得121200,22++==x x y y x y ． 总结 归纳 仔细 分析 讲解 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 第1题图
直线与圆的位置关系 课题：直线与圆的位置关系 教学目标： 1、掌握直线与圆的位置关系，会判断一条直线与圆的位置关系。 2、让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。 通过对直线与圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析、和发现问题的能力。 3、通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点。 重点与难点： 1、重点：直线与圆的位置关系，会判断一条直线与圆的位置关系 2、难点：判断一条直线与圆的位置关系 教学方法：探究法、归纳法、练习法 教具：多媒体 教学过程： 【一】复习回顾： 1、直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不全为0） 2、圆的一般式方程和标准方程： 标准方程： 222 ()() x a y b r -+-= 圆心：(a，b)，半径为r 一般式方程： 2222 0(40) x y D x E y F D E F ++++=+-> 圆心： ) 2 , 2 ( E D - - ，半径： F E D4 2 1 2 2- + 3、点到直线的距离公式： d=
【二】1、探究思考：在平面内，直线和圆的位置关系有哪些？ 2、设直线l 方程为：Ax+By+C=0, 圆C 的方程为: x2+y2+Dx+Ey+F=0 在平面直角坐标系中，怎样根据方程来判断直线与圆的位置关系？ 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，直线方程为Ax+By+C=0 将圆的方程用配方法或公式法化标准方程为：(x-x0)2+(y-y0)2=r2，则圆心为(x0，y0)，半径为r ，圆心到直线l 的距离为： d = 例1 判断直线l ：x -y +1 = 0和圆x2 + y2 =5的位置关系. 解：圆x2 + y2 =5的圆心坐标为C （0，0），半径长为 ，点C 到直线l 的距离: = < 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点. 练一练 判断下列各直线与圆的位置关系：
x x 职业技术教育中心教案
复习引入： 新授： 1.平面内两点间的距离 设A ,B 为平面上两点．若A ,B 都在x 轴(数轴)上(见图7-3(1))，且坐标为A (x 1,0), B (x 2,0)，初中我们已经学过，数轴上A ,B 两点的距离为 |AB |=|x 2-x 1|． 同理，若A ,B 都在y 轴上(见图7-3(2))， 坐标为A (0,y 1), B (0,y 2)，则A ,B 间的距离 |AB |=|y 2-y 1|． 若A ,B 至少有一点不在坐标轴上，设 A , B 的坐标为A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)．过A ,B 分别作 x ,y 轴的垂线，垂线延长交于C (见 图7-3(3))，不难看出C 点的坐标为(x 1,y 2)， 则 |AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1 |， 由勾股定理 |AB |=22BC AC +=221221)()(y y x x -+-． 由此得平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，则 |AB |=221221)()(y y x x -+-． (7-1-1) 例1 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |． 解 x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)， |AB |=)()(21221y y x x -+-=2210484)()(-+--=180=65． 例2 已知点A (-1,-1), B (b ,5)，且|AB |=10，求b ． 解：据两点间距离公式， |AB |=36)1()]1(5[)]1([222++=--+--b b =10， 解得 b =7或b =-9． 例3 站点P 在站点A 的正西9km 处，另一站点Q 位于P ,A 之间，距P 为5km ，且东西向距A 为6km ，问南北向距A 多少？ 解 以A 为原点、正东方向为x 轴正向建立坐标系如 图7-4，则P 的坐标为(-9,0)，|PQ |=9．设Q 坐标为(x ,y )， 则x =-6，据题意要求出y ． 据两点间距离公式(7-1-1) |PQ |=22069)()(y -++-=5， 解得 y =±4， 图7-3(2) x y O y 1 y 2 • • B A 图7-3(1) x y O x 1 x 2 • • B A 图7-3(3)
第八章直线和圆的方程说课稿 《直线和圆的方程》教学设计说课稿 各位尊敬的专家、评委老师好： 今天我说课的内容是高等教育出版社中职数学基础模块下册第8章《直线和圆的方程》的教学内容，对于这章我尝试以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、学情分析、教学目标分析、重难点分析、教法学法分析、课时安排、教学过程分析和教学反思8个方面对本单元进行说课。 教材分析 《直线和圆的方程》是中职数学基础模块的第八章，它是众多知识的汇合点，两点间的距离与线段中点坐标，直线方程，两条直线的位置关系，圆等等。是对口单招考试的必考点，考试题型主要以选择题和填空题的形式出现，分值维持在10分左右，一方面，本章培养学生数学思维能力和分析解决问题能力，使学生体验解析几何的应用；另一方面，又为今后学习解析几何的奠定了基础。因此，我认为，本章本为以后的学习起到了铺垫的作用，它在整个教材中起到了承上启下的作用。 二.学情分析 我所任教的是18级护理专业学生，在此之前学生已经学习了点、直线方程的一些基础知识，对基本概念具有初步认识，已具备基础知识，也具有了一定分析问题和解决问题的能力。 但是女生较多，普遍缺乏学习自信心，缺乏学习主动性和独立思考的习惯，没有良好的学习习惯和学习方法，考虑问题不全面，知识运用不灵活，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。 三、教学目标分析 根据教材结构内容，结合高一学生的认知水平以及心理特征，我从以下三个维度制定了三维目标： 知识与技能：形成并掌握了直线与圆概念，理解圆的方程，通过对圆与直线的学习加深对解析几何的认识。 （2）过程与方法：通过观察、探索、讨论、合作等过程，培养学生数形结合的思维习惯，并结合实例了解这些知识在实际应用中的
中等专业学校2022-2023-2教案 编号： 备课组别数学组 课程 名称 数学基础模块 所在 年级 高一 主备 教师 授课教师授课 系部 授课 班级 授课 日期 课题§6.6 直线与圆的方程应用举例 教学目标1能用直线方程与圆的方程解决较简单的实际问题2逐步提升数学建模和数学运算等核心素养 重点用数学知识解决实际问题 难点建立数学模型，解决实际问题 教法引导探究，讲练结合 教学 设备 多媒体一体机 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容一、新课引入 从点)3,2(P射出一条光线,经过x轴反射后过点 )2,3 ( Q, 求反射点M的坐标.
教学内容 根据光的反射定律可知,点Q关于x轴的对称点Q'、反射点M、发光点P三点共线,所以点M 为直线Q P'与x轴的交点. 点)2,3 (- Q关于x轴的对称点Q'的坐标为） ， （2 - 3-,故直线Q P'的斜率为 1 )3 ( 2 )2 ( 3 = - - - - = k， 故直线Q P'的点斜式方程为3 2+ = +x y,即1 + =x y,直线与x轴的交点坐标为） （0,1-,故反射点M的坐标为） （0,1-. 二、新知探究 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的风预报,台风中心位于轮船正西 240km 处,受影响的范围是半径为90km 的圆形区域.港口位于台风中心正北 120km 处,如果这艘轮船仍沿原航线航行,是否会受到台风的影响? 分析这个实际问题可转化为数学问题:若轮船不改变航线,则需考虑轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影响范围为半径的圆的位置关系,相交或相切会受到影响,相离则不会受到影响.
【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质． 5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和
求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ⎡⎤⎡⎫ ⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1⎡ ⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ， 求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=；
4、2、3直线与圆的方程的应用（一） 【教学目标】 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 【教学重难点】 教学重点：直线的知识以及圆的知识 教学难点：用坐标法解决平面几何. 【教学过程】 一、复习准备： (1) 直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些? (3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课： 提出问题、自主探究 例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A 6P 6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）． 方法一：在O AA Rt 6∆中 R 2 =422 +(R-15)2 可求出半径R ，而在CO P Rt 3∆中 222321-=R C P ， ∴O A C P P A 6333-=，从而可求得33P A 长度。 能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？ 方法二：先求圆的方程，再把求33P A 长度看成3P 的纵坐标。 首先应建立坐标系。 如何建系？四种不同的建系方案：
分 组 解 答， 同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。 归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤： (1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化； (2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型； (3)解模----求解数学问题，得出数学结论； (4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题． 流程图： 实际问题实际问题结论 （审题）（建模）（解模）（还原） 变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？ 深入讨论、提炼思想 在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例： 例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直， PE 于E，探求线段PE与BC的数量关系。 AD
课题：圆的方程（一）——圆的标准方程 1.教学目标 （1）知识目标：1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程； 2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆方 程. （2）能力目标：1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力； 2.使学生加深对数形结合思想的理解； （3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，激发学生的学习 兴趣. 2.教学重点.难点 （1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用. （2）教学难点：会根据不同已知条件，求圆的标准方程以及解决与圆有关的实际 问题. 3.教学过程 （一）创设情境（启迪思维） 投影显示（欣赏美景图片） （学生活动）如上面这些是我们生活中一些常见的圆形物体。欣赏上述美景图片 后，你有何感想？ 自然界中有着漂亮的圆，圆是最完美的曲线之一 问题1 什么是圆？ 一、圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）。 定点是圆心 定长是半径 问题2 确定圆需要哪几个要素？ 圆心一一确定圆的位置 半径--- 确定圆的大小 （-）深入探究 问题3：如果圆心在（a,。），半径为r时圆的方程是什么？
［学生活动］探究圆的方程。 ［教师预设］ 方法：坐标法 如下图，设M （x.y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以
由两点间的距离公式，点〃适合的条件可表示为
^(x-a)。+(y-A、= r ① 把①式两边平方，得(x—a)②+ (y—b) 2=r2 由此可得圆的标准方程为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时，圆的标准方程为： x2 +y2 =广2 问题3：观察圆的标准方程的特点有哪些？ 特点：1、明确给出了圆心坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具备三个独立条件, 即a、b、r . 3、是关于x、y的二元二次方程。 (三)应用举例(巩固提高) I.直接应用 例1：试写出下列圆的圆心及半径 (1) (x-1)2+ (y-3)2=9 (2) (x-2)2+(y-3)2 =5； (3)(x + 2)2 + y2 =(一2尸. 变式：下列方程圆的方程吗？为什么？1、(x-1)2+ (y-3)2= -5 2、(x-1)2+ (y-3)=K 例2：写出下列各圆的方程 (1)圆心在原点，半径为3； ⑵圆心在C(3,4),半径为打; ⑶圆心在C(l,3),半径是3 II.间接应用